高中数学 立体几何中的向量方法.ppt
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【解】 以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如 图所示的空间直角坐标系Cxyz.
设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0)． 又设S(x，y，z)，则x>0，y>0，z>0.
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(1)证明：A→S＝(x－2，y－2，z)，B→S＝(x，y－2，z)，D→S ＝(x－1，y，z)．由|A→S|＝|B→S|得，
答案：13
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考点探究讲练互动
考点突破 考点 1 证明平行与垂直 例1 如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PC⊥平面 ABCD， PC＝2，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4， CD＝1，点 M 在 PB 上，PB＝4PM，PB 与平面 ABCD 成 30°的角．求证： (1)CM∥平面 PAD； (2)平面 PAB⊥平面 PAD.
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【证明】 以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在 直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐 标系Cxyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°.
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∵PC＝2，∴BC＝2 3，PB＝4. ∴D(0,1,0)，B(2 3，0,0)，
证明：由本例的解题过程可知A→B＝(0，－4,0)，
C→M＝ 23，0，23.
∴A→B·C→M＝0× 23＋(－4)×0＋0×32＝0. ∴A→B⊥C→M，即 AB⊥CM.
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考点 2 求直线与平面所成的角 例2 (2019·高考大纲全国改编卷)如图，四棱锥S－ABCD
中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB ＝BC＝2，CD＝SD＝1. (1)证明：SD⊥平面SAB； (2)求AB与平面SBC所成角的正弦值．
x＝－ 23y，
令 y＝2，得 n＝(－ 3，2,1)．
∵n·C→M＝－ 3× 23＋2×0＋1×32＝0， ∴n⊥C→M，又 CM⊄平面 PAD，∴CM∥平面 PAD.
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法二：∵P→D＝(0,1，－2)，P→A＝(2 3，4，－2)， 令C→M＝xP→D＋yP→A，
23＝2 3y 则 0＝x＋4y 32＝－2x－2y
第7课时 立体几何中的向量方法
2019高考导航
考纲展示
备考指南
1.理解直线的方向向量与平面的法 向量．
2.能用向量语言表述直线与直线、 直线与平面、平面与平面的垂直、 平行关系．
3.能用向量方法证明有关直线和平 面位置关系的一些定理(包括三垂 线定理)． 4.能用向量方法解决直线与直线、 直线与平面、平面与平面的夹角
b＝(－6,9,6)，则( )
A．l1∥l2 C．l1 与 l2 相交但不垂直
B．l1⊥l2 D．以上均不正确
答案：B
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2．已知M(1,0,1)，N(0,1,1)，P(1,1,0)，则平面MNP的一
个法向量是( )
A．(1,0,0)
B．(0,1,0)
C．(0,0,1)
D．(1,1,1)
解析：选 D.设平面 MNP 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 由已知得M→N＝(－1,1,0)，N→P＝(1,0，－1)， ∵n⊥M→N，n⊥N→P，
的计算问题，了解向量方法在研 究立体几何问题中的作用.
从近几年的高考试题来看， 利用空间向量证明平行与 垂直，以及求空间角是高 考的热点，题型主要为解 答题，难度属于中等偏高， 主要考查向量的坐标运算， 以及向量的平行与垂直的 充要条件，如何用向量法 解决空间角问题等，同时 注重考查学生的空间想象 能力、运算能力.
n·M→N＝－x＋y＝0 ∴n·N→P＝x－z＝0
，解得yz＝＝xx ，
取 x＝1，则 n＝(1,1,1)．
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3．已知直线l的方向向量为v，平面α的法向量是μ，且v·μ ＝0，则l与α的位置关系是__________． 答案：l⊂α或l∥α 4 ． 已 知 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 平 面 AB1D1 与 平 面 A1BD所成的角为θ(0°≤θ≤90°)，则cosθ＝__________.
