同济大学高等数学导数的概念学习课件
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同济大学高等数学2.2求导法则与导数公式
3cos2 x2 (sin x2)(x2)
3cos2 x2 (sin x2) 2x 6xsin x2 cos2 x2
（2） y ln( x 1 x2 )
解： y [ln(x 1 x2 )]
1
(x 1 x2 )
x 1 x2
1 (1 1 (1 x2 )) x 1 x2 2 1 x2
例 1．求下列函数的导数
（1） y x5 x 13x cos x ；
x3
解：
y
x2
x
5 2
x
3
3x
cosx
，
y
(
x2
)
(x
5 2
)(
x3
)(3x
)co
sx
3x
(cosx)
2x
5
7
x2
3x
4
3x
ln3cosx
3x
sin
x
。
2
（2） y x3 sin x(ln x 1 )
x
解： y[x3 sin x(ln x 1 )] x
解： f (e) 2 ，
∵ f (x) 在x e 的某邻域内是严格单调增加的连续函数，
且
f
(e)
(1 x
3x2 e3
)
xe
4 e
0
，
∴ ( f 1)(2) 1 e 。 f (e) 4
例 7．（1）求 y arcsin x ，x (1, 1) 的导数。
解：∵ y arcsin x 在(1, 1) 内严格单调增加且连续，
§2.2 求导法则与导数公式
2.2.1 若干基本初等函数的导数
1.(C)0 ；
2.(x ) x1 (R) ；
3cos2 x2 (sin x2) 2x 6xsin x2 cos2 x2
（2） y ln( x 1 x2 )
解： y [ln(x 1 x2 )]
1
(x 1 x2 )
x 1 x2
1 (1 1 (1 x2 )) x 1 x2 2 1 x2
例 1．求下列函数的导数
（1） y x5 x 13x cos x ；
x3
解：
y
x2
x
5 2
x
3
3x
cosx
，
y
(
x2
)
(x
5 2
)(
x3
)(3x
)co
sx
3x
(cosx)
2x
5
7
x2
3x
4
3x
ln3cosx
3x
sin
x
。
2
（2） y x3 sin x(ln x 1 )
x
解： y[x3 sin x(ln x 1 )] x
解： f (e) 2 ，
∵ f (x) 在x e 的某邻域内是严格单调增加的连续函数，
且
f
(e)
(1 x
3x2 e3
)
xe
4 e
0
，
∴ ( f 1)(2) 1 e 。 f (e) 4
例 7．（1）求 y arcsin x ，x (1, 1) 的导数。
解：∵ y arcsin x 在(1, 1) 内严格单调增加且连续，
§2.2 求导法则与导数公式
2.2.1 若干基本初等函数的导数
1.(C)0 ；
2.(x ) x1 (R) ；
高数同济第三版D25高阶导数与函数微分PPT课件
解： dy (ex) dxdx
x0
x0
dy (ex) dxedx
x1
x1
14
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4.微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dyf(x0) xtanx
当 x 很小时, ydy
y
dy
y f(x)
y
O
x0
x
x0 x
15
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二、 微分运算法则
2
t
dt
9
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二、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 x 0 变到 x0 x ,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x 2 , 当 x 在 x 0 取
得增量 x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x0 2
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d dx
(d d
y x
)
d dt
(
dy dx
)
dd tx ddxt
8
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注意 : 已知
dy dx
(t (t
) )
,
d2y d x2
(t ) (t )
即
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
y, y ( 4 ) , , y(n)
或
d d
3
x
y
3
,
同济大学高等数学第六版上导数的概念公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
第22页
2.物理意义 非均匀改变量瞬时改变率.
变速直线运动:路程对时间导数为物体瞬时 速度.
v(t) lim s ds . t 0 t dt
交流电路:电量对时间导数为电流强度. i(t) lim q dq . t 0 t dt
在 x 1处不可导.
0
1
x
第26页
3. 函数 f ( x)在连续点的左右导数都 不存在
(指摆动不定) , 则 x0点不可导 .
比如,
f
(
x
)
x
sin
1 x
,
0,
x 0, x0
y
1
－1/π 0 1/π
x
在x 0处不可导.
第27页
4. 若f ( x0 ) , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x0为函数 f ( x)的尖点 (不可导点) .
★ 导数概念是概括了各种各样改变率而得出 一个更普通、更抽象概念, 它撇开了变量所代表 特殊意义, 而纯正从数量方面来刻画改变率本质
★ 点导数是因变量在点 x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化 而变化的快
慢程度.
