考研数学二模拟题

考研数学二模拟题

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考研数学二模拟题

一、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1）当0x →时，设2

arctan x α=，11(0)a

x a β=(+)-≠，2

arcsin x tdt γ=⎰，把三个无穷小按阶的高低由低到高排

列起来，正确的顺序是（ ）

（A ）,,αβγ；（B ）,,βγα；（C ）,,βαγ；（D ）,,γβα； （2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞U 内可导，函数()y y x =的图像为

则其导数的图像为（ ）

x

y O

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（A ）51,2a b ==-；（B ）0,2a b ==-；（C ）5

0,2a b ==-；（D ）1,2

a b ==-

(5)下列说法中正确的是（ ）

（A ）无界函数与无穷大的乘积必为无穷大； （B ）无界函数与无穷小的乘积必为无穷小； （C ）有界函数与无穷大之和必为无穷大； （D ）无界函数与无界函数的乘积必无解； (6)设线性无关的函数1

2

3

,,y y y 都是二阶线性非齐次

方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，1

2

3

,,C C C 为任意常数，则

该方程的通解是（ ） （A ）1123

33

C y C y

C y ++； （B ）11

2

3

123

()C y C y

C C y +++；

（C ）11

23

123

(1)C y C y

C C y +---；（

D ）11

23

123

(1)C y C y

C C y ++--；

(7)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ）T

A x b =，对任何1

2

(,,)T

n

b b b b =L

（A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解；

（C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解

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(8)设,A B 均是n 阶可逆矩阵，则行列式1020T A B -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

的值

为 （A ）1

(2)n

A B

--； （B ）2T

A

B

-； （C ）1

2A B --； （D ）

1

2(2)n

A B --

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。 (9)

已知

3232x y f x -⎛⎫= ⎪

+⎝⎭

，

2

()arcsin f x x '=，则

x dy

dx

==

。

(10) 方程30

01

()()3

x x f x t dt x f t dt

-=+⎰

⎰满足

(0)0

f =的特解

为 。 (11)

22

22()D

x y d a b σ+=⎰⎰ 。其中D 为2

21

x

y +≤。

(12)设

()

f x 有一个原函数为2

x

e ，则

1

2

0()f x dx '=⎰ 。

(13) 若2

2

1()lim 1xt x f t t

x →∞

⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

，则()f t '= 。

(14) 设A 是三阶矩阵，已知0,20,30A E A E A E +=+=+=，

B

与

A

相似，则

B

的相似对角形

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为 。

三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。 (15)（本题满分10分）求230(1/2)1x x x x e x →-+-+。

(16)（本题满分

10分）计算

22

2

1

22

222

2

2

01

))y y y y y y

dy x y dx dy x y dx ---+++⎰⎰

⎰。

(17) （本题满分10分）设()f x 在[0,)+∞连续，且

10

1()2

f x dx <-

⎰

，()

lim

0x f x x

→+∞

=。证明：至少0,ξ∃∈(+∞)，使得

()f ξξ+=0

。

(18) （本题满分10分）设函数(,)z z x y =由方程

(

,)0xz yz F y x

=所确定，其中f 有一阶连续偏导数，求

z z x

y x y

∂∂+∂∂。

(19) （本题满分10分）一个瓷质容器，内壁和外壁的形状分别为抛物线

2

110

x y =+和

210

x y =

绕y 轴的旋转

面，容器的外高为10，比重为25

19。把它铅直地浮

在水中，再注入比重为3的溶液。问欲保持容器