材料力学10压杆稳定性问题
材料力学10压杆稳定_1欧拉公式
◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不
同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
14
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？ 解：由于各杆的材料及 截面均相同，故只需比
1.3 a F F F
较其相当长度 l 即可
a
杆A： 2 l 2a
F
F
2 1
0.7
压杆两端固定可轴向移动：
0.5
6
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式
Fc r
π 2 EI
l
2
说明： 1）欧拉公式的适用范围：线弹性（ ≤ p）
2）在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下（即各个方向上 的 相等），I 应取最小值 3） l 称为压杆的相当长度
2
2000年10月25日上午10 时，南 京电视台演播中心由于脚手架 失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
3
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
4
二、压杆的临界力 使压杆由稳定向失稳转化的轴向压力的界限值称为压杆的临界力， 记作 Fcr 。即当 F ＜ Fcr ： 压杆稳定 F ≥ Fcr ： 压杆失稳 亦可将压杆的临界力 Fcr 理解为使压杆失稳的最小轴向压力
hb3 1 Iy 90 403 48 108 m 4 12 12
根据欧拉公式，此压杆的临界力
Fcr
π 2 EI y l
2
23.8 kN
11
[例2] 一端固定，一端自由的中心细长压杆。已知杆长 l = 1m , 材 料的弹性模量 E = 200 GPa。当分别采用图示三种截面时，试计算 其临界力。
材料力学10压杆稳定_2经验公式
这类杆称为中长杆（或中柔度杆），亦即直线公式适用于中长杆 （或中柔度杆）
说明： 当 ≤ s，称为粗短杆，则应按强度问题处理。
三、临界应力总图
压杆的临界应力 cr 可视作压杆柔度 的分段函数，即
π2E 2
cr
查表得 a = 461 MPa、b = 2.567 MPa
临界应力 临界力
cr a b 461 2.567 64.7 294.9 MPa Fcr cr A 162.7 kN
3）由于连杆在 x-y、x-z 两个平面内的柔度 z = 64.7、y = 57.4 比
π 2 EI min
0.7l 2
870 kN
2）两端固定但可沿轴向相对移动
长度因数 = 0.5， 立柱柔度
3600
zz
s
l
imin
0.5 3600 24
75 p
此时，立柱为中柔度杆，应用直线公式计算其临界力
由表 10-2 查得 a = 304 MPa，b = 1.12 MPa
临界应力 临界力
cr a b 304 1.12 75 220 MPa Fcr cr A 220 48.541 1068 kN
[例2] 图示连杆，已知材料为优质碳钢，弹性模量 E = 210×109 GPa， 屈服极限 s = 306 MPa。试确定该连杆的临界力Fcr ，并说明横截面的 设计是否合理。
解： 由于连杆在两 个方向上的约束情 况不同，故应分别 计算连杆在两个纵 向对称平面内的柔 度，柔度大的那个 平面即为失稳平面
1）计算柔度 在 x-y 平面（弯曲中性轴为 z 轴）： 两端铰支
压杆稳定—提高压杆稳定性的措施(建筑力学)
提高压杆稳定性的措施
1.合理选择材料 细长压杆：
ห้องสมุดไป่ตู้ cr
2E 2
采用E值较大的材料可提高压杆的稳定性 由于各种钢材的E值大致相同，所以对大柔度钢压杆不宜选用优质钢材，以避 免造成浪费。
中粗压杆
cr a b
短粗压杆
cr u
采用强度较高的材料能够提高其临界应力，即能提高其稳定性。
提高压杆稳定性的措施
材料力学之压杆稳定
材料力学之压杆稳定引言材料力学是研究物体内部受力和变形的学科，压杆稳定是其中的一个重要内容。
压杆稳定是指在受到压力作用时，压杆能够保持稳定，不发生失稳或破坏的现象。
本文将介绍压杆稳定的基本原理、稳定条件以及一些常见的失稳形式。
压杆的受力分析在进行压杆稳定分析前，我们首先需要对压杆受力进行分析。
压杆通常是一根长条形材料，两端固定或铰接。
在受到外部压力作用时，压杆会受到内部的压力，这些压力会导致杆件产生变形和应力。