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本节目录
教
考
名
知
材
点
师
能Leabharlann Baidu
回
探
讲
演
顾
究
坛
练
夯
讲
精
轻
实
练
彩
松
双
互
呈
闯
基
动
现
关
教材回顾夯实双基
基础梳理
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一___非__零___向量作
为它的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内
两不共线向量，n为平面α的法向
x＝－1
，方程组的解为y＝14
，
∴C→M＝－P→D＋14P→A， 由共面向量定理知C→M与P→D、P→A共面，故假设成立， 又∵CM⊄平面 PAD，∴CM∥平面 PAD.
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(2)取 AP 的中点 E，连接 BE， 则 E( 3，2,1)，B→E＝(－ 3，2,1)． ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. 又∵B→E·D→A＝(－ 3，2,1)·(2 3，3,0)＝0， ∴B→E⊥D→A，∴BE⊥DA， 又 PA∩DA＝A.∴BE⊥平面 PAD， 又∵BE⊂平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 PAD.
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【名师点评】 (1)利用空间向量解决空间中线面位置 关系的证明问题，以代数运算代替复杂的空间想象，为
解决立体几何问题带来了简捷的方法. (2)用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的 坐标系，并准确地确定点的坐标，另外运算错误也是解
题中常出现的问题．
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跟踪训练 1．本例(2)的条件不变，结论改为“求证：AB⊥CM.”则 如何用向量法证明？
A(2 3，4,0)，P(0,0,2)，M 23，0，32，
∴D→P＝(0，－1,2)，D→A＝(2 3，3,0)，
C→M＝ 23，0，23，
(1)法一：令 n＝(x，y，z)为平面 PAD 的一个法向量，
D→P·n＝0， 则D→A·n＝0，
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即－y＋2z＝0，
z＝12y， ∴
2 3x＋3y＝0，
量，则求法向量的方程组为n·a＝0 n·b＝0
.
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思考探究 直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？ 提示：不唯一，凡是在直线l上的非零向量或与l平行的 非零向量都可以作为直线的方向向量，凡是与平面垂直
的非零向量都可以作为平面的法向量．
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课前热身
1．若直线 l1，l2 的方向向量分别为 a＝(2,4，－4)，
【解】 以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如 图所示的空间直角坐标系Cxyz.
设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0)． 又设S(x，y，z)，则x>0，y>0，z>0.
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(1)证明：A→S＝(x－2，y－2，z)，B→S＝(x，y－2，z)，D→S ＝(x－1，y，z)．由|A→S|＝|B→S|得，
答案：13
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考点探究讲练互动
考点突破 考点 1 证明平行与垂直 例1 如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PC⊥平面 ABCD， PC＝2，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4， CD＝1，点 M 在 PB 上，PB＝4PM，PB 与平面 ABCD 成 30°的角．求证： (1)CM∥平面 PAD； (2)平面 PAB⊥平面 PAD.
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【证明】 以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在 直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐 标系Cxyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°.
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∵PC＝2，∴BC＝2 3，PB＝4. ∴D(0,1,0)，B(2 3，0,0)，
证明：由本例的解题过程可知A→B＝(0，－4,0)，
C→M＝ 23，0，23.
∴A→B·C→M＝0× 23＋(－4)×0＋0×32＝0. ∴A→B⊥C→M，即 AB⊥CM.
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考点 2 求直线与平面所成的角 例2 (2019·高考大纲全国改编卷)如图，四棱锥S－ABCD
中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB ＝BC＝2，CD＝SD＝1. (1)证明：SD⊥平面SAB； (2)求AB与平面SBC所成角的正弦值．
x＝－ 23y，
令 y＝2，得 n＝(－ 3，2,1)．
∵n·C→M＝－ 3× 23＋2×0＋1×32＝0， ∴n⊥C→M，又 CM⊄平面 PAD，∴CM∥平面 PAD.
