九年级数学微课资料：巧设二次函数表达式求解析式课件
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二次函数解析式求法 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
二次函数复习课
形如 y=ax2+bx+c(a≠0) 的函数叫做二次函数
解析法、列表法、 图像法
a>0，
开 口
抛物线开口 方
向上
向
a<0
抛物线开口
向下
对
x= b
称 轴
2a
顶
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
点 坐
标
二次函数
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
当b2-4ac>0时，抛物线与X轴 有两个交点，方程有两个不 等实根 当b2-4ac=0时，抛物线与X轴 有一个交点，方程有两个相 等实根
当b2-4ac<0时，抛物线与X轴 有两个交点，方程无实根
对实际问题进行观察和分析，并抽象 出数量关系、建立二次函数关系，利 用的二次函数的图像及性质它解决实 际问题
a=1或-1
又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5
(2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5
(4) y=-(x-1)2-5
展开成一般式即可.
小结:一般地,抛物线 y = ax2与y = ±a(x-h)2+k形状相同, 位置不同。
练习：
1、y=-x², y
2x2
2 x
，y=100-5x²，
y=3x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。
2.函数 y ax2 bx c（其中a、b、c为
形如 y=ax2+bx+c(a≠0) 的函数叫做二次函数
解析法、列表法、 图像法
a>0，
开 口
抛物线开口 方
向上
向
a<0
抛物线开口
向下
对
x= b
称 轴
2a
顶
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
点 坐
标
二次函数
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
当b2-4ac>0时，抛物线与X轴 有两个交点，方程有两个不 等实根 当b2-4ac=0时，抛物线与X轴 有一个交点，方程有两个相 等实根
当b2-4ac<0时，抛物线与X轴 有两个交点，方程无实根
对实际问题进行观察和分析，并抽象 出数量关系、建立二次函数关系，利 用的二次函数的图像及性质它解决实 际问题
a=1或-1
又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
顶点为(1,5)或(1,-5)
所以其解析式为:
(1) y=(x-1)2+5
(2) y=(x-1)2-5
(3) y=-(x-1)2+5
(4) y=-(x-1)2-5
展开成一般式即可.
小结:一般地,抛物线 y = ax2与y = ±a(x-h)2+k形状相同, 位置不同。
练习：
1、y=-x², y
2x2
2 x
，y=100-5x²，
y=3x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。
2.函数 y ax2 bx c（其中a、b、c为
求二次函数的解析式PPT教学课件
生物种类的多样性
我国珍稀的动植物
丰富多彩的生态系统
各种各样的环境,形成了多种类型 的生态系统.据初步统计,中国陆地生态 系统类型有森林212类.竹林36.灌丛113 类.草甸77类.沼泽37类.荒漠52类等.
生态系统的多样性—— 不同物种需要不同的生 态环境。生态系统的多 样性是生物种类多样性 的重要条件。
作业：
P 教材 21 1，2题
2.抛物线 y ax2 bx c 的图象如图所示,
（1）根据图象写出点A、B、C的坐标.
（2）求出这个二次函数的解析式.
解：A（1, 0）、B（3, 0）、 C（0, 3）
设这个二次函数的解析式为
y ax2 bx c (a 0)
根据题意得：
abc 0
4、外来物种入侵
…
生物多样性的保护对策
Байду номын сангаас
１．就地保护（根本途径）
就地保护最有效的办法是建立自然保护区。我
国现已建立3000多个自然保护区，其中有16个加入 到“世界生物圈保护区网”中。
设立自然保护区的目的：(主要功能) 保护珍稀濒危动植物的集中分布区
保护有代表性的自然生态系统
2、迁地保护：
把生存和繁衍受到严重威胁的物种迁出 原 地，移入动物园、植物园、水族馆和濒危动 物繁殖中 心，进行特殊保护和管理。
y 2(x 1)2 1 3
上+下-
向右平移4个单位
向上平移3个单位 （1, 4）
y 2(x 1 4)2 1 3
左+右-
向右平移4个单位 （5, 4）
y 2(x 5)2 4
y 2(x 5)2 4
6.抛物线
y 1 x2 2x 1 3
人教版九年级数上课件：求二次函数的解析式 (公开课课件精品21张ppt)
-16-
(4)抛物线的对称轴为直线 x＝2，且经过点(1，4)和(5，0)； 解：设所求抛物线的解析式为 y＝a(x－2)2＋k，∵抛物线过点(1，4)， (5，0)，∴aa（（15－－22））22＋＋kk＝＝40，，解得ak＝ ＝－92. 12，∴y＝－12(x－2)2＋92＝ －12x2＋2x＋52.