在分析压杆稳定性时，我们主要关注压杆的弯曲和侧向稳定性。
压杆的基本原理压杆的稳定性是由杆件的弯曲和侧向刚度共同决定的。
当压杆弯曲和侧向刚度足够大时，压杆能够保持稳定。
所以，为了提高压杆的稳定性，我们可以采取以下几种措施：1.增加杆件的截面面积，增加抗弯能力；2.增加杆件的高度或长度，增加抗弯刚度；3.增加杆件的横向剛性，增加抗侧向位移能力；4.添加支撑或加固结构，增加整体稳定性。
压杆的稳定条件压杆稳定的基本条件是在承受外部压力时，内部应力不超过材料的极限强度。
当内部应力超过材料的极限强度时，压杆将会发生失稳或破坏。
在实际工程中，我们一般采用压杆的临界压力比来判断压杆的稳定性。
临界压力比是指杆件在失稳前的临界弯曲载荷与临界弯曲载荷之比。
当临界压力比大于1时，压杆是稳定的；当临界压力比小于1时，压杆是不稳定的。
临界压力比的计算可以采用欧拉公式或者Vlasov公式等方法。
这些方法能够给出压杆在不同边界条件下的临界压力比。
在工程实践中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来计算临界压力比。
压杆的失稳形式压杆失稳通常有两种形式：弯曲失稳和侧向失稳。
弯曲失稳压杆的弯曲失稳是指杆件在受到外部压力作用时，发生弯曲变形并导致失稳。
在弯曲失稳中，压杆的弯曲形态可以分为四种：1.局部弯曲失稳：杆件出现弯曲局部失稳，形成凸起或凹陷；2.局部弯扭失稳：杆件出现弯曲和扭曲共同失稳；3.全截面失稳：整个杆件截面均发生失稳；4.全体失稳：整个杆件完全失稳并失去稳定性。
材料力学-10-压杆的稳定问题
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B不全为零 的条件是他们的系数行列式等于零：
0
1
sinkl coskl
0
sinkl 0
第10章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图 长细比是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面 形状对压杆分叉载荷影响的量，用表示，由下式确定：
＝
l
i
I A
其中，I为压杆横截面的惯性半径，由下式确定：
i
从上述二式可以看出，长细比反映了压杆长度、支承条件以 及压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。
不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡 微分方程和边界条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦 因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。对于细长杆， 这些公式可以写成通用形式：
FPcr
π 2 EI
l
2
这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦 半波的长度，称为有效长度(effective length)； 为反映不同支承 影响的系数，称为长度系数（coefficient of 1ength），可由屈曲后 的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比 值确定。
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
临界应力与长细比的概念
前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这 就要求在分叉载荷即临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时， 其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限，即
材料力学之压杆稳定
25
解: 图 (a) 中, AD 杆受压
N AD
2EI
2 P1
2
2a
1 2EI
P1 22
a2
图 (b) 中, AB , BD 杆受压
N AB
NBD
P2
2EI a2
2EI
P2 a 2
26
例: 长方形截面细长压杆, b/h=1/2 ; 如果将 b 改为 h 后
仍为细长杆, 临界力 Pcr 是原来的多少倍？
解: (1).
Pcr
2EI ( l)2
2E d4
64
( l)2
1 16
(2).
