第4章 声波在平面界面的反射、折射和透射
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r
1 c1
在媒质II中:只有透射波
p t p t 0 ex p [ i ( t k 2 x co s t k 2 y sin t )] v tx co s t
2c2
pt
13
边界条件
注意：法向 在x-方向
( p i p r ) | x 0 p t | x 0 ; ( v ix v rx ) | x 0 v tx | x 0
媒质II中——只有透射波
p 2 p t 0 ex p [ i ( t k 2 x )]
媒质I和II中的速度场
v1 pi0
1 c1
ex p [ i ( t k 1 x )]
pt 0
pr0
1 c1
ex p [ i ( t k 1 x )]
v2
2c2
ex p [ i ( t kx 2 )]
sin i 0
m n
2 2
2
m 1
m 2 / 1 ; n c1 / c 2
17
全透射条件
0 m n
2 2 2
m 1
1
m n 1 m n 1
2 c 2 1 c1 ; c 2 c1 2 c 2 1 c1 ; c 2 c1
18
全反射条件
n c1 c2 0 .2 3
c 2 c1
Air
ic 1 3 2 3
如果 i
ic
Water
1
sin t
sin i sin ic
注意：角度变化<90°
——意味着不存在真正的透射波！
ic
——全反射临界角！
19
垂直透射
c1 c 2
From high acoustic impedance to low acoustic impedance
10
From low acoustic impedance to high acoustic impedance
11
4.2 声波斜入射到平面界面
x-y平面入射
p i p i 0 ex p [ i ( t k 1 x co s i k 1 y sin i )] v ix co s i
ik1 y sin i
pi0 e
pr0 e
ik1 y sin i
ik1 y sin r
pt 0 e pr0 e
ik 2 y sin t
co s i
1 c1
pi0 e
co s r
ik1 y sin r
1 c1
co s t
2c2
平均声能量流的透射系数
tW S t | pt 0 | / 2 2c2
2
S i | p i 0 | / 2 1 c1
2
co s t | p t 0 | / 2 2 c 2
2
co s i | p i 0 | / 2 1 c1
2
co s t co s i
tI
2
rW
4
利用边界条件
pi0 pr 0 pt 0 ;
pi0
1 c1
pr0
1 c1
pt 0
2 c2
反射和透射系数
rp tp pr 0 pi0 pt 0 pi0
2 c 2 1 c1 2 c 2 1 c1
2 2c2
;
rv tv
vr 0 vi 0 vt 0 vi 0
2 2
2
| pt 0 | / 2 2c2 | p i 0 | / 2 1 c1
4 1 c1 2 c 2 co s i ( 2 c 2 co s i 1 c1 co s t )
2
20
rI t I 1
——能量不守恒？
声强是单位面积通过的声能量流！斜入射使声束变化了！
pt 0 e
ik 2 y sin t
所有y恒成立条件
k 1 y sin i k 1 y sin r k 2 y sin t
i r ;
sin i sin t
k2 k1
c1 c2
——Snell定律
14
折射和透射系数
pi0 pr 0 pt 0 co s i co s r co s t
r
v1 x v ix v rx
co s i
1 c1
co s r
p i 0 ex p [ i ( t k 1 x co s i k 1 y sin i )] p r 0 ex p [ i ( t k 1 x co s k 1 y sin r )]
[ P (1) P ( 2 )] S M dv dt
l 0, M 0
P (1) P (2)
2
静压强在分界面处连续
P0 (1) P0 (2)
P (1) P0 (1) p1 ; P (2) P0 (2) p 2
1、分界面处声压连续
p1 p 2
2、分界面处法向速度连续
co s i
2Z s2 Z s 2 Z s1
15
Notice that as the wavefronts cross the boundary the wavelength changes, but the frequency remains constant.
