量子力学_6.1电磁场中荷电粒子的运动及两类动量
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B 2项 e2 B 2 2 c 4 a 10 4c 2 eB B项
( x 2 y 2 ) ~ a 2 ~ (108 cm)2
5 B ( 10 Gs ) ,可以估算出(2)式中 实验室中的磁场强度
因此可略去B2 项
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
(14)
1 ˆ q 1 q ˆ P A i A υ m c m c
理解为粒子的 速度算符
(15)
2. 规范不变性
电磁场具有规范不变性，当矢势和标势作下列规范变换时
A A ' A ( r , t ) 1 (r , t ) c t (16)
Ay Az 1 q Ax Ax y Ax z Ax q Ax x y z x c t c x x x x y z x
1 q q A υ ( A)x c t x c
属性 哈密顿量 对称性 外加磁场前 加均匀磁场(沿z方向)后
H
1 ˆ2 P V (r ) 2m
球对称
1 ˆ2 eB ˆ H P V (r ) lz 2m 2m c 球对称性破坏，但有绕z 轴的旋转对称性
( H , l 2，lx )或
守恒量完全 集
( H , l 2，l y )或 ( H , l ，lz )
证明（3）式 以x分量为例，按式(1)和(2)有
x H 1 q ( Px Ax ) Px m c
（5 ）
Baidu Nhomakorabea
所以
q q Ax mυx Ax Px m x c c
因而
q P mυ A c
（6）
q 正则动量 P m υ A ,机械动量 m υ . c
1 ˆ2 eB ˆ H P V (r ) lz 2m 2m c (3)
e ˆ ˆz lz 与外磁场(沿z方向)的相互作用 电子的轨道磁矩 m 2m c
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
二、加外磁场后的能级分裂 对碱金属原子，考虑加外场前后的球对称及守恒量
2 2 1 ˆ eB ˆ eB 2 ˆ H y Py x Pz V (r ) Px 2m 2c 2c 1 ˆ 2 eB ˆ e2 B 2 2 2 P l z 2 ( x y ) V (r ) (2) 2m c 4c
可见，在有磁场的情况下，正则动量和机械动量 并不相等. 将式(5)对t微分，利用(4)和(6)得
H q A qA m xP x x x c x c 1 3 q q Ai q Pi Ai q A x m i 1 c c x x c q 3 Ai q Ax 3 Ax i i r q r c i 1 x x c t i 1 ri
的能量本征值.
显然加外磁场前后的能级分裂情况是不一样的.
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
属性
对称性
加外磁场前
球对称性
加外强磁场（z方向）后
球对称性破坏，只有绕 磁场方向的旋转对称性
能量本征值
E nr l
m简并 2l+1
eB E nr l m 2mc
简并度
能级m简并全部消除，分 裂成2l+1条能级
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
二、电子的本征态和本征值
ˆ ) 的共同本 电子的能量本征态可取为守恒量完全集 ( H , l z
A
1 2
Br
(1)
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
取磁场方向为z轴方向，则
1 Ax By 2
Ay
1 Bx 2
Az 0
(1')
对碱金属原子，每个原子中只有一个价电子，在原子 核及内层满壳层电子所产生的屏蔽库仑场中运动，价电子 的Hamilton量可表示为
所以
m r q
1 q 1 A υ ( A) q( E υ B) c t c c
二、电磁场中荷电粒子的Schrö dinger方程
按照量子力学中的正则量子化程序，把正则动量 P
ˆ ,即 换成算符 P
ˆ i P P
电、磁场强度都不改变.其规范不变性是显然的.
但Schrö dinger方程（9）中出现 A和，是否违反规范 不变性？ 否！！ 可证明
波函数如做相应的变换
iq c e
(17)
则' 满足的Schrö dinger方程，形式上与同，即
2 1 ˆ q i P A' q t c 2m
1 A Br 2
取磁场方向为z轴方向，则
1 Ax By , 2
1 Ay Bx, 2
Az 0
(1)
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
电子的Hamilton量表示为
2 2 1 ˆ eB ˆ eB 2 ˆ H y Px x P Px z 2M 2 c 2 c 1 ˆ2 ˆ2 e2 B 2 2 eB 1 ˆ2 2 ˆ ˆ Px Py x y ) xPy yPx Pz (2) 2 2M 8Mc 2Mc 2M
(18)
量子力学教程(第二版)
6.2 正常Zeeman效应
一、正常Zeeman效应
原子中的电子,可近似看成在一个中心平均场中运动,能级 一般有m简并.实验发现,把原子（光源）置于强磁场中,原子发 出的每条光谱线都分裂为三条,此即正常Zeeman效应. 在原子大小范围内,实验室里常用的磁场可视为均匀磁 场,不依赖于电子的坐标. 设磁场为B,则相应的矢势A可取为
能级简并消除→能级发生分裂
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
设分裂后的相邻能级间距为 L ,其中
L eB / 2mc ——Larmor频率.
