静定与超静定
第十章静定结构和超静定结构
课题：第一节结构的计算简图
[教学目标]
一、知识目标：
1、理解结构计算简图的作用和意义。
2、掌握结构计算简图基本的简化方法。
二、能力目标：
通过对结构计算简图的讲解，提高学生分析问题的能力。
三、素质目标：
培养学生善于区分事物的主要矛盾和次要矛盾
[教学重点]
1、支座的简化和节点的简化。
2、计算简图的概念和要求。
[难点分析]
计算简图简化的原理。
[学生分析]
学生由于缺乏实际工程知识，不太理解计算简图的作用以及这种分析方法。[辅助教学手段]
理论联系实际、分析、讨论的方法
[课时安排]
1课时
[教学内容]
一、导入新课
何谓结构？结构的举例。通过启发学生联系工程实例，理解结构的概念。
二、新课讲解
1．结构的计算简图
2．结构的计算简图应满足的要求
（1）基本上反映结构的实际工作性能
（2）计算简便
3．实际结构的计算简图的简化
（1）支座的简化
三种形式；简支梁、阳台、柱的实例。
（2）节点的简化
铰节点和刚节点的特点及其应用
（3）构件的简化
实际上是力学中杆件的简化
（4）荷载的简化
集中荷载和均布荷载
三、讨论
1 牛腿柱的计算简图
2 雨蓬的计算简图
四、小结
在结构设计中，选定了结构的计算简图后，在按简图计算的同时，还必须采取相应的措施，以保证实际结构的受力和变形特点与计算简图相符。
五、作业
思考题：1
课题：第二节平面结构的几何组成分析
[教学目标]
一、知识目标：
1、理解几何组成分析的作用和意义。
2、了解结构从几何组成的观点的分类。
3、了解结构几何组成分析的规则和方法。
4、了解静定结构和超静定结构的概念。
5、会对简单结构进行几何组成分析。
二、能力目标：
通过对结构几何组成分析的讲解，提高学生分析问题的能力。
三、质目标：
培养学生善于区分事物的主要矛盾和次要矛盾
[教学重点]
1、几何组成分析的意义和结果。
2、几何组成分析的方法。
[难点分析]
结构几何组成分析的概念和方法都比较抽象，尤其是方法，学生学习起来比较困难。讲解时，淡化理论，结合例题讲解。
[学生分析]
学生由于对自由度、钢片、约束的概念比较生疏，所以理解这节内容比较困难，因而，讲解时，突出重点，难点内容只做介绍。
[辅助教学手段]
理论联系实际、分析、讨论的方法
[课时安排]
2课时
[教学内容]
一、导入新课
通过工程实例，如一般的柱子和梁举例说明：工程中对采用的结构和构件的要求，从而引出对结构进行几何组成分析的概念：
二、新课讲解
1．几何组成分析的概念
在对结构进行分析计算时，必须先分析体系的几何组成，以确保体系的几何不变性，这种分析就是结构的几何组成分析。几何组成分析的目的是：（1）别体系是否为几何不变体系，从而决定它能否作为结构所使用；
（2）掌握几何不变体系的组成规则，便于设计出合理的结构；
（3）用以区分体系为静定结构或超静定结构，从而对它们采用不同的计算方法。2．几何不变体系的组成规则
铰接三角形是最基本的几何不变体系
以下介绍的三个规则其实质，就是三刚片规则。也就是铰接三角形。几个规则的不同之处仅仅在于把体系的哪些部分看作约束的对象，哪些部分看作约束，约束的方式，以及约束必须遵循什么样的条件，才能保证体系是无多余约束的几何不变体系。
（1）二元体规则
一个点和一个刚片用两根不共线的链杆相连,组成几何不变体系，称为二元体规则。
两根不共线的链杆是二元体成立的条件。
（2）两刚片规则
两个刚片用一个铰和不通过此铰的链杆相连；或者两个刚片用三根不完全平行也不交于一点的链杆相连，则为几何不变体系，且无多余联系，如图a、b、c。
（3） 三钢片规则
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相连，组成几何不变体系，且无多余约束。所以，铰接三角形是最基本的几何不变体系。
当然，“两两相连”的铰也可以是由两根链杆构成的实铰或虚铰，如图b 所示。
3．超静定结构的概念 （1）几何特征
静定结构：几何不变无多余约束 超静定结构：几何不变有多余约束 （2）静力特征
静定结构：平衡方程可确定全部未知力 超静定结构：平衡方程不能确定全部未知力 4．几何组成分析的实例
例一：分析的方法：简化成基本结构形式。
由铰结三角形ABC 增加二元体AF 、CF ，再增加二元体CF ，FE ，再增加二元体CD ，ED ，则ABCDEF 为一刚片，与地基简支梁联系，几何不变且无多余约束
2 .构造大刚片,
简化成基本结构形式
A
B
C
D
E
F
例二： 如图：C 为铰支座三角形，跟地面形成大刚片，整个结构多于三个联系，
非简支梁形式。
而且，体系由铰结三角形，二元体方法也不能融成一个刚体，但是可以简化成二个平行四边形刚体如图所示，分别设为刚片I ，II 。
考虑刚片I、II与地基如何应用规则二：
铰C与I、II直接相联，所以用链杆1、2代换，C铰按规则三可视为地
基的一部分。
考虑地基与I、II的相联，可得到链杆A与1延长线的交点A'，链杆B
与2延长线的交点B'；点A'与B'均为虚铰，且刚片I、II有实铰相联，
三铰不共线，满足规则二，体系为几何不变无多余约束。
5．结构的分类
（1）建筑结构可分为：平面结构和空间结构
（2）从几何组成角度可分为：静定结构和超静定结构。
静定结构可分为：静定多跨梁、静定刚架、三铰拱、静定平面桁架等。