★
y x
是y在以x0和x0
x为端点的区间上的
平均变化率
第9页
★ 如果函数 y f ( x)在开区间 I 内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间 I 内可导.
y f (x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
第22页
2.物理意义 非均匀改变量瞬时改变率.
变速直线运动:路程对时间导数为物体瞬时 速度.
v(t) lim s ds . t 0 t dt
交流电路:电量对时间导数为电流强度. i(t) lim q dq . t 0 t dt
在 x 1处不可导.
0
1
x
第26页
3. 函数 f ( x)在连续点的左右导数都 不存在
(指摆动不定) , 则 x0点不可导 .
比如,
f
(
x
)
x
sin
1 x
,
0,
x 0, x0
y
1
－1/π 0 1/π
x
在x 0处不可导.
第27页
4. 若f ( x0 ) , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x0为函数 f ( x)的尖点 (不可导点) .
★ 导数概念是概括了各种各样改变率而得出 一个更普通、更抽象概念, 它撇开了变量所代表 特殊意义, 而纯正从数量方面来刻画改变率本质
★ 点导数是因变量在点 x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化 而变化的快
慢程度.
★
y x
是y在以x0和x0
x为端点的区间上的
平均变化率
第9页
★ 如果函数 y f ( x)在开区间 I 内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间 I 内可导.
y f (x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
同济大学高等数学课件D23高阶导数
同济大学高等数学课件D23 - 高阶 导数
目 录
• 高阶导数的定义与性质 • 高阶导数的计算方法 • 高阶导数的应用 • 高阶导数在微分方程中的应用 • 习题与解答
01
高阶导数的定义与性质
高阶导数的定义
定义
如果函数$f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$存在，那么称$f'(x_0)$为函数$f(x)$在点$x_0$的一阶导数。类似地 ，如果函数$f(x)$在点$x_0$处的二阶导数$f''(x_0)$存在，那么称$f''(x_0)$为函数$f(x)$在点$x_0$的二阶导数。 以此类推，可以定义更高阶的导数。
答案与解析
01
不是n阶可导的，因为其在x=1处不连续。
02
求函数$f(x) = x^{3}$的5阶导数
03
$f^{(5)}(x) = 30x^{2}$。
答案与解析
01
利用高阶导数的性质，求函数$f(x) = frac{1}{x}$的n阶导数
02
$f^{(n)}(x) = (-1)^n frac{n!}{x^{n+1}}$ 。
链式法则
如果函数$u(x)$可导，而函数$f(u)$在点$u_0$处可微，那么复合 函数$f(u(x))$在点$x_0$处可导，且$(f circ u)'(x_0) = f'(u_0) cdot u'(x_0)$。
幂函数的导数
幂函数$(x^n)' = nx^{n-1}$，特别地，当$n=0$时， $(x^0)' = 0$。
是n阶可导的。
3
答案与解析
• n阶导数为：$f^{(n)}(x) = 2^n x^{2n-1} + \cos x$。
目 录
• 高阶导数的定义与性质 • 高阶导数的计算方法 • 高阶导数的应用 • 高阶导数在微分方程中的应用 • 习题与解答
01
高阶导数的定义与性质
高阶导数的定义
定义
如果函数$f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$存在，那么称$f'(x_0)$为函数$f(x)$在点$x_0$的一阶导数。类似地 ，如果函数$f(x)$在点$x_0$处的二阶导数$f''(x_0)$存在，那么称$f''(x_0)$为函数$f(x)$在点$x_0$的二阶导数。 以此类推，可以定义更高阶的导数。
答案与解析
01
不是n阶可导的，因为其在x=1处不连续。
02
求函数$f(x) = x^{3}$的5阶导数
03
$f^{(5)}(x) = 30x^{2}$。
答案与解析
01
利用高阶导数的性质，求函数$f(x) = frac{1}{x}$的n阶导数
02
$f^{(n)}(x) = (-1)^n frac{n!}{x^{n+1}}$ 。
链式法则
如果函数$u(x)$可导，而函数$f(u)$在点$u_0$处可微，那么复合 函数$f(u(x))$在点$x_0$处可导，且$(f circ u)'(x_0) = f'(u_0) cdot u'(x_0)$。
幂函数的导数
幂函数$(x^n)' = nx^{n-1}$，特别地，当$n=0$时， $(x^0)' = 0$。
是n阶可导的。
3
答案与解析
• n阶导数为：$f^{(n)}(x) = 2^n x^{2n-1} + \cos x$。
同济高数第4章课件第三节
同济高数第4章课件第三节
目
CONTENCT
录