由于能级分裂，相应的光谱线也发生分裂. 下图是钠原子光谱黄线在强磁场中的正常Zeeman分裂.
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
式中
ˆ y yp ˆ x i x y i lˆz xp x y
是角动量的 z 分量
式(2)还比较复杂.根据物理实际,式(2)还可以化简. 在原子中，
B2项<<B项
(9)
一般说来，P , A 不对易. 按照证明对易关系的一般方法,可以证明
ˆ A A P ˆ i A P
2 1 ˆ2 q q 2 ˆ i P A P A q 2 t mc 2m c 2m
(10)
利用电磁波的横波条件 A 0，方程（9）表示为
)
)
为方便，以下把电子沿z轴方向的自由运动分离出去， 集中讨论电子在xy平面中的运动，此时
ˆ H H0 Ll z
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
(3)
量子力学教程(第二版)
1 ˆ2 ˆ2 1 2 2 2 H0 Px Py M L x y , L eB / 2Mc ) 2M 2
第6章
电磁场中粒子的运动
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
一、荷电q粒子在电磁场中的Newton方程（经典描述）
质量m，荷电q的粒子在电磁场中运动，其经典Hamilton 量为
1 q P A q 2m c
2
(1)
A：电磁矢势 ； ：电磁标势 ； P：正则动量。
量子力学教程(第二版)
加强外磁场 无外磁场 原来的一条钠黄线(l≈5893Å)分裂成三条,角频率为 ,±L.所以外磁场越强,则Zeeman分裂越大.
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
6.3 Landau能级
一、电子的Hamilton量
考虑电子（质量M，荷电e）在均匀磁场B中运动,则 相应的矢势A可取为
* 1 q * ˆ2 2 * ˆ ˆ A P ˆ * ) i ( ) [ P P ] ( * A P t 2m mc
1 ˆ ˆ P ˆ * ) q P ˆ ( * A P ( * P ) 2m mc
i ˆ P ˆ * ) 2q * A ( * P 2m c
相应的能量本征值为
(4)
Enr lm
eB Enr l m＝Enr l mL 2m c
(5)
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
而 Enr l 就是屏蔽Coulomb力场V(r)中粒子的能量本征方程
2 2 2m V (r ) E (6)
ˆ ˆ ˆ lz xPy yPx i x y i x y
)
L 为Larmor频率.
式(3)中,B(即L)的线性项表示电子的轨道磁矩与 外磁场的相互作用,而B2项则为反磁项.在Zeeman效应 中,由于电子局限在原子内部运动,在通常实验室所用磁 场强度下,反磁项很小,常忽略不计.但对于自由电子,或 磁场极强时,B2项就必须考虑.
即
j 0 t
(13)
式中
*
1 q * * ˆ * ˆ j ( P P ) A 2m mc
流 密 度 算 符
1 * ˆ q ˆ q A)* * ( P A ) ( P 2m c c
1 * ˆ υ ˆ* * ) Re( *υ ˆ ) ( υ 2
2
( H , l , lz )
2
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
因此能量本征函数可以选为( H , l , lz ) 的共同本征函数, 即
2
n lm (r, , ) Rn l (r)Ylm ( , )
r r
nr , l 0,1, 2,, m l , l 1,, l
(11)
讨论
1. 定域的概率守恒与流密度
* ˆ ˆ 式(11)取复共轭 , A与为实，在坐标表象中 P P
2 * * 1 ˆ2 q q 2 ˆ i P A P A q 2 t mc 2m c 2m
(12)
*×(11)×(12) , 利用 A 0 得
(7)
则电磁场中荷电q的粒子的Hamilton算符可表为
1 ˆ q H P A q 2m c
2
(8)
因而Schrö dinger方程可表为
2 1 ˆ q i P A q t c 2m
将（1）式代入正则方程，有
r Η , P
Η P r
(2) （3） 电场强度 （4） 磁场强度
即可得出
1 E A c t
1 m r q( E υ B) c
式中
B A
上式（3）即为荷电q的粒子在电磁场中的Newton方程. 式（3）中右边第二项即Lorentz力，实验证明是正确的.
