高中数学立体几何中的向量方法.ppt

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高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算5空间向量运算的坐标表示3课件新人教A版选修2

变式训练
已知 a＝(1,2，12)，b＝(12，－12，1)，c＝(－2,3，－12)，d＝(1，－32，14)．
求证：a⊥b，c∥d.
证明： ∵ a＝ (1,2，12)， b＝ (12，－12，1)， ∴a·b＝1×12＋2×(－12)＋12×1＝0. ∴ a⊥ b. ∵ c＝ (－ 2,3，－12)， d＝ (1，－32，14)， ∴ c＝－ 2(1，－32，14)＝－ 2d. ∴ c∥ d.
(1)求证：EF⊥CF； (2)求E→F与C→G所成角的余弦值； (3)求 CE 的长． [分析] 可建立空间直角坐标系，利用向量的坐标形式解题．
[解] 建立如图 3 所示的空间直角坐标系 D－xyz，则 D(0,0,0)，E(0,0，12)，C(0,1,0)， F(12，12，0)，G(1,1，12)．
[解] (1)如图 1，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 AA1＝a，
则 B(4,4,0)，N(2,2，a)， A(4,0,0)，M(2,4，a2)，
图1
∴B→N＝ (－ 2，－ 2， a)， A→M＝ (－ 2, 4，a)，
2 由B→N⊥A→M得B→N·A→M ＝ 0， ∴4－8＋a2＝0，a＝2 2，
b32.
2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设 A(a1，a2，a3)，B(b1， b2， b3)，则： (1)A→B＝ (b1－ a1， b2－ a2， b3－ a3)； (2)AB＝ |A→B|＝
b1－ a1 2＋ b2－ a2 2＋ b3－ a3 2.
如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算间的关系？
|E→F|＝ |C→G|＝

人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件第1章空间向量与立体几何空间向量及其线性运算

能否用向量a,b表示?怎样表示?
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1

2
1
+
2 1
1

2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1

2
1

2
+ + +
++
1

2
+ 1 =
1

2
=
=
1

1.1.1空间向量及其线性运算课件(人教版)(2)

的想法是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量
表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决
立体几何问题.
在本章，我们就来研究这些问题.
情景引入
引例1
这是一个做滑翔
伞运动的场景.你能
想象,在滑翔过程中,
飞行员会受到来自哪
些不同方向、大小各
异的力吗？
这是一个做滑翔
伞运动的场景.可以
若 0， a与a的方向相反；
若 0， a 0.
空间向量
实数与空间向量a的积
是一个向量，记作 a，
其长度和方向规定如下：
（1） a a
（2）若 0, a与a的方向相同；
若 0， a与a的方向相反；
若 0， a 0.
2. 空间向量的线性运算
人教A版202X高中数学选择性必修第一册
第一章空间向量与立体几何
1.1.1 空间向量及其线性运算
星
学习目标
（1）经历向量及其运算由平面空间推广的过程，了解空间向量的
概念，发展数学抽象素养；
（2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；
（3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；
（4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.
反过来，a与b有什么位置关系时，a=λb？
对任意两个空间向量a, b（b 0）
, a / / b 存在实数，使a b
a
l
P
O
O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行
的非零向量称为直线l的方向向量
对于直线l上任意一点P，由向量共线的充要条件可知，存在唯一确
定的实数，使得 OP a . 也就是说，直线可以由其上一点和它的

高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)

，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高证明线面平行和垂直问题，可以用几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那么向量n
叫做平面的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类深度剖析
题型一利用空间向量证明平行问题例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明方法一如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？

高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算课件新人教A版选

(λa)·b＝λa·b＝a·(__λ_b___) a·b＝__b_·_a__
a·(b＋c)＝__a_·_b_＋__a_·_c___
3．空间两向量的数量积的性质：
垂直若 a，b 是非零向量，则 a⊥b ⇔ a·b＝0
共线同向：a·b＝|a|·|b|
向量
反向：a·b＝－|a|·|b|
数量
a·a＝___|a_||_a_|c_o_s_〈__a_，__a_〉_＝|a|2
－|O→A||A→B|cos〈O→A，A→B〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2，
所以 cos〈O→A，B→C〉＝|OO→→AA|·|BB→→CC|＝24－8×165
2＝3－52
2 .
所以向量O→A，B→C夹角的余弦值为3－52
2 .
题型3 利用数量积解决垂直问题探究1 已知垂直求参数
2．在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量A→B，A→D，A→A1两两的夹
角均为 60°，且|A→B|＝1，|A→D|＝2，|A→A1|＝3，则|A→C1|等于
A．5
B．6
()
C．4
D．8
【答案】A
【解析】在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中有，A→C1＝A→B＋A→D＋C→C1 ＝A→B＋A→D＋A→A1，所以有|A→C1|＝|A→B＋A→D＋A→A1|，于是有|A→C1|2＝|A→B＋A→D ＋A→A1|2，|A→C1|2＝|A→B|2＋|A→D|2＋|A→A1|2＋2|A→B|·|A→D|·cos 60°＋2|A→B|·|A→A1|·cos 60°＋2|A→D|·|A→A1|·cos 60°＝25，所以|A→C1|＝5.
积的
模 |a|＝ a·a

