过程数学模型
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Q2 h1 R2
1
Q1
Q1
h1 R2
A1
dh1 dt
h
R2A1 dh1 h1 R2Q1 dt
2 Q2 R2
T 0 R2C 时间常数
K 0 R2 放大系数
T 0 dh1 h1 K 0Q1 dt
拉氏变换后
H (s)
W 0(s)
R2
K0
Q1(s) R2Cs 1 T 0s 1
t
yt y
在阶跃信号下 y0 (t) 解
y0
t
0 t
1e T 0
(t < ) ( t> )
选取时间t1和t2对应
y0(t1) 和 y0(t2) 并联立求解
t 1
y 0
t1
1
e
T0
t 2
y 0
t2
1
e
T0
t2>t1>τ 两边取自然对数得
单容迟延建模
W 0(s) H (s) 1 1 e 0s Q1(s) Cs T 0s
多容过程的建模
多容纯迟延建模
W
0(s)
T 1s
K0
1 T
2s
1
e
0s
三、过程的特性参数
1、放大系数K0
h
t
K
0Q1 1
t
eT
h K0Q1
W 0(s)
H2s Q1 s
1 T 0s
1
Ts 1
W
0(s)
1 T 0s
Ts
1
1n
W
0(s)
1 T 0s
Ts
1
1n
e
0s
单容过程的建模 单容纯迟延建模
W 0(s) H (s) R2 K 0 Q1(s) R2Cs 1 T 0s 1
单容积分过程建模 W 0(s) H (s) 1 1 Q1(s) Cs T 0s
h
当对象受到阶跃输入作用后， h(∞) 0.632h(∞)
输出达到新的稳态值的63.2%
所需的时间,就是时间常数。
0
T
t
100% t
由此可见，时间常数越小，输出的变化快，达到新的 稳态值所需的时间也越短。
意义：
1.了解对象的惯性，变化的快慢； 2.T小，输出变化速度快，调节速度也快。反之T大变
化速度慢，调节速度也慢。因此，时间常数大对控 制不利； 3.T是一个动态特性参数
Q10 Q1 h10 h1 Q20 Q2
Q1 Q2 dv dt
2 Q2 R2
dv A1 dh1 dt dt
Q1 Q2 A1 dh1 dt
Q10 Q1 Q20 Q2 A1 d h10 h1
dt
Q1 Q2 A1 dh1 dt
W 0(s) T1(s) R K 0 Q1(s) RCs 1 T 0s+1
例2—3 当过程的输出信号与输入信号对时间的积分 成比例时称为积分对象。
Q1
Q2
C
dh dt
d h C Q1
dt
dh 1 Q1dt C
T0=C
h
t
1 T0
Q1dt
ht Q1 t
dt
dt
①
C—热容，
C=Gcp，它等于T1每升高1℃所需贮 蓄的热量。
散失热量为：
Q2 K AT1 T 2 ②
R 1 K A
③
（ K：传热系数；
A：传热表面积； R：热阻。）
RC dT1 T1 RQ1 T 2 dt
设室温恒定 T 2 0
RC dT1 T1 RQ1 dt
h
K0 Q1
Q1 A
K0——放大系数
h1
在系统稳定条件下输入量与输出量
之间的对应关系—系统的静态特性。
△Q1
h()
t
意义：
1.放大系数的大小可以说明对象的灵敏度； 2.K大灵敏度高，稳定性下降； 3.K0=常数，过程是线性的；
