一级倒立摆的Simulink仿真设计
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单级倒立摆稳定控制
直线一级倒立摆系统在忽略了空气阻力及各种摩擦之后，可抽象成小车和匀质摆杆组成的系统，如图1所示。
mg θ
杆长为
2u
图1 直线一级倒立摆系统
图2 控制系统结构
假设小车质量M =0.5kg ，匀质摆杆质量m=0.2kg ，摆杆长度2l =0.6m ，x (t )为小车的水平位移，θ为摆杆的角位移，2
/8.9s m g =。控制的目标是通过外力u (t)使得摆直立向上（即0)(=t θ）。该系统的非线性模型为：
u ml x
m M ml mgl x
ml ml J +=++=++22)sin ()()cos (sin )cos ()(θθθθθθθ ，其中
231ml J =。 解：
一、 非线性模型线性化及建立状态空间模型
因为在工作点附近（0,0==θ
θ ）对系统进行线性化，所以 可以做如下线性化处理：
3
2
sin ,cos 13!
2!θθθθθ≈-
≈-
当θ很小时，由cos θ、sin θ的幂级数展开式可知，忽略高次项后， 可得cos θ≈1，sin θ≈θ，θ’^2≈0；
因此模型线性化后如下：
（J+ml^2）θ’’+mlx ’’=mgl θ (a)
ml θ’’+(M+m) x ’’=u (b) 其中
23
1ml J = 取系统的状态变量为,,,,4321θθ ====x x x
x x x 输出T x y ][θ=包括小车位移和摆杆的角位移.
即X=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x =⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡''θθx x Y=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡31x x
由线性化后运动方程组得 X1’=x ’=x2 x2’=x ’’=
m m M mg 3)(43-+-x3+m
m M 3)(44
-+u
X3’ =θ’=x4 x4’=θ’’=ml l m M g m M 3)(4)(3-++x3+ml
l m M 3)(43
-+-u
故空间状态方程如下：
X ’=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'4'3'2'1x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡-++-+-03)(4)(300
100003)(4300001
ml l m M g m M m m M mg ⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x + ⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--+ml l m M m m M 3)(43
03)(440 u
X ’=
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'4'3'2'1x x x x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-01818.3100
100006727.20000
1
⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x + ⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-5455.408182.10 u
Y= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡31x x =⎥
⎦⎤⎢⎣⎡01000001 ⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x 二、通过Matlab 仿真判断系统的可控与可观性，并说明其物理意义。
（1）判断可控性 代码：
A=[0 1 0 0;
0 0 -2.627 0; 0 0 0 1; 0 0 31.1818 0];
B=[0;1.8182;0;-4.5455];
P=ctrb(A,B); n=rank(P); 运行了得n= 4
所以P 为满秩，系统能控
（2）判断可观性 代码：
A=[0 1 0 0;
0 0 -2.627 0; 0 0 0 1; 0 0 31.1818 0];
B=[0;1.8182;0;-4.5455]; C=[1 0 0 0;
0 0 1 0]; P=obsv(A,C); n=rank(P); 运行了得n= 4
所以P 为满秩，系统能观。
三、能否通过状态反馈任意配置系统的极点？若能，通过Matlab 仿真确定反馈控制规律K （如图2），使得闭环极点配置在
j ±-=-=-=1,2,14.321λλλ上。并给出系统在施加一个单位脉冲输入时
状态响应曲线；
答： 因为系统完全能控，所以能通过状态反馈任意配置系统的极点。
要将闭环极点配置在j ±-=-=-=1,2,14.321λλλ上，所以期望特征方程为 |λI —(A-BK)|=（λ+1）*（λ+2）*(（λ+1）^2+1）
=λ^4+5λ^3+10λ^2+10λ+4
Matlab求解K如下：
A=[0 1 0 0;
0 0 -2.627 0;
0 0 0 1;
0 0 31.1818 0];
B=[0;1.8182;0;-4.5455];
J=[-1 -2 -1+i -1-i];
K=place(A,B,J);
运行得：
K=[ -0.089378 -0.22345 -9.0957 -1.1894];
未加入极点配置。
仿真图：
未进行极点配置仿真电路图（1）X的响应图：
Θ的响应图：
配置后：
加入极点配置仿真图（2）X的响应图：