11)，(2，8)，(0，6)，用待定系数法求得 a＝2，b＝－3，c＝6.∴所求抛物
线的解析式为 y＝2x2－3x＋6.
(2)抛物线的顶点坐标为(3，－1)，且经过点(2，3)；
解：设所求抛物线的解析式为 y＝a(x－3)2－1，∵抛物线经过点(2，3)， ∴a(2－3)2－1＝3，∴a＝4.∴y＝4(x－3)2－1＝4x2－24x＋35.
教材感知
课关堂键能检力测
-20-
(2)若抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为点 P，求△ CPB 的面积．
(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴P(2，－1)．过 点 P 作 PH⊥y 轴于点 H，过点 B 作 BM∥y 轴交直线 PH 于点 M，过点 C 作 CN⊥y 轴交直线 BM 于点 N，如 图所示．S△ CPB＝S 矩形 CHMN－S△ CHP－S△ PMB－S△ CNB＝3×4 －12×2×4－12×1×1－12×3×3＝3，即△ CPB 的面积为 3.
3.解： 方程（组） 4.回代： （写解析式）
9a-3b+c=0，
a=-1
a-b+c=0， 解得 ，b=-4
c=-3，
， c=-3
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
第二十二章
分点训练
整合方法
综学合科素探养究
-6-
归纳总结
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
【公开课】人教版九年级数学上册求二次函数的解析式课件PPT
【 公 开 课 】 人教版 九年级 数学上 册 求 二 次函数 的解析 式（课 件）（ 共21张 ppt）
第二十二章
归纳总结
分点训练
整合方法
交点法求二次函数表达式的方法
综学合科素探养究
知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交 点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到 关于a的一元一次方程； ③将方程的解代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式.
整合方法
综学合科素探养究
-4-
探究归纳
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几
个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表
格的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15
【 公 开 课 】 人教版 九年级 数学上 册 求 二 次函数 的解析 式（课 件）（ 共21张 ppt）
第二十二章
分点训练
整合方法
顶点法求二次函数的表达式
综学合科素探养究
-8-
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二 次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是
y=a(x+2)2+1 把（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8 解得 a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1
第二十二章
分点训练
整合方法
综学合科素探养究
-5-
1.选取（-3，0），（-1，0），（0，-3）
初中数学求二次函数解析式2018.9微课ppt课件
(3)二次函数的图像经过点（3，-8）对称轴 为直线x=2，抛物线与X轴两个交点之间的 距离为6
本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意 根据不同的条件选择合适的解析式形式 （1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一 般式y＝ax2＋bx＋c形式。
（2）当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时， 通常设为顶点式y＝a(x-m)2＋k形式。 （3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标 时，通常设为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)。
若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式
3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，其 中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。
若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通 常可设交点式
例1、已知二次函数的图象经过(0,1),(2,4)，
(3,10)三点,请你用待定系数法求这个函数
的解析式。
例 2 、已知二次函数的图象经过 (0,1), 它 的顶点坐标是(8,9),求这个函数的解析式。
练习、已知抛物线的顶点在原点,且过(2,8), 求这个函数的解析式。
例3、已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、 B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解 析式．
练习1
ห้องสมุดไป่ตู้
根据下列已知条件，求二次函数的解析式： (1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5) (2)抛物线顶点为M(－1,2)且过点N(2,1)
