无机材料物理性能14电子运动
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• 波函数的振幅为一常数时，电子为自由电子，即在各点找 到电子的几率相同，这反映了电子在空间中的自由运动。
• 外层电子共有化运动较强，其行为与自由电子相同------准 自由电子。内层电子的行为与孤立原子中的电子相似。
• 不同的k标志着不同的共有化运动状态，即电子具有不同的 能量。
2 . 晶体中电子的能带
•统一波和粒子的概念：用一波函数(r,t)描写干涉实验中电 子的状态，则波函数模的平方| (r,t)|2表示t时刻在空间某处波 的强度，或波函数模的平方表示与t时刻在空间某处单位体积 内发现粒子的数目成正比。即波的强度为极大的地方，找到 粒子的数目为极大，在波的强度为零的地方，找到粒子的数 目为零。
允带------每一个N度简并的能级都分裂成彼此 相距很近的能级，这N个能级组成一个能带。
禁带------允带之间没有能级的带。
能带
原子能级 原子轨道
允
禁带
带
禁带
原子能级分裂为能带
共有化状态数------每一个能带包含的能级数。与孤立原 子的简并度有关。
s能级分裂为N个能级（ N个共有化状态） ； p能级本身是三度简并，分裂为3N 能级。 特例：许多实际晶体能带与孤立原子间对应关系很复杂。
• 定态波函数(r) ：
作用于粒子上的力场不随时间改变, 波函数有较简单的形式： (r,t)= (r) f(t)= (r) exp(-iEt/ ħ)
定态波函数(r)为一个空间坐标函数（振幅波函数）与一个时 间函数的乘积，整个波函数随时间的改变由exp(-iEt/ ħ)因子决 定。
波函数模的平方：| (r,t)|2= | (r) |2说明粒子的几率分布不随 时间变化。
自由电子的能量等于动能：
E=h = ħ 动能： p=ħk 统一粒子性和波动性 有：v= ħ k/m0 E= ħ 2k2/2m0 k值确定电子的运动状态，自由 电子的能量是连续的能谱。
E k
由自由电子在一维空间运动的薛定谔方程： E(r) = -(ħ 2/2m0)d(r) 2/dx2
也得： E= ħ 2k2/2m0
电子共有化的原因：电子壳层有一定的交叠，相邻 原子最外层交叠最多，内壳层交叠较少。
注：电子在各原子中相似壳层间运动，且最外电子 壳层共有化显著。
2. 原子的能级分裂
当两个原子相距很远时，每个能级都有两个态与之 相应是二度简并；
当原子相互靠近时，每个原子中的电子除受本身原 子的势场作用外，又受到另一原子的势场作用；
布洛赫定理：在周期性势场中运动的电子，满足薛 定谔方程的波函数一定具有如下形式：
k(x)=vk(x)e ik·x vk(x) = vk(x+na)
与自由电子的波函数比较 相同点： 晶体中电子运动的波函数与自由电子的波函数 形式相似，代表一个波长为2/k，而在k方向 上传播的平面波；
不同点： 该波的振幅随x作周期性变化，其变化周期与 晶格周期相同----- 一个调幅的平面 波。
• 能量越高的能带，其能级间距越大。
1.4.4 晶体中电子的运动 有效质量 1. 晶体中E(k )与k的关系
能带底部和顶部附近的E(k )与k的关系：E(k )
将一维E(k )在k=0附近按泰泐级数展开
E(k)=E(0)+(dE/dk)k=0k+(1/2)(d2E/dk2)k=0 k2 +···
(dE/dk) k=0 =0
• 一个粒子的多次重复行为结果与大量粒子的一次行为相同， 在某处找到粒子的可能性用几率来表示。
•波函数(r,t)描述处于相同条件下大量粒子的一次行为或一个 粒子的多次行为。
• 波函数为几率波------微观粒子的一个运动状态。
•波函数的归一化: C (r,t)= (r,t)
• 量子力学中态(r,t)的叠加：体系的不同状态线性叠加也是 体系可能实现的状态。
= d[(1/ ħ) d2E/dk2] dk /dt
=f d2E/ħ2dk2 =f/m*n 电子所受外力与加速度的关系与牛顿第二运动 定律类似，不同的是用电子有效质量代替惯性 质量。
4.电子的有效质量的意义
