【学海导航】2015届高三数学(文)(人教版B)第一轮总复习同步训练：第9单元《立体几何初步》

第九单元立体几何初步
第45讲空间几何体的结构及三视图、直观图
1.下列关于斜二测画法下的直观图的说法正确的是()
A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线
B．梯形的直观图可能是平行四边形
C．矩形的直观图可能是梯形
D．正方形的直观图可能是平行四边形
2.在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()
3.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
4.几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()
5.如图，四边形ABCD在斜二测画法下的直观图是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是________．
6.一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为
______．
7.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正
方形；③圆；④椭圆．其中满足条件的序号是________．
8.如图是一个几何体的正视图和俯视图．
(1)试判断该几何体是什么几何体；
(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．
9.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋b的最大值．
第46讲 空间几何体的表面积和体积
1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.a 32
B.a 3
6 C.a 312 D.a 318
3.如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的表面积为( )
A ．14 3
B ．6＋ 3
C ．12＋2 3
D ．16＋2 3
4.设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A ．3πa 2
B ．6πa 2
C ．12πa 2
D ．24πa 2
5.某圆锥的侧面展开图是半径为1 m 的半圆，则该圆锥的体积是__________m 3.
6.矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B -AC -D ，
则四面体ABCD的外接球的体积为________．
7.已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
8.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)．
(1)试画出它的直观图；
(2)求它的表面积和体积．
9.如图，正三棱锥O-ABC底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．
第47讲 空间点、线、面的位置关系
1.已知a ，b ，c 为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ；②若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ；③若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c .其中正确的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2.若直线l 与平面α不平行，则下列结论正确的是( ) A ．α内的所有直线都与直线l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内的直线与l 都相交 D ．直线l 与平面α有公共点
3.下列四个命题：
①如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；
②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一平面，则这两个平面平行． 则真命题是( ) A ．①② B ．②④ C ．①③ D ．②③ 4.四棱锥P -ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与
P A 所成角的余弦值为( )
A.55
B.255
C.45
D.35
5.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AB ，AA 1，C 1D 1，CC 1的中点，
给出以下四个结论：①AC 1⊥MN ；②AC 1∥平面MNPQ ；③AC 1与PM 相交；④NC 1与PM 异面．其中正确结论的序号是__________．
6.下图是正方体的平面展开图，则在原正方体中：
①BM 与DE 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°角； ④DM 与BN 垂直． 其中真命题的序号是________． 7.四棱锥P -ABCD 的顶点P 在底面ABCD 上的投影恰好是A ，其正视图与侧视图都是
腰长为a 的等腰直角三角形，则在四棱锥P -ABCD 的任意两个顶点的连线中，互相垂直的
异面直线共有 对．
8.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平
面BED1F与平面ABCD的交线．
9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：
(1)E、C、D1、F四点共面；
(2)CE、D1F、DA三线共点．
第48讲 空间中的平行关系
1.若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是( ) A ．b ⊂α B ．b ∥α
C ．b ⊂α或b ∥α
D ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α
2.设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )
A ．m ∥β且l 1∥α
B ．m ∥l 1且n ∥l 2
C ．m ∥β且n ∥β
D ．m ∥β且n ∥l 2
3.设α，β是两个平面，l ，m 是两条直线，下列命题中，可以判断α∥β的是( ) A ．l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥β B ．l ⊂α，m ⊂β，且m ∥α C ．l ∥α，m ∥β，且l ∥m D ．l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m
4.下列命题中正确的是________． ①若直线a 不在α内，则a ∥α；
②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；
③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；
④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ⑤若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点； ⑥平行于同一平面的两直线可以相交．
5.如图所示，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，
B 1
C 1的中点，P 是上底面的棱A
D 上的一点，AP ＝a
3
，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，
Q 在CD 上，则PQ ＝____________.
6.考察下列三个命题，请在“________”处添加一个条件，构成真命题(其中l ，m 为直线，α，β为平面)，则
①
⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⊂α
l ∥m ⇒l ∥α； ②
⎭
⎪⎬⎪
⎫l ∥m
m ∥α ⇒l ∥α； ③
⎭
⎪⎬⎪
⎫
a ⊂α，
b ⊂αa ∥β，b ∥β ⇒α∥β. 7.空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截
面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是__________．
8.求证：一条直线分别与两个相交平面平行，那么这条直线必与它们的交线平行．
9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，
设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?