16
Z s1
1 c1
第4章 声波在平面界面的反射、折射和透射
4.1 声波垂直入射到平面界面
4.2 声波斜入射到平面界面
4.3 声波垂直入射到多层平面界面
4.4 隔声的基本规律
1
4.1声波垂直入射到平面界面
一垛普通的砖墙既可以隔掉部分声音，但又不能把全部 的声音都隔掉；一垛木板墙将有更多的声音被透射进去。 声波的这种反射、透射现象也是声传播的一个重要特征。 声学边界条件 质量元M的运动方程
k i / c i , ( i 1, 2 )
1 c1
pi
折射波
p r p r 0 ex p [ i ( t k 1 x co s k 1 y sin r )]
r
v rx
co s r
1 c1
pr
12
在媒质I中
p 1 p i p r p i 0 ex p [ i ( t k 1 x co s i k 1 y sin i )] p r 0 ex p [ i ( t k 1 x co s k 1 y sin r )]
v1 n v 2 n
平面声波垂直入射时的反射和透射
p i p i 0 exp[ i ( t k 1 x )]
3
媒质I中——入射波和反射波
k i / c i , ( i 1, 2 )
p1 p i p r
p1 p i 0 exp[ i ( t k 1 x )] p r 0 exp[ i ( t k 1 x )]
sin t
c2 c1
sin i 0
——声波入射到多孔材料情况！ 能量关系——声强折射和透射系数
rI tI | p r 0 | / 2 1 c1
2
| pi0
2 c 2 co s i 1 c1 co s t 2 | / 2 1 c1 2 c 2 co s i 1 c1 co s t
全反射
rp
2 c 2 co s i 1 c1 co s t 2 c 2 co s i 1 c1 co s t
co s
sin i sin t
c1 c2
ic
c1 arcsin c2
2 c 2 1 c1 2 c 2 1 c1
2 1 c1
2 c 2 1 c1
;
2 c 2 1 c1
——与媒质的特性阻抗c有关！
5
讨论 1、 2 c 2 2、 2 c 2
1 c1
r p 0; rv 0; t p 1;
tv 2
——边界上速度的波腹，声压的波节。
能量反射和透射系数
2 c 2 1 c1 rI / 2 1 c 1 2 1 c1 2 c 2 1 c1 | pr 0 |
2
| pi0 |
2
2
tI
| pt 0 |
2
2 2c2
/
| pi0 |
1 c1
pi0
1 c1
pr0
2 c2
pt0
2c2
rp pr0 pi0
2 c 2 co s i 1 c1 co s t 2 c 2 co s i 1 c1 co s t
co s t
1 c1
co s i
2c2
声波从空气入射到空气—水的分界面上！
6
4、 2 c 2
1 c1
r p 0; rv 0; t p 0;
tv 1
——软边界，声压反相，速度同相！
5、 2 c 2
1 c1
r p 1; rv 1; t p 0;
tv 2
——绝对软边界，声压全反射！
tv 1
——没有反射！
1 c1
r p 0; rv 0; t p 0;
tv 1
——硬边界，声压同位相，速度反相！ 3、 2 c 2
1 c1
r p 1; rv 1; t p 2;
tv 0
——绝对硬边界，声压全反射！
tp 2
——边界上压强的静态传递，而不是疏密交替 的声压！
co s i
pi v ix
; Z s2
2 c2
co s t
pt v tx
——法向声阻抗率——法向速度！
全透射
tp 2 2 c 2 co s i
2 c 2 co s i 1 c1 co s t
2
1
2 c 2 co s i 1 c1
c2 1 sin i 2 2 c 2 co s i c1
2
2 1 c1
4 1 c1 2 c 2 ( 2 c 2 1 c1 )
2
1 rI
7
Reflection from a HARD boundary
8
Reflection from a SOFT boundary
9
Reflection from an impedance discontinuity
co s t
1 c1
co s i
Z s 2 Z s1 Z s 2 Z s1
tp
pt 0 pi0
2 2 c 2 co s i
2
2c2
co s t
2 c 2 co s i 1 c1 co s t
2c2
co s t
1 c1
S i | p r 0 | / 2 1 c1 S i | p i 0 | / 2 1 c1
2
rI
—— rW tW 1 能量守恒！
21
This means that for a sound wave traveling close to the ground, the part of the wave closest to the ground is traveling the fastest, and the part of the wave farthest above the ground is traveling the slowest. As a result, the wave changes direction and bends upwards. This can create a "shadow zone" region into which the sound wave cannot penetrate. A person standing in the shadow zone will not hear the sound even though he/she might be able to see the source. The sound waves are being refracted upwards and will never reach the observer.
