模糊数学 第二章 模糊模式识别

1. 用距离定义贴近度 定义 3.5.8 设 d p(A, B) 是F (X) 上的 Minkowski 距离， 用 d p(A, B) 定义贴近度 σ p(A, B) 如下：
A, B 1 k d p A, B ,

3.5.30
其中 k, α 是两个适当选择的参数，使0≤σ p(A, B)≤ 1
1 n A, B 1 Axi Bxi , 1 n i 1
3.5.33
A, B 1 1
1 ba

b
a
A xi B xi dx
3.5.34
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以及相对Euclid 贴近度：
1 n 2 2 A, B 1 Axi Bxi n i 1
3
例2.
医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别
过程。设论域 X = {各种疾病的症候} (称为症候群空
间) 。各种疾病都有典型的症状，由长期临床积累的
经验可得标准模型库 = {心脏病，胃溃疡，感冒，…}，
显然，这些模型(疾病)都是模糊的。病人向医生诉说
症状(也是模糊的)，由医生将病人的症状与标准模型
AC x B C x
xX


AC ⊙ BC.
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例 2.12 设 X ={x1, x2, x3, x4, x5, x6},
A 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.4 , x1 x 2 x3 x 4 x5 x6
0.4 0.6 0.8 1 0.8 0.6 B , x1 x2 x3 x 4 x5 x6
xX
x X ,
故 ( A∘B)C 是数集 {1－ ( A(x) B(x)) | xX } 的一个下
界，从而
A B C
1 Ax Bx .
xX
3.5.44
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以下证明 (2.44) 式中只有等号成立。因为，如果有
A B C
1 (A⊝B) (x)= 1 Ax Bx , 2
3.5.37
称 ⊝ 为“模糊均差”。 显然，A⊝BF (X)，且 A⊝B≥1/2。
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命题 3.5.3 令 σ ( A, B) = v1 ( A⊝B)，则 v1 ( A⊝B)
是F (X) 上的贴近度。 证明： 验证 v1 ( A⊝B) 符合定义 3.5.7 的三条公理 (σ1) (σ3)。 (σ1): x X， A F (X) ，因为 ( A⊝A) (x) = ½，
为 a 的余。
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命题 2.4 内积与外积运算有以下性质：
(1) ( A∘B)C=AC ⊙BC，( A ⊙ B)= AC ∘ BC； (2) A∘B Ah Bh， A ⊙ B AbBb； (3) A∘A =Ah， A ⊙ A = Ab， A∘AC ½， A ⊙ AC ½；
(4) λ[0, 1]，则 (λA)∘B= λ ( A∘B)= A∘ (λB)；
1/ 2
,
3.5.35
1/ 2 1 b 2 A, B 1 Axi Bxi dx 3.5.36 2 a ba
容易验证，上述各式定义的贴近度 σ 均满足 定义 3.5.7 的三条公理。
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2. 用模糊度来表示贴近度 定义 3.5.9 设 A，B F (X) ，xX，令
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定义 2.11 设 A，BF (X)，称
σL( A，B) = ( A∘B) ( A ⊙ B)C 或 σL( A，B) =1/2 [( A∘B) + ( A ⊙ B)C ] (3.5.46) (3.5.45)
b2, …bn} 的内积
a b ai bi
i 1 n
比较，可以看出 A∘B 与 a· b 十分相似，只要把经典 数学中的内积运算的加 “+” 与乘 “ • ” 换成逻辑 加 “” 与逻辑乘 “” 运算，就得到 A∘B。
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若 AF 为 Ab
(X)，记 A 的 “高” 为 Ah ，A 的 “低”
2 F模式识别
模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中 经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式 就是在已知各种标准类型(数学形式化了的类型)的前 提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学形
式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带
有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。
1
在科学分析与决策中，我们往往需要将搜集到
则
A B 0.6 0.4 0.8 0.6 1 0.8 0.8 1 0.6 0.8 0.4 0.6 0.8 ,
A ⊙ B 0.6 0.4 0.8 0.6 1 0.8 0.8 1 0.6 0.8 0.4 0.6 0.6 ,
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1 1 Ax Bx ( Ax0 Bx0 ),
xX
即
1 ( Ax0 Bx0 ) 1 Ax Bx ,
xX
这与下确界的定义矛盾，因此 (3.5.44) 式只有等式成 立，即有
A B C x 1 Ax Bx X 1 Ax 1 Bx xX
n
,
3.5.31
1/ p
p A, B 1
p 1 A x B x dx i i a b a b
3.5.32
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若分别取相对 Hamming 距离 (p =1) 和相对Euclid 距离 (p =2) 时，可得相对 Hamming 贴近度：
的历史资料归纳整理，分成若干类型，以便使用管
理。当我们取到一个新的样本时，把它归于哪一类
呢？或者它是不是一个新的类型呢？这就是所谓的 模式识别问题。在经济分析，预测与决策中，在知 识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。 本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元 素对标准模糊集的识别问题 —— 点对集；另一类 是模糊集对标准模糊集的识别问题 —— 集对集。
为 A 与 B 的外积。 按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。
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若 X ={x1, x2, …xn}，记 A(xi) = ai，B(xi) = bi，则
A B ai bi .
i 1 n
与经典数学中的向量 a = {a1, a2, …an} 与向量 b = {b1,
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例1. 苹果的分级问题 设论域 X = {若干苹果}。苹果被摘下来后要分 级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来 分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为 = {Ⅰ级，Ⅱ级，Ⅲ级，Ⅳ级}，显然，模型Ⅰ级，Ⅱ级， Ⅲ级，Ⅳ级是模糊的。当果农拿到一个苹果 x0 后， 到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元素 （点）对标准模糊集的识别问题。
从而 σ ( A, C ) = v1 ( A⊝C ) v1 ( A⊝B) = σ (A, B) 。
事实上，我们可以很容易地直接验证。 若采用 (3.5.23) 式定义，则有
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பைடு நூலகம்
σ( A, B) = v1 ( A⊝B) =
=
2 n n i 1
2 n n i 1
| (A⊝B) (xi) ∩ (A⊝B) (xi) |
即
1 Ax Bx ,
xX
1 ( Ax Bx ) 1 Ax Bx ,
xX xX
于是
1 1 Ax Bx ( Ax Bx ),
xX xX
按上确界的定义，∃ x0 X，使得