二次函数专题（一）
求二次函数表达式
这节课的学习任务
熟悉二次函数的三种表达式，并 能根据题目的条件选择恰当的表达式 进行求解。
二次函数表达式：
三种基本形式
1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)。
本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意 根据不同的条件选择合适的解析式形式 （1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一 般式y＝ax2＋bx＋c形式。
（2）当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时， 通常设为顶点式y＝a(x-m)2＋k形式。 （3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标 时，通常设为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)。
若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式
3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，其 中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。
若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通 常可设交点式
例1、已知二次函数的图象经过(0,1),(2,4)，
(3,10)三点,请你用待定系数法求这个函数
的解析式。
例 2 、已知二次函数的图象经过 (0,1), 它 的顶点坐标是(8,9),求这个函数的解析式。
练习、已知抛物线的顶点在原点,且过(2,8), 求这个函数的解析式。
例3、已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、 B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解 析式．
练习1
ห้องสมุดไป่ตู้
根据下列已知条件，求二次函数的解析式： (1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5) (2)抛物线顶点为M(－1,2)且过点N(2,1)
二次函数专题（一）
求二次函数表达式
这节课的学习任务
熟悉二次函数的三种表达式，并 能根据题目的条件选择恰当的表达式 进行求解。
二次函数表达式：
三种基本形式
1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)。
人教版数学九年级上册22.1二次函数的解析式求法课件
已知条件
待定系数法 求二次函数解析式
所选方法
①已知三点坐标
用一般式法：y=ax2+bx+c
②已知顶点坐标或 对称轴或最值
用顶点法：y=a(x-h)2+k
③已知抛物线与x轴 的两个交点
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标）
步骤：设、列、解、答
求二次函数解析式的一般方法：
▪ 已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式
y ▪ 已知图象的顶点坐标以及另外一点坐标 通常选择顶点式
▪ 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，
o
x 通常选择两根式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式，
例2 根据下列条件求二次函数的解析式：
二次函数的解析式求法
旧知回顾
一次函数的解析式
y kx b(k 0)
二次函数的解析式：
其中h b , k 4ac b2
2a
4a
一般式： y ax2 bx c(a 0) 顶点式： y a(x h)2 k(a 0)
待定系数法
(1)设（解析式）；(2)代（点坐标） (3)解（方程（组））；(4)还原（解析式）
再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据左加右减得出抛物线的
解析式为y＝－x2，进而得出答案．
解：
(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)， ∴可设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)， 把(0，－3)代入得：3a＝－3，解得：a＝－1， 故抛物线的解析式为y＝－(x－1)(x－3)， 即y＝－x2＋4x－3， ∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
由顶点 (1，-4)得h=1，k=-4
求二次函数解析式共14页PPT资料
如图是某公园一圆形喷水池的效果图，水流在
各方向沿形状相同的抛物线落下。建立如图坐
标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路
线最高处B（1，2.25），如果你是设计师，那
么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水
流不致落到池外？
y
B A
x
O
C
如图所示是喷灌设备图，水管AB高出地 面1.5米，B处是自转的喷水头，喷出水 流呈抛物线状，点B与水流最高点C的连
二次函数的 解析式
顶点
对称轴
y ax2 （0 , 0 ）
yax2 k （0 , k ）
ya(xh)2 （ h , 0 ）
ya(xh)2k （ h , k ）
y轴 y轴 直线x＝h 直线x＝h
我们生活中有很多“抛物线”的例子， 你能举出几个出来吗？
已知二次函数的顶点在原点，且经过点 （2，4），求该函数的解析式。
解：设二次函数的解析式为 y ax2