K0≠常数，过程是非线性的； 4.K0是一个静态特性参数。
ln
1
y0
t1
t1
T0
ln
1
y0
t2
t
2
T0
联立求解得
T
0
ln
1
y0
t2
t1
t1 ln
1
y0
t2
t2 ln 1 y0 t1 t1ln 1 y0 t2 ln 1 y0 t1 ln 1 y0 t2
测取其响应曲线，以求取过程的真实特性。
二、矩形脉冲响应曲线的测定
u t u1t u2t u1t u1t a y t y1t y2 t y1t y1t a
y1t yt y1t a
第一段：t= 0～a，
yt y1t
第二段：t = a～2a，
y12a y2a y1a
三、由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
1、一阶无时延过程 W 0(s) K 0 T 0s+1
2、二阶无时延过程
W
0(s)
T
1s
K0
1T
2s
1
3、一阶有时延过程 W 0(s) K 0 e s T 0s+1
非参量模型：是用曲线或数据表格表示。 参量模型：是用数学方程表示。
利用微分方程、传递函数、差分方程、脉冲相应函数、 状态方程和观察方程来描述
研究被控过程是指过程的输出随输入及时间变化的特性。 被控对象的输出量是自动控制系统的被控参数。
干扰 输入量 控制量
控制量
干扰
过程
被控参数
过程的输入输出量
Q2 h1 R2
Q2 Q3 C2 dh2 dt
Q3 h2 R3
纯迟延问题
W
0(s)
T1s
K0
1T
Fra Baidu bibliotek
2s
1
e
0s
W
0(s)
T1s
1
T
K0
2s 1
Tns 1
T1=T2= =Tn=T0
W
0(s)
T
K0
0s 1n
例2—5 无自衡能力的双容过程
4、二阶有时延过程
W
0(s)
T
1s
K0
1 T
2s
1
e
s
（一） 由阶跃响应曲线确定一阶过程的参数
1、直角坐标图解法
① 静态放大系数K0
y
t
K
0
x0
1
t
e T0
x0
当t→∞，得
yt
t
y
K 0 x0
y y y0
K0
x0
x0
② 时间常数T0
当t=0时
dy K 0x0 dt to T 0
切线方程
当t= T0时
K0x0 t K0x0 y
T0
2、半对数坐标图解法
（二） 由阶跃响应曲线确定一阶时延过程的参数 ① 切线法：
A
D 0
B T0 c
② 计算法：
将阶跃响应 y（t）转换成相对值
y0
2t
2
t
3
对于t1和t4可求得
T
2
ln
1
t4 t1
0.33 ln
1
0.7
t4 t1 0.8
2
t
4
ln
ln 1 ln 1
0.33 0.33
t1ln ln 1 0.7 ln1 0.7
2t1 2
t
4
如果两组值均比较接近，则可取其平均值
2.实验研究 需要在实际系统或实验系统中，通过一组输入,来 考察输出的跟随变化规律—反映输入与输出关系 的经验曲线和经验函数关系。
第二节 解析法建立过程的数学模型
生物学定律、化学动力学原理、传热传质原理 物料平衡方程、能量平衡方程
静态: 单位时间内流入被控过程的物料量(或能量)等于 单位时间内流出被控过程的物料量(或能量).