第49讲空间中的垂直关系
1.直线l不垂直于平面α，则α内与l垂直的直线有()
A．0条B．1条
C．无数条D．α内的所有直线
2.若三个平面α，β，γ之间有α⊥γ，β⊥γ，则α与β()
A．垂直B．平行
C．相交D．以上三种可能都有
3.已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()
A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥α
C．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α
4.已知直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则有()
A．α⊥γ且m∥βB．α⊥γ且l⊥m
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则BC与AC的位置关系是.
6.已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；
④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b.
其中正确命题的序号有________．
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，找一个平面与平面DA1C1垂直，则该平面是__________．(写出满足条件的一个平面即可)
8.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点，求证：
(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
9.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面P AD.
第50讲 空间角及计算
1.平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为( )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．150°
2.在边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，BC ＝1
2
a ，这时二面角B -AD -C 的大小为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° 3.三棱锥P -ABC 的两侧面P AB 、PBC 都是边长为2a 的正三角形，AC ＝3a ，则二面
角A -PB -C 的大小为( ) A ．90° B ．30° C ．45° D ．60°
4.已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )
A.32
B.12
C.33
D.36
5.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为9
4
，底面积是边长为3的正三角
形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )
A.5π12
B.π3
C.π4
D.π6
6.二面角α-l -β的平面角为120°，A ，B ∈l ，AC ⊂α，BD ⊂β，AC ⊥l ，BD ⊥l ，若AB
＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长为 .
7.已知∠AOB ＝90°，过O 点引∠AOB 所在平面的斜线OC ，与OA ，OB 分别成45°，60°，则以OC 为棱的二面角A -OC -B 的余弦值等于________．
8.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，P A ＝
3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点． (1)证明：BD ⊥平面P AC;
(2)若G 是PC 的中点，求DG 与P AC 所成的角的正切值．
9.如图所示，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8，BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD.
(1)求二面角B-AD-F的大小；
(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值．
第51讲 空间距离及计算、展开与折叠问题
1.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D -ABC 的
体积为( )
A.a 26
B.a 312
C.312a 3
D.212
a 3 2.若长方体的三个面的对角线长分别是a ，
b ，
c ，则长方体体对角线长为( )
A.a 2＋b 2＋c 2
B.1
2
a 2＋
b 2＋
c 2
C.22a 2＋b 2＋c 2
D.32a 2＋b 2＋c 2 3.若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则直线
A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )
A.3
3
B ．1 C. 2 D. 3
4.A 、B 是直线l 上的两点，AB ＝4，AC ⊥l 于A ，BD ⊥l 于B ，AC ＝BD ＝3，又AC 与BD 成60°的角，则C ，D 两点间的距离是________．
5.在等边△ABC 中，M ，N 分别为AB ，AC 上的点，满足AM ＝AN ＝2，沿MN 将△AMN 折起，使得平面AMN 与平面MNCB 所成的二面角为60°，则A 点到平面MNCB 的距离为________．
6.设P A 垂直Rt △ABC 所在的平面α，∠BAC ＝90°，PB 、PC 分别与α成45°和30°角，P A ＝2，则P A 与BC 的距离是________；点P 到BC 的距离是________．
7.如图，ABCD 与ABEF 均是边长为a 的正方形，如果二面角E -AB -C 的度数为30°，
那么EF 与平面ABCD 的距离为________．
8.如图所示，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝a ，BC ＝b ，BB 1＝c ，并且a ＞b ＞c ＞
0.求沿着长方体的表面自A 到C 1的最短线路的长．
9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝1，A 1A ＝1，证明直线BC 1平行
于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离．
第九单元 立体几何初步
第45讲 空间几何体的结构及三视图、直观图 1．D 由斜二测画法的规则可知答案为D.
2．B 由于球与侧棱不相交，因此截面图不可能存在截面圆与三角形都相切，排除A ，D ，又圆锥的高一定过球心，因此在截面图中三角形的高一定过截面圆的圆心，排除C ，故选B. 3.C 由三视图可知几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形，故选C.
4．B 由正视图可排除A ，C ；由侧视图可判断该几何体的直观图是B.