三、小结
强调几何组成分析的目的和结果。
四、作业
练习题：10－1、10－2、10－3
课题：第三节静定多跨梁
[教学目标]
一、知识目标：
1、掌握静定多跨梁的组成及受力特性。
2、了解静定多跨梁内力计算的方法。
二、能力目标：
通过对静定多跨梁的讲解，提高学生综合分析问题的能力。
三、素质目标：
培养学生善于区分事物的相同点和不同点，抓住事物的特性。
[教学重点]
1、静定多跨梁的组成。
2、静定多跨梁的受力特性。
[难点分析]
静定多跨梁的内力计算。讲解时，先对梁进行组成分析，在按照前面梁的内力图的画法讲解。
[学生分析]
梁的内力图内容相对较难，但是力学的重点。前面的章节已经重点讲过，在本章讲解中，可先复习，再讲新知识，学生易于接受。
[辅助教学手段]
理论联系实际、分析、讨论的方法
[课时安排]
4课时，其中安排2节习题课
[教学内容]
一、导入新课
通过工程实例，如：屋盖的檩条、钢筋混凝土桥梁等，引入多跨静定梁。二、新课讲解
1．静定多跨梁的组成
1）基本部分－在荷载作用下能维持平衡的部分
2）附属部分－必须依靠基本部分才能维持平衡的部分
3）举例，书P204图10－21
2．内力计算
1）分析：基本部分和附属部分的受力特点
2）计算顺序：先计算附属部分，再计算基本部分
3）计算方法：在铰接处将多跨静定梁拆成若干个单跨梁计算，先计算附属部分，在计算基本部分，最后将单跨梁的内力图拼在一起。
4）举例：例10－5
计算步骤：画层次图
计算支座反力
画内力图（分解再组合）
3．静定多跨梁的特性
优点：弯矩比一系列的简支梁弯矩小，用材料比较节省。
缺点：构造比较复杂
受力特点：再多跨静定梁铰节点处，无集中荷载作用时，剪力无变化，
弯矩为零。
三、小结
强调静定多跨梁的组成和特性，回忆其内力图的画法。
四、作业
P238 10－4
课题：第四节静定刚架
[教学目标]
一、知识目标：
1、掌握静定刚架的特点及应用。
2、了解静定刚架内力计算的方法。
二、能力目标：
通过对静定刚架的讲解，提高学生综合分析问题解决问题的能力。
三、素质目标：
培养学生善于把复杂问题通过分解简单化的素质。
[教学重点]
1、刚架的特点。
2、刚架内力计算的方法。
[难点分析]
刚架内力计算、内力图较难，讲解时，通过与梁内力图异同的对比讲解。[学生分析]
学生如果梁的内力图内容较熟悉，学习本节内容并不困难；如果梁的内力图知识掌握不牢靠，再加上力学基础不太好，学习较困难，建议分层次教学。作业分为必做和选做题。
[辅助教学手段]
分析、讨论的方法
[课时安排]
4课时，其中安排2节习题课
[教学内容]
一、引入新课
通过刚架的概念引入。
平面刚架－是由梁与柱所组成的平面结构。横杆称为梁，竖杆称为柱。各杆间由结点联接，主要为刚结点，也有铰结点。
二、新课讲解
（一）刚架的特点及分类
1．特点：梁与柱的联接处为刚结点，当刚架受力而产生变形时，刚结点处各杆端之间的夹角始终保持不变，且能承担弯矩。铰结点联接的杆端可
相对转动，一般弯矩＝0
2．分类：悬臂刚架和三铰刚架
（二）刚架的内力计算
1．内力计算的基本方法－截面法
2．刚架的内力符号的规定
弯矩－画在受拉的一侧，不必标正负号；
剪力－以绕杆件顺时针转为正，可画在杆件的任意一边，要标清正负号。
轴力－以受拉为正，可画在杆件的任意一边，要标清正负号。
3．双脚标的含义：第一个脚标表示内力所属截面的编号；第二个脚标表示该杆件远端的编号。
4．举例
例10－6
讲法建议：将刚架拆成两个杆件－横杆（悬臂梁）和竖杆（悬臂梁），再根据刚架的特点分别画横杆和竖杆的内力图。
例10－7
解题步骤：1 求支座反力
2 分解，分别做内力图
解题技巧：半刚架法，根据对称性画图。
1 弯矩图和轴力图是正对称图形
2 剪力图是反对称图形
三、小结
绘制刚架弯矩图时应注意以下几点：
(1) 刚结点处应满足力矩平衡；
(2) 铰结点处弯矩必为零(在无外力偶的情况下)；
(3) 无荷载区段弯矩图为直线；
(4) 均布荷载区段弯矩图为二次曲线，曲线的凸方向与均布荷载指向一致；
(5) 利用q、F Q、M三者之间的关系作图；
(6) 运用“区段叠加法”作M图。
四、习题
P239 练习题10－5、10－6
课题：第五节三铰拱
[教学目标]
一、知识目标：
1、掌握三铰拱的概念。
2、了解三铰拱支座反力和内力计算的方法。
3、了解合理拱轴的概念
二、能力目标：
通过对三铰拱的讲解，提高学生比较、分析问题的能力。
三、素质目标：
培养学生善于把复杂问题转化成已研究过的问题的素质。
[教学重点]
1、拱的特点。
2、拱的反力和内力计算的方法。
[难点分析]
拱的反力和内力计算较复杂，可以通过和三铰刚架和梁的对比进行讲解讲解。
[学生分析]
学生如果梁的内力图内容较熟悉，学习本节内容关键是通过启发，使学生学会问题的转化，把未知的内容和已知的内容联系上，以解决问题。
[辅助教学手段]
分析、讨论的方法
[课时安排]
2课时
[教学内容]
一、引入新课
通过曲梁和拱的对比引入新课。
二、新课讲解
1．三铰拱的特点：竖向荷载作用下，支座处产生水平反力，这是与相应简支梁比较而言。几何组成与三铰刚架相同，只是其杆件为曲杆。
2．拉杆式三铰拱与地为简支，产生的水平推力由拉杆提供，以避免对支座产生推力。
3．三铰拱的计算
（1）支座反力
支座反力计算与三铰刚架相同
f