第二章 被控过程的数学模型
第一节 概述 第二节 解析法建立过程的数学模型 第三节 响应曲线辨识过程的数学模型
第一节 概 述
一、建立被控过程数学模型的目的 1、设计过程控制系统 2、整定调节器参数 3、指导生产工艺及其设备的设计 4、进行试验研究等
二、被控过程数学模型的类型
数学模型:是指过程在各输入量作用下，其相应输出量 （被控参数）变化函数关系的数学表达式。
T0 T1T2 2
1 2
2
最终确定一阶加时延过程的特性参数K0、T0、τ
对象特性实验注意事项
1、实验应在其它条件相对稳定时进行； 2、条件变化与结果记录应同时进行，以便分析滞后时
间； 3、实验结果的记录应持续到输出量达到稳定态为止； 4、尽可能增加实验点数，必要时可进行重复实验，以
⑵ 时延时间τ ① 纯时延时间τ0
Y 0 t
Y t 0
0
W 0(s)
Y (s) X (s)
K0
e 0s
T 0s 1
定义：对象的输入变化后，到控制发生作用时所用 的时间。
加料量
0
t
浓度
0
t
τ0 纯滞后特性
②容量滞后 c
y
t
t
τ0 τc
反应器温度控制系统
Q3 h2 R3
C1C2R2R3
d 2h2 dt 2
C1R2 C2R3
d h2 h2 R3Q1 dt
T1 C1R2 T 2 C2R3
T
1T
2
d
2h2 dt 2
T
1
T
2
d
h2 dt
h2
R3Q1
拉氏变换后
W 0(s)
H 2(s) Q1(s)
2、被控过程的动态特性参数 ⑴ 时间常数T 当对象受到阶跃输入作用后，被控参数如果保持初 始速度变化，达到新的稳定值所需的时间。
h
t
K
0Q1 1
t
eT
dh K 0Q1
h
h
dt t0
T
0
T
t
T
t
计算求取T：当t=T，
Q1
0
h(T ) 0.632h()
控制通道：控制量至被控参数的信号联系。
干扰通道：干扰作用至被控变量的信号联系。
所谓研究过程的特性，就是用数学的方法来描述 出过程输入量与输出量之间的关系——数学建模。
三、过程动态特性的研究方法 1.理论分析 根据系统工艺实际过程的数质量关系，分析计算 输入量与输出量之间的关系。
解析法（机理分析法） 试验辨识法 混合法
Q1(s) Q1 s
H (s) K 0 Q1 T 0s 1 s
ht
K 0Q11
t
eT
纯迟延问题
T1 dh h K 0Q0 t 0
dt
l
1
Q1
h 2 Q2 R2
例2—2 解：根据能量平衡关系得
Q1 Q2 C dT1 Gcp dT1
y0(t1)=0.33 ，y0(t2)=0.39 , y0(t3)=0.632, y0(t4)=0.7
对于t2和t3可求得
T1
ln
1
t3 t2
0.39 ln1
0.632
2t3
t2
1
t
3
ln ln
1 1
0.39 0.39
t2 ln1 0.632 ln1 0.632
T0
W 0(s) H (s) 1 1 Q1(s) Cs T 0s
纯迟延问题
h
W 0(s) H (s) 1 1 e 0s
Q1(s) Cs T 0s
0 0
t
二、多容过程的建模
例2—4
水箱1 Q1 Q2 C1 d h1
dt Q2 h1
R2 水箱2
Q2 Q3 C2 dh2 dt
T 1s
R3
1 T
2s
1
T 1s
K0
1 T
2s
1
Q1(s) Q1 s
h t
K
0Q1
1+
T
1 2-T 1
t T 1e T1
T
t
e2 T 2
水箱1
水箱2 方框图的方法
Q1 Q2 C1 d h1 dt
动态: 单位时间内流入被控过程的物料量(或能量)减去 单位时间内流出被控过程的物料量(或能量) 等 于被控过程内物料量(或能量)储存量的变化量.