高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算课件

• 2.直观想象：向量运算的几何意义；
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二空间向量的加减运算及运算律
探对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．

高中数学《立体几何中的向量方法(一)》课件

抓住3个考点
突破3个考向
⇔_v_∥__u_.
③设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2，则 α⊥β⇔_u_1⊥__u__2
⇔u__1·_u_2＝__0__＝0.
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
3．点面距的求法
如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，
n
为平面
α
的法向量，则 →
B
到平面
α
|AB·n|
的距离 d＝___|n_|___.
→→ 故 cos〈B→E，C→D〉＝|BB→EE|·|CC→DD|＝
3 2 12＋h2× 5
＝ 10＋3 20h2，
所以
10＋3 20h2＝cos
30°＝
3， 2
解得
h＝
1100，即
AE＝
10 10 .
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
用向量法解答这类题要做到以下几点： ①建系要恰当，建系前必须证明图形中有从同一点出发的三条两两垂直的直线，如果图中没有现成的，就需进行垂直转化；②求点的坐标及有关计算要准确无误，这就需要在平时加强训练；③步骤书写要规范有序．
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
解取 AC 的中点 O，连接 OS、OB. ∵SA＝SC，AB＝BC， ∴AC⊥SO，AC⊥BO. ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC，又∵BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO.
如图所示，建立空间直角坐标系 O－xyz，则 B(0,2 3，0)，C(－ 2，0,0)，S(0,0,2 2)，M(1， 3，0)，N(0， 3， 2)． ∴C→M＝(3， 3，0)，M→N＝(－1,0， 2)，M→B＝(－1， 3，0)．

高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件

→ —→ (2)〈AB，C1A1〉；解答〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学题型探求当堂训练
问题导学
知识点一空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是②__③____.(填序号)答案
No Image
12345
规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行于向量a的直线.

高一数学ppt课件空间向量与立体几何课件4

→ → 所以BD＝(－3a,3b,0)，EA＝(0，－3b，－3c).
→ 1→ → 1→ 因为BM＝3BD＝(－a，b,0)，NA＝3EA＝(0，－b，－c)， → → → → 所以NM＝NA＋AB＋BM
＝(0，－b，－c)＋(3a,0,0)＋(－a，b,0)＝(2a,0，－c).
→ 又平面 CDE 的一个法向量是AD＝(0,3b,0)， → → 由NM· AD＝(2a,0，－c)· (0,3b,0)＝0， → → 得到NM⊥AD.
AB＝5，
∴AC、BC、C1C两两垂直.
如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
→ → ∵AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)，
→ → → → ∴AC· BC1＝0.∴AC⊥BC1，即 AC⊥BC1.
1 3 1 → → ∴MN＝(－4， 4 ，4)，AB1＝(1,0,1)，
1 1 → → ∴MN· AB1＝－4＋0＋4＝0.
→ → ∴MN⊥AB1，∴AB1⊥MN.
要点二利用空间向量证明平行关系
例 2 如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 M，N 分别在对角线 BD， 1 1 AE 上，且 BM＝3BD，AN＝3AE.求证：MN∥平面 CDE.
c2)，则l∥m⇔a∥b⇔
.
⇔ a＝kb
a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，
k∈R
(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝ (a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔ ⇔ . a· u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 (3)面面平行设平面 α ， β 的法向量分别为 u ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， v ＝ (a2 ， b2 ， c2)，则α∥β⇔u∥v⇔ ⇔ u＝kv a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，

高中数学理科基础知识讲解《87空间几何中的向量方法》教学课件

×
×
√
√
×
×
×
--
考点自诊
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= ,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )A.斜交 B.平行C.垂直 D.MN在平面BB1C1C内
B
--
考点自诊
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为( )
[0,π]
--
知识梳理
4.利用空间向量求距离(1)点到平面的距离如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.
--
知识梳理
--
知识梳理
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)直线的方向向量是唯一确定的. ( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的. ( )(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行. ( )(4)若空间向量a垂直于平面α,则a所在直线与平面α垂直. ( )(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角. ( )(6)已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos <m,n>= ,则直线l与平面α所成的角为120°. ( )(7)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为45°. ( )
|cos φ|
|cos φ|
--
知识梳理
(3)二面角①范围:二面角的取值范围是 . ②向量求法:若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量的夹角(如图①).设n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小.

