2018中考数学,二次函数性质综合题.pptx

过定点(0，1)，(－2，－1)．
又因为当 k＝0 时，函数 y＝x＋1 的图象与 x 轴有一个交点； 当 k≠0 时，∵Δ＝(2k＋1)2－4k＝4k2＋1>0，所以函数图象与 x 轴有两个交点．
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学海无 涯 所以函数 y＝kx2＋(2k＋1)x＋1 的图象与 x 轴至少有 1 个交点. (3)只要写出 m≤－1 的数都可以. ∵k<0，
(1) 当 k＝－2 时，求反比例函数的解析式； (2)要使反比例函数与二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围； (3)设二次函数的图象的顶点为 Q，当△ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k 的值．
考向 2) 函数类型不确定型(杭州：2015.20，2014.23，2012.18) 针 对演练
考向 2 函数类型不确定型 针对演练
1. 解： k 只有取－1 时，才有最大值， 当 k＝1，函数为 y＝－4x＋4，是一次函数，一次函数无最值， 当 k＝2，函数为 y＝x2－4x＋3，为二次函数，而此函数开口向上，则无最大值； 当 k＝－1，函数为 y＝－2x2－4x＋6，为二次函数，此函数开口向下，有最大值，变形为 y＝－2(x＋1)2＋8，则当 x＝－1 时，ymax＝8. 2. 解：(1)当 k＝0 时，y＝－(x－1)(x＋3)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
∴抛物线与直线 l 的交点的横坐标为－1，
当 x＝－1 时，y＝－2×(－1)＋2＝4，
∴抛物线过点(－1，4)，
当 x＝－1 时，m＋2m－2＝4， 解得 m＝2， ∴抛物线的解析式为 y＝2x2－4x－2.
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学海无 涯 3. 解：(1)∵直线 y＝x－1 与 x 轴的交点为(1，0)，y＝kx2＋(3k＋2)x＋2k＋2 经过点(1，0)， ∴0＝k＋3k＋2＋2k＋2， ∴6k＋4＝0，即 k＝－23.
∴抛物线的解析式为 y＝－23x2＋23. (2)∵点 A(x1，y1)，B(x2，y2)是二次函数图象上两个点， ∴y1＝kx12＋(3k＋2)x1＋2k＋2，y2＝kx22＋(3k＋2)x 2＋2k＋2， 两式相减，得 y1－y2＝[kx21＋(3k＋2)x1＋2k＋2]－[kx22＋(3k＋2)x2＋2k＋2] ＝k(x1＋x2)(x1－x2)＋(3k＋2)(x1－x2) ＝－3k(x1－x2)＋(3k＋2)(x1－x2) ＝2(x1－x2)， 当 x1＞x2时，y1＞y2； 当 x1＝x2时，y1＝y2； 当 x1＜x2时，y1＜y2； 4. 解：(1)∵点 A(1，k)在反比例函数图象上， ∴设反比例函数为 y＝kx，
16，
∴这时抛物线开口向上，B(－10，0)， 如解图②所示，抛物线的对称轴是 x＝ －2，由图象可知：当 y1 随着 x 的增大而减小时，自变量 x 的取值范围是 x≤
－2；
第 1 题解图②
综合以上两种情况可得：当ห้องสมุดไป่ตู้y1 随着 x 的增大而减小时，自变量 x 的取值范围是 x≥2 或 x≤－2. 2. 解：(1)当 x＝0 时，y＝－2， ∴A(0，－2)， ∵抛物线的对称轴为直线 x＝－－2m2m＝1，
第 2 题图
3. 已知二次函数 y＝kx2＋(3k＋2)x＋2k＋2. (1) 若二次函数图象经过直线 y＝x－1 与 x 轴的交点，求此时抛物线的解析式；
(2)点 A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数图象上的两个点，若满足 x1＋x2＝－3，试比较 y1 和 y2 的大小关系．
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学海无 涯
4. (2012 杭州)在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数 y＝k(x2＋x－1)的图象交于点 A(1，k)和点 B(－1，－ k)．
16，
∴这时抛物线开口向下，B(10，0)； 如解图①所示，抛物线的对称轴是 x＝2， 由图象可知：当 y1 随着 x 的增大而减小时，自变量 x 的取值范围是 x≥2；
第 1 题解图①
②当 n＝－8 时，一次函数为 y2＝43x－8，当 y＝0 时，x＝6，求得点 A 的坐标为(6，0)， ∵抛物线 y1＝ax2＋ bx＋c(a≠0)与 x 轴相交于点 A，B(点 A，B 在原点 O 两侧)，与 y 轴相交于点 C，且线段 AB 长为
的取值范围．
2. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝mx2－2mx－2(m≠0)与 y 轴交于点 A，其对称轴与 x 轴交于点 B. (1)求点 A，B 的坐标； (2) 若抛物线在－2≤x≤3 的区间上的最小值为－3，求 m 的值； (3) 设直线 l 与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，且该抛物线在－2＜x＜－1 这一段位于直线l 的上方，在 2＜x ＜3 这一段位于直线 AB 的下方，求该抛物线的解析式．
