因式分解培优题(超全面、详细分类)资料讲解

因式分解专题培优

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解. 因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：

因式分解的一般方法及考虑顺序：

1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．

2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．

3、考虑顺序：( 1)提公因式法；( 2)公式法；( 3)十字相乘法；( 4)分组分解法．

一、运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(1) a2－b2=(a+b)(a－b)；

(2) a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3) a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；

(4) a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．

下面再补充几个常用的公式：

(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6) a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；

(7) a n—b n=(a—b)(a n_ 1+a n_2b+a n「3b2+…+ab n—2+b n_ 1)，其中n 为正整

数；

(8) a n—b n=(a+b)(a n—1—a n—2b+a n—3b2—…+ab n—2—b n—1)，其中n 为偶

数;

(9) a n+b n=(a+b)(a n—1—a n—2b+a n—3b2—…一ab n—2+b n—1),其中n为奇数.

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.

例题 1 分解因式：

(1) —2x5n—1y n+4x3n—1y n+2—2x n—1y n+4；

(2) x3—8y3—z3—6xyz；

(3) a2+b2+c2—2bc+2ca—2ab；

(4) a7—a5b2+a2b5—b7.

例题2 分解因式：a3+b3+c3—3abc.

例题 3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1.

对应练习题分解因式:

x 9y

10 . 5

(2) x +x —2

(3) x4 2x2y2 4xy3 4x3y y2(4 x2 3 y2)

4

(4) (x5+x4+x3+x2+x+1)2—x5(5) 9(a- b)2+12(a2- b2)+4(a+b)2

⑹(a- b)2- 4(a- b- 1)

(7) (x+y)3+2xy(1 —x—y) —1

二、分组分解法

（一）分组后能直接提公因式

例题 1 分解因式：am an bm bn

分析：从“整体” 看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，

后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系. 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式可以提.

例题 2 分解因式：2ax 10ay 5by bx

对应练习题分解因式：

1、a2ab ac bc

2、xy x y 1

（二）分组后能直接运用公式

例题 3 分解因式：x2 y2 ax ay

例题 4 分解因式：a2 2ab b2

2 c

对应练习题分解因式：

3、x2 x 9y2 3y

4、22

yz 2yz

1) x 3

2 xy 2 xy 3

y

3) x 2

6xy 9y 2 16a 2

8a 1

综合练习题 分解因式： 22

2) ax

bx bx ax a b

22

4) a 2

6ab 12b 9b 2 4a

5) a 4 2a 3 a 2 9 2 2 2 2

6) 4a x 4a y b x b y

7) 2 x 2xy xz 2 yz y 9) y(y 2) (m 1)( m 1) 22

8) a 2

2a b 2 2b 2ab 1

10) (a c)(a c) b(b 2a)

11)a 2(b c) b 2 (a c) c 2(a b) 2abc 4 3 2 2 3 4

12)a 2a b 3a b 2ab b .

22

13) ( ax by) ( ay bx)

14) xyz(x 3 y 3 z 3) y 3z 3 z 3 x 3 x 3y 3

4 2 2

15) x 4 2ax 2

x a 2

a

16) x 3 3x 2 (a 2) x 2a

17) (x 1)3 (x 3)3 4(3x 5)

三、十字相乘法

1、十字相乘法

（一）二次项系数为1的二次三项式

2

直接利用公式--- x （p q）x pq （x p）（x q）进行分解.

特点：（1）二次项系数是1 ；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）—次项系数是常数项的两因数的和

例题1 分解因式：x2 5x 6

例题2分解因式：x2 7x 6

对应练习题分解因式:

(1) x214x 24 ⑵a215a 36 ⑶x24x 5

2

⑷x x 2 ⑸y22y 15 ⑹x210x 24

（二）二次项系数不为1的二次三项式-ax bx c

条

（1）a a〔a? a C1

件：

（2）c C1C2 a2- C2

（3）b a〔C2 a2 G b a© a2&

分解结果：ax2 bx c =（a1x G）（a2x c2）例题3分解因式：3x211x 10 对应练习题分解因式：

（1）5x2 7x 6 （2）3x2 7x 2

(3)10x217x 3 2

(4) 6y 11y 10