2E I正
Pcr正 ( l)2 Pcr圆 2 E I 圆
I正 I圆
a4
12
d4
d
4
2
2
12
d4
3
( l)2
64
64
28
例: 三种不同截面形状的细长压杆如图所示。 试: 标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主惯性轴转动。
解：
2E Ib
Pcr b Pcr a
( l)2 2EIa
( l)2
Ib Ia
h4
12 hb 3
h b
3
8
12
27
例: 圆截面的细长压杆, 材料、杆长和杆端约束保持
不变, 若将压杆的直径缩小一半, 则其临界力为 原压杆的＿116＿; 若将压杆的横截面改变为面积相同 的正方形截面, 则其临界力为原压杆的＿＿3 倍。
工程上要求 Pmax＜ Pcr
与压杆的材料、截面形式、 长度、及杆端约束有关1。8
§10-2 细长压杆的临界压力欧拉公式
一. 两端铰支细长压杆的临界压力 设: 理想的中心受压细长杆, 在最小抗弯平面内失稳。
材料力学 第十章 压杆稳定问题
由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2
MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
Page21
第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
Page22
第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
Page 5
第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
(
w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2
k
2w
k
2
l
l
FM w
x
F B
F
B F
Page24
第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2
k2w
k 2
F
w
通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
Page31
第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l
《材料力学》课程思政建设在压杆稳定问题中的应用
材料力学是工程领域的一门重要课程，其在思政建设中有着重要的应用价值。
在材料力学课程中，压杆稳定问题是一个重要的课题，它涉及到材料的稳定性和强度，对工程结构的设计和安全有着重要的影响。
本文将结合材料力学课程和思政建设，探讨压杆稳定问题在思政建设中的应用，以及对学生思想品德的影响。
一、压杆稳定问题在材料力学课程中的重要性1.压杆稳定问题的概念压杆稳定问题是材料力学课程中的一个重要概念，它主要研究杆件在受压条件下的稳定性和强度问题。
在工程实践中，很多结构都需要承受压力，而压杆稳定问题的研究可以帮助工程师设计出更加稳定和安全的结构。
2.影响因素压杆稳定问题的研究涉及到材料的性质、杆件的几何形状、受力条件等多个因素，对材料力学课程的学习者提出了较高的要求，需要他们具备较好的数学基础和物理学知识。
3.工程应用压杆稳定问题的研究对工程领域有着重要的应用价值，可以帮助工程师设计出更加稳定和安全的结构，保障工程的施工和使用安全。
二、思政建设中对压杆稳定问题的应用1.培养学生的责任感在思政建设中，可以借助压杆稳定问题引导学生树立正确的责任感。
压杆稳定问题的研究需要学生具备严谨的态度和细心的品质，只有这样才能够保证工程结构的安全。
通过引导学生深入学习压杆稳定问题，可以培养其责任感，让其意识到自己在未来工作中所要负责的职责和使命。
2.强化学生的安全意识压杆稳定问题的研究直接关系到工程结构的安全，可以借助此问题引导学生加强安全意识。
在思政建设中，可以通过讲解真实案例和历史事故，让学生深刻理解工程安全的重要性，强化其安全意识，使其将安全放在工作的首位。
3.提升学生的综合素质通过学习压杆稳定问题，可以培养学生的综合素质。
压杆稳定问题需要学生具备较好的数学基础和物理学知识，同时也需要他们具备较好的逻辑思维能力和分析问题的能力。
通过对压杆稳定问题的研究，可以提升学生的综合素质，增强其解决实际问题的能力。
三、材料力学课程思政建设的实施路径1.设计符合学生认知规律的教学内容在思政建设中，教学内容的设计非常重要。
10.刘鸿文版材料力学-压杆稳定
经验公式
（直线公式）
cr a b
a s b
cr s
令
a s 2 b
2 (小柔度杆)
cr s
目录