一、单容过程的建模 例2—1
如图所示为一液体储槽对象 其静态方程
1
Q1
Q10 Q20 h10
h
h为一不变的常数。用微分方程来
描述对象往往着眼于变化量。
C—容量系数， C=A1
容量系数C ：引起单位被控参数变化时被控过程贮存 量变化的大小。
方框图的方法
Q1 Q2 A1 dh1 dt
Q2 h1 R2
W 0(s) H (s) R2 K 0 Q1(s) R2Cs 1 T 0s 1
H (s) K 0 Q1(s) T 0s 1
c—容量滞后
τ
所以滞后时间 0 c
纯滞后和容量滞后尽管本质不同，但实际上很难区分，
两者同时存在时，常常把两者合起来统称滞后时间。
第三节 响应曲线辨识过程的数学模型
（试验法建模） 一、阶跃响应曲线的测定
1
Q1
h
2 Q2
R2
1）合理选择阶跃信号值；
2）被控过程必须处于相对稳定的运行状态； 3）需获得两次以上比较接近的测试数据； 4）在试验时应在阶跃信号作正、反方向变化时分别
1
Q1
Q1
h1 R2
A1
dh1 dt
h
R2A1 dh1 h1 R2Q1 dt
2 Q2 R2
T 0 R2C 时间常数
K 0 R2 放大系数
T 0 dh1 h1 K 0Q1 dt
拉氏变换后
H (s)
W 0(s)
R2
K0
Q1(s) R2Cs 1 T 0s 1
t
yt y
在阶跃信号下 y0 (t) 解
y0
t
0 t
1e T 0
(t < ) ( t> )
选取时间t1和t2对应
y0(t1) 和 y0(t2) 并联立求解
t 1
y 0
t1
1
e
T0
t 2
y 0
t2
1
e
T0
t2>t1>τ 两边取自然对数得
单容迟延建模
W 0(s) H (s) 1 1 e 0s Q1(s) Cs T 0s
多容过程的建模
多容纯迟延建模
W
0(s)
T 1s
K0
1 T
2s
1
e
0s
三、过程的特性参数
1、放大系数K0
h
t
K
0Q1 1
t
eT
h K0Q1
W 0(s)
H2s Q1 s
1 T 0s
1
Ts 1
W
0(s)
1 T 0s
Ts
1
1n
W
0(s)
1 T 0s
Ts
1
1n
e
0s
单容过程的建模 单容纯迟延建模
W 0(s) H (s) R2 K 0 Q1(s) R2Cs 1 T 0s 1
单容积分过程建模 W 0(s) H (s) 1 1 Q1(s) Cs T 0s
h
当对象受到阶跃输入作用后， h(∞) 0.632h(∞)
输出达到新的稳态值的63.2%
所需的时间,就是时间常数。
0
T
t
100% t
由此可见，时间常数越小，输出的变化快，达到新的 稳态值所需的时间也越短。
意义：
1.了解对象的惯性，变化的快慢； 2.T小，输出变化速度快，调节速度也快。反之T大变
化速度慢，调节速度也慢。因此，时间常数大对控 制不利； 3.T是一个动态特性参数
Q10 Q1 h10 h1 Q20 Q2
Q1 Q2 dv dt
2 Q2 R2
dv A1 dh1 dt dt
Q1 Q2 A1 dh1 dt
Q10 Q1 Q20 Q2 A1 d h10 h1
dt
Q1 Q2 A1 dh1 dt
W 0(s) T1(s) R K 0 Q1(s) RCs 1 T 0s+1
例2—3 当过程的输出信号与输入信号对时间的积分 成比例时称为积分对象。
Q1
Q2
C
dh dt
d h C Q1
dt
dh 1 Q1dt C
T0=C
h
t
1 T0
Q1dt
ht Q1 t
dt
dt
①
C—热容，
C=Gcp，它等于T1每升高1℃所需贮 蓄的热量。
散失热量为：
Q2 K AT1 T 2 ②
R 1 K A
③
（ K：传热系数；
A：传热表面积； R：热阻。）
RC dT1 T1 RQ1 T 2 dt
设室温恒定 T 2 0
RC dT1 T1 RQ1 dt
h
K0 Q1
Q1 A
K0——放大系数
h1
在系统稳定条件下输入量与输出量
之间的对应关系—系统的静态特性。
△Q1
h()
t
意义：