( x 2 y 2 ) ~ a 2 ~ (108 cm)2
5 B ( 10 Gs ) ,可以估算出(2)式中 实验室中的磁场强度
因此可略去B2 项
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
(14)
1 ˆ q 1 q ˆ P A i A υ m c m c
理解为粒子的 速度算符
(15)
2. 规范不变性
电磁场具有规范不变性，当矢势和标势作下列规范变换时
A A ' A ( r , t ) 1 (r , t ) c t (16)
Ay Az 1 q Ax Ax y Ax z Ax q Ax x y z x c t c x x x x y z x
1 q q A υ ( A)x c t x c
属性 哈密顿量 对称性 外加磁场前 加均匀磁场(沿z方向)后
H
1 ˆ2 P V (r ) 2m
球对称
1 ˆ2 eB ˆ H P V (r ) lz 2m 2m c 球对称性破坏，但有绕z 轴的旋转对称性
( H , l 2，lx )或
守恒量完全 集
( H , l 2，l y )或 ( H , l ，lz )
证明（3）式 以x分量为例，按式(1)和(2)有
x H 1 q ( Px Ax ) Px m c
（5 ）
Baidu Nhomakorabea
所以
q q Ax mυx Ax Px m x c c
因而
q P mυ A c
（6）
q 正则动量 P m υ A ,机械动量 m υ . c
1 ˆ2 eB ˆ H P V (r ) lz 2m 2m c (3)
e ˆ ˆz lz 与外磁场(沿z方向)的相互作用 电子的轨道磁矩 m 2m c
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
二、加外磁场后的能级分裂 对碱金属原子，考虑加外场前后的球对称及守恒量
2 2 1 ˆ eB ˆ eB 2 ˆ H y Py x Pz V (r ) Px 2m 2c 2c 1 ˆ 2 eB ˆ e2 B 2 2 2 P l z 2 ( x y ) V (r ) (2) 2m c 4c
可见，在有磁场的情况下，正则动量和机械动量 并不相等. 将式(5)对t微分，利用(4)和(6)得
H q A qA m xP x x x c x c 1 3 q q Ai q Pi Ai q A x m i 1 c c x x c q 3 Ai q Ax 3 Ax i i r q r c i 1 x x c t i 1 ri
的能量本征值.
显然加外磁场前后的能级分裂情况是不一样的.
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
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属性
对称性
加外磁场前
球对称性
加外强磁场（z方向）后
球对称性破坏，只有绕 磁场方向的旋转对称性
能量本征值
E nr l
m简并 2l+1
eB E nr l m 2mc
简并度
能级m简并全部消除，分 裂成2l+1条能级
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
二、电子的本征态和本征值
ˆ ) 的共同本 电子的能量本征态可取为守恒量完全集 ( H , l z
A
1 2
Br
(1)
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
取磁场方向为z轴方向，则
1 Ax By 2
Ay
1 Bx 2
Az 0
(1')
对碱金属原子，每个原子中只有一个价电子，在原子 核及内层满壳层电子所产生的屏蔽库仑场中运动，价电子 的Hamilton量可表示为
所以
m r q
1 q 1 A υ ( A) q( E υ B) c t c c
二、电磁场中荷电粒子的Schrö dinger方程
按照量子力学中的正则量子化程序，把正则动量 P
ˆ ,即 换成算符 P
ˆ i P P
电、磁场强度都不改变.其规范不变性是显然的.
但Schrö dinger方程（9）中出现 A和，是否违反规范 不变性？ 否！！ 可证明
波函数如做相应的变换
iq c e
(17)
则' 满足的Schrö dinger方程，形式上与同，即
2 1 ˆ q i P A' q t c 2m
1 A Br 2
取磁场方向为z轴方向，则
1 Ax By , 2
1 Ay Bx, 2
Az 0
(1)
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
电子的Hamilton量表示为
2 2 1 ˆ eB ˆ eB 2 ˆ H y Px x P Px z 2M 2 c 2 c 1 ˆ2 ˆ2 e2 B 2 2 eB 1 ˆ2 2 ˆ ˆ Px Py x y ) xPy yPx Pz (2) 2 2M 8Mc 2Mc 2M
(18)
量子力学教程(第二版)
6.2 正常Zeeman效应
一、正常Zeeman效应
原子中的电子,可近似看成在一个中心平均场中运动,能级 一般有m简并.实验发现,把原子（光源）置于强磁场中,原子发 出的每条光谱线都分裂为三条,此即正常Zeeman效应. 在原子大小范围内,实验室里常用的磁场可视为均匀磁 场,不依赖于电子的坐标. 设磁场为B,则相应的矢势A可取为
能级简并消除→能级发生分裂
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
设分裂后的相邻能级间距为 L ,其中
L eB / 2mc ——Larmor频率.