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
•压杆柔度
l μ四种取值情况， i i
P — 比例极限
I A
d
l
i
I A
d 4 4 d 4 1cm 2 64 d 4 4
2 37.5 75 i 1 查得45钢的2=60，1=100，2<<1，属于中柔度杆。
目录
l
§9.5
压杆的稳定校核
（2）计算临界力，校核稳定 查表得a=589MPa,b=3.82MPa,得丝杠临界应力为
D d 4 64 D 2 d 2
4 4
FN 26.6kN
n
D2 d 2 16mm 4
Fcr 118 4.42 nst 3 FN 26.6
AB杆满足稳定性要求
目录
§9.5
压杆的稳定校核
例题 千斤顶如图所示，丝杠长度 l=37.5cm，内径d=4cm，材料为 45钢。最大起重量F=80kN，规定 的稳定安全系数nst=4。试校核丝 杠的稳定性。 （1）计算柔度
2、
1 Fcr 2 l
杆长，Fcr小，易失稳
•线弹性，小变形
•两端为铰支座
3、在
Fcr EI
刚度小，Fcr小，易失稳
Fcr作用下，
k
, w A sin l l l x ,w A 2
x
挠曲线为一条半波正弦曲线 即 A 为跨度中点的挠度
第11章 压杆稳定性问题
相等，则此压杆的临界压力又为多少？
（压杆满足欧拉公式计算条件）
h
动脑又动笔
解： 一端固定，一端自由，长度因数 μ=2 在应用欧拉公式时，截面的惯性
矩应取较小的I 值。
Iy 1 3 1 hb 90 403 mm 4 48 104 mm 4 12 12
b
F
l
1 3 1 I z bh 40 903 mm 4 243 104 mm 4 12 12
理解长细比、临界应力和临界应力总图的概念，熟 悉各类压杆的失效形式。
§11–1 压杆稳定性的基本概念
① 强度 衡量构件承载能力的指标 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 可靠地工作。 杆件在各种基本变形下的强度和刚度问题在前述各章节中 已作了较详细的阐述，但均未涉及到稳定性问题。事实上， 杆件只有在受到压力作用时，才可能存在稳定性的问题。
屈曲曲线是偏离原直线轴线不远的微弯状态。
F F EI L
M d2w 2 EI dx
§11–2 细长压杆的临界荷载—欧拉临界力
一、两端铰支压杆的临界力
多大的轴向压力才会使压杆失稳？
d2w EI 2 Fw 0 dx
y
M EI x w L
记
F
k2
F EI
F
F
x
d2w 2 k w0 2 dx
§11–3长细比的概念 三类不同压杆的判断
三、临界应力总图
cr
S
P
cr s
cr a b
2E cr 2
粗短杆 s
s s a
b
中长杆
P
细长杆
材料力学第十章 压杆稳定性问题2
Pcr P Pcr nst
nst 为稳定安全系数， 为稳定安全系数 一般大于强度安全系数 般大于强度安全系数。 由于初曲率、载荷偏差、材料不均匀、有钉子孔 等 都会降低 Pcr 。而且柔度越大，影响越大。 等，都会降低 而且柔度越大 影响越大
S
cr
max
若 P ，图中CD段选欧拉公式 若 S P ，图中 图中BC段选经验公式 若 S ，图中AB段按强度计算，即 cr
何斌
s
Page 13
Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载 荷如图示 荷如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两处为销钉 为 视图 为俯视图 在 两处为销钉 连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。材料的弹性模 量E＝205GPa。试求此杆的临界载荷。 正视图平面弯曲截面z绕轴 正视图平面弯曲截面z 转动；俯视图平面弯曲截 面绕y 面绕 y轴转动。 轴转动 正视图：
2 对中长杆由于 cr与 P , s b 有关 2. 强度越高, cr也越高 3 对短粗杆：强度问题 3. 对短粗杆 强度问题
何斌
P
时才适用
2E P 2
2E P
E
P
P
欧拉公式适用于 P
Page 6
材料力学
第十章 压杆稳定问题
10.4 临界应力和长细比 细长杆 中长杆和短粗杆 细长杆、中长杆和短粗杆
1．细长杆： ① P 的压杆称为细长杆。 的压杆称为细长杆 ② 此类压杆只发生了弹性失稳 ③ 稳定计算：欧拉公式 稳定计算 欧拉公式
何斌
材料力学课件 第十章压杆稳定
sinkL0
kn P
L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2
EImin L2
14