故 m 的 值 为 1 或－18 . (3)易得 A 点关于对称轴直线 x＝1 的对称点 A′(2，－2)， 则直线 l 经过 A′、B， 设直线 l 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
则2k＋b＝－2， k＋b＝0
解得k＝－2， b＝2
∴直线 l 的解析式为 y＝－2x＋2； ∵抛物线的对称轴为直线 x＝1， ∴抛物线在 2＜x＜3 这一段与在－1＜x＜0 这一段关于对称轴对称， 则抛物线在－2＜x＜－1 这一段位于直线 l 的上方，在－1＜x＜0 这一段位于直线l 的下方，
1. (2012 杭州)当 k 分别取－1，1，2 时，函数 y＝(k－1)x2－4x＋5－k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理
由，若有，请求出最大值．
2. (2015 杭州)设函数 y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k 是常数)． (1)当 k 取 1 和 2 时的函数 y1 和 y2 的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当 k 取 0 时函数的图象；
∵k＝－2，∴y＝－2x； (2)要使得反比例函数是 y 随着 x 的增大而增大，
∴k<0. 而对于二次函数 y＝kx2＋kx－k，其对称轴为 x＝－12， 要使二次函数满足上述条件，在 k<0 的情况下， 则 x 必须在对称轴的左边， 即 x<－12时，才能使得 y 随着 x 的增大而增大；
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学海无 涯 综上所述，则 k<0，且 x<－12时，反比例函数与二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大； (3)由(2)可得 Q(－12，－54k)；
②当
k－1＞0
即
k＞1
时函数有最小值，且最小值在函数顶点处取得．即
4（k－1）（2－k）－1
(2)根据图象，写出你发现的一条结论； (3)将函数 y2 的图象向左平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，得到函数y3 的图象，求函数 y3 的最小值．
第 2 题图
3. (2011 杭州)设函数 y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k 为实数)．
(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，画出这两个特殊函数的图象；
∴不论 k 为何值，该函数的图象与 x 轴总有交点；
(2)解：∵函数 y＝(k－1) x2＋x－k＋2 过原点，
∴－k＋2＝0， ∴k＝2， ∴y＝x2＋x， 令 y＝x2＋x＝0， 解得 x＝0 或 x＝－1， ∴函数图象与 x 轴的另一个交点为(－1，0)； (3)解：①k－1＝0 即 k＝1 时，函数 y＝x＋1 为一次函数，无最小值．
(3) 若该函数图象为抛物线，将其向上平移 2 个单位后，平移前后图象、对称轴和 y 轴围成的图形面积为 4， 求此时 k 的值．
6. 关于 x 的函数 y＝2kx2＋(1－k)x－1－k(k 是实数)，探索发现了以下四条结论：
①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
②当 k＝－3 时，函数图象的顶点坐标是(13， 83)；
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学海无 涯 (2)根据所画图象，猜想出：对任意实数 k，函数的图象都具有的特征，并给予证明； (3)对任意负．实数 k，当 x＜m 时，y 随着 x 的增大而增大，试求出 m 的一个值．
4. 已知函数 y＝(k－1)x2＋x－k＋2(k 为常数)． (1) 求证：不论 k 为何值，该函数的图象与 x 轴总有交点； (2) 当 k 为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与 x 轴的另一个交点； (3)试问该函数是否存在最小值－3？若存在，求出此时的 k 值；若不存在，请说明理由． 5. 已知关于 x 的函数 y＝kx2＋(2k－1)x－2(k 为常数)． (1) 试说明：无论 k 取什么值，此函数图象一定经过(－2，0)； (2) 在 x>0 时，若要使 y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围；
画出函数图象如解图，
第 3 题解图
(2)不论 k 取何值，函数 y＝kx2＋(2k＋1)x＋1 的图象必过定点(0，1)，(－2，－1)，且与 x 轴至少有1 个交点.