（1）晶体中的电子一方面受到外力的作用，另一 方面，受到内部原子及其他电子的势场作用。
（2）电子的加速度应是所有场的综合效果。
U(x)
0
a
x
一维无限深势阱
方程的通解：
(x)=Asin(kx+) (0 x a)
(x)=0 ,
(x0, x a)
波函数在势阱的边界上必须连续，
即
(0)=0
(a)=0 有 Asin=0，得： =0， 则：波函数 (x)=Asinkx (a)=Asinka =0 得 kn=n/a
将波函数(x)=Asinnx/a代入薛定谔方程
（3）内部电场计算困难。
（4）引入有效质量可使问题简单化，直接把外力 和加速度联系起来，而内部的势场作用由有效质量 概括。
（5）解决晶体中电子在外力作用下，不涉及内部 势场的作用，使问题简化。
（6）有效质量可以直接测定。
E
- Hale Waihona Puke Baidua
O V
O m*n
O
能量、速度、有效质 量与波矢的关系
k /a
内层电子的能量窄， 有效质量大；外层 电子的能带宽，有 效质量小。
得
v= ħ k / m*n
3.电子的加速度
外加电场作用，外力对电子作功，电子的能量 变化为：
dE=f·ds=f·v·dt dE=(f dE/ ħdk)dt dE=dE dk/dk f=ħdk/dt
说明：
在外力作用下，电子的波矢不断改变，其变化 率与外力成正比。
加速度： a=dv/dt=v= d[(1/ ħ) dE/dk]/dt
2s和 2p分 裂的 两个 能带
空带 或导带
满带 或价带
禁带
2N个态 0个电子
2N个态 4N个电子
金刚石、硅、锗价电子杂化形成的能带
1.4.2 晶体中电子状态与能带
自由电子
孤立原子中的电子 晶体中的电子
不受任何电荷作用 （势场为零）
本身原子核及其他 电子的作用
严格周期性势场
（周期排列的原子核 势场及大量电子的平 均势场）
En= n×0.75eV 设：a=1cm 则：En= n×0.75×10 –14 eV
B 几率分布 |n (x)|2= (2/a)sin2 ( n/a) x |1(x)|2
|2(x)|2 |3 (x)|2
|4 (x)|2
x a
1.4.3 晶体中电子
1.晶体中的薛定谔方程及其解的形式
单电子在与晶格同周期的势场中运动，对于一维 晶格，势能函数为： U(x)=U(x+sa) 解薛定谔方程： E= - (ħ 2/2m0)d 2/dx2 + U(x)
同理能带顶部附近的E(k )与k的关系 E(k)—E(0) = k2ħ2/2m*n
电子的有效质量小于零。
2. 电子的平均速度
自由电子速度 v= ħ k/m0
由
E= ħ 2k2/2m0
得
dE/dk= ħ 2k/m0
自由电子的速度：v=(1/ ħ) dE/dk
同理，晶体中电子速度与能量的关系：
v=(1/ ħ) dE/dk
E 允带
禁带 允带
允带
允带
-3 /a - /a 0 /a 3/a k
E与k的关系
能带
简约布里渊区
结论
• 在k=n/a处，即布里渊区边界上能量出现不连续性，形成允带 和禁带；每个布里渊区对应于一个能带。
• E(k)是k的周期性函数，周期为2 /a，
即：E(k)=E(k+n2/a)，说明k 和k+ n2 /a表示相同状态；
得 En= ħ22n2/2m0a2
n=1,2, ···
即被束缚在势阱中的电子，其能量只能取一系列分立 数值------能量量子化。
能量为En的波函数n (x)=Asin(n/a)x (0 x a)
n (x)=0 ,
(x0, x a)
归一化 -|n (x)|2dx=1 得 A=(2/a)1//2
波函数 n (x)=(2/a)1//2sin(n/a)x (0 x a)
n (x)=0
(x0, x a)
（2）分析讨论
A 能量量子化 相邻能级间的间隔: En=E n+1－En= （ħ 2 2/2m0a2 )(2n+1) 电子的质量: m0 =9.1×10 –31 kg 设：a=100nm 则：En=n2×0.38eV
1. 波函数
德布罗意假设:一切微观粒子都具有波粒二象性. 自由粒子的波长、频率、动量、能量有如下关系