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
29
我国钢结构柱子曲线
二、 受压构件的稳定公式
利用最大强度准则确定出轴心受压构件的临界应力 cr ，引入抗力分项系数 R ，则轴心受压构件的稳定计算公式如下：
N cr cr f y f A R R fy
f ：钢材的强度设计值
（10.24）
30
例6
如图所示，两端简支，长度l 5m 的压杆由两根槽钢组成，若限定两个槽钢腹板
Iy [73.3 (51.8)2 21.95]2 2176.5cm4
33
若失稳将仍会在 xoy平面内，有
imin iz
Iz A
1732.4 6.28cm 43.9
max
l imin
500 79.6 6.28
查表得2 0.733
此时3 与3 已经很接近，按两个 16a 槽钢计算压杆的许可压力，有
20
[例3] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2EI L22
y
=0.7，
材料力学 第10章 压杆稳定
μ=2
欧拉临界压力公式 :
Fcr
2 EI (l )2
应用欧拉公式时，应注意以下两点：
1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题
2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的 最小惯性矩，即 I＝Imin；
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl
重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计
难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
F
30mm
材料力学-10-压杆的稳定性问题
欢迎来到材料力学-10-压杆的稳定性问题演示文稿。今天，我们将探讨压杆的 定义、分类以及影响其稳定性的因素。
压杆的定义和分类
压杆是一种长而细的结构元素，主要通过压力来支撑负载。根据其截面形状，压杆可以分为圆形、方形 和矩形等不同类型。
欧拉公式简介
欧拉公式是用于计算压杆的临界压力的重要公式。它基于结构的刚度和截面的几何特性，帮助我们预测 压杆在不同加载条件下的稳定性。
实例分析
通过实例分析，我们将深入探讨具体的压杆结构，并分析其稳定性问题。了 解实际案例对于理解压杆稳定性的关键因素至关重要。
结论和要点
在本演示文稿中，我们回顾了压杆的定义和分类，介绍了欧拉公式及其应用，探讨了稳定性分析的关键 因素，并通过实例分析展示了压杆的真实应用。记住这些要点，您将能够更好公式
临界压力计算公式是通过将欧拉公式代入材料的弹性模量和截面的惯性矩，从而得出压杆在理想情况下 可能失稳的临界加载。
压杆的稳定性分析
压杆的稳定性分析涉及到考虑加载条件、几何形状以及材料性质等因素。我们将使用数学模型和工程实 践来评估压杆在给定条件下的稳定性。
缺陷对稳定性的影响
压杆的稳定性可能受到结构缺陷的影响，如划伤、弯曲或异物。我们将研究 这些因素如何改变压杆的临界压力和整体稳定性。
材料力学10压杆稳定_4稳定条件_折减系数法
7
.7
查表得折减系数 1 0.354
l
由于所得 1与 1 相差过大，故需进行第二次试算
2）第二次试算
可取折减系数
2
1
1
2
0.427 ，根据稳定条件
F A2
300 103 A2
N
≤2
0.427 170 106
Pa
5
2）确定折减系数
压杆柔度 l 1 2000 mm 80.0
i cos 30o 28.87 mm
查表得折减系数
2m
1m
0.470
30o
3）稳定计算
a
a
根据压杆的稳定条件，
AB
FAB A
3F a2
3F 0.12 m2
≤ 0.47010106 Pa
F A1
300 103 A1
N
≤1
0.5 170 106
Pa
l
求得此时压杆的横截面面积
A1 ≥ 35.3cm2 查工字钢型钢表，可选 No. 20a 工字钢 根据 No. 20a 工字钢的截面几何参数，压杆柔度
1
l
i
0.7 420 cm 2.12 cm
138.7
减系数或稳定因数
1
二、压杆的稳定条件
F A
≤[st ] [ ]
说明： 1）对于等截面压杆，满足稳定条件一定满足强度条件 2）压杆局部截面的削弱不会影响整体的稳定性，但需补充对削弱 截面进行强度校核。
2
第七节 提高压杆稳定性的措施
第7章(压杆的稳定性问题)重要知识点总结(材料力学)
【陆工总结材料力学考试重点】之（第7章）压杆的稳定性问题1、压杆稳定性的特点？答：1）杆件两端受轴向压缩载荷作用；2）杆子比较细长；3）产生弯曲变形。