5．82 作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ， 则AE ＝BF ＝AD cos 45°＝1，
所以CD ＝EF ＝3.将原图复原(如图)， 则原四边形应为直角梯形， ∠A ＝90°，AB ＝5，CD ＝3，AD ＝22，
所以S 四边形ABCD ＝1
2
×(5＋3)×22＝8 2.
6．1 该三棱锥俯视图为直角三角形，两直角边分别为1,2，其面积为1
2
×1×2＝1.
7．②③ 由三视图的成图原则可知，正视图、侧视图的宽度不一样，故俯视图不可能为②正方形，③圆．
8．解析：(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．
(2)该几何体的侧视图如右图．
其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC ＝3a . AD 是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，
所以该平面图形的面积S ＝12·3a ·3a ＝3
2
a 2.
9．解析：如图，P A ＝7，PC ⊥平面ABCD ，PD 为P A 的正视图，AC 为俯视图，PB 为侧视图，则AD ＝1.
设PC ＝h ，AB ＝x .
又⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＋x 2
＝P A 2
＝7b 2＋h 2
＝P A 2
＝7a 2－h 2＝BC 2＝1
，
得a 2＋b 2＝8.
因为a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2，所以a ＋b ≤2a 2＋b 2
2
＝4.
第46讲 空间几何体的表面积和体积
1．B 由三视图可知，该几何体是三棱锥，其底面边长为6，高为3的等腰三角形，有
一条长为3的侧棱垂直于底面，所以几何体的体积为V ＝13×1
2
×6×3×3＝9，故选B.
2．A 该几何体为底面是直角边为a 的等腰直角三角形，高为a 的直三棱柱，其体积为12×a ×a ×a ＝a 3
2，故选A. 3．C 据三视图可知几何体为一正三棱柱，其中侧棱长为2，底面三角形边上的高为3，
即底面三角形边长为2，故其表面积S ＝3×2×2＋3
4
×22×2＝12＋2 3.
4．B 由题意，球的直径是长方体的体对角线， 所以2r ＝6a ，S ＝4πr 2＝6πa 2，故选B. 5.3π24
设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ， 则由2πr ＝π，得r ＝12，h ＝12－(12)2＝3
2，
所以该圆锥的体积V ＝13π×(12)2×32＝3π24
(m 3
)．
6.
125π
6
易知外接球球心O 即为AC 的中点， 故球半径r ＝12AC ＝5
2，
所以V ＝4π3r 3＝4π3×(52)3＝125π
6
.
7.9π
2
过H 的截面与球体上下分别交于M 、N 两点，三角形AMN 为直角三角形，因为MH ＝1，由射影定理可知，AH ＝22，BH ＝2，所以球体的半径为324，故表面积S ＝4×π×
18
16
＝9π2
. 8．解析：(1)直观图如图所示：
(2)(方法一)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A 1A ，
A 1D 1，A 1
B 1为棱的长方体的体积的3
4
，
在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1于E ，则AA 1EB 是正方形，所以AA 1＝BE ＝1. 在Rt △BEB 1中，BE ＝1，EB 1＝1，所以BB 1＝ 2. 所以几何体的表面积
S ＝S 正方形AA 1D 1D ＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S 正方形ABCD ＋S 矩形A 1B 1C 1D 1
＝1＋2×1
2
×(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2
＝7＋2(m 2)．
所以几何体的体积V ＝34×1×2×1＝3
2
(m 3)，
所以该几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为3
2
m 3.
(方法二)几何体也可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法一，
V 直四棱柱D 1C 1CD -A 1B 1BA ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝3
2
(m 3)．
所以几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为3
2
m 3.
9．解析：三棱锥O -ABC 的体积
V O -ABC ＝13·S △ABC ·1＝13×12×2×2×32＝3
3
. 设O 在平面ABC 中的射影为Q ，BC 的中点为E ，则
OQ ＝1，OE 2＝OQ 2＋EQ 2⇒12＋(33)2＝43⇒OE ＝2
3
.
三棱锥O -ABC 的表面积S O -ABC ＝3S △OBC ＋S △ABC ＝33，
所以，三棱锥O -ABC 的体积V O -ABC ＝3
3
，表面积S O -ABC ＝3 3. 第47讲 空间点、线、面的位置关系
1．B ①b ，c 可能异面，也可能垂直；②b ，c 可能异面，也可能平行，故选B.