M H V V V V K
B B A A 0
=
==
与相同跨度，相同荷载的简支梁相比：o c B A M V V ，，00为简支梁上相应的反力与弯矩。水平反力H 与矢高f 成反比，矢高越低水平推力越大。 （2）内力计算－－截面法
取任意x 位置用截面K 假想截开，有内力M 、Q 、N ，分离体受力分析如图；
若N ，Q 按水平、竖向分解，则水平力与H 平衡，竖内力与荷载与A V 平衡，即相当于相应简支梁的0Q ；
此二力向N ，Q 方向投影则得到式（6－8）、（6—9）。K M 与二部分力平衡：一部分为竖向荷载及A V ，相当于相应简支梁的0M ；第二部分为推力产生的：－Hy ，得公式（6—7）。
K
K K K K K K K K K H Q N H Q Q y
H M M ????cos sin sin cos 000
--=-?=?-= (3)拱的合理轴线
H
M y y H M M x x x x x 0)()()(0)()(0
=
=-=
在竖向荷载作用下：三铰拱的合理轴线形式与相应简支梁的M 图相用，只是乘以1/H （常数） 三、小结 概括拱的特点 四、作业及讨论
画图表示拱各部分的名称 何谓合理拱轴
课题： 第六节 桁架 [教学目标]
一、知识目标：
1、掌握桁架的概念、各部分的名称及应用。
K
H
2、掌握桁架的特点
3、了解静定桁架内力计算的方法。
二、能力目标：
通过对静定桁架的讲解，提高学生分析问题、解决解决问题的能力。
三、素质目标：
培养学生善于多角度分析问题的素质。
[教学重点]
1、桁架的特点及应用。
2、桁架内力计算的方法。
[难点分析]
桁架的内力计算较难，讲解时，通过复习静力学平衡力系（平面汇交、平面一般力系）来讲解。
[学生分析]
学生如果对前面的平面力系内容较熟悉，学习本节内容并不困难；如果前面平面力系的知识掌握不牢靠，再加上力学基础不太好，学习较困难，建议边复习边讲新课。作业分为必做和选做题。
[辅助教学手段]
分析、讨论的方法
[课时安排]
4课时，其中安排2节习题课
[教学内容]
一、引入新课
复习平面汇交力系和平面平面一般力系的内容；
通过铁路桥和工业厂房等实例引入平面桁架的新课内容。
二、新课讲解
1．桁架的计算简图
分析实际桁架受力情况比较复杂，影响杆件内力的因素很多，在计算时必须抓主要矛盾，对实际桁架作必要的简化。
1）对平面桁架的三点假设；
2）桁架各部分的名称。
3）桁架的特点：由直杆用铰链联接而成，在结点荷载作用下杆件是二力杆，各杆只有轴力。
2．用数解法计算桁架的轴力
1）结点法
取结点为分离体――平面汇交力系
适于求解简单桁架的各杆内力。
有二个独立的平衡方程，可求解二个未知力。
求解方法：
（1）求解支座反力，零杆判断；
因几何组成的不同而不一定是必须的，零杆判定后，可以大大简化求解。 （2）再选取只含二个未知力的结点。顺次取二个未知力的结点分离体可求解每个杆的内力。
（3）结点分离体中，未知轴力设为拉力（正），结果为负时表示与所设方向相反。已知力一般按实际方向画，标注其数值的绝对值，则平衡方程建立时看图确定其正负。 零杆的判断：
a. 不共线二杆结点，无外力作用，则此二杆都是零杆。
b. 三杆结点，无外力作用，如果其中二杆共线，则第三杆是零杆。
2) 截面法
用截面切断拟求构件，将桁架分为二部分，取其中一部分为分离体，得平面任意力系，适于求解指定某几个构件的内力。
切断杆件所得内力，与其同侧的外力、支座反力组成一平面的任意力系，有三个独立的平衡方程，可解三个未知力。
截面切断的未知内力的杆件一般不超过三个；切断的杆件内力仍设为正方向。截面切断的未知内力的杆件一般不超过三个；切断的杆件内力仍设为正方向。 3) 灵活运用
（1）结点法、截面法可以联合使用；
（2）零杆判断应充分利用，可以简化计算。 （3）利用对称性；
（4）选取适当的方程也可大大简化计算。 4) 举例
如图（a ）所示桁架，试求a 、b 两杆的轴力。
[解]（1）求支座反力 由
∑=0)(F M B
可得 F Ay =20kN （↑） 由
∑=0)(F M
A
可得 F By =40kN （↑）
（2）求杆a 和杆b 的轴力 以截面Ⅰ—Ⅰ截取桁架左半部 分为脱离体，画受力图如图2（b ） 所示。这时脱离体上共有四个未知 力，而平衡方程只有三个，不能解 算。为此再取结点E 为脱离体，画
受力图，如图2（c ）所示。找出F Na 和F Nc 的关系。
由投影方程
05
454=?+?
=∑Nc Na x F F F 得 Nc Na F F -=
再由截面Ⅰ—Ⅰ用投影方程
05
3
5320=?+?-=∑Na
Nc y F F F 得 05
3
220=??+Na F
kN
7.163
220
5-=??-=Na F （压） 然
后
，
由
∑=?+??-?=06654
12)(Nb Na
Ay c F F F F M 得 kN 7.26-=Nb F （压） 3．用图解法计求桁架的轴力 略。 三、讨论
桁架倒塌事故分析 四、作业 P239-240
10-9 10-10 10-11
课题： 第七节 静定结构的受力分析及性能比较 [教学目标]
一、知识目标：
1. 了解各种结构的受力分析方法。
2. 掌握各种结构受力特性和应用。 二、能力目标：
通过对静定各种结构的回顾和分析比较，提高学生综合分析问题的能力。 三、素质目标：