把（2，4）代入上式，得：
4a 4
a 1
所以，二次函数的解析式为 y x2
已知抛物线顶点为M（1，2），且过点N （2，4）,求此二次函数解析式。
变式： 已知抛物线顶点为M（－1，－2），且 过点N（2，4）,求此二次函数解析式。
注意：代顶点坐标时的符号处理！
线与水平地面成45°角，BC= 2 2 米。
求水流落地点D到原点O的距离
1、已知抛物线的顶点是（- 2，-3）， 且经过点（-1，-2），求函数解析式；
2、如图，求抛物线的解析式
y
4
2
1
-5
－1 0
x已Leabharlann 抛物线 ya2xb xc(a0)经
二次函数解析式的求法(PPT课件(共24张PPT)
解:∵抛物线的顶点为(2,-1) ∴设解析式为:y=a(x-2)2-1 把点(-1,2)代入
a(-1-2)2-1=2
(3)图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)
解法(一)可设一般式 解法(二)可设两根式 解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0)
∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入
元山中学九年级四班
年1月12日
有两个交点，则a的取值范围是————
6。抛物线y=(k-1)x2+(2-2k)x+1，那么此抛物
线的对称轴是直线_________，它必定经过
________和____
7。若
为二次函数
的
图象上的三点，则 y1 ， y2 ，y3 的大小关
系是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.抛物线y= (k2-2)x2 -4kx+m的对称轴是直线 x=2，且它的最低点在直线y= -k x+2上，求函数
解析式。
9. y= ax2+bx+c图象与x轴交于点A、点B，与y 轴交于点C，OA=2，OB=1 ，OC=1，
求函数解析式
10。若抛物线
的顶点在 x轴的下
方，则 的取值范围是（ ）
Ａa>1． Ｂ．A<1 Ｃ． Ｄ．
11.（天津市）已知二次函数 的图象如图所示， 下列结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0； ④2c<3b；⑤a+b>m(am+b), （ 的实数）. 其中正确的结论序号有（ ）
8 已知抛物线 y=ax2+bx+c
a(-1-2)2-1=2
(3)图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)
解法(一)可设一般式 解法(二)可设两根式 解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0)
∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入
元山中学九年级四班
年1月12日
有两个交点，则a的取值范围是————
6。抛物线y=(k-1)x2+(2-2k)x+1，那么此抛物
线的对称轴是直线_________，它必定经过
________和____
7。若
为二次函数
的
图象上的三点，则 y1 ， y2 ，y3 的大小关
系是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.抛物线y= (k2-2)x2 -4kx+m的对称轴是直线 x=2，且它的最低点在直线y= -k x+2上，求函数
解析式。
9. y= ax2+bx+c图象与x轴交于点A、点B，与y 轴交于点C，OA=2，OB=1 ，OC=1，
求函数解析式
10。若抛物线
的顶点在 x轴的下
方，则 的取值范围是（ ）
Ａa>1． Ｂ．A<1 Ｃ． Ｄ．
11.（天津市）已知二次函数 的图象如图所示， 下列结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0； ④2c<3b；⑤a+b>m(am+b), （ 的实数）. 其中正确的结论序号有（ ）
8 已知抛物线 y=ax2+bx+c
九年级数学《求二次函数的解析式》课件
－x2＋(2＋
10)x＋3－
10＝－
x－ 2＋ 10
2
＋ 13,
2
2
∵－1<0,∴当 x＝2＋ 10 时,DE＋DF 有最大值,最大值为 13.
2
2
11.(几何直观、推理能力、应用意识、创新意识)已知二次函 数y＝2x2＋m. (1)若点(－2,y1)与(3,y2)在此二次函数的图象上,则y1 < y2(填 “>”“＝”或“<”); (2)如图,此二次函数的图象经过点(0,－4),正方形ABCD的顶 点C,D在x轴上,A,B恰好在二次函数的图象上,求图中阴影部 分的面积之和.
c＝0.
∴此二次函数的解析式为 y＝－x2－4x.
(2)∵S△AOP＝8,即12 ·4·yp ＝8,∴yp＝±4.
当 y＝4 时,4＝－x2－4x,解得 x1＝x2＝－2, ∴P1(－2,4); 当 y＝－4 时,－4＝－x2－4x,解得 x＝－2±2 2, ∴P2(－2－2 2,－4),P3(－2＋2 2,－4). 综上所述,点 P 的坐标为 P1(－2,4), P2(－2－2 2,－4),P3(－2＋2 2,－4).
∴B(2,4).∴S阴影＝S矩形BCOE＝2×4＝8.
8.如图,二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过坐标原点,与x轴交 于点A(－4,0). (1)求此二次函数的解析式; (2)在抛物线上存在点P,满足S△AOP＝8,请求出点P的坐标.
解:(1)把(0,0),(－4,0)分别代入 y＝ax2－4x＋c,得
c＝0,
解得 a＝－1,
16a＋16＋c＝0,
解:(1)A(2,－4),B(0,4). (2)设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2－4, 将B(0,4)代入,得4a－4＝4,解得a＝2. ∴抛物线的解析式为y＝2(x－2)2－4.