• 引言 • 知识点一：极限的定义与性质 • 知识点二：连续函数的概念与性质 • 知识点三：导数的概念与性质 • 知识点四：微积分基本定理
01
引言
背景介绍
本节内容是同济大学高等数学教材第4章的第三节， 主题是导数的概念及其几何意义。
导数作为微积分的基本概念之一，是研究函数变化 率的重要工具。
极限的性质
唯一性
若 $lim_{x to x_0} f(x)$ 存在，则极限值唯一。
有界性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有界。
局部保号性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 且 $A > 0$，则存在 $x_0$ 的去心邻域，在该邻域内 $f(x) > 0$。
极限的计算方法
四则运算法则
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 和 $lim_{x to x_0} g(x) = B$，则 $lim_{x to x_0} [f(x) pm g(x)] = A pm B$。
等价无穷小替换
在求极限过程中，当两个无穷小量在一定条件下可以相互替换时，可以使用等价无穷小替换 简化计算。例如，当 $x to 0$ 时，$sin x approx x$，$tan x approx x$ 等。
知识点二：连续函数的概念与性质
连续函数的定义
函数在某点连续是指，当自变 量在该点处接近时，因变量的 极限值等于函数值。
具体来说，如果函数在某点的 极限值等于该点的函数值，则 称函数在该点连续。
数学表达式为：$lim_{{x to a}} f(x) = f(a)$
目
CONTENCT
录
• 引言 • 知识点一：极限的定义与性质 • 知识点二：连续函数的概念与性质 • 知识点三：导数的概念与性质 • 知识点四：微积分基本定理
01
引言
背景介绍
本节内容是同济大学高等数学教材第4章的第三节， 主题是导数的概念及其几何意义。
导数作为微积分的基本概念之一，是研究函数变化 率的重要工具。
极限的性质
唯一性
若 $lim_{x to x_0} f(x)$ 存在，则极限值唯一。
有界性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有界。
局部保号性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 且 $A > 0$，则存在 $x_0$ 的去心邻域，在该邻域内 $f(x) > 0$。
极限的计算方法
四则运算法则
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 和 $lim_{x to x_0} g(x) = B$，则 $lim_{x to x_0} [f(x) pm g(x)] = A pm B$。
等价无穷小替换
在求极限过程中，当两个无穷小量在一定条件下可以相互替换时，可以使用等价无穷小替换 简化计算。例如，当 $x to 0$ 时，$sin x approx x$，$tan x approx x$ 等。
知识点二：连续函数的概念与性质
连续函数的定义
函数在某点连续是指，当自变 量在该点处接近时，因变量的 极限值等于函数值。
具体来说，如果函数在某点的 极限值等于该点的函数值，则 称函数在该点连续。
数学表达式为：$lim_{{x to a}} f(x) = f(a)$
同济大学《高等数学》(第四版)2-6节_隐函数的导数_由参数方程所确定的函数的导数_相关变化率
( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 1 2 (t ) ( t )
d y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 即 . 2 3 dx (t )
2
x a ( t sin t ) 在t 处的切线 方程 . 例6 求摆线 2 y a (1 cos t )
表示的中心在原点、半径为r的圆．通过参数θ 可以建立y与x的对应关系：
三、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 1 x 2 x 2 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
三、由参数方程所确定的函数的导数
在平面解析几何中，我们学习了用参数来表示 曲线，例如，参数方程
)
tan x x (sec x ln x ) x (2)求 y x sin x 1 e x 的导数 y
2
解
1 1 1 cos x 1 e x y y 2 x sin x 2 1 e x
1 1 x ln y ln x ln sin x ln(1 e ) 2 2
x ( t ) 在方程 中, y ( t )
设函数x ( t )具有单调连续的反函数 t 1 ( x ), y [ 1 ( x )]
高等数学(同济大学)课件上第2_1导数的概念
说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x ) x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
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例3. 求函数
的导数.