1.放大系数的大小可以说明对象的灵敏度； 2.K大灵敏度高，稳定性下降； 3.K0=常数，过程是线性的；
K0≠常数，过程是非线性的； 4.K0是一个静态特性参数。
ln
1
y0
t1
t1
T0
ln
1
y0
t2
t
2
T0
联立求解得
T
0
ln
1
y0
t2
t1
t1 ln
1
y0
t2
t2 ln 1 y0 t1 t1ln 1 y0 t2 ln 1 y0 t1 ln 1 y0 t2
测取其响应曲线，以求取过程的真实特性。
二、矩形脉冲响应曲线的测定
u t u1t u2t u1t u1t a y t y1t y2 t y1t y1t a
y1t yt y1t a
第一段：t= 0～a，
yt y1t
第二段：t = a～2a，
y12a y2a y1a
三、由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
1、一阶无时延过程 W 0(s) K 0 T 0s+1
2、二阶无时延过程
W
0(s)
T
1s
K0
1T
2s
1
3、一阶有时延过程 W 0(s) K 0 e s T 0s+1
非参量模型：是用曲线或数据表格表示。 参量模型：是用数学方程表示。
利用微分方程、传递函数、差分方程、脉冲相应函数、 状态方程和观察方程来描述
研究被控过程是指过程的输出随输入及时间变化的特性。 被控对象的输出量是自动控制系统的被控参数。
干扰 输入量 控制量
控制量
干扰
过程
被控参数
过程的输入输出量
Q2 h1 R2
Q2 Q3 C2 dh2 dt
Q3 h2 R3
纯迟延问题
W
0(s)
T1s
K0
1T
Fra Baidu bibliotek
2s
1
e
0s
W
0(s)
T1s
1
T
K0
2s 1
Tns 1
T1=T2= =Tn=T0
W
0(s)
T
K0
0s 1n
例2—5 无自衡能力的双容过程
4、二阶有时延过程
W
0(s)
T
1s
K0
1 T
2s
1
e
s
（一） 由阶跃响应曲线确定一阶过程的参数
1、直角坐标图解法
① 静态放大系数K0
y
t
K
0
x0
1
t
e T0
x0
当t→∞，得
yt
t
y
K 0 x0
y y y0
K0
x0
x0
② 时间常数T0
当t=0时
dy K 0x0 dt to T 0
切线方程
当t= T0时
K0x0 t K0x0 y
T0
2、半对数坐标图解法
（二） 由阶跃响应曲线确定一阶时延过程的参数 ① 切线法：
A
D 0
B T0 c
② 计算法：
将阶跃响应 y（t）转换成相对值
y0
2t
2
t
3
对于t1和t4可求得
T
2
ln
1
t4 t1
0.33 ln
1
0.7
t4 t1 0.8
2
t
4
ln
ln 1 ln 1
0.33 0.33
t1ln ln 1 0.7 ln1 0.7
2t1 2
t
4
如果两组值均比较接近，则可取其平均值
2.实验研究 需要在实际系统或实验系统中，通过一组输入,来 考察输出的跟随变化规律—反映输入与输出关系 的经验曲线和经验函数关系。
第二节 解析法建立过程的数学模型
生物学定律、化学动力学原理、传热传质原理 物料平衡方程、能量平衡方程
静态: 单位时间内流入被控过程的物料量(或能量)等于 单位时间内流出被控过程的物料量(或能量).
第二章 被控过程的数学模型
第一节 概述 第二节 解析法建立过程的数学模型 第三节 响应曲线辨识过程的数学模型
第一节 概 述
一、建立被控过程数学模型的目的 1、设计过程控制系统 2、整定调节器参数 3、指导生产工艺及其设备的设计 4、进行试验研究等
二、被控过程数学模型的类型
数学模型:是指过程在各输入量作用下，其相应输出量 （被控参数）变化函数关系的数学表达式。
T0 T1T2 2
1 2
2
最终确定一阶加时延过程的特性参数K0、T0、τ
对象特性实验注意事项
1、实验应在其它条件相对稳定时进行； 2、条件变化与结果记录应同时进行，以便分析滞后时