2、细长压杆的平衡状态？答：在F的作用下，压杆存在两种平衡状态：直线平衡状态，弯曲平衡状态。
F cr称为临界载荷，即使杆件恰好由直杆变为曲杆的压缩载荷。
压杆稳定性问题的关键就是求临界载荷F cr。
3、细长压杆的临界载荷——欧拉公式？答：细长压杆的临界载荷公式（欧拉公式）：F cr=π2EI (μL)2式中：L为压杆的实际长度，μ为长度系数，μL为压杆的相当长度（有效长度），I为压杆横截面对中性轴的惯性矩，E为弹性模量。
注意：对于上图所示矩形截面压杆，有两种弯曲可能，在xz面弯曲，或yx面弯曲，具体在哪个面弯曲，取决于惯性矩I z=bℎ312和I y=ℎb312的大小。
若I y>I z，则在xz平面内弯曲；若I z>I y，则在xy平面内弯曲；即采用F cr=π2EI(μL)2计算细长压杆的临界载荷时，I取I y、I z里面的较小值。
4、不同约束的长度系数μ值？1）对于图a）：细长压杆的一端为固定端约束，一端为自由端，μ=2 2）对于图b）：细长压杆的两端均为铰链约束，μ=13）对于图c）：细长压杆的一端为固定端约束，一端为铰链约束，μ=0.7 4）对于图d）：细长压杆的两端均为固定端约束， μ=0.5约束的强弱程度顺序：固定端约束>铰链约束>自由端约束可知：约束程度越强，则μ值越小。
5、临界正应力总图？答：根据不同压杆临界正应力σcr与长细比λ之间的关系绘成图，即可得到压杆的临界正应力总图：结论：杆子长细比λ越大，临界正应力σcr（临界载荷F cr=σcr A）越小，则杆子越容易弯曲（实际经验也可知道，杆子越细越长，则越容易被压弯）。
6、压杆的稳定性计算？答：设压杆的临界载荷为F cr，压杆实际承受的工作载荷为F，定义安全系数：n=F crF（可知，对于固定的压杆，其临界载荷为一固定值，则实际承受的工作载荷越小，安全系数就越大，压杆也就越安全），出于工程安全的考虑，假设压杆所允许的工作安全系数为[n]st（大于1的数），则实际操作中就必须满足：n=F crF≥[n]st。
材料力学-10-压杆的稳定问题
10.3 长细比与压杆分类
表10-1 常用工程材料的a和b数值 （P247）
10.3 长细比与压杆分类
3、粗短杆
——不发生屈曲，而发生屈服
s
对于粗短杆，临界应力即为材料的屈服应力:
cr s
三、 临界应力总图与P、s值的确定
π EI FPcr 2 l
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
3.两端固定
同理
M C 0, M D 0
D
FPcr
C
π EI 2 0.5l
2
π EI FPcr 2 l
2
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
两端铰支 ＝1.0
一端自由， 一端固定 ＝2.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
因为
1.3a
l 1 l 2 l 3
π 2 EI l 2
a
(1)
(2)
(3)
又 故
FPcr
FPcr1 FPcr2 FPcr3
（1）杆承受的压力最小，最先失稳； （3）杆承受的压力最大，最稳定。
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
例题 2
P
c
a\2
已知：图示压杆EI ，且 杆在B支承处不能转动。 求：临界压力。
A
π 2 EI 0.5a 2
第10章 压杆的稳定问题
10.3 长细比与压杆分类
10.3 长细比与压杆分类
一、 临界应力与长细比的概念
欧拉公式应用于线弹性范围
FPcr cr p A
σcr——临界应力(critical stress)； σp——材料的比例极限。 能否在计算临界荷载之前，预先判断压杆是否 发生弹性屈曲？
第10章 压杆稳定
第10章压杆稳定学习目标：1．了解失稳的概念、压杆稳定条件及其实用计算；2．理解压杆的临界应力总图；3．掌握用欧拉公司计算压杆的临界荷载与临界应力。
对承受轴向压力的细长杆，杆内的应力在没有达到材料的许用应力时，就可能在任意外界的扰动下发生突然弯曲甚至导致破坏，致使杆件或由之组成的结构丧失正常功能，此时杆件的破坏不是由于强度不够引起的，这类问题就是压杆稳定问题。
本章主要从压杆稳定的基本概念、不同支撑条件下的临界力、欧拉公式的适用条件以及提高压杆稳定性的措施方面加以介绍。
第一节压杆稳定的概念在研究受压直杆时，往往认为破坏原因是由于强度不够造成的，即当横截面上的正应力达到材料的极限应力时，杆才会发生破坏。
实验表明对于粗而短的压杆是正确的；但对于细长的压杆，情况并非如此。
细长压杆的破坏并不是由于强度不够，而是由于杆件丧失了保持直线平衡状态的稳定性造成的。