培养学生善于利用事物的特性,全面分析问题的素质。
[教学重点]
1、各种结构的受力特点及应用。
2、各种结构内力计算的方法总结。
[难点分析]
本节内容带有较强的综合性,通过复习的方式,启发学生自己总结学过的知识以便更好的掌握本节内容。
[学生分析]
学生对静定结构的内容都逐一学过，缺乏综合性，通过问题的引导，引发学生思考，从而使学生加强对静定的各种结构的深刻理解。
[辅助教学手段]
分析、讨论的方法
[课时安排]
2课时
[教学内容]
一、引入新课
提问，设计几类静定结构的外力及内力的问题，引入新课。
1．前面我们学习了哪几种静定结构？
2．何谓静定结构？
3．每种结构的内力是什么？
4．试述每种结构的特性。
二、新课讲解
1．静定结构的受力分析
（1）外力分析－支座反力
（2）内力分析－截面法
（3）比较梁式杆、链杆、铰结点和刚节点处的内力。
2．几种结构的受力性能比较
（1）合理的结构：从受力分析角度出发，是无弯矩或小弯矩结构。
（2）比较几种典型的结构形式在相同跨度和相同荷载作用下的主要内力值。
参考书上P224，图10－51
（3）结论：简支梁弯矩最大，伸臂梁、组合结构、三铰屋架次之，而桁架和具有合理拱轴的三铰拱弯矩为零。
（4）总结各种结构的工程应用
在实际工程中，简支梁多用于小跨度结构。伸臂梁、三铰屋架、组合
结构可用于跨度较大的结构。当跨度更大时，可采用桁架和拱结构。
（5）综合分析
实际工程中，应该从受力性能和经济方面综合分析。
三、小结
回顾本节重点内容，可以以提问的方式，加深学生的记忆。
四、讨论
举例各种结构的工程应用
课题：第八节超静定结构的特性
[教学目标]
一、知识目标：
1. 掌握超静定结构的特性。
2．了解多余约束对超静定结构的影响。
3.掌握简单超静定结构的解算和弯矩图。
4.了解超静定结构的刚度比值对内力的影响。
5.了解稳定变化和支座沉陷对超静定结构的影响。
二、能力目标：
通过对超静定结构的讲解和分析比较，提高学生综合分析问题的能力。
三、素质目标：
培养学生善于利用事物的特性,全面分析问题的素质。
[教学重点]
1、超静定结构的特性。
2、各种超静定结构的解算和弯矩图。
[难点分析]
本节内容带有较强的综合性,讲解时，以定性分析为主，以便更好的掌握本节内容。
[学生分析]
学生对超静定结构的内容比较陌生，可以通过与静定结构对比分析讲解。[辅助教学手段]
分析、讨论、举例的方法
[课时安排]
4课时
[教学内容]
一、引入新课
提问：何谓超静定结构？引出超静定结构的基本特性。
举例：通过简单超静定结构的举例，说明超静定结构的解法有别于静定结构，从而引出本节内容。
二、新课讲解
（一）简单超静定结构的解算与弯矩图
1．简单超静定结构的解算
介绍力法计算一次超静定结构
基本概念和计算要求
（1）力法的基本原理，通过多余未知力的概念，把超静定结构问题转化为静定结构的计算问题。
（2）结构超静定次数的确定，多余约束、多余约束反力和超静定次数的关系，基本结构的确定。
（3）力法典型方程的建立及方程中相关系数的意义。
基本计算方法
（1）选择基本结构
去掉多余约束的原则和方法去掉多余约束代之以多余未知力，得到与原结构相应的静定结构即基本结构。
注意：基本结构必须是几何不变体系的静定结构，几何可变体系（或瞬变体系）不能用作基本结构；多余约束力的方向应该符合约束的方向；选择的基本结构应该尽量使解题步骤简化。
（2）基本方程的建立
将基本结构与原结构以受力条件进行比较会发现：只要多余未知力就是原结构的支座反力，则基本结构与原结构受力情况完全一致；当解出多余未知力，将其视为荷载加在基本结构上，超静定结构的计算即转化为静定结构的计算。
计算步骤和常用方法
基本计算步骤是：
（1）选择基本结构。确定超静定结构的次数，去掉多余约束，并以相应的约束力代替而得到的一个静定结构作为基本结构。
（2）建立力法典型方程。（一次超静定结构）
（3）计算δ11和Δ1P。首先要画出基本结构在荷载作用下的M P图和基本结构在单位未知力作用下的弯矩图，然后用图乘法分别计算δ11和Δ1P。
（4）求多余未知力。代入力法典型方程求出多余未知力。
（5）作内力图（一般为作弯矩图）。可按式叠加对应点的弯矩，从而画出弯矩图。举例：
p225 例
2．超静定结构的弯矩图
（1）两端为固定支座的梁
（2）连续梁
（3）超静定刚架
（二）多余约束的存在及其对超静定结构的影响
5．由于多余约束的存在，超静定结构具有较强的防护能力。
6．由于多余约束的存在，超静定结构具有较高的刚度和稳定性。
7．在局部荷载作用下，超静定结构的内力影响范围一般比静定结构影响范围大，其内力的峰值比静定结构小。
（三）超静定结构的各杆刚度比值对内力的影响
1．结论：静定结构的反力和内力与杆件的刚度无关；超静定结构中，刚度较大的部分将产生较大的内力，刚度较小的部分内力也较小。
2．应用：可以通过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。
3．举例论证：书P230－231
（1）受压钢筋混凝土柱实例
（2）超静定刚架图p232 10－65
（四）温度变化和支座沉陷对超静定结构的影响
1.温度变化引起的内力
（1）结论：温度变化可以引起内力，且与杆件的刚度EI成正比。因而，在给定的温度下截面的尺寸越大内力也越大。