1 c1
在媒质II中:只有透射波
p t p t 0 ex p [ i ( t k 2 x co s t k 2 y sin t )] v tx co s t
2c2
pt
13
边界条件
注意：法向 在x-方向
( p i p r ) | x 0 p t | x 0 ; ( v ix v rx ) | x 0 v tx | x 0
媒质II中——只有透射波
p 2 p t 0 ex p [ i ( t k 2 x )]
媒质I和II中的速度场
v1 pi0
1 c1
ex p [ i ( t k 1 x )]
pt 0
pr0
1 c1
ex p [ i ( t k 1 x )]
v2
2c2
ex p [ i ( t kx 2 )]
sin i 0
m n
2 2
2
m 1
m 2 / 1 ; n c1 / c 2
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全透射条件
0 m n
2 2 2
m 1
1
m n 1 m n 1
2 c 2 1 c1 ; c 2 c1 2 c 2 1 c1 ; c 2 c1
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全反射条件
n c1 c2 0 .2 3
c 2 c1
Air
ic 1 3 2 3
如果 i
ic
Water
1
sin t
sin i sin ic
注意：角度变化<90°
——意味着不存在真正的透射波！
ic
——全反射临界角！
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垂直透射
c1 c 2
From high acoustic impedance to low acoustic impedance
10
From low acoustic impedance to high acoustic impedance
11
4.2 声波斜入射到平面界面
x-y平面入射
p i p i 0 ex p [ i ( t k 1 x co s i k 1 y sin i )] v ix co s i
ik1 y sin i
pi0 e
pr0 e
ik1 y sin i
ik1 y sin r
pt 0 e pr0 e
ik 2 y sin t
co s i
1 c1
pi0 e
co s r
ik1 y sin r
1 c1
co s t
2c2
平均声能量流的透射系数
tW S t | pt 0 | / 2 2c2
2
S i | p i 0 | / 2 1 c1
2
co s t | p t 0 | / 2 2 c 2
2
co s i | p i 0 | / 2 1 c1
2
co s t co s i
tI
2
rW
4
利用边界条件
pi0 pr 0 pt 0 ;
pi0
1 c1
pr0
1 c1
pt 0
2 c2
反射和透射系数
rp tp pr 0 pi0 pt 0 pi0
2 c 2 1 c1 2 c 2 1 c1
2 2c2
;
rv tv
vr 0 vi 0 vt 0 vi 0
2 2
2
| pt 0 | / 2 2c2 | p i 0 | / 2 1 c1
4 1 c1 2 c 2 co s i ( 2 c 2 co s i 1 c1 co s t )
2
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rI t I 1
——能量不守恒？
声强是单位面积通过的声能量流！斜入射使声束变化了！
pt 0 e
ik 2 y sin t
所有y恒成立条件
k 1 y sin i k 1 y sin r k 2 y sin t
i r ;
sin i sin t
k2 k1
c1 c2
——Snell定律
14
折射和透射系数
pi0 pr 0 pt 0 co s i co s r co s t
r
v1 x v ix v rx
co s i
1 c1
co s r
p i 0 ex p [ i ( t k 1 x co s i k 1 y sin i )] p r 0 ex p [ i ( t k 1 x co s k 1 y sin r )]
[ P (1) P ( 2 )] S M dv dt
l 0, M 0
P (1) P (2)
2
静压强在分界面处连续
P0 (1) P0 (2)
P (1) P0 (1) p1 ; P (2) P0 (2) p 2
1、分界面处声压连续
p1 p 2
2、分界面处法向速度连续
co s i
2Z s2 Z s 2 Z s1
15
Notice that as the wavefronts cross the boundary the wavelength changes, but the frequency remains constant.