这类破坏称为压杆丧失稳定性破坏，简称失稳。
一、问题的提出工程结构中的压杆如果失稳，往往会引起严重的事故。
例如1907年加拿大魁北克圣劳伦斯河上长达548m的大铁桥，在施工时由于两根压杆失稳而引起倒塌，造成数十人死亡。
1909年，汉堡一个大型储气罐由于其支架中的一根压杆失稳而引起的倒塌。
这种细长压杆突然破坏，就其性质而言，与强度问题完全不同，杆件招致丧失稳定破坏的压力比招致强度不足破坏的压力要少得多，同时其失稳破坏是突然性，必须防范在先。
因而，对细长压杆必须进行稳定性的计算。
二、平衡状态的稳定性压杆受压后，杆件仍保持平衡的情况称为平衡状态。
压杆受压失稳后，其变形仍保持在弹性范围内的称为弹性稳定问题。
如图110-所示，两端铰支的细长压杆，当受到轴向压力时，如果是所用材料、几何形状等无缺陷的理想直杆，则杆受力后仍将保持直线形状。
当轴向压力较小时，如果给杆一个侧向干扰使其稍微弯曲，则当干扰去掉后，杆仍会恢复原来的直线形状，说明压杆处于稳定的平衡状态(如图)-所示)。
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材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
闽 南 理 工 学 院
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材料力学 Mechanics of Materials
பைடு நூலகம்
第十章 压杆稳定
Buckling of Columns
理想压杆
①均质、线弹性材料。 ②理想直杆，荷载沿轴线作用。
欧拉公式
Fcr
2 EI
材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
Buckling of Columns
稳定平衡、临界荷载 (Stable Equilibrium，Critical Load)
受压杆
不产生破坏，安全
满足强度要求，即 max []
产生突然的横向弯曲
而丧失承载能力
短粗杆 长细杆
闽 南
杆内压应力不超过比例极限p时才适用。于是要求
cr
2E 2
p
闽 南
称为杆的柔度或长细比
l
i
理 工 或者是 学
E
p
p
院
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材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
临界应力总图
cr cr=s, b
cr=ab
非弹性失稳
p
强度极限
cr=2E/2 欧拉曲线
闽
南
o
p
理
粗短杆 中长杆
细长杆
工
学 院
以Q235钢为例，材料的E=206GPa，p=200MPa
p E / p 100
0≈61.6
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材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
临界应力例题
矩 形 截 面 压 杆 的 截 面 宽 和 高 分 别 为 b＝12mm，h＝20mm。 杆 长 l=300mm。材料为Q235钢，弹性模量E=206GPa。试求此杆在（1） 一端固支，一端自由；（2）两端铰支；（3）两端固支这三种情况 下的临界力。
南
所以梁AC 的强度满足要求。
理
工
2，BD杆的稳定性
学 院
BD杆长度 l＝1.732m，两端铰接，＝1。截面的惯性半径 i＝d/4=40mm/4=10mm。杆的柔度
材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
临界应力例题
（2）两端铰支压杆 l 1 300mm 86.6 i 3.46mm
此时o< < p，属于中柔度杆。
闽 cr = a b = 304MPa1.12MPa86.6 = 207 MPa
南 理
Fcr= crA = 207106Pa1220106m2 = 49.7 kN
院
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材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
压杆的稳定条件
压杆的稳定条件
F Fcr nst
cr
nst
[ ]st
闽
南
压杆稳定也常用安全系数法做稳定校核。为了使压杆有足够的安全度， 必须使工作安全系数大于规定的稳定安全系数，即
理
工
学 院
n
Fcr F
稳定的直线平衡与不稳定的直线平衡之间 的平衡状态称为临界平衡状态。对应的荷 载称为临界荷载。