E=h= ħ P= h/= ħk（ ħ = h /2 ）
即：具有确定的动量和确定能量的自由粒子，相当 于频率为和波长为的平面波，二者之间的关系如 同光子与光波的关系一样。
自由粒子的波函数(由一维变化为沿空间任一方向)
3. 在一维无限深势阱中运动的电子
（1）电子的波函数
电子受力场作用，电子的能量： E=Ek+U(x)
（Ek为电子的动能， U(x) 为力场的势能） 薛定谔方程：E= - (ħ 2/2m0)d 2/dx2 + U(x)
一维无限深势阱的势能： U(x)= (x0, x a) 0 (0 x a)
正有效质量 负有效质量
外层电子，在外力 的作用下，可以获 得较大的加速度。
k
E(k) － E(0) =(1/2)(d2E/dk2) k=0 k2
对给定的晶体 (d2E/dk2) k=0是一个常数=ħ2/m*n 令 (d2E/dk2) k=0=ħ2/m*n
能带底部附近有：E(k) － E(0) = k2ħ2/2m*n 和自由电子的 E(k )与k的关系 E(k)= k2ħ2/2m0 相似。 m0 ------电子的惯性质量； m*n -----能带底部电子的有效质量，大于零。
1.4晶体中电子的运动
1.4.1 原子的能级 1. 电子的共有化运动
1.4.1 原子的能级 1.4.2 晶体中电子的状态和能带 1.4.3 晶体中的电子 1.4.4 晶体中电子的运动-有效质量
+
+
+
原子的能级（电子壳层）
+
+
+
+
+
+
+
原子结合成晶体时晶体中电子的共有化运动
电子共有化运动------晶体中原子能级上的电子不完 全局限在某一原子上，可以由一个原子转移到相邻 的原子上去，结果电子可以在整个晶体中运动。
结果：二度简并的能级分裂为彼此相距很近的能级， 原子靠的越近，分裂越厉害。
电
电 子
2p 2s
n=2
子 能
能
量
量
1s n=1
孤立原子的能级
2p 2s n=2
1s n=1 原子间距 能级分裂
分裂的能级数计算： 两个原子组成晶体时 2s能级分裂为二个能级； 2p能级本身是三度简并，分裂为六个能级。
由N个原子组成晶体时：
说明
• 波函数的振幅为一周期性函数，说明在晶体中各点找到电 子的几率具有周期性变化的性质，即描述了晶体电子围绕原 子核的运动。
• 指数部分是平面波，描述了晶体电子的共有化运动。因此， 电子不完全局限在某一个原子上，而是可以从晶胞中的某一 点自由的运动到其他晶胞内的对应点。这种运动就是电子在 晶体内的共有化运动。
例如： 自由电子的运动
（1）微观粒子的波粒二象性 自由电子的动量和能量： 动量： p=m0v； 能量（动能）：E=p2/2m0 速度一确定运动状态就确定。
（2）微观粒子的波动性 自由电子的波函数：自由粒子的波动可以用频率为 、 波长为的平面波表示:
(r,t)=Aexpi2(k·r- t) 波函数模的平方为一常数，说明自由电子在任何地方出 现的几率均等。
2. 薛定谔方程
微观粒子的运动状态随时间改变的规律------微观粒子 的运动规律。
• 描述微观粒子运动的方程------薛定谔方程 2 2 2
2 = — + — + —2x 2y 2 z
ħ2 i ħ — = - —22 +U(r,t)
t 2
• 定态薛定谔方程: ħ2 - — 2(r)2 +U(r) (r)= E(r) 2
经过空间变换、公式代入
由 (r,t)=Acos[2(x/ - t)-] (r,t)=Aexp [-i(Et - r•p)/ ħ]
干涉实验
极细的带正 电的金属丝
++ 电子枪 电子干涉实验
讨论
• 粒子的观点：干涉图样中极大值有较多的电子到达，而极 小值很少或没有。
• 波动的观点：干涉图样中，极大值处波的强度大，极小值 处波的强度为极小或为零。
•只取第一布里渊区的k值描述电子的运动状态，其他区域移动 n2/a与第一区重合；
• 在考虑能带结构时，只需考虑简约布里渊区，在该区域，能量 是波矢的多值函数，必须用En(k)标明是第n个能带。 • 对于有边界的晶体，需考虑边界条件，根据周期性边界条件， 波矢只能取分立的数值，每一个能带中的能级数（简约波矢数） 与固体物理学原胞数N相等。每一个能级可容纳2个电子。