2．D A 中过公共点的直线与直线l 相交，不异面，A 错误；B 、C 中l 在α内时，α内由无数多条直线与l 平行，B 、C 错误．直线l 与平面α不平行，则直线l 与α相交或在平面内，即l 与α有一个或无穷多个公共点，D 正确，故选D.
3．B ①中满足条件的另一条直线也可能在平面中，不正确；③中满足条件的无数条直线如果互相平行，那么这两个平面也可能相交，不正确．排除①③，因此正确的命题是②④，故选B.
4．A 因为CD 平行于AB ，则CD 与P A 所成角就是∠P AB ，由余弦定理可得cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝5＋4－52×5×2＝55，故选A.
5．①③④ 由图形可以观察出AC 1与平面MNPQ 相交于正方体中心，易知①③④正确．
6．③④ 还原正方体如图，可知：①BM 与ED 是异面直线；②CN 与BE 平行；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 是异面直线，且DM 与BN 垂直．
7．6 因为四棱锥P -ABCD 的顶点P 在底面ABCD 上的投影恰好是A ，其正视图与侧
视图都是腰长为a 的等腰直角三角形，P A ⊥BC ，P A ⊥CD ，AB ⊥PD ，BD ⊥P A ，BD ⊥PC ，AD ⊥PB ，共6对．
8．解析：在平面AA 1D 1D 内，延长D 1F . 因为D 1F 与DA 不平行，
所以D 1F 与DA 必相交于一点，设为P ， 则P ∈FD 1，P ∈DA .
又因为FD 1⊂平面BED 1F ，AD ⊂平面ABCD ， 所以P ∈平面BED 1F ，P ∈平面ABCD .
又B 为平面ABCD 与平面BED 1F 的公共点，连接PB .
所以PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线，如图所示．
9．证明：(1)分别连接EF 、A 1B 、D 1C .
因为E 、F 分别是AB 和AA 1的中点，所以EF 綊1
2
A 1
B ，
又A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，
所以四边形A 1D 1CB 为平行四边形．
所以A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1， 所以EF 与CD 1确定一个平面． 所以E 、F 、D 1、C 四点共面．
(2)因为EF 綊1
2
CD 1，所以直线D 1F 和CE 必相交，
设D 1F ∩CE ＝P ，因为P ∈D 1F 且D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，所以P ∈平面AA 1D 1D ， 又P ∈EC 且CE ⊂平面ABCD ， 所以P ∈平面ABCD ，
即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点， 而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD ，
所以P ∈AD ，所以CE 、D 1F 、DA 三线共点． 第48讲 空间中的平行关系
1．D b 与α相交或b ⊂α或b ∥α，都可以．
2．B m ∥l 1且n ∥l 2，m ，n ⊂α，l 1，l 2为β内两条相交直线，则可得α∥β；若α∥β，l 1，l 2为β内两条相交直线，则不一定有m ∥l 1且n ∥l 2，故选B.
3．D 条件A 中，增加l 与m 相交才能判断出α∥β，A 错．由条件B 、C 都有可能α与β相交，排除B 和C.而垂直于同一直线的两个平面平行，D 成立．
4．⑤⑥ a ∩α＝A 时，a ⊄α，所以①错；
直线l 与α相交时，l 上有无数个点不在α内，故②错； l ∥α时，α内的直线与l 平行或异面，故③错； a ∥b ，b ∥α时，a ∥α或a ⊂α，故④错；
l ∥α，l 与α无公共点，所以l 与α内任一直线都无公共点，⑤正确； 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中A 1C 1与B 1D 1都与平面ABCD 平行，所以⑥正确．
故填⑤⑥. 5.223
a 6．l ⊄α l ⊄α a 与
b 相交
解析：①②根据直线与平面平行的判定定理知均需要强调直线l 在平面外，均添加l ⊄α；③根据两个平面平行的判定定理知须强调两条直线相交，故添加a 与b 相交．
7．(8,10) 设DH DA ＝GH
AC
＝k ，
所以AH DA ＝EH
BD
＝1－k ，
所以GH ＝5k ，EH ＝4(1－k )， 所以周长＝8＋2k .
又因为0＜k ＜1，所以周长的取值范围为(8,10)． 8．证明：(方法一)借助于平行直线的传递性． 如图①所示，过a 作一平面γ交平面α于直线c .