解:
则
lim f (x h) f (x) lim sin(x h) sin x
第二章
导数思想最早由法国
导数与微分 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节
第二章
导数的概念
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
y y f (x) N
f (x0 )
CM
T
说明: 在经济学中, 边际成本率, o x0 x x
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
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y f (x) f (x0) x x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
若 lim y , 也称 x0 x
在 的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
同济大学高等数学课件D121基本概念
可微性：偏导数是多元函数的偏导数之和，因此偏导数是可微 的 输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
全微分的定义 全微分的基本性质 全微分与偏导数的关系 全微分在多元函数中的应用
偏导数的定义
全微分的定义
偏导数与全微 分的关系
偏导数与全微 分的应用
二重积分的定义：二重 积分是定积分在二维空 间上的推广，表示函数 在某个区域上的面积。
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
逼近性：傅里叶级数可以逼近任何周期函数
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
三角恒等式：傅里叶级数中的系数满足三角恒等式
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
傅里叶级数是无穷级数的一种特殊 形式
傅里叶级数的收敛性和基本性质
计算方法：定积分可以使 用牛顿-莱布尼茨公式计 算，不定积分可以使用微 积分的基本原理计算。
应用：定积分可以用于求 解面积、体积、平均值等 问题，不定积分可以用于 求解原函数、导数、微分 等问题。
偏导数的定义：对于多元函数，偏导数表示函数在某一自变量 固定，其他自变量变化时函数的变化率 输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
二重积分和三重积分的计算方法基本相同，都是通过累加累减的方式进行
二重积分和三重积分的物理意义不同，二重积分表示面积，而三重积分表示体积
二重积分和三重积分的几何意义也不同，二重积分表示二维平面上的曲线与x轴围成的面积， 而三重积分表示三维空间中的曲面与x轴、y轴围成的体积
定义：常微分方程是描述一个或多个未知函数及其 导数之间关系的方程
分类：线性偏微分方程和非线性偏微分方程 偏微分方程的解法
偏微分方程的解法
有限差分法：用离散的有限个点上的近似值 来逼近偏微分方程的解
全微分的定义 全微分的基本性质 全微分与偏导数的关系 全微分在多元函数中的应用
偏导数的定义
全微分的定义
偏导数与全微 分的关系
偏导数与全微 分的应用
二重积分的定义：二重 积分是定积分在二维空 间上的推广，表示函数 在某个区域上的面积。
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
逼近性：傅里叶级数可以逼近任何周期函数
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
三角恒等式：傅里叶级数中的系数满足三角恒等式
输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
傅里叶级数是无穷级数的一种特殊 形式
傅里叶级数的收敛性和基本性质
计算方法：定积分可以使 用牛顿-莱布尼茨公式计 算，不定积分可以使用微 积分的基本原理计算。
应用：定积分可以用于求 解面积、体积、平均值等 问题，不定积分可以用于 求解原函数、导数、微分 等问题。
偏导数的定义：对于多元函数，偏导数表示函数在某一自变量 固定，其他自变量变化时函数的变化率 输入你的智能图形项正文，请尽量言简意赅的阐述观点。
二重积分和三重积分的计算方法基本相同，都是通过累加累减的方式进行
二重积分和三重积分的物理意义不同，二重积分表示面积，而三重积分表示体积
二重积分和三重积分的几何意义也不同，二重积分表示二维平面上的曲线与x轴围成的面积， 而三重积分表示三维空间中的曲面与x轴、y轴围成的体积
定义：常微分方程是描述一个或多个未知函数及其 导数之间关系的方程
分类：线性偏微分方程和非线性偏微分方程 偏微分方程的解法
偏微分方程的解法
有限差分法：用离散的有限个点上的近似值 来逼近偏微分方程的解
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
同济版高等数学第二章导数与微分_3高阶导数课件
阶数 2
分析:
f
(
x)
4x3 2x3
, ,
x0 x0
f
(0)
lim
x 0
2x3 x
0
0
f (0)
lim
x0
4x3 0 x
0
f
(
x)
12x 2 , 6x2,
x0 x0
又
f
(0)
lim
x0
6x2 x
0
f
(0)
lim
x0
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
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例1. 设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n
n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
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(4) y sin6 x cos 6 x
解:
sin4 x sin2 x cos 2 x cos 4 x
高数课件-导数的概念
率
导数的四则运算规则
加法规则：导数相加等于导数之和
乘法规则：导数相乘等于导数之积
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
减法规则：导数相减等于导数之差
除法规则：导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义：由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法：
链式法则
链式法则：将 复合函数分解 为多个简单函 数，分别计算 导数，然后将
导数的性质定理
导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质：导数是连续的，可导函数在定义域内处处可导 导数的公式：导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用：导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
感谢观看
汇报人：
导数的定理与公式
导数的定义：导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式：导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
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导数的性质：导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用：导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
02
f(x)]/h 导数的四则运算法则：f'(x)=f(x)+g'(x)，
03