由于能级分裂，相应的光谱线也发生分裂. 下图是钠原子光谱黄线在强磁场中的正常Zeeman分裂.
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
式中
ˆ y yp ˆ x i x y i lˆz xp x y
是角动量的 z 分量
式(2)还比较复杂.根据物理实际,式(2)还可以化简. 在原子中，
B2项<<B项
(9)
一般说来，P , A 不对易. 按照证明对易关系的一般方法,可以证明
ˆ A A P ˆ i A P
2 1 ˆ2 q q 2 ˆ i P A P A q 2 t mc 2m c 2m
(10)
利用电磁波的横波条件 A 0，方程（9）表示为
)
)
为方便，以下把电子沿z轴方向的自由运动分离出去， 集中讨论电子在xy平面中的运动，此时
ˆ H H0 Ll z
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
(3)
量子力学教程(第二版)
1 ˆ2 ˆ2 1 2 2 2 H0 Px Py M L x y , L eB / 2Mc ) 2M 2
第6章
电磁场中粒子的运动
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
一、荷电q粒子在电磁场中的Newton方程（经典描述）
质量m，荷电q的粒子在电磁场中运动，其经典Hamilton 量为
1 q P A q 2m c
2
(1)
A：电磁矢势 ； ：电磁标势 ； P：正则动量。
量子力学教程(第二版)
加强外磁场 无外磁场 原来的一条钠黄线(l≈5893Å)分裂成三条,角频率为 ,±L.所以外磁场越强,则Zeeman分裂越大.
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
6.3 Landau能级
一、电子的Hamilton量
考虑电子（质量M，荷电e）在均匀磁场B中运动,则 相应的矢势A可取为
* 1 q * ˆ2 2 * ˆ ˆ A P ˆ * ) i ( ) [ P P ] ( * A P t 2m mc
1 ˆ ˆ P ˆ * ) q P ˆ ( * A P ( * P ) 2m mc
i ˆ P ˆ * ) 2q * A ( * P 2m c
相应的能量本征值为
(4)
Enr lm
eB Enr l m＝Enr l mL 2m c
(5)
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
而 Enr l 就是屏蔽Coulomb力场V(r)中粒子的能量本征方程
2 2 2m V (r ) E (6)
ˆ ˆ ˆ lz xPy yPx i x y i x y
)
L 为Larmor频率.
式(3)中,B(即L)的线性项表示电子的轨道磁矩与 外磁场的相互作用,而B2项则为反磁项.在Zeeman效应 中,由于电子局限在原子内部运动,在通常实验室所用磁 场强度下,反磁项很小,常忽略不计.但对于自由电子,或 磁场极强时,B2项就必须考虑.
即
j 0 t
(13)
式中
*
1 q * * ˆ * ˆ j ( P P ) A 2m mc
流 密 度 算 符
1 * ˆ q ˆ q A)* * ( P A ) ( P 2m c c
1 * ˆ υ ˆ* * ) Re( *υ ˆ ) ( υ 2
2
( H , l , lz )
2
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
因此能量本征函数可以选为( H , l , lz ) 的共同本征函数, 即
2
n lm (r, , ) Rn l (r)Ylm ( , )
r r
nr , l 0,1, 2,, m l , l 1,, l
(11)
讨论
1. 定域的概率守恒与流密度
* ˆ ˆ 式(11)取复共轭 , A与为实，在坐标表象中 P P
2 * * 1 ˆ2 q q 2 ˆ i P A P A q 2 t mc 2m c 2m
(12)
*×(11)×(12) , 利用 A 0 得
(7)
则电磁场中荷电q的粒子的Hamilton算符可表为
1 ˆ q H P A q 2m c
2
(8)
因而Schrö dinger方程可表为
2 1 ˆ q i P A q t c 2m
将（1）式代入正则方程，有
r Η , P
Η P r
(2) （3） 电场强度 （4） 磁场强度
即可得出
1 E A c t
1 m r q( E υ B) c
式中
B A
上式（3）即为荷电q的粒子在电磁场中的Newton方程. 式（3）中右边第二项即Lorentz力，实验证明是正确的.