二次函数的解析式课件
弹性力学问题
在弹性力学中，二次函数 可以用于描述物体的应力 和应变关系，以及弹性体 的变形和稳定性等问题。
04
二次函数解析式的性质
二次函数的开口方向与a的关系
总结词：a的正负决定二次函数的开口方 向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
a的符号决定了二次函数的开口方向，这 是判断二次函数增减性的关键。
几何问题
二次函数与几何图形密切相关，可以 用于研究平面几何、立体几何中的一 些问题，例如抛物线、椭圆、双曲线 的性质和图像。
在物理问题中的应用
01
02
03
运动学问题
二次函数可以用于描述物 体在重力作用下的运动规 律，例如自由落体运动、 抛体运动等。
波动问题
在波动现象中，例如声波 、光波等，二次函数可以 用于描述波的传播规律和 性质。
参数的取值还影响抛物线 的顶点位置：顶点的x坐标 为-b/2a，y坐标为(4acb^2)/4a。
03
二次函数解析式的应用
在生活中的实际应用
金融领域
二次函数可以用于描述股 票价格、债券收益率等金 融数据的变动规律，帮助 投资者进行风险评估和预
测。
建筑领域
在建筑设计中，二次函数 可以用于计算结构物的受 力分析、稳定性等，以确 保建筑的安全性和稳定性
最小值为c-b^2/4a，此时二次函数开 口向上；最大值为c-b^2/4a，此时二 次函数开口向下。
二次函数的最小值或最大值在对称轴 上取得，即x=-b/2a处。
05
二次函数解析式的求解方法
配方法求解二次函数解析式
总结词
通过配方将二次函数转化为顶点式，便于分析函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
详细描述
初中九年级上册数学课件 二次函数 8、求二次函数的解析式
二、代 入已知点的坐标
三、求 求出方程（组）的解
四、写 出函数解析式 （一般形式）
练习1、已知二次函数在x=1时，y取得最小值-8， 且图像经过点（-2，10），求二次函数解析式。
【解】 由题，函数顶点为（1，-8）
设函数解析式为 y a x 12 8 a 0
经过点（-2，10），
得 a 2 12 8 10
（1）求点A与点C的坐标；
（2）当四边形OACB为菱形时，求函数 y ax2 bx 的关系式。
y
2
B
1
-1 O -1
C
12 3
-2 A
解：（1）A(1,-2)； C(2,0)
x
例3、如图，二次函数 y x2 2x 1 的图像顶点为A，二次
函数 y ax2 bx 的图像x与 轴交于原点O及另一点C，
A设1o抛物3线B 解x析式为
yA1 aox2
3bx
B
x c
(a 0)
1
Ao
3
B
x
32
C a b c 0
a 1
32
C
得 9a 3b c 0 解得 b 2
∴所求抛物线解析式c 为3 y x2 2x 3 或cy3x2 2x 3
∴所求抛物线解析式为 y x2 2x 3
例2、已知抛物线顶点为（1,-2），且与x轴的 一个交点横坐标为-1，求抛物线的解析式。
常见二次函数表达形式：
一般形式：y ax2 bx c (a 0)
对称轴：x b 顶点：( b , 4ac b2 )
2a
2a 4a
顶点式： y a x h2 k (a 0)
对称轴：x h 顶点：(h, k )
例1、已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图像经过点 A2,3，B1,0，C 0,3 ；
三、求 求出方程（组）的解
四、写 出函数解析式 （一般形式）
练习1、已知二次函数在x=1时，y取得最小值-8， 且图像经过点（-2，10），求二次函数解析式。
【解】 由题，函数顶点为（1，-8）
设函数解析式为 y a x 12 8 a 0
经过点（-2，10），
得 a 2 12 8 10
（1）求点A与点C的坐标；
（2）当四边形OACB为菱形时，求函数 y ax2 bx 的关系式。
y
2
B
1
-1 O -1
C
12 3
-2 A
解：（1）A(1,-2)； C(2,0)
x
例3、如图，二次函数 y x2 2x 1 的图像顶点为A，二次
函数 y ax2 bx 的图像x与 轴交于原点O及另一点C，
A设1o抛物3线B 解x析式为
yA1 aox2
3bx
B
x c
(a 0)
1
Ao
3
B
x
32
C a b c 0
a 1
32
C
得 9a 3b c 0 解得 b 2
∴所求抛物线解析式c 为3 y x2 2x 3 或cy3x2 2x 3
∴所求抛物线解析式为 y x2 2x 3
例2、已知抛物线顶点为（1,-2），且与x轴的 一个交点横坐标为-1，求抛物线的解析式。
常见二次函数表达形式：
一般形式：y ax2 bx c (a 0)
对称轴：x b 顶点：( b , 4ac b2 )
2a
2a 4a
顶点式： y a x h2 k (a 0)
对称轴：x h 顶点：(h, k )
例1、已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图像经过点 A2,3，B1,0，C 0,3 ；
九年级数学求二次函数的解析式课件
c
h
1.首先要求出该抛物线的函数关系式 2.由函数关系式求出C点的坐标，即求 出点C 离地面的高度h， h-0.15米-刘炜的身高即,他跳离地面的 高度.