f'(x)=f(x)-g'(x)，f'(x)=f(x)*g'(x)，f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式：f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)
导数的四则运算规则
加法规则：导数相加等于导数之和
乘法规则：导数相乘等于导数之积
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减法规则：导数相减等于导数之差
除法规则：导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义：由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法：
链式法则
链式法则：将 复合函数分解 为多个简单函 数，分别计算 导数，然后将
导数的性质定理
导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质：导数是连续的，可导函数在定义域内处处可导 导数的公式：导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用：导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
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导数的定理与公式
导数的定义：导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式：导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
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导数的性质：导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用：导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
02
f(x)]/h 导数的四则运算法则：f'(x)=f(x)+g'(x)，
03
f'(x)=f(x)-g'(x)，f'(x)=f(x)*g'(x)，f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式：f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)
导数概念课件
02
导数的性质
函数单调性与导数的关系
总结词
函数单调性与导数正负有关
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0， 则函数在此区间单调递减。
极值与导数的关系
总结词
极值点导数为0或不存在
详细描述
函数在极值点处的导数为0或不存在，即一阶导数为0或不可导点。
曲线的切线与导数的关系
导数概念ppt课件
• 导数的基本概念 • 导数的性质 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史与发展
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具 斜率，它描述了函数在该点附近的局 部变化趋势。通过求导，可以找到函 数值随自变量变化的速率和方向。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，它 反映了函数图像在该点的切线状 态。
详细描述
在几何上，导数表示函数图像在 某一点的切线斜率。这个切线与x 轴的夹角即为该点的导数值，表 示函数在该点附近的变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义在于描述物理量随时间或空间的变化率。
详细描述
在物理学中，许多物理量都可以表示为函数形式，如速度、加速度、密度等。导 数可以帮助我们理解这些物理量如何随时间或空间变化，从而揭示物理现象的本 质。例如，速度是位移函数的导数，加速度是速度函数的导数等。
对于两个函数的乘积，其导数 为第一个函数的导数乘以第二 个函数加上第一个函数乘以第 二个函数的导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导，则 $(uv)' = u'v + uv'$。
对于两个函数的商，其导数为 被除函数的导数除以除函数的 导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导且 $v(x) neq 0$， 则 $frac{u'}{v'} = frac{u'v}{uv'}$。
3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
高数同济六版课件D21导数概念
三角函数
sin(x)、cos(x)、 tan(x)等的导数公式
四则运算求导法则
01
加法法则
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
02
03
04
减法法则
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)
乘法法则
[f(x)*g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x )
ห้องสมุดไป่ตู้除法法则
[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)f(x)g'(x)]/[g(x)]^2（g(x)≠0）
弹性分析
弹性是经济学中一个重要概念，表示因变量对自变量变化的 敏感程度。通过求导数，可以计算各种弹性系数，如价格弹 性、收入弹性等，进而分析市场供求关系和经济政策效果。
04 高阶导数概念及计算
高阶导数定义及性质
高阶导数定义
函数f的n阶导数记为f^(n)，表示f的 导数f'的n-1阶导数，其中n为正整数。
三角函数
正弦函数sinx和余弦函数cosx的n阶 导数具有周期性，可通过归纳法得到 通项公式。
泰勒公式与麦克劳林公式简介
泰勒公式
泰勒公式是用多项式逼近复杂函数的一种方法，它将函数在某一点附近展开成无穷级数的形式，级数 的每一项都与函数在该点的各阶导数有关。
麦克劳林公式
麦克劳林公式是泰勒公式在x=0处的特例，它将函数展开成幂级数的形式，级数的每一项都与函数在 x=0处的各阶导数有关。麦克劳林公式在求解一些定积分和级数求和等问题时具有重要应用。
注意事项
在求参数方程的导数时，需要注意参数的变化范围以及导数的存在性。
导数的定义学习精品PPT课件
(5) y x( 0)
解 (x ) lim (x h) x
h0
h
[(1 h) 1]x
lim x
h0
h
h lim x x x1
h0 h
(x ) x1. ( R)
特别地 (xn ) nxn1.
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
x
x
y lim y .
x0 x
(1) y f (x) C(C为常数)
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
f ( x) lim C C h0 h
0.
即 (C) 0.
(2) f (x) sin x, 并求(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
x0 ),f (x0 )
0
例8 求y sinx在x 处的切线方程和法线方 程.
3.可导与连续的关系
定理3.1 y f(x)在x0可导 f ( x)在x0连续,反之未必.
证
设函数
y
f
(
x)在点
x0可导,
lim
x0
x
f (x0 )
lim y lim y x 0
x0
x0 x
函数 f ( x)在点 x0连续 .
lim
x x0
f (x) x
f (x0 ) . x
几何意义:
f (x0 )表示y f (x)在x0处切线的斜率.
物理意义:
s(x0 )表示物体在x0处的瞬时速度.
从变化的观点看: f (x0 )表示函数在x0处的变化率.
同济版高数课件
导数 f ( x 0 ) 都存在且相等.