证明如下：
由 y＝kx 2＋(2k＋1)x＋1，得 k(x2＋2x)＋(x－y＋1)＝0. 当 x2＋2x＝0 且 x－y＋1＝0，即 x＝0，y＝1 或 x＝－2，y＝－1 时，上式对任意实数k 都成立，所以函数的图象必
第 4 题解图
∵A 点与 B 点关于原点对称， ∴原点 O 平分 AB.
又∵直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半，
∴OQ＝OA＝OB.
作 AD⊥OC，QC⊥OC，OQ＝ CQ2＋OC2＝
1265k2
1 ＋4.
而 OA＝ AD2＋OD2＝ 1＋k2，
∴ 14＋2156k2 ＝ 1＋k2，
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则 k＝ 3 或 k＝－ 3 .
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学海无 涯 ∴B(1，0)； (2)易知抛物线 y＝mx2－2mx－2 的对称轴为 x＝1， 当 m＞0 时，抛物线开口向上， ∵－2≤x≤3，∴y 在 最小值 x＝1 处取得，y 最小值＝－m－2， ∴－m－2＝－3，∴m＝1， 当 m＜0 时，抛物线开口向下， y 在 最小值 x＝－2 处 取 得 ，即 8m－2＝－3，∴m＝－18 .
学海无 涯
第二部分 题型研究
题型二 二次函数性质综合题 类型二 二次项系数不确定型 针对演练
1. (2013 杭州)已知抛物线 y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴相交于点 A、B(点 A、B 在原点 O 两侧)，与 y 轴相交于点 C， 1
且点 A、C 在一次函数 y2＝43x＋n 的图象上，线段 AB 长为 16，线段 OC 长为 8，当 y1 随着 x 的增大而减小时，求自变量 x
(3)k＝2 时，函数 y ＝(x－1)2，
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此函数图象的顶点坐标为(1，0)，向左平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，
得到函数 y 图象的顶点坐标为(－3，－2)，则 y ＝(x＋3)2－2，
3
3
∴当 x＝－3 时，函数的最小值等于－2.
3. 解：(1)如两个函数为 y＝x＋1，y＝x2＋3x＋1，
∴函数 y＝kx2＋(2k＋1)x＋1 的图象在对称轴 x＝－ 2k2＋k 1的左侧时，y 随 x 的增大而增大.
4. (1)证明：若 k＝1 时，函数为一次函数，与 x 轴有交点， 若 k≠1 时，函数为二次函数 y＝(k－1)x2＋x－k＋2 Δ＝1－4(k－1)(2－k)＝(2k－3)2≥0，
③当
k>0
时，函数图象截
x
3 轴所得的线段长度大于2；
④当 k≠0 时，函数图象总经过两个定点．
请你判断四条结论的真假，并说明理由．
答案
1. 解：∵点 C 在一次函数 y2＝43x＋n 的图象上，线段 OC 长为 8，∴n＝±8，
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学海无 涯 ①当 n＝8 时，一次函数为 y2＝43x＋8，当 y＝0 时，x＝－6，求得点 A 的坐标为 A(－6，0)， ∵抛物线 y1＝ax2＋bx＋c (a≠0)与 x 轴相交于点 A，B(点 A，B 在原点 O 两侧)，与 y 轴相交于点 C，且线段 AB 长为
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学海无 涯 则此函数为二次函数，它的图象与 x 轴交于点(1，0)、(－3，0)，与 y 轴的交点为(0，3)，顶点为(－1，4)，
利用描点法所画函数的图象如解图：
第 2 题解图
(2)①图象都经过点(1，0)和点(－1，4)；
②图象总交 x 轴于点(1，0)； ③k 取 0 和 2 时的函数图象关于点(0，2)中心对称；(答案不唯一，写出一条即可)