• 外层电子共有化运动较强，其行为与自由电子相同------准 自由电子。内层电子的行为与孤立原子中的电子相似。
• 不同的k标志着不同的共有化运动状态，即电子具有不同的 能量。
2 . 晶体中电子的能带
•统一波和粒子的概念：用一波函数(r,t)描写干涉实验中电 子的状态，则波函数模的平方| (r,t)|2表示t时刻在空间某处波 的强度，或波函数模的平方表示与t时刻在空间某处单位体积 内发现粒子的数目成正比。即波的强度为极大的地方，找到 粒子的数目为极大，在波的强度为零的地方，找到粒子的数 目为零。
允带------每一个N度简并的能级都分裂成彼此 相距很近的能级，这N个能级组成一个能带。
禁带------允带之间没有能级的带。
能带
原子能级 原子轨道
允
禁带
带
禁带
原子能级分裂为能带
共有化状态数------每一个能带包含的能级数。与孤立原 子的简并度有关。
s能级分裂为N个能级（ N个共有化状态） ； p能级本身是三度简并，分裂为3N 能级。 特例：许多实际晶体能带与孤立原子间对应关系很复杂。
• 定态波函数(r) ：
作用于粒子上的力场不随时间改变, 波函数有较简单的形式： (r,t)= (r) f(t)= (r) exp(-iEt/ ħ)
定态波函数(r)为一个空间坐标函数（振幅波函数）与一个时 间函数的乘积，整个波函数随时间的改变由exp(-iEt/ ħ)因子决 定。
波函数模的平方：| (r,t)|2= | (r) |2说明粒子的几率分布不随 时间变化。
自由电子的能量等于动能：
E=h = ħ 动能： p=ħk 统一粒子性和波动性 有：v= ħ k/m0 E= ħ 2k2/2m0 k值确定电子的运动状态，自由 电子的能量是连续的能谱。
E k
由自由电子在一维空间运动的薛定谔方程： E(r) = -(ħ 2/2m0)d(r) 2/dx2
也得： E= ħ 2k2/2m0
电子共有化的原因：电子壳层有一定的交叠，相邻 原子最外层交叠最多，内壳层交叠较少。
注：电子在各原子中相似壳层间运动，且最外电子 壳层共有化显著。
2. 原子的能级分裂
当两个原子相距很远时，每个能级都有两个态与之 相应是二度简并；
当原子相互靠近时，每个原子中的电子除受本身原 子的势场作用外，又受到另一原子的势场作用；
布洛赫定理：在周期性势场中运动的电子，满足薛 定谔方程的波函数一定具有如下形式：
k(x)=vk(x)e ik·x vk(x) = vk(x+na)
与自由电子的波函数比较 相同点： 晶体中电子运动的波函数与自由电子的波函数 形式相似，代表一个波长为2/k，而在k方向 上传播的平面波；
不同点： 该波的振幅随x作周期性变化，其变化周期与 晶格周期相同----- 一个调幅的平面 波。
• 能量越高的能带，其能级间距越大。
1.4.4 晶体中电子的运动 有效质量 1. 晶体中E(k )与k的关系
能带底部和顶部附近的E(k )与k的关系：E(k )
将一维E(k )在k=0附近按泰泐级数展开
E(k)=E(0)+(dE/dk)k=0k+(1/2)(d2E/dk2)k=0 k2 +···
(dE/dk) k=0 =0
• 一个粒子的多次重复行为结果与大量粒子的一次行为相同， 在某处找到粒子的可能性用几率来表示。
•波函数(r,t)描述处于相同条件下大量粒子的一次行为或一个 粒子的多次行为。
• 波函数为几率波------微观粒子的一个运动状态。
•波函数的归一化: C (r,t)= (r,t)
• 量子力学中态(r,t)的叠加：体系的不同状态线性叠加也是 体系可能实现的状态。
= d[(1/ ħ) d2E/dk2] dk /dt
=f d2E/ħ2dk2 =f/m*n 电子所受外力与加速度的关系与牛顿第二运动 定律类似，不同的是用电子有效质量代替惯性 质量。
4.电子的有效质量的意义
（1）晶体中的电子一方面受到外力的作用，另一 方面，受到内部原子及其他电子的势场作用。
（2）电子的加速度应是所有场的综合效果。
U(x)
0
a
x
一维无限深势阱
方程的通解：
(x)=Asin(kx+) (0 x a)