★ 如 果 f ( x ) 在 开 区 间 a , b 内 可 导 ， 且 f ( a ) 及
f ( b ) 都 存 在 ， 就 说 f ( x ) 在 闭 区 间 a , b 上 可 导 .
★ 设函数
可导性 .
若 lim
.
例6 讨论函数
解
f ( x ) x 在 x 0 处的可导性
h h
y
.
y x
f (0 h) f (0) h
,
lim
h 0
f (0 h) f (0)
limh 0hFra bibliotek 1,
h f (0 h) f (0)
h h
1.
o
x
lim
h 0
lim
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) x
x 0
;
2.右导数:
f ( x 0 )
x x0 0
lim
f ( x) f ( x0 ) x x0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) x
x 0
;
★ 函数 f ( x )在点x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.
v ( t ) lim s t
t 0
ds dt
.
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
i ( t ) lim q t
t 0
dq dt
.
非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.
★ 如 果 f ( x ) 在 开 区 间 a , b 内 可 导 ， 且 f ( a ) 及
f ( b ) 都 存 在 ， 就 说 f ( x ) 在 闭 区 间 a , b 上 可 导 .
★ 设函数
可导性 .
若 lim
.
例6 讨论函数
解
f ( x ) x 在 x 0 处的可导性
h h
y
.
y x
f (0 h) f (0) h
,
lim
h 0
f (0 h) f (0)
limh 0hFra bibliotek 1,
h f (0 h) f (0)
h h
1.
o
x
lim
h 0
lim
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) x
x 0
;
2.右导数:
f ( x 0 )
x x0 0
lim
f ( x) f ( x0 ) x x0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) x
x 0
;
★ 函数 f ( x )在点x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和右
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.
v ( t ) lim s t
t 0
ds dt
.
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
i ( t ) lim q t
t 0
dq dt
.
非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度.
导数的概念.课件.导数的概念(第一课时)课件
平均速度 v 的极限为: Ds v lim v lim 2 g 19.6( m / s ) Dt 0 Dt 0 D t 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于19.6(m/s). 当时间间隔Dt 逐渐变小时,平均速度 v 就越接近 t0=2(s) 时的瞬时速度v=19.6(m/s)
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3.1 导数的概念
(1) 将 Dt=0.1代入上式，得
Ds 1 v 2 g gD t Dt 2
O s(2) s(2+Dt)
v 2.05 g 20.09( m / s )
(2) 将 Dt=0.01代入上式，得
Ds
v 2.005 g 19.65( m / s ) ( 3) 当 Dt 0, 2 Dt 2
s
3.1 导数的概念
练习：
P113 课后练习：1，2
课堂小结
（1）曲线的切线． （2）瞬时速度． （3）求切线的斜率、瞬时速度的步骤． 作业：
P116 习题3.1 1，2，6
； 时时娱乐 让更多的孩子得到更好的教育
zth17awb
欲避无从避起、欲拈怕拈伤纤丝，分外为难。如今毓笙忽而明敏解语、豁达大方，他意外之喜，心胸都为之一爽，却又 想起宝音，笑声一敛，转为黯然神伤。乐韵于帘下服侍苏明远穿回雨具，院中又有人来，却是两个婆子，口称领嘉颜命， 奉两个盒子来，苏明远问道：“这样晚，是什么？”一个婆子道：“回大少爷，是些摆设用度之物。”另一个婆子嘴快： “都是重阳用的器皿糕点。”毓笙母逝父陋，苏老太太又非她亲生的外婆，表面上无一些亏待，实则是冷淡得多的，日 常用具、并节下玩器，都差着别屋，纵嘉颜细腻周到，也不能样样替毓笙院中额外照应，而今主子们都在山上没回来， 怎想到给毓笙院里加东西？苏明远心里微愕，也未加理会处，便回去了。婆子们一样样东西给乐韵看过，挎空盒子回去 了。乐韵将东西禀了毓笙，措辞小心，态度恭谨，几乎可以说有些畏惧。她一直是看不起这位 ，但几天前 几乎病死过 去，再醒来，就好像变了个人，莫非是鬼门关上打了转，看穿了生死？从前的怯懦不见了，小心眼更荡然无存，变得浩 然泠然，倒仿佛是——淬了火的刀！