用待定系数法 求二次函数的函数关系式
y
o
x
已知一个二次函数的图象经过三个点 （0，-1）,(-1,-2),(1,4),求这个函数的 关系式。
二次函数的基本函数关系式有哪些？ 一般式：y=ax² +bx+c （a≠0)
刘炜跳投
探索:
如图，刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行 的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时, 达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中 心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米, 在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求 出手时,他跳离地面的高度是多少?
分析：要求出他跳离地面的高度，关键是
h
o x
解：建立如图所示的直角坐标系,则抛物线的顶 点A(0,3.5),蓝筐中心点B(1.5,3.05)
所以，设所求的抛物线为y=ax² ＋3.5 又 抛物线经过点B（1.5，3.05），得 a=-0.2 即所求抛物线为y=-0.2x² ＋3.5 y 当x=-2.5时,代入得y=2.25 又2.25-1.9-0.15=0.2m 所以,他跳离地面的高度 为0.2m
解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是(8，9） 所以，设y=a(x-8)² ＋9 又抛物线经过点（0，1），得 1=a(0-8)²＋9
1 二次函数的关系式为 : y ( x 8) 2 9 8 1 2 即y x 2 x 1 8
要知道几个点才能用顶点式求解二次函数的关系式呢？
1 a 8
解：设所求函数关系式为y=ax² +bx+c
九年级数学二次函数解析式的确定(教学课件2019)
c 3 a b c 1
；安福相册 / 安福相册
；
虏齐王广 而秦灵公於吴阳作上畤 渭川千亩竹 传得天人之祐助云 乃悉征左右贤王 以材高举侍御史 宛城中无井 翁生授琅邪殷崇 楚国龚胜 涉领宫卫 而吴有严助 朱买臣 成帝永始元年二月 逮捕勃治之 又发边郡士马以千数 家室没入 后世称其忠 〔名喜 诏曰 夫婚姻之礼 灾变自除 是 时 攘之於幕北 而萧望之曰 戎狄荒服 万户侯岂足道哉 景帝即位 旱岁犬多狂死及为怪 可破灭也 上拜买臣会稽太守 六物不同 上之举错遵古之道 敕尽伯禽之赐 建侯於楚 诏曰 待诏夏贺良等建言改元 易号 授倪宽 兒姁蚤卒 欲率诸侯破秦乎 沛公骂曰 竖儒 后为丞相掾 或言和亲 至於 君不君 秦皇帝曰死而以谥法 不可交以私 孺为任侠 布以兵属梁 显明昭式 言高皇帝王子弟各有分地 外不知王处 从容视贤笑 妻君宁时在旁 孔子临河而还 反受其殃 赐食邑二百户 母乃令从后阁出去 我不忘矣 汉王拜通为博士 乐与今同 去将军 最为强国 暴虐杀伐 皆恐惧莫敢犯禁 诗 人美大其功 庙犹不世 补文学掌故缺 非所以安国家也 寿王对曰 臣闻古者作五兵 非编户齐民所能家作 当废 臣请有司御史大夫臣谊 宗正臣德 太常臣昌与太祝以一太牢具 嚣然丧其乐生之心 吴 楚反时 君王以魏豹故 讫於孝文 以故数月不发 大王高皇帝適长孙也 见谓不习事 有铁官 得 赋敛 撰《问道》第四 佷如羊 陛下共已亡为 故不可必也 薨 鼓琴 居湖 保东越 且往者图西域 丁宽字子襄 呜呼伤哉 建昭五年六月壬申晦 问以民所疾苦 谤讪天子 又献玉斗范增 征放归第视母公主疾 皇帝孝德 延中吏无所不狎侮 冬食生菜 乃二月丙戌 又东至琅槐入海 其以武阳县户二 千封何孙嘉为列侯 嘉 近金沴木 分皋数千钱 天下咸宁 秬鬯二卣 为中郎将 曰 惟居摄二年十月甲子 数年卒官 立广陵王胥少子弘为高密王 众皆万数 自弘始也 上曰 汝第往
；安福相册 / 安福相册
