§5简单的幂函数教案

§5 简单的幂函数

教学目标

1.了解指数是整数的简单幂函数的概念，巩固画函数图象的方法，培养学生识图和画图的能力．

2．会利用定义证明简单函数的奇偶性，提高学生的逻辑思维能力． ３．了解利用奇偶性画函数图象和研究函数的方法，培养学生分析问题和解决问题的能力．

重点难点

教学重点是幂函数的概念，奇函数和偶函数的概念． 教学难点是判断函数的奇偶性．

教学过程

导入新课

我们已经熟悉了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数（课题）．

新课推进

【问题1】 观察下列函数，x y =，2

1x y =，2x y =，1-=x y ，3

x y =，它们的解

析式有何共同的特点？

（通过观察发现这些函数的自变量在底数位置，指数都是常数，解析式右边都是幂．）

我们就给这种类型的函数起个名字叫幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就可以得到一般的式子。即幂函数的定义：

一般地，形如y x α

=()R α∈的函数称为幂函数，其中x 为自变量，α为常数．

（在中学阶段我们只关注1=α，2，3，2

1

，1-这几种情形，在第三章中将对2

1

x y =作一些讨论．）

【定义解读】理解幂函数的定义时，必须记住已下三点： （１） 幂的底数是自变量；

（２） 幂的指数是一个常数，它可以取任意实数； （３） 幂值前面的系数为1，否则不幂函数．

【例１】下列函数是幂函数的为( )

①y ＝1

x 2；②y ＝2x 2；③y ＝x 2＋x ；④y ＝(x －2)3；⑤y ＝1.

A ．①⑤

B ．②

C ．①

D ．①②④

【思路探究】 紧扣幂函数的概念，y ＝x α的形式是解题的关键．

【自主解答】 函数y ＝1

x

2可写成y ＝x －2的形式，是幂函数；y ＝2x 2的系数不是1，y

＝x 2＋x 等式右边是两个幂和的形式，y ＝(x －2)3底数不是自变量x ，y ＝1与y ＝x 0(x ≠0)不是同一函数，所以它们都不是幂函数．

【答案】 C

【例2】若函数y ＝(a 2－3a －3)x 2为幂函数，则a 的值为________．

【解析】 根据幂函数的定义，若函数y ＝(a 2－3a －3)·x 2为幂函数，则x 2的系数必为1，即a 2－3a －3＝1，所以a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或a ＝

4.

若函数2

223

(1)m

m y m m x --=-- 是幂函数，求m 的值．

【问题２】请同学们观察函数x y =，1

-=x y ，3

x y =的图象，这三个函数的图象在对

称性方面有没有共同的特点？它们都满足()()f x f x -=- 吗？

1

y x -=

3y x =

(1)1,(1)1,(1)(1)f f f f -=-=∴-=- (1)1,(1)1,(1)(1)f f f f -=-=∴-=- 11

(2),(2),(2)(2)22f f f f -=-=∴-=-

(2)8,(2)8,(2)(2)f f f f -=-=∴-=-

11

(3),(3),(3)(3)33

f f f f -=-=∴-=-

111111

(),(),()()282822

f f f f -=-=∴-=-

…

…

()()f x f x -=-

奇函数的定义：一般地，图象关于原点对称的函数叫作奇函数，在奇函数()f x 中， 有()()f x f x -=- 成立，反之，满足()()f x f x -=-的函数()y f x =一定是奇函数．

x

y

y = x 1

–1–2–3

1

23–1

–2–312

3O

x

y

y = x 3

–1–2–3

1

23–1

–2–312

3O

x

y

y = x

–1–2–3

1

23–1

–2–312

3O

【问题３】请同学们观察函数||y x =，2

y x =的图象，这两个函数的图象在对称性方面有没有共同的特点？它们都满足()()f x f x -= 吗？

偶函数的定义：一般地，图象关于y 轴对称的函数叫做偶函数．在偶函数()f x 中，有()(

)f x f x -=成立，反之，满足()()f x f x -=的函数()y f x =一定是偶函数．

奇偶性：当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性．

【定义解读】（１）其定义域关于原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就不具有奇偶性；

（２）若奇函数在0x =时有定义，则(0)0f

=；

（３）一般地，若()f x 为奇函数，则()f x 在[,]a b 和[,]b a --上具有相同的单调性；若()f x 为偶函数，则()f x 在[,]a b 和[,]b a --上具有相反的单调性；

【例３】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋2x ；(2)f (x )＝x 2－|x |＋1；(3)f (x )＝

x 2(x －1)

x －1

；(4)f (x )＝0. 【思路探究】 首先判断定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看是否满足f (－x )＝±f (x )即可．