不久前把嘉颜都弹压住，也没费什么言辞、不曾递人一分把柄，这上下该来的东西 都送过来了，何等手段？她要再看不起 ，莫非是自己往刀口上送吗！洛月束起了帘帷，替 杯中续好暖茶捧来，毓笙啜 了一口，倚回引枕上，望着微微摆动的帘角。他刚刚坐在这儿，但连他都作梦也想不到罢……毓笙轻轻转过头，掩了唇 角忍不住滑出的冷笑。想不到，她这具身体里的魂儿，已是宝音。第五章 前生后世两茫茫（1）宝音清楚的记得，那 日——便是宝音活在人世的最后一日——真真的半点儿预兆都没有，她正忙着与嘉颜筹备重阳节下诸事宜。她与嘉颜， 是苏老太太身边的一等丫头，左膀右臂，一应事宜都躲不得闲。正是蛩声初动，桐叶生凉的好时节。游学在外的谢大公 子苏明远，也是刚回来没多久，厨下小丫头柳莺儿贪着偷看他，竟忘了火候，生生炊坏明儿要用的八屉儿重阳糕，管事 大娘气狠了，拧着她的耳朵，嚷嚷要把她撵出去。莺儿的亲姐姐燕儿唬得脸都黄了，找嘉颜，救她看在同乡份上救她一 救。宝音恰与嘉颜同对帐簿，一个数字怎么算也算不平，虽是小数目，宝音总觉可疑，嘉颜劝她：“算了！先过节要紧， 这等小小数字，想是谁记错了，回头对出来，再责打不迟。”宝音做事最认真，摇头道：“这干大娘大婶子们，颠三倒 四的记错不是一天两天，你去问她们，她们才肯承认呢！终究我需对出来，查到是哪个条目哪个人人，拿到她鼻子底下， 她才赖不掉了。过节么，”对着嘉颜撒赖的皱皱鼻子，“左右有你在，走不了大褶儿！”嘉颜好气又好笑，恰柳燕儿来， 又不肯说什么事，硬把嘉颜求扯到旁
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3.1 导数的概念
(1) 将 Dt=0.1代入上式，得
Ds 1 v 2 g gD t Dt 2
O s(2) s(2+Dt)
v 2.05 g 20.09( m / s )
(2) 将 Dt=0.01代入上式，得
Ds
v 2.005 g 19.65( m / s ) ( 3) 当 Dt 0, 2 Dt 2
s
3.1 导数的概念
练习：
P113 课后练习：1，2
课堂小结
（1）曲线的切线． （2）瞬时速度． （3）求切线的斜率、瞬时速度的步骤． 作业：
P116 习题3.1 1，2，6
； 时时娱乐 让更多的孩子得到更好的教育
zth17awb
欲避无从避起、欲拈怕拈伤纤丝，分外为难。如今毓笙忽而明敏解语、豁达大方，他意外之喜，心胸都为之一爽，却又 想起宝音，笑声一敛，转为黯然神伤。乐韵于帘下服侍苏明远穿回雨具，院中又有人来，却是两个婆子，口称领嘉颜命， 奉两个盒子来，苏明远问道：“这样晚，是什么？”一个婆子道：“回大少爷，是些摆设用度之物。”另一个婆子嘴快： “都是重阳用的器皿糕点。”毓笙母逝父陋，苏老太太又非她亲生的外婆，表面上无一些亏待，实则是冷淡得多的，日 常用具、并节下玩器，都差着别屋，纵嘉颜细腻周到，也不能样样替毓笙院中额外照应，而今主子们都在山上没回来， 怎想到给毓笙院里加东西？苏明远心里微愕，也未加理会处，便回去了。婆子们一样样东西给乐韵看过，挎空盒子回去 了。乐韵将东西禀了毓笙，措辞小心，态度恭谨，几乎可以说有些畏惧。她一直是看不起这位 ，但几天前 几乎病死过 去，再醒来，就好像变了个人，莫非是鬼门关上打了转，看穿了生死？从前的怯懦不见了，小心眼更荡然无存，变得浩 然泠然，倒仿佛是——淬了火的刀！不久前把嘉颜都弹压住，也没费什么言辞、不曾递人一分把柄，这上下该来的东西 都送过来了，何等手段？她要再看不起 ，莫非是自己往刀口上送吗！洛月束起了帘帷，替 杯中续好暖茶捧来，毓笙啜 了一口，倚回引枕上，望着微微摆动的帘角。他刚刚坐在这儿，但连他都作梦也想不到罢……毓笙轻轻转过头，掩了唇 角忍不住滑出的冷笑。想不到，她这具身体里的魂儿，已是宝音。第五章 前生后世两茫茫（1）宝音清楚的记得，那 日——便是宝音活在人世的最后一日——真真的半点儿预兆都没有，她正忙着与嘉颜筹备重阳节下诸事宜。她与嘉颜， 是苏老太太身边的一等丫头，左膀右臂，一应事宜都躲不得闲。正是蛩声初动，桐叶生凉的好时节。游学在外的谢大公 子苏明远，也是刚回来没多久，厨下小丫头柳莺儿贪着偷看他，竟忘了火候，生生炊坏明儿要用的八屉儿重阳糕，管事 大娘气狠了，拧着她的耳朵，嚷嚷要把她撵出去。莺儿的亲姐姐燕儿唬得脸都黄了，找嘉颜，救她看在同乡份上救她一 救。宝音恰与嘉颜同对帐簿，一个数字怎么算也算不平，虽是小数目，宝音总觉可疑，嘉颜劝她：“算了！先过节要紧， 这等小小数字，想是谁记错了，回头对出来，再责打不迟。”宝音做事最认真，摇头道：“这干大娘大婶子们，颠三倒 四的记错不是一天两天，你去问她们，她们才肯承认呢！终究我需对出来，查到是哪个条目哪个人人，拿到她鼻子底下， 她才赖不掉了。过节么，”对着嘉颜撒赖的皱皱鼻子，“左右有你在，走不了大褶儿！”嘉颜好气又好笑，恰柳燕儿来， 又不肯说什么事，硬把嘉颜求扯到旁
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第2页/共57页
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
y பைடு நூலகம்f (x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
第13页/共57页
例3 求函数 y xn (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
则 f ( x)在点 x0可导，
且 f ( x0 ) a.