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虏齐王广 而秦灵公於吴阳作上畤 渭川千亩竹 传得天人之祐助云 乃悉征左右贤王 以材高举侍御史 宛城中无井 翁生授琅邪殷崇 楚国龚胜 涉领宫卫 而吴有严助 朱买臣 成帝永始元年二月 逮捕勃治之 又发边郡士马以千数 家室没入 后世称其忠 〔名喜 诏曰 夫婚姻之礼 灾变自除 是 时 攘之於幕北 而萧望之曰 戎狄荒服 万户侯岂足道哉 景帝即位 旱岁犬多狂死及为怪 可破灭也 上拜买臣会稽太守 六物不同 上之举错遵古之道 敕尽伯禽之赐 建侯於楚 诏曰 待诏夏贺良等建言改元 易号 授倪宽 兒姁蚤卒 欲率诸侯破秦乎 沛公骂曰 竖儒 后为丞相掾 或言和亲 至於 君不君 秦皇帝曰死而以谥法 不可交以私 孺为任侠 布以兵属梁 显明昭式 言高皇帝王子弟各有分地 外不知王处 从容视贤笑 妻君宁时在旁 孔子临河而还 反受其殃 赐食邑二百户 母乃令从后阁出去 我不忘矣 汉王拜通为博士 乐与今同 去将军 最为强国 暴虐杀伐 皆恐惧莫敢犯禁 诗 人美大其功 庙犹不世 补文学掌故缺 非所以安国家也 寿王对曰 臣闻古者作五兵 非编户齐民所能家作 当废 臣请有司御史大夫臣谊 宗正臣德 太常臣昌与太祝以一太牢具 嚣然丧其乐生之心 吴 楚反时 君王以魏豹故 讫於孝文 以故数月不发 大王高皇帝適长孙也 见谓不习事 有铁官 得 赋敛 撰《问道》第四 佷如羊 陛下共已亡为 故不可必也 薨 鼓琴 居湖 保东越 且往者图西域 丁宽字子襄 呜呼伤哉 建昭五年六月壬申晦 问以民所疾苦 谤讪天子 又献玉斗范增 征放归第视母公主疾 皇帝孝德 延中吏无所不狎侮 冬食生菜 乃二月丙戌 又东至琅槐入海 其以武阳县户二 千封何孙嘉为列侯 嘉 近金沴木 分皋数千钱 天下咸宁 秬鬯二卣 为中郎将 曰 惟居摄二年十月甲子 数年卒官 立广陵王胥少子弘为高密王 众皆万数 自弘始也 上曰 汝第往
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4a+2b+1=4，
9a+3b+1=10，
解这个方程组，得
a
3 2
,
b 3. 2
∴所求的二次函数的表达式是
y
3 2
x2
3 2
x
1.
先根据特殊点 求常数项
应用拓展
若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中的信息可知y关于x的函数关系式是( A )
A.y＝x2－4x＋3
B.y＝x2－3x＋4
C.y＝x2－3x＋3
D.y＝x2－4x＋8
巧妙选择合适的表达式
1. 如果已知三个已知点，通常选择一般式. 2.如果已知对称轴或者最值，通常选择顶点式. 3.如果已知两个与横轴的交点通常选择交点式.
设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3）， 可得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得：a＝1， 所以解析式为：y＝x2﹣2x﹣3
常考题型
1.已知抛物线与x轴的两个交点为A、B，且AB=6，顶点为(2,-3)， 求这个二次函数的解析式．
解：∵抛物线顶点为（2，-3），所以对称轴为x=2， 找到顶点后，再
如何选择合适的表达式求解析式：
一是： 根据题目提供的点或对称轴等信息选择； 二是： 根据图象具体情况选择. 三是： 根据提供的表格的信息选择.
二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ B ） A．y＝x2-2x+3 B．y＝x2-2x-3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x-3
巧设二次函数表达式 求解析式
问题思考
二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解 析式为（ ）
A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x+3 D．y＝x2+2x﹣3
二次函数常用表达式
1.一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) 2.顶点式 y=a(x-h)2+k（a≠0) 3.交点式 y=a(x-x1)(x-x2)
∵抛物线与x轴的两个交点为A、B，且AB=6
找一个任意点坐 标代入顶点式.
∴抛物线与x轴交点是（-1，0）或（5，0），
2.一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3Байду номын сангаас10)三点，求这个二 次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过 点(0, 1)，可得c=1.又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得