F
不稳定平衡
C
C C
闽 南
临界荷载与约束形式、材料性能、杆件几何 及刚度有关。
B 分叉点
稳定平衡
Fcr FC
理
工 稳定性准则
学
最大工作压力 F < 临界荷载 Fcr
院
o
v
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Pinned-pinned
解：
imin
Imin A
hb3 12bh
b 12 103 mm 3.46mm
12
12
闽
南
（1）一端固定，一端自由的压杆
理 工
l
i
2 300mm 3.46mm
173.2
p
学 院
Fcr
2E 2
bh
2 206 109 Pa 12 20 106 m2 173.22
16.3kN
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恢复直线平衡
除去扰动
v
闽
不稳定直线平衡
南
F Fcr
微小扰动
弯曲
理
新的弯曲平衡
除去扰动
工
学
随遇平衡
院
F Fcr 除直线平衡形式外，无穷小邻域内，可能微弯平衡
压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变，称为失稳
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材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
稳定条件
Le 2
2 EI ( L)2
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
闽
南
理
Le L
工
学
院
Le 2L
L L
Le 0.5L L
Le 0.7L
长度系数 1
2
0.5
0.7
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材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
临界应力
欧拉公式的适用范围
欧拉公式限于材料处于线弹性的情况。所以，欧拉公式也只能在
cr
nst
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材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
压杆的稳定条件
图示支架，材料均为Q235 钢。弹性模量E=200GPa，
许用应力[]＝160MPa。
A
C端受垂直载荷F＝15kN作
用。已知AC梁是14号工字
闽
钢，其抗弯截面系数Wz＝ 102cm3， 截 面 积 A＝21.5cm2。
最大工作应力小于 材料的极限应力
失去稳定性
理
工
建立不同的准则，即稳定性条件，确保压杆不失稳
学
院
工作最大值 < 临界值
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材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
平衡的稳定性
弹性杆件 稳定直线平衡
F Fcr F Fcr
F Fcr
F Fcr 微小扰动
弯曲
Mmax 15kN 0.75m 11.25kN m
FBy 22.50kN, FBx 38.97kN
x
M max Wz
FAx A
11.25 103 N m 102 106 m3
38.97 103 N 21.5 104 m2
闽
(110.29 18.13)MPa 129.10MPa [ ] 160MPa
工
学
院
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（3）两端固支的压杆
材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
临界应力例题
l
i
0.5 300mm 3.46mm
43.3 o
61.6
属于小柔度杆。临界应力就是屈服极限
闽
cr =s＝235MPa，
南
理
临界力
工 学
Fcr= crA = 235106Pa1220106m2 = 56.4 kN
南 BD为直径40mm的圆截面杆，
理 p＝100，稳定安全系数nst=
D
工 2.5。校核该结构的安全性。
学
院
1.5m 30o
0.75m
FBy
C
B F
FB FBy
30o
FBx
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材料力学 Mechanics of Materials
第十章 压杆稳定
压杆的稳定条件
解：1，梁AC受拉和弯，B点的弯矩最大