这就是 Hamming 贴近度。
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3. 用模糊集的内积与外积来表示贴近度 定义 3.5.10 设 A，B F (X)，称
A B ( A( x) B( x))
xX
(3.5.38)
为 A 与 B 的内积，称
( A( x) B( x)) A⊙B= x X (3.5.39)
故由 (3.5.19) 式可知，
v1 ( A⊝ A) = σ ( A, A) =1。
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(σ2): 因 A⊝B= B⊝ A，故 σ ( A, B) = σ ( B, A) 。 (σ3’): 设 | A(x)－C(x)| | A(x)－B(x)|，则 ( A⊝C ) (x) ( A⊝B) (x) 1/2 ,
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( σ3’): 设 A，B，CF (X)，若它们满足 | A(x)－C(x)| | A(x)－B(x)| ( x X )， 则有 σ ( A, C ) σ ( A, B)。
命题：( σ3’) ( σ3 )。
证明：设 A BCF (X)，则 | A(x)－C(x)| | A(x)－B(x)| ( x X )
(5) A B 则 A∘C B∘C， A ⊙ C B ⊙ C 。
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证明 仅证 (1) 的第一式，第二式类似。(2) ~ (5)可以 根据内积与外积的定义直接验证。因为
A B C
1 A B 1 ( Ax Bx ) 1 Ax Bx
库的模型作比较后下诊断。这是一个模糊识别过程，
也是一个模糊集对标准模糊集的识别问题。
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2.1 F集的 贴近度
表示两个模糊集接近程度的度量，称为贴近度。
正如 “距离” 的概念一样，贴近度也有公理化的数
学定义。
定义 2.7 映射
σ： F ( X ) F ( X ) → [0, 1]
(A, B) ↦ σ (A, B)，
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从而
σ ( A, C ) σ ( A, B)。
又由 A BCF (X)，有
| A(x) － C(x) | | C(x)－B(x)| 从而 σ ( A, C ) σ ( B, C )。 故 σ ( A, C ) σ ( A, B) σ ( B, C )。
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( x X )
贴近度的形式很多，下面介绍几种常见的贴近度公式。
p d p A, B Axi Bxi i 1
n 1/ p
,
p 1.
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若取 k =1, α =1，取相对闵氏距 d ，便 p A , B
有相对 Minkowski 贴近度：
1/ p
1 p p A, B 1 A xi B xi n i 1
称为贴近度(函数) ，如果它满足条件：
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( σ1 ): σ (A, A) =1， σ (, X) = 0； ( σ2 ): σ (A, B) = σ (B, A)； ( σ3 ): ABCF (X) σ(A, C) σ(A, B) σ(B, C)称 σ (A, B) 为 A 与 B 的贴近度。若将 ( σ1 ) 换为下面的 ( σ4 )， 则称 σ 为 严格贴近度函数， ( σ4): σ (A, B) =1 A = B，且 σ (, X) = 0。
即
Ah= { A(x) | xX } , Ab= { A(x) | xX } , 则 A∘B = ( A∩B )h， A ⊙ B= ( A∪B )b。 (3.5.42) (3.5.43)
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(3.5.40) (3.5.41)
为方便起见，我们在闭区间 [0，1] 中定义 “余” 运算：对于任意实数 a∈[0，1]，称 ac =1－a
|(A⊝B) (xi) | ( 因为(A⊝B) (xi) 1/2 )
2 n 1 1 1 Axi Bxi n i 1 2
2 n 1 1 Axi Bxi n i 1 2 1 n 1 Axi Bxi . n i 1