第11页/共57页
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
播放
第8页/共57页
★ 单侧导数
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a.
(e x ) e x .
第15页/共57页
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
h0
h
lim
log a
(1
讨论在点 x0的
若 lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
lim ( x0
x0
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
第10页/共57页
若 lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
lim ( x0 x0
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
且 f( x0 ) f( x0 ) a,
h) x
1
h0
h
x
x
1 x
lim
h0
log
a
(1
h
)
x h
x
1 x
log a
e.
即
(log a
x)
1 x
log a
e.
(ln x) 1 . x
第16页/共57页
例6 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
即 y lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x) xx0 .
第7页/共57页
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
f (x)
C C
lim
h0 h
0.
即 (C ) 0.
第12页/共57页
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
第4页/共57页
dy dx
或
x x0
df ( x) dx
, x x0
即
y
x x0
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
第5页/共57页
关于导数的说明：
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度. ★ 如果函数 y f ( x)在开区间I 内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间I 内可导.
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★ 对于任一 x I,都对应着 f (x)的一个确定的 导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x) 的导函数.
N 沿曲线C M , x x0 , x x0
x x0
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
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二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y xx0 ,
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地
( x ) x1 . ( R)
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1)x 11
1 x2
.
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例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t0的时刻t, 运动时间t,
平均速度 v
s t
s s0 t t0
g 2 (t0
t).
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度 v lim g(t0 t)
tt0
2
gt0 .
t0
t t
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2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
★ 函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
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★ 如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a)及
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b上可导.
★
设函数
f (x)
( x), ( x),
可导性.
x x0 , x x0
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y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
y பைடு நூலகம்f (x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
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例3 求函数 y xn (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
则 f ( x)在点 x0可导，
且 f ( x0 ) a.
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三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
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★ 单侧导数
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
a x ln a.
即 (a x ) a x ln a.
(e x ) e x .
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例5 求函数 y log a x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
h0
h
lim
log a
(1
讨论在点 x0的
若 lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
lim ( x0
x0
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
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若 lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
lim ( x0 x0
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
且 f( x0 ) f( x0 ) a,
h) x
1
h0
h
x
x
1 x
lim
h0
log
a
(1
h
)
x h
x
1 x
log a
e.
即
(log a
x)
1 x
log a
e.
(ln x) 1 . x
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例6 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
即 y lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x) xx0 .
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2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
f (x)
C C
lim
h0 h
0.
即 (C ) 0.
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例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
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dy dx
或
x x0
df ( x) dx
, x x0
即
y
x x0
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
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关于导数的说明：
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度. ★ 如果函数 y f ( x)在开区间I 内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间I 内可导.
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★ 对于任一 x I,都对应着 f (x)的一个确定的 导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x) 的导函数.
N 沿曲线C M , x x0 , x x0
x x0
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
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二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y xx0 ,
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地
( x ) x1 . ( R)
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1)x 11
1 x2
.
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例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t0的时刻t, 运动时间t,
平均速度 v
s t
s s0 t t0
g 2 (t0
t).
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度 v lim g(t0 t)
tt0
2
gt0 .
t0
t t
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2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
★ 函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
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★ 如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a)及
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b上可导.
★
设函数
f (x)
( x), ( x),
可导性.
x x0 , x x0