(x)=0 ,
(x0, x a)
波函数在势阱的边界上必须连续，
即
(0)=0
(a)=0 有 Asin=0，得： =0， 则：波函数 (x)=Asinkx (a)=Asinka =0 得 kn=n/a
将波函数(x)=Asinnx/a代入薛定谔方程
（3）内部电场计算困难。
（4）引入有效质量可使问题简单化，直接把外力 和加速度联系起来，而内部的势场作用由有效质量 概括。
（5）解决晶体中电子在外力作用下，不涉及内部 势场的作用，使问题简化。
（6）有效质量可以直接测定。
E
- Hale Waihona Puke Baidua
O V
O m*n
O
能量、速度、有效质 量与波矢的关系
k /a
内层电子的能量窄， 有效质量大；外层 电子的能带宽，有 效质量小。
得
v= ħ k / m*n
3.电子的加速度
外加电场作用，外力对电子作功，电子的能量 变化为：
dE=f·ds=f·v·dt dE=(f dE/ ħdk)dt dE=dE dk/dk f=ħdk/dt
说明：
在外力作用下，电子的波矢不断改变，其变化 率与外力成正比。
加速度： a=dv/dt=v= d[(1/ ħ) dE/dk]/dt
2s和 2p分 裂的 两个 能带
空带 或导带
满带 或价带
禁带
2N个态 0个电子
2N个态 4N个电子
金刚石、硅、锗价电子杂化形成的能带
1.4.2 晶体中电子状态与能带
自由电子
孤立原子中的电子 晶体中的电子
不受任何电荷作用 （势场为零）
本身原子核及其他 电子的作用
严格周期性势场
（周期排列的原子核 势场及大量电子的平 均势场）
En= n×0.75eV 设：a=1cm 则：En= n×0.75×10 –14 eV
B 几率分布 |n (x)|2= (2/a)sin2 ( n/a) x |1(x)|2
|2(x)|2 |3 (x)|2
|4 (x)|2
x a
1.4.3 晶体中电子
1.晶体中的薛定谔方程及其解的形式
单电子在与晶格同周期的势场中运动，对于一维 晶格，势能函数为： U(x)=U(x+sa) 解薛定谔方程： E= - (ħ 2/2m0)d 2/dx2 + U(x)
同理能带顶部附近的E(k )与k的关系 E(k)—E(0) = k2ħ2/2m*n
电子的有效质量小于零。
2. 电子的平均速度
自由电子速度 v= ħ k/m0
由
E= ħ 2k2/2m0
得
dE/dk= ħ 2k/m0
自由电子的速度：v=(1/ ħ) dE/dk
同理，晶体中电子速度与能量的关系：
v=(1/ ħ) dE/dk
E 允带
禁带 允带
允带
允带
-3 /a - /a 0 /a 3/a k
E与k的关系
能带
简约布里渊区
结论
• 在k=n/a处，即布里渊区边界上能量出现不连续性，形成允带 和禁带；每个布里渊区对应于一个能带。
• E(k)是k的周期性函数，周期为2 /a，
即：E(k)=E(k+n2/a)，说明k 和k+ n2 /a表示相同状态；
得 En= ħ22n2/2m0a2
n=1,2, ···
即被束缚在势阱中的电子，其能量只能取一系列分立 数值------能量量子化。
能量为En的波函数n (x)=Asin(n/a)x (0 x a)
n (x)=0 ,
(x0, x a)
归一化 -|n (x)|2dx=1 得 A=(2/a)1//2
波函数 n (x)=(2/a)1//2sin(n/a)x (0 x a)
n (x)=0
(x0, x a)
（2）分析讨论
A 能量量子化 相邻能级间的间隔: En=E n+1－En= （ħ 2 2/2m0a2 )(2n+1) 电子的质量: m0 =9.1×10 –31 kg 设：a=100nm 则：En=n2×0.38eV
1. 波函数
德布罗意假设:一切微观粒子都具有波粒二象性. 自由粒子的波长、频率、动量、能量有如下关系
E=h= ħ P= h/= ħk（ ħ = h /2 ）
即：具有确定的动量和确定能量的自由粒子，相当 于频率为和波长为的平面波，二者之间的关系如 同光子与光波的关系一样。
自由粒子的波函数(由一维变化为沿空间任一方向)