3.2立体几何中的向量方法(平行、垂直、夹角、距离)(高中数学人教版选修2-1)

3.2立体几何中的向量方法
（1）方向向量与法向量（2）平行关系
（3）垂直关系
（4）夹角问题
（5）距离问题
（6）综合问题
（1）方向向量与法向量
1、空间中点的位置的确定：
点的位置向量
OP
2、空间中直线位置的确定：直线的向量式方程
AP t a
如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
三边所在的直线为x, y, z轴建立空间 A 直角坐标系.设正方体的棱长为1,
则A1 (1, 0, 0), B1 (1,1, 0),
X Z
D
证明 : 如图分别以D1 A1、D1C1、D1D
C
B
D1
C1
B1
C (0, 0,1), D(0, 0,1) 则A1 D (1, 0,1), B1C (1, 0,1) A1 D // B1C.即直线A1 D // B1C，
D! N A! B! C! M C B
平行;三是证明 MN 可以用平面
D A
方法:一是证明 MN与平面A1BD的法向量垂直;
法1:建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则可求得 M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0), A1(1,0,1),B(1,1,0).于是
一. 平行关系：
(1) l / / m a / / b a b ；
a b
l
m
(2) l / / ① a u a u 0 ；
u
α
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ，平面 , 的法向量分别为 u, v ，则

人教A版高中数学选修2-1课件：3-2立体几何中的向量方法第4课时空间向量的平行、垂直关系

探究 1:求平面的法向量【例 1】
如图,已知四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,试建立适当的坐标系,求: (1)平面 ABCD 与平面 SAB 的一个法向量; (2)平面 SCD 的一个法向量.
1 2
【方法指导】一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量的步骤:①设出平面的法向量为 n=(x,y,z);②找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);③根据法向量的定义建立关于 x,y,z 的方程组一个解,即得法向量. n·a = 0, n·b = 0; ④解方程组,取其中的
【解析】不妨设正方体的边长为 a,建立空间直角坐标系 Dxyz(如图),则 E(a,2,0),F(2,a,0),G(a,0,2). 设平面 EFG 的法向量为 n=(x,y,z), GE=(0,2,-2),
a a FE=( ,- ,0), 2 2 1 1 a a a a a
n ⊥ GE,⇒ 1 1 n ⊥ FE n·FE = x- y = 0,
2
2
2
2
(法二)以CD,CB,CE为正交基底,建立空间直角坐标系,则 E(0,0,1),D( 2,0,0),B(0, 2,0),A( 2, 2,0),M( , ,1),DE= (- 2,0,1),BE=(0,- 2,1),AM=(- 2 ,- 2 ,1). 设平面 BDE 的法向量为 n=(a,b,c),∴n⊥DE,n⊥BE, n·DE = 0, - 2a + c = 0, ∴ ∴ n·BE = 0, - 2b + c = 0, 令 c=1,则 a= 2 ,b= 2 ,n=( 2 , 2 ,1),∴n·AM=0.

高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.2空间中的平面与空间向量课件

【例1】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD
的中点.AB=AP=1,AD= √3 ,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的
一个法向量.
解因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.
如图,以 A 为坐标原点, , , 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间
· = 0,
则
即
- = 0,
· = 0,
= 3,
解得
令 z=1,则 x=y=3,
= .
故平面 ABC 的一个法向量为 n=(3,3,1).
探究点二有关空间向量的证明问题
角度1利用空间向量证明平行问题
【例2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,
第一章
1.2.2 空间中的平面与空间向量
课标要求
1.理解平面的法向量的定义并能在空间直角坐标系中正确地求出某一平
面的法向量;
2.能用向量语言表达线面、面面的垂直、平行关系;
3.理解三垂线定理及其逆定理.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
共线向量表示且直线不在平面内;③证明直线的方向向量与平面的法向量
垂直且直线不在平面内,如例2(1)中,FC1⊄平面ADE一定不能漏掉.
(2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.当然要
注意当法向量坐标中有0时,要使用n1=λn2这一形式.
变式训练2
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面