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法二：∵P→D＝(0,1，－2)，P→A＝(2 3，4，－2)， 令C→M＝xP→D＋yP→A，
23＝2 3y 则 0＝x＋4y 32＝－2x－2y
第7课时 立体几何中的向量方法
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考纲展示
备考指南
1.理解直线的方向向量与平面的法 向量．
2.能用向量语言表述直线与直线、 直线与平面、平面与平面的垂直、 平行关系．
3.能用向量方法证明有关直线和平 面位置关系的一些定理(包括三垂 线定理)． 4.能用向量方法解决直线与直线、 直线与平面、平面与平面的夹角
b＝(－6,9,6)，则( )
A．l1∥l2 C．l1 与 l2 相交但不垂直
B．l1⊥l2 D．以上均不正确
答案：B
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2．已知M(1,0,1)，N(0,1,1)，P(1,1,0)，则平面MNP的一
个法向量是( )
A．(1,0,0)
B．(0,1,0)
C．(0,0,1)
D．(1,1,1)
解析：选 D.设平面 MNP 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 由已知得M→N＝(－1,1,0)，N→P＝(1,0，－1)， ∵n⊥M→N，n⊥N→P，
的计算问题，了解向量方法在研 究立体几何问题中的作用.
从近几年的高考试题来看， 利用空间向量证明平行与 垂直，以及求空间角是高 考的热点，题型主要为解 答题，难度属于中等偏高， 主要考查向量的坐标运算， 以及向量的平行与垂直的 充要条件，如何用向量法 解决空间角问题等，同时 注重考查学生的空间想象 能力、运算能力.
n·M→N＝－x＋y＝0 ∴n·N→P＝x－z＝0
，解得yz＝＝xx ，
取 x＝1，则 n＝(1,1,1)．
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3．已知直线l的方向向量为v，平面α的法向量是μ，且v·μ ＝0，则l与α的位置关系是__________． 答案：l⊂α或l∥α 4 ． 已 知 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 平 面 AB1D1 与 平 面 A1BD所成的角为θ(0°≤θ≤90°)，则cosθ＝__________.
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名
知
材
点
师
能Leabharlann Baidu
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顾
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精
轻
实
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彩
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双
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动
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关
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基础梳理
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一___非__零___向量作
为它的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内
两不共线向量，n为平面α的法向
x＝－1
，方程组的解为y＝14
，
∴C→M＝－P→D＋14P→A， 由共面向量定理知C→M与P→D、P→A共面，故假设成立， 又∵CM⊄平面 PAD，∴CM∥平面 PAD.
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(2)取 AP 的中点 E，连接 BE， 则 E( 3，2,1)，B→E＝(－ 3，2,1)． ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. 又∵B→E·D→A＝(－ 3，2,1)·(2 3，3,0)＝0， ∴B→E⊥D→A，∴BE⊥DA， 又 PA∩DA＝A.∴BE⊥平面 PAD， 又∵BE⊂平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 PAD.
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【名师点评】 (1)利用空间向量解决空间中线面位置 关系的证明问题，以代数运算代替复杂的空间想象，为
解决立体几何问题带来了简捷的方法. (2)用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的 坐标系，并准确地确定点的坐标，另外运算错误也是解
题中常出现的问题．
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跟踪训练 1．本例(2)的条件不变，结论改为“求证：AB⊥CM.”则 如何用向量法证明？
A(2 3，4,0)，P(0,0,2)，M 23，0，32，
∴D→P＝(0，－1,2)，D→A＝(2 3，3,0)，
C→M＝ 23，0，23，
(1)法一：令 n＝(x，y，z)为平面 PAD 的一个法向量，
D→P·n＝0， 则D→A·n＝0，
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即－y＋2z＝0，
z＝12y， ∴
2 3x＋3y＝0，
量，则求法向量的方程组为n·a＝0 n·b＝0
.
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思考探究 直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？ 提示：不唯一，凡是在直线l上的非零向量或与l平行的 非零向量都可以作为直线的方向向量，凡是与平面垂直
的非零向量都可以作为平面的法向量．
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课前热身
1．若直线 l1，l2 的方向向量分别为 a＝(2,4，－4)，