3. 在一维无限深势阱中运动的电子
（1）电子的波函数
电子受力场作用，电子的能量： E=Ek+U(x)
（Ek为电子的动能， U(x) 为力场的势能） 薛定谔方程：E= - (ħ 2/2m0)d 2/dx2 + U(x)
一维无限深势阱的势能： U(x)= (x0, x a) 0 (0 x a)
正有效质量 负有效质量
外层电子，在外力 的作用下，可以获 得较大的加速度。
k
E(k) － E(0) =(1/2)(d2E/dk2) k=0 k2
对给定的晶体 (d2E/dk2) k=0是一个常数=ħ2/m*n 令 (d2E/dk2) k=0=ħ2/m*n
能带底部附近有：E(k) － E(0) = k2ħ2/2m*n 和自由电子的 E(k )与k的关系 E(k)= k2ħ2/2m0 相似。 m0 ------电子的惯性质量； m*n -----能带底部电子的有效质量，大于零。
1.4晶体中电子的运动
1.4.1 原子的能级 1. 电子的共有化运动
1.4.1 原子的能级 1.4.2 晶体中电子的状态和能带 1.4.3 晶体中的电子 1.4.4 晶体中电子的运动-有效质量
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原子的能级（电子壳层）
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原子结合成晶体时晶体中电子的共有化运动
电子共有化运动------晶体中原子能级上的电子不完 全局限在某一原子上，可以由一个原子转移到相邻 的原子上去，结果电子可以在整个晶体中运动。
结果：二度简并的能级分裂为彼此相距很近的能级， 原子靠的越近，分裂越厉害。
电
电 子
2p 2s
n=2
子 能
能
量
量
1s n=1
孤立原子的能级
2p 2s n=2
1s n=1 原子间距 能级分裂
分裂的能级数计算： 两个原子组成晶体时 2s能级分裂为二个能级； 2p能级本身是三度简并，分裂为六个能级。
由N个原子组成晶体时：
说明
• 波函数的振幅为一周期性函数，说明在晶体中各点找到电 子的几率具有周期性变化的性质，即描述了晶体电子围绕原 子核的运动。
• 指数部分是平面波，描述了晶体电子的共有化运动。因此， 电子不完全局限在某一个原子上，而是可以从晶胞中的某一 点自由的运动到其他晶胞内的对应点。这种运动就是电子在 晶体内的共有化运动。
例如： 自由电子的运动
（1）微观粒子的波粒二象性 自由电子的动量和能量： 动量： p=m0v； 能量（动能）：E=p2/2m0 速度一确定运动状态就确定。
（2）微观粒子的波动性 自由电子的波函数：自由粒子的波动可以用频率为 、 波长为的平面波表示:
(r,t)=Aexpi2(k·r- t) 波函数模的平方为一常数，说明自由电子在任何地方出 现的几率均等。
2. 薛定谔方程
微观粒子的运动状态随时间改变的规律------微观粒子 的运动规律。
• 描述微观粒子运动的方程------薛定谔方程 2 2 2
2 = — + — + —2x 2y 2 z
ħ2 i ħ — = - —22 +U(r,t)
t 2
• 定态薛定谔方程: ħ2 - — 2(r)2 +U(r) (r)= E(r) 2
经过空间变换、公式代入
由 (r,t)=Acos[2(x/ - t)-] (r,t)=Aexp [-i(Et - r•p)/ ħ]
干涉实验
极细的带正 电的金属丝
++ 电子枪 电子干涉实验
讨论
• 粒子的观点：干涉图样中极大值有较多的电子到达，而极 小值很少或没有。
• 波动的观点：干涉图样中，极大值处波的强度大，极小值 处波的强度为极小或为零。
•只取第一布里渊区的k值描述电子的运动状态，其他区域移动 n2/a与第一区重合；
• 在考虑能带结构时，只需考虑简约布里渊区，在该区域，能量 是波矢的多值函数，必须用En(k)标明是第n个能带。 • 对于有边界的晶体，需考虑边界条件，根据周期性边界条件， 波矢只能取分立的数值，每一个能带中的能级数（简约波矢数） 与固体物理学原胞数N相等。每一个能级可容纳2个电子。