（2）举例说明：书P233 刚架
（3）工程应用－温度缝（收缩缝）
建筑物越长，上部结构的变形就越大。当建筑物长度超过规范规定时应将建筑物基础以上的部分用“缝”分开，降低温度应力。
2．支座沉陷引起的内力
（1）结论：超静定结构对支座沉陷十分敏感。结构刚度越大，支座移动引起的内力就越大。
（2）举例说明：书P234 梁
（3）工程应用－沉降缝
为了防止结构不均匀沉降产生的内力对结构引起的破坏，工程中常设沉降缝，用“缝”从基础至顶部将建筑物全部分开。
（4）与温度缝的区别
基础是否也断开
三、小结
超静定结构和静定结构的比较
四、作业
思考题：17、18、19
力法求解超静定结构的步骤
第七章力法 本章主要内容 1）超静定结构的超静定次数 2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分）） 3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架） 4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论 5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核 §7-1超静定结构概述 一、静力解答特征： 静定结构：由平衡条件求出支反力及内力； 超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。 二、几何组成特征：（结合例题说明） 静定结构：无多余联系的几何不变体 超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。 多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。 多余求知力：多余联系中产生的力称为 三、超静定结构的类型（五种） 超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构 四、超静定结构的解法 综合考虑三个方面的条件： 1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程； 2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。即结构的变形必须 符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。 3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。 精确方法： 力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量 位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。 力法与位移法的联合应用： 力法与位移法的混合使用：混合法 近似方法：
静定与超静定问题
静定与超静定问题物体系统的平衡问题 （一次课教案） 教案编写者：许庆春 说明：本教案是以课时为单位编制的教学具体方案，即文字教案，由教师采用多媒体课件与黑板、粉笔同时施教。教案中的红色数字为多媒体课件中的页面号，为我校研制的、由高等教育出版社出版的《理论力学课堂教学系统（上）》中的内容；教案中的*. ppt（红色字体）是教师根据课堂教学需要、利用Powerpoint制作的增加内容。
平面问题 平面问题 图（b ） 图（c ） 图（d ） 3-4 静定与超静定问题 物体系统的平衡问题 一、有关概念 1．自由度 完全确定物体在空间位置所需的独立变量的个数称为它的自由度，用k 表示。 2．结构与机构 自由度： k=3 k=1 k=0 k=0 从约束来看：自由体(无约束) 非自由体(有约束) 非自由体 非自由体 从自由度来看：机构（k >0） 机构 结构（k=0） 结构 未知力的个数 Nr = 3 Nr = 4 独立平衡方程的个数 Ne = 3 Ne = 3 Nr = Ne Nr > Ne 静定问题 超静定问题 二、静定与超静定问题 在研究的平衡问题中，如果未知量的个数等于独立的平衡方程的个数，这时所有的未知量可用平衡方程求出，这类问题——静定问题，如图（c ）所示；如果未知量的个 xu4-5.ppt 开始 图（a ） xu4-5.ppt 结束
30开始 30结束 31开始 31结束 数多于独立的平衡方程的个数，这时未知量不能或不能全部用平衡方程求出唯一解，这类问题——超静定问题，如图（d ）所示。 屏幕上，第一排三个例子是静定问题，第二排三个例子是超静定问题。 超静定问题工程上非常多，如这是超静定 拱、超静定梁、超静定桁架。这里我们只研究静定问题，这是因为：①求解静定问题是求解超静定问题的基础；②解超静定问题要考虑物体的变形，而我们的研究对象是刚体，不考虑变形，因此目前我们无法解超静定问题，在后续课程材料力学、结构力学中，我们将研究超静定问题。 在前面的讨论的平衡问题中，研究对象大多是一个物体，但在实际工程中，我们研究的对象往往比较复杂，由若干个物体组成，这若干个物体组成的系统，我们就称为物体系统，下面我们研究物体系统的平衡问题。 三、物体系统的平衡问题 屏幕上的物体系统由AB 、BC 两部分组成，对整个系统而言，铰B 是系统内物体之间的联系——内约束，对应的约束力——内约束力；支座A 、D 、E 是系统外部其它物体与系统的联系——外约束，相应的约束力——外约束力。 注意：内约束与外约束、内力与外力是相对的，是相对一定的研究对象而言的。如铰B 处的约束力对整个系统而言是内力，但对AB 或BC 而言就是外力了。 如果物体系统平衡，则组成物体系统的每一个物体也平衡。如ABC 平衡，则AB 、BC 也平衡。对物体系统中的每个物体列平衡方程即可求解。若物体系统由n 个物体组成，每个物体都受到平面力系作用，则独立的平衡方程总共可列出3n 个，可解3n 个未知量。 xu4-6.ppt 开始 xu4-6.ppt 结束