高中数学第一章空间向量与立体空间向量研究距离、夹角问题课件新人教A版选择性必修第一册

，1 2
，1 2
，故
PB
DE 0 1 1 0 . 22
所以 PB DE .
由已知 EF PB，且 EF DE E ，所以 PB 平面 EFD.
25
（3）解：已知 PB EF ，由（2）可知 PB DF ，故 EFD 是平面 CPB 与平面
PBD 的夹角. 设点 F 的坐标为 (x ，y ，z) ，则 PF (x ，y ，z 1) .
2
2
设向量 CN 与 MA 的夹角为，
则直线 AM 和 CN 夹角的余弦值等于| cos | .
13
步骤二：进行向量运算
CN MA 1 (CA CD) (CA 1 CB)
2
2
1
2
CA
1
CA
CB 1 CD
CA 1 CD
CB
2
4
2
4
11111. 2848 2
又 △ABC 和△ACD 均为等边三角形，所以| MA | | CN | 3 . 2
则 n2 n2
PQ PR
0 0
，所以
2x y
y
2z
z 0
0
，所以
x y
3z 2 2z
.
取 n2
(3，4 ，2) ，则 cos n1 ，n2
n1 n1
n2 (0 ，0 ，1)
n2
1
(3，4 ，2) 2 29 .
29Biblioteka 29步骤三：回到图形问题
设平面
PQR
与平面
A1B1C1 的夹角为
，则 cos
设
m
(x,
y,
z)
是平面
A1BE
的法向量，则

高中数学选择性必修一(人教版)《1.1.1空间向量及其线性运算》课件

(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
(2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决问题的关键；
(3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向，两者缺一不可，相互制约．
(2)直线可以由其上一点和它的方向向量确定．
3．空间向量共面的充要条件 (1)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)空间向量共面的充要条件：向量 p 与不共线向量 a，b 共
面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝x_a_＋__y_b_.
(二)基本知能小试 1．判断正误
又―C→D 与―D→E 不共线，根据向量共面的充要条件可知―M→N ，
―C→D ，―D→E 共面．
[方法技巧] 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若 p＝xa＋yb，则向量 p，a，b 共面．
3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
答案：3a－2b
知识点三空间向量共线、共面的充要条件 (一)教材梳理填空 1．空间向量共线的充要条件对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使__a_＝__λ_b__.
2．直线的方向向量 (1)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于直线 l 上的任意一点 P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 λ，使得―O→P ＝λa，把与__向__量__a__平__行___ 的非零向量称为直线 l 的方向向量．

高中数学人教版选修2-1教学课件：3.2《立体几何中的向量方法-空间角的计算》课件

b
a
a， b
|
a， b
a
b
结论：

| cos a, b |
|
已知 F1 与 E1 为四等分点，求异面直线
DF1与BE1的夹角余弦值？
z
D1 A1
F1 E1 B1
C1
① 几何法 ② 向量法
C
D A
x
y
B
cos < DF1,BE1 > = 15 17 cos < DF1,E1B> = - 15 17

A

B
| AB n | sinα = | AB | | n |
线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的补角的余角.
(1, y, z ) (0, 0, 2a) 0 z 0 n AA1 0 (1, y, z ) (0, a, 0) 0 y 0 n AB 0 3 1 n (1,0,0) AC1 ( a , a , 2a ) A 2 2
3 2 a AC1 CB1 1 2 2 cos AC1 , CB1 2 | AC1 | | CB1 | 3a
C
y
A
D
B
∴AC1和CB1的夹角为： 3
x
练习：Rt ABC中，BCA 900 , 现将 ABC沿着平面ABC的法向量
空间“角”问题
空间的角：
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。
一、线线角：
异面直线所成角的范围： 0, 思考： 2 C D CD, AB 与的关系？ D1 A DC, AB 与的关系？ B 设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1尝试用向量处理空间图形课件湘教版选修2-1

数量积： a b | a | | b | cos a, b
a1b1 a2b2 a3b3
夹角公式：cos a b a b
a1b1 a2b2 a3b3
| a | | b | a12 a22 a32 b12 b22 b32
2.若A(x1, y1, z1), B(x2 , y2 , z2 )，则：
设 F1 (
12C,C0,11)则, D11
(
1 2
,
A(1,
1 ,1) 2
0,
0),
B
(0,1,
0),
AA11
FF11C1
C1 D1 D1
C
C
BB11
y BB
所以： 1
11
AF1 ( 2 ,0,1)
,
BD1

(
, 2
2
,1)

|
cos

AF1,
BD1

|

| |
AF1 AF1
||
A1N 5
z
（2）求AD与平面ANM 所成的角. AA11
得n (1,1, 4) 又 AD (0,8, 0), BB11 M
3
|
sin

|
|
AD

n
|
A
| AD || n | | 0 18 0 |
3 34 , x B
8 12 12 ( 4)2 34
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：

0,

2