因为a ∥α，则c ∥a ，若c 、b 重合，命题成立；若c 与b 不重合， 又因为a ∥β，所以c ∥β，而α过c 且与β相交于b ， 所以c ∥b ，故a ∥b .
(方法二)利用同一法，如图②所示，在平面α与β的交线b上任取一点A，过A作直线b′∥a.
因为a∥α，所以b′在α内(一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点而与这条直线平行的直线都在这个平面内)．
同理，a∥β，所以b′也在平面β内．
因为b′既在α内，又在β内，
所以b′即为平面α与平面β的交线，
即b′与b重合，所以a∥b.
9．解析：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面P AO.
因为Q为CC1的中点，P为DD1的中点，
所以QB∥P A.
又QB⊄平面P AO，P A⊂平面P AO，
所以QB∥平面P AO.
连接DB.因为P，O分别为DD1，DB的中点，
所以D1B∥PO.
又D1B⊄平面P AO，PO⊂平面P AO，
所以D1B∥平面P AO，
又D1B∩QB＝B，
所以平面D1BQ∥平面P AO.
第49讲空间中的垂直关系
1．C
2．D垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不确定，故选D.
3．C对于A，由l∥m，l⊥α，则m⊥α，与已知矛盾；对于B，由l⊥m，l⊥α，可知m∥α或m⊂α，与已知矛盾；对于D，由l∥m，l∥α可知m∥α或m⊂α，与已知矛盾．由此排除A，B，D，故选C.
4．B m⊂α，m⊥γ⇒α⊥γ，又l⊂γ⇒m⊥l，故选B.
5．垂直因为PB⊥α，所以PB⊥AC.
又因为PC⊥AC，且PC∩PB＝P，
所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC.
6．①④垂直于同一直线的两平面平行，①正确；α⊥β也成立，②错；a、b也可异面，③错；由面面平行性质知，a∥b，④正确．
7．平面ABD1连接AD1，在正方形ADD1A1中，AD1⊥A1D，又AB⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，所以AB⊥A1D.又AD1∩AB＝A，所以A1D⊥平面ABD1，又A1D⊂平面DA1C，故平面ABD1⊥平面DA1C1.
8．证明：(1)在△ABD中，
因为E，F分别是AB，BD的中点，
所以EF∥AD.
又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，
所以直线EF∥平面ACD.
(2)在△ABD 中，因为AD ⊥BD ，EF ∥AD ， 所以EF ⊥BD .
在△BCD 中，因为CD ＝CB ，F 为BD 的中点， 所以CF ⊥BD .
因为EF ⊂平面EFC ，CF ⊂平面EFC ， EF 与CF 交于点F ，所以BD ⊥平面EFC . 又因为BD ⊂平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD .
9．证明：(1)因为E ，F 分别是AP ，AD 的中点，
所以EF ∥PD ，又因为PD ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD ， 所以直线EF ∥平面PCD .
(2)因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面P AD ，
所以，平面BEF ⊥平面P AD . 第50讲 空间角及计算
1．C 本题易误选D ，因斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，故最大角为90°. 2．C
3．D 取PB 的中点为M ，连接AM ，CM ，则AM ⊥PB ，CM ⊥PB ，所以∠AMC 为二面角A -PB -C 的平面角，在等边△P AB 与等边△PBC 中知AM ＝CM ＝3a ，即△AMC 为正三
角形，所以∠AMC ＝60°，故选D.
4．D 由于是三棱锥，故顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，底面的一个顶
点到这个中心的距离是23×32＝33，所以据分析，所求的余弦值是332＝3
6
，故选D.
5．B 设三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为h ，所求的线面角为θ，由已知条件可得V ＝
3
4×(3)2h ＝9
4
，所以h ＝3，P A ＝
3＋(
32×3×23
)＝2，所以sin θ＝h P A ＝32，所以θ＝π3
.
6．2 过B 作BE 綊AC ，
连接CE ，DE .
则∠DBE 即为二面角α-l -β的平面角．
易证CE ⊥DE ，
所以CD ＝CE 2＋DE 2
＝AB 2＋BE 2＋BD 2－2BE ·BD ·cos ∠DBE ＝1＋1＋1－2×1×1·cos 120° ＝2.