《材料力学》第6章-简单超静定问题-习题解
第六章 简单超静定问题 习题解 [习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图 解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则： B BD R N = F R N B CD += F R N B A C 3+= 变形谐调条件为： 0=?l 02=?+?+?EA a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N 03)(2=++++F R F R R B B B 45F R B - =（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD -= 445F F F N CD -=+-= 4 7345F F F N AC = +-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积 分别为21100mm A =，2 2150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。 解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。 ∑=0X 030cos 30cos 01032=-+-N N N 0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1) ∑=0Y 030sin 30sin 0103=-+F N N 2013=+N N (2) 变形谐调条件： 设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知： 00130cos 30sin x y l δδ+=? x l δ=?2 00330cos 30sin x y l δδ-=? 03130cos 2x l l δ=?-? 2313l l l ?=?-? 设l l l ==31，则l l 2 32= 2 23 31123 3EA l N EA l N EA l N ? ?=- 2 2 331123A N A N A N =- 150 23200100231?=-N N N
超静定结构(精)
第4章超静定结构 §4.1 超静定结构特性 ●由于多余约束的存在产生的影响 1. 内力状态单由平衡条件不能惟一确定，必须同时考虑变形条件。 2. 具有较强的防护能力，抵抗突然破坏。 3. 内力分布范围广，分布较静定结构均匀，内力峰值也小。 4. 结构刚度和稳定性都有所提高。 ●各杆刚度改变对内力的影响 1. 荷载作用下内力分布与各杆刚度比值有关，与其绝对值无关。 2. 计算内力时，允许采用相对刚度。 3. 设计结构断面时，需要经过一个试算过程。 4. 可通过改变杆件刚度达到调整内力状态目的。 ●温度和沉陷等变形因素的影响 1. 在超静定结构中，支座移动、温度改变、材料收缩、制造误差等因素都可以引起内力，即在无荷载下产生自内力。 2. 由上述因素引起的自内力，一般与各杆刚度的绝对值成正比。不应盲目增大结构截面尺寸，以期提高结构抵抗能力。 3. 预应力结构是主动利用自内力调节超静定结构内力的典型范例。 §4.2 力法原理 ●计算超静定结构的最基本方法 超静定结构是具有多余联系（约束）的静定结构，其反力和内力（归根结底是内力）不能或不能全部根据静力平衡条件确定。力法计算超静定结构的过程一般是在去掉多余联系的静定基本结构上进行，并选取多余力（也称赘余力）为基本未知量（其个数等于原结构的超静定次数）。根据基本体系应与原结构变形相同的位移条件建立方程，求解多余力后，原结构就转化为在荷载和多余力共同作用下的静定基本结构的计算问题。这里，基本体系起了从超静定到静定、从静定再到超静定的过渡作用，即把未知的超静定问题转换成已知的静定问题来解决。 ●基本结构的选择（解题技巧） 1. 通常选取静定结构；也可根据需要采用比原结构超静定次数低的、内力已知的超静定结构；甚至可取几何可变（但能维持平衡）的特殊基本结构。 2. 根据结构特点灵活选取，使力法方程中尽可能多的副系数δij = 0。 3. 应选易于绘制弯矩图或使弯矩图限于局部、并且便于图乘计算的基本结构。 4. 对称取基本结构；或利用对称性取半结构；或求弹性中心；以减少未知力数目，并使力法方程解耦。 ●力法典型方程 典型方程可写成矩阵形式： δX+ Δ = C (4.2.1) 式中，δ为柔度系数矩阵（对称方阵）；X为多余未知力列阵；Δ为自由项列阵（外因作用下的广义位移列阵）；C为原结构多余联系处的已知位移（不一定为零）列阵。 ●力法的解题步骤 1. 确定基本未知量，合理选取基本结构。 2. 根据多余联系处的位移（变形）协调条件，建立力法方程。