间； 3、实验结果的记录应持续到输出量达到稳定态为止； 4、尽可能增加实验点数，必要时可进行重复实验，以
⑵ 时延时间τ ① 纯时延时间τ0
Y 0 t
Y t 0
0
W 0(s)
Y (s) X (s)
K0
e 0s
T 0s 1
定义：对象的输入变化后，到控制发生作用时所用 的时间。
加料量
0
t
浓度
0
t
τ0 纯滞后特性
②容量滞后 c
y
t
t
τ0 τc
反应器温度控制系统
Q3 h2 R3
C1C2R2R3
d 2h2 dt 2
C1R2 C2R3
d h2 h2 R3Q1 dt
T1 C1R2 T 2 C2R3
T
1T
2
d
2h2 dt 2
T
1
T
2
d
h2 dt
h2
R3Q1
拉氏变换后
W 0(s)
H 2(s) Q1(s)
2、被控过程的动态特性参数 ⑴ 时间常数T 当对象受到阶跃输入作用后，被控参数如果保持初 始速度变化，达到新的稳定值所需的时间。
h
t
K
0Q1 1
t
eT
dh K 0Q1
h
h
dt t0
T
0
T
t
T
t
计算求取T：当t=T，
Q1
0
h(T ) 0.632h()
控制通道：控制量至被控参数的信号联系。
干扰通道：干扰作用至被控变量的信号联系。
所谓研究过程的特性，就是用数学的方法来描述 出过程输入量与输出量之间的关系——数学建模。
三、过程动态特性的研究方法 1.理论分析 根据系统工艺实际过程的数质量关系，分析计算 输入量与输出量之间的关系。
解析法（机理分析法） 试验辨识法 混合法
Q1(s) Q1 s
H (s) K 0 Q1 T 0s 1 s
ht
K 0Q11
t
eT
纯迟延问题
T1 dh h K 0Q0 t 0
dt
l
1
Q1
h 2 Q2 R2
例2—2 解：根据能量平衡关系得
Q1 Q2 C dT1 Gcp dT1
y0(t1)=0.33 ，y0(t2)=0.39 , y0(t3)=0.632, y0(t4)=0.7
对于t2和t3可求得
T1
ln
1
t3 t2
0.39 ln1
0.632
2t3
t2
1
t
3
ln ln
1 1
0.39 0.39
t2 ln1 0.632 ln1 0.632
T0
W 0(s) H (s) 1 1 Q1(s) Cs T 0s
纯迟延问题
h
W 0(s) H (s) 1 1 e 0s
Q1(s) Cs T 0s
0 0
t
二、多容过程的建模
例2—4
水箱1 Q1 Q2 C1 d h1
dt Q2 h1
R2 水箱2
Q2 Q3 C2 dh2 dt
T 1s
R3
1 T
2s
1
T 1s
K0
1 T
2s
1
Q1(s) Q1 s
h t
K
0Q1
1+
T
1 2-T 1
t T 1e T1
T
t
e2 T 2
水箱1
水箱2 方框图的方法
Q1 Q2 C1 d h1 dt
动态: 单位时间内流入被控过程的物料量(或能量)减去 单位时间内流出被控过程的物料量(或能量) 等 于被控过程内物料量(或能量)储存量的变化量.
一、单容过程的建模 例2—1
如图所示为一液体储槽对象 其静态方程
1
Q1
Q10 Q20 h10
h
h为一不变的常数。用微分方程来
描述对象往往着眼于变化量。
C—容量系数， C=A1
容量系数C ：引起单位被控参数变化时被控过程贮存 量变化的大小。
方框图的方法
Q1 Q2 A1 dh1 dt
Q2 h1 R2
W 0(s) H (s) R2 K 0 Q1(s) R2Cs 1 T 0s 1
H (s) K 0 Q1(s) T 0s 1
c—容量滞后
τ
所以滞后时间 0 c
纯滞后和容量滞后尽管本质不同，但实际上很难区分，
两者同时存在时，常常把两者合起来统称滞后时间。
第三节 响应曲线辨识过程的数学模型
（试验法建模） 一、阶跃响应曲线的测定
1
Q1
h
2 Q2
R2
1）合理选择阶跃信号值；
2）被控过程必须处于相对稳定的运行状态； 3）需获得两次以上比较接近的测试数据； 4）在试验时应在阶跃信号作正、反方向变化时分别