7．－3
3
在OC 上取一点C ，使OC ＝1，过C 分别作CA ⊥OC 交OA 于A ，CB ⊥OC
交OB 于B ，则AC ＝1，OA ＝2，BC ＝3，OB ＝2，Rt △AOB 中，AB 2＝6，△ABC 中，由
余弦定理，得cos ∠ACB ＝－3
3
.
8．解析：(1)证明：设点O 为AC ，BC 的交点．
由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线． 所以O 为AC 的中点，BD ⊥AC .
又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥BD ，所以BD ⊥平面P AC . (2)连接OG .由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．
由题意得OG ＝12P A ＝3
2
.
在△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝23，
所以OC ＝1
2
AC ＝ 3.
在直角△OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2，
在直角△OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝43
3
.
所以DG 与平面APC 所成的角的正切值为43
3
.
9．解析：(1)因为AD 与两圆所在的平面均垂直，所以AD ⊥AB ，AD ⊥AF ，故∠BAF 是二面角B -AD -F 的平面角．
依题意可知，四边形ABFC 是正方形，所以∠BAF ＝45°， 即二面角B -AD -F 的大小为45°.
(2)连接OD ，则OD ∥EF ，
所以∠ODB 为异面直线BD 与EF 所成的角． 在Rt △ABD 中，BD ＝10，OA ＝OB ＝3 2. 因为四边形ABFC 是正方形，所以BO ⊥AF . 又AD ⊥平面ABFC ，所以AD ⊥BO ， 所以OB ⊥平面DAO ，所以OB ⊥OD ，
故cos ∠ODB ＝DO BD ＝82
＋(32)2
10＝82
10
.
第51讲 空间距离及计算、展开与折叠问题 1．D
2．C 设同一顶点的三条棱分别为x ，y ，z ，
则x 2＋y 2＝a 2，y 2＋z 2＝b 2，x 2＋z 2＝c 2，得x 2＋y 2＋z 2＝1
2
(a 2＋b 2＋c 2)，
则对角线长为12(a 2＋b 2＋c 2)＝22
a 2＋
b 2＋
c 2
. 3.D 直线A 1C 1∥平面ABCD ，A 1C 1
到底面ABCD 的距离即为正棱柱的高h ，tan 60°＝h
1
，所以h ＝3，故选D.
4．5或43 CD ＝32＋32＋42±32＝5或43. 5.3
2
在△ABC 中，过A 点作AF ⊥BC 交BC 于F 点，交MN 于E 点，由题意知折叠后∠AEF 即为平面AMN 与平面MNCB 所成二面角的平面角，故∠AEF ＝60°，过A 点作AH ⊥
EF 于H 点，则AH 即为A 点到平面MNCB 的距离，因为AE ＝3，所以AH ＝AE ·sin 60°＝3
2
.
6.3 7 作AD ⊥BC 于点D ，因为P A ⊥面ABC ，所以P A ⊥AD .所以AD 是P A 与BC 的公垂线．易得AB ＝2，AC ＝23，BC ＝4，AD ＝3，连接PD ，则PD ⊥BC ，P 到BC 的距离PD ＝
7.
7.a
2
显然∠F AD 是二面角E -AB -C 的平面角，∠F AD ＝30°，过F 作FG ⊥平面ABCD 于
G ，则G 必在AD 上，
由EF ∥平面ABCD ，所以FG 为EF 与平面ABCD 的距离，即FG ＝a
2
.
8．解析：将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示．
三个图形甲、乙、丙中AC 1的长分别
为：
(a ＋b )2＋c 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ， a 2＋(b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2bc ， (a ＋c )2＋b 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ac ， 因为a ＞b ＞c ＞0，所以ab ＞ac ＞bc ＞0. 故最短线路的长为a 2＋b 2＋c 2＋2bc . 9．解析：因为ABCD -A 1B 1C 1D 1为长方体，
故AB ∥C 1D 1，AB ＝C 1D 1， 故ABC 1D 1为平行四边形， 故BC 1∥AD 1，
显然B 不在平面D 1AC 上， 于是直线BC 1平行于平面DA 1C .
直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h ，考虑三棱锥A -BCD 1
的体积，以ABC 为底面，可得
V ＝13×(12×1×2)×1＝13
.
而△AD 1C 中，AC ＝D 1C ＝5，AD 1＝2，
故S △AD 1C ＝3
2，
所以，V ＝13×32×h ＝13⇒h ＝2
3
，
即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为2
3
.。