材料力学 简单的超静定问题答案
6-1试作图示等直杆的轴力图。 解：取消A端的多余约束，以代之，则（伸长），在外力作用下杆产生缩短变形。 因为固定端不能移动，故变形协调条件为： 故 故 返回 6-2图示支架承受荷载各杆由同一材料制成，其横截面面积分 别为，和。 试求各杆的轴力。 解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点A移至。 此时各杆的变形及如图所示。现求它们之 间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程。
即： 亦即： 将，，代入， 得： 即： 亦即： （1） 此即补充方程。与上述变形对应的内力如图所示。根据节点A的平衡条件有： ； 亦即：（2） ；， 亦 即： （3） 联解（1）、（2）、（3）三式得：
（拉） （拉） （压） 返回 6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受力多少。 解：因为2，4两根支柱对称，所以，在F力作用下：
变形协调条件： 补充方程： 求解上述三个方程得： 返回 6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF 使该刚性杆处于水平位置，如图所示。如已知，两根钢杆的横截面面 积，试求两杆的轴力和应力。 解：， （1） 又由变形几何关系得知： ，（2） 联解式（1），（2），得， 故，
返回 6-5(6-7) 横截面为250mm×250mm的短木柱，用四根40mm×40mm×5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力，弹性模量；木材的许用应力，弹性模量。试求短木柱的许可荷载。 解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件： （1） 由木柱与角钢间的变形相容条件，有 （2） 由物理关系： （3） 式（3）代入式（2），得
超静定结构的概念和超静定次数的确定
第5章力法 5.1 超静定结构的概念和超静定次数的确定 1. 超静定结构的概念 前面讨论的是静定结构，从本章开始我们讨论超静定结构的受力情况。关于结构的静定性可以从两个方面来定义从几何组成的角度来定义静定结构就是没有多余联系的几何不变体系；从受力的角度来定义，静定结构就是只用静力平衡方程就能求出全部反力和内力的结构。 现在，我们要讨论的是超静定结构。它同样可以从以上两个方面来定义，从几何组成的角度来定义，超静定结构就是具有多余联系的几何不变体系；从受力的角度来定义，超静定结构就是只用静力平衡方程不能求出全部的反力或内力的结构。如图5.1(a)所示的简支梁是静定的，当跨度增加时，其内力和变形都将迅速增加。为减少梁的内力和变形，在梁的中部增加一个支座，如图5.1(b)所示，从几何组成的角度分析，它就变成具有一个多余联系的结构。也正是由于这个多余联系的存在，使我们只用静力平衡方程就不能求出全部4个约束反力F ax、F ay、F by、F cy和全部内力。具有多余约束、仅用静力平衡条件不能求出全部支座反力或内力的结构称为超静定结构。图5.1(b)和图5.2所示的连续梁和刚架都是超静定结构。 图5.3给出了工程中常见的几种超静定梁、刚架、桁架、拱、组合结构和排架。本章讨论如何用力法计算这种类型的结构。 图5.1 图5.2 图5.3
2. 超静定次数的确定 力法是解超静定结构最基本的方法。用力法求解时，首先要确定结构的超静定次数。通常将多余联系的数目或多余未知力的数目称为超静定结构的超静定次数。如果一个超静定结构在去掉n个联系后变成静定结构，那么，这个结构就是n次超静定。 显然，我们可用去掉多余联系使原来的超静定结构(以后称原结构)变成静定结构的方法来确定结构的超静定次数。去掉多余联系的方式，通常有以下几种： (1) 去掉支座处的一根支杆或切断一根链杆，相当于去掉一个联系。如图5.4所示结构就是一次超静定结构。图中原结构的多余联系去掉后用未知力x1代替。 图5.4 (2) 去掉一个单铰，相当于去掉两个联系(图5.5) 图5.5 (3) 把刚性联结改成单铰联结，相当于去掉一个联系(图5.6)。 图5.6 (4) 在刚性联结处切断，相当于去掉三个联系(图5.7)。 应用上述去掉多余联系的基本方式，可以确定结构的超静定次数。应该指出，同一个超静定结构，可以采用不同方式去掉多余联系，如图 5.8(a)可以有三种不同的去约束方法，分别如图 5.8(b)、(c)、(d)所示。无论采用何种方式，原结构的超静定次数都是相同的。所以说去约束的方式不是惟一的。这里面所说的去掉“多余联系”(或“多余约束”)，是以保证结构是几何不变体系为前提的。如图5.9(a)所示中的水平约束就不能去掉，因为它是使这个结构保持几何不变的“必要约束”(或“必要联系”)。如果去掉水平链杆(图5.9b)，则原体系就变成几何可变了。
(整理)力法求解超静定结构的步骤：.