16
Z s1
1 c1
第4章 声波在平面界面的反射、折射和透射
4.1 声波垂直入射到平面界面
4.2 声波斜入射到平面界面
4.3 声波垂直入射到多层平面界面
4.4 隔声的基本规律
1
4.1声波垂直入射到平面界面
一垛普通的砖墙既可以隔掉部分声音，但又不能把全部 的声音都隔掉；一垛木板墙将有更多的声音被透射进去。 声波的这种反射、透射现象也是声传播的一个重要特征。 声学边界条件 质量元M的运动方程
k i / c i , ( i 1, 2 )
1 c1
pi
折射波
p r p r 0 ex p [ i ( t k 1 x co s k 1 y sin r )]
r
v rx
co s r
1 c1
pr
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在媒质I中
p 1 p i p r p i 0 ex p [ i ( t k 1 x co s i k 1 y sin i )] p r 0 ex p [ i ( t k 1 x co s k 1 y sin r )]
v1 n v 2 n
平面声波垂直入射时的反射和透射
p i p i 0 exp[ i ( t k 1 x )]
3
媒质I中——入射波和反射波
k i / c i , ( i 1, 2 )
p1 p i p r
p1 p i 0 exp[ i ( t k 1 x )] p r 0 exp[ i ( t k 1 x )]
sin t
c2 c1
sin i 0
——声波入射到多孔材料情况！ 能量关系——声强折射和透射系数
rI tI | p r 0 | / 2 1 c1
2
| pi0
2 c 2 co s i 1 c1 co s t 2 | / 2 1 c1 2 c 2 co s i 1 c1 co s t
全反射
rp
2 c 2 co s i 1 c1 co s t 2 c 2 co s i 1 c1 co s t
co s
sin i sin t
c1 c2
ic
c1 arcsin c2
2 c 2 1 c1 2 c 2 1 c1
2 1 c1
2 c 2 1 c1
;
2 c 2 1 c1
——与媒质的特性阻抗c有关！
5
讨论 1、 2 c 2 2、 2 c 2
1 c1
r p 0; rv 0; t p 1;
tv 2
——边界上速度的波腹，声压的波节。
能量反射和透射系数
2 c 2 1 c1 rI / 2 1 c 1 2 1 c1 2 c 2 1 c1 | pr 0 |
2
| pi0 |
2
2
tI
| pt 0 |
2
2 2c2
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| pi0 |
1 c1
pi0
1 c1
pr0
2 c2
pt0
2c2
rp pr0 pi0
2 c 2 co s i 1 c1 co s t 2 c 2 co s i 1 c1 co s t
co s t
1 c1
co s i
2c2
声波从空气入射到空气—水的分界面上！
6
4、 2 c 2
1 c1
r p 0; rv 0; t p 0;
tv 1
——软边界，声压反相，速度同相！
5、 2 c 2
1 c1
r p 1; rv 1; t p 0;
tv 2
——绝对软边界，声压全反射！
tv 1
——没有反射！
1 c1
r p 0; rv 0; t p 0;
tv 1
——硬边界，声压同位相，速度反相！ 3、 2 c 2
1 c1
r p 1; rv 1; t p 2;
tv 0
——绝对硬边界，声压全反射！
tp 2
——边界上压强的静态传递，而不是疏密交替 的声压！
co s i
pi v ix
; Z s2
2 c2
co s t
pt v tx
——法向声阻抗率——法向速度！
全透射
tp 2 2 c 2 co s i
2 c 2 co s i 1 c1 co s t
2
1
2 c 2 co s i 1 c1
c2 1 sin i 2 2 c 2 co s i c1
2
2 1 c1
4 1 c1 2 c 2 ( 2 c 2 1 c1 )
2
1 rI
7
Reflection from a HARD boundary
8
Reflection from a SOFT boundary
9
Reflection from an impedance discontinuity
co s t
1 c1
co s i
Z s 2 Z s1 Z s 2 Z s1
tp
pt 0 pi0
2 2 c 2 co s i
2
2c2
co s t
2 c 2 co s i 1 c1 co s t
2c2
co s t
1 c1
S i | p r 0 | / 2 1 c1 S i | p i 0 | / 2 1 c1
2
rI
—— rW tW 1 能量守恒！
21
This means that for a sound wave traveling close to the ground, the part of the wave closest to the ground is traveling the fastest, and the part of the wave farthest above the ground is traveling the slowest. As a result, the wave changes direction and bends upwards. This can create a "shadow zone" region into which the sound wave cannot penetrate. A person standing in the shadow zone will not hear the sound even though he/she might be able to see the source. The sound waves are being refracted upwards and will never reach the observer.