第八章力法 本章主要内容 1）超静定结构的超静定次数 2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分）） 3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架） 4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论 5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核 6） §8-1超静定结构概述 一、静力解答特征： 静定结构：由平衡条件求出支反力及内力； 超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。 二、几何组成特征：（结合例题说明） 静定结构：无多余联系的几何不变体 超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。 多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。 多余求知力：多余联系中产生的力称为 三、超静定结构的类型（五种） 超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构 四、超静定结构的解法 综合考虑三个方面的条件： 1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程； 2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。即结构的变形必须 符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。 3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。 精确方法： 力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量 位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。 力法与位移法的联合应用： 力法与位移法的混合使用：混合法 近似方法：
简单的超静定问题
第六章简单的超静定问题 知识要点 1．超静定问题的概念 （1）静定问题 结构或结构的约束反力或内力均能通过静力学平衡方程求解的问题。 （2）超静定问题 结构或构件的约束反力或内力不能仅凭静力学平衡方程全部求解的问题。 （3）超静定次数 未知力(约束反力或内力)数超过独立的静力平衡方程书的数目。 （4）多余约束力 超静定问题中，多余维持静力平衡所必需的约束（支座或杆件）。 （5）多余未知力 与多余（支座或杆件）相应的支座反力或内力。 （6）基本静定系 在求解静定结构时，解除多余约束，并代之以多余未知力，从而得到一个作用有荷载和多余未知力的静定结构，称之为原超静定结构的基本体静定系。 2．静不定问题的解题步骤
（1） 静力平衡条件——利用静力学平衡条件，列出平衡方 程。 （2） 变形相容条件——根据结构或杆间变形后应保持连 续的变形相容条件，作出位移图，由位移图的几何关 系列出变形间的关系方程。 （3） 物理关系——应用胡克定律列出力与变形间的关系 方程。 （4） 将物理关系代入变形相容条件，得补充方程 。 补充方程和静力平衡方程，二者方程数之和正好等于未知数的个数，联立平衡方程和补充方程，求解全部未知数。 习题详解 6-1 试作题6-1图（a ）所示等直杆的轴力图。 解 解除题6-1图（a ）所示等直杆的约束，代之以约束反力，作受力图，如题6-1图（b ）所示。由静力学平衡条件 , 03,0=-+=∑F F F F B A Y
和变形协调条件 0=?+?+?DB CD AC 并将()EA a F EA a F F EA a F B DB A CD A AC -=?-=?=?,22,代入式②，可得 联立式①，③，解得 4 5,47F F F F B A == 轴力如图6-1图（c ）所示 6-2 题6-2图（a ）所示支架承受荷载F=10 kN,1,2,3各杆 由同一材料制成，其横截面面积分别为 232221200,150,100mm A mm A mm A ===。试求各杆的轴力。 解 这是一个超静定问题，铰链A 的受力图，如题6-2图（c ）所示。利用静力学平衡条件列平衡方程 03 01230cos 330cos ,0N N N x F F F F =+=∑ F F F F N N y =+=∑030130sin 30sin ,0 变形的几何关系如题6-2图（b ）所示,变形协调条件为 03020130 sin 30tan 230sin l l l ?+?=? 应用胡克定律，三杆的变形为
工程力学-能量法
12 能量法 1、外力的功、应变能、比能等的有关概念， 外力的功 应变能 比能 2、基本变形杆件应变能计算和组合变形杆件应变能计算对于线弹范围内的等直拉压杆的应变能 梁横力弯曲的剪切应变能为（常忽略） 当扭矩Mt沿杆轴变化时，圆轴的扭转应变能 横力弯曲时，不计剪切能，，弯矩沿截面变化，梁的应变能为 3、功能原理、功的互等定理和位移互等定理 4、余能概念 5、卡氏第一和第二定理 解题范例
12.1具有中间铰的线弹性材料梁，受力如图12.1（a）所示，两端梁的弯曲刚度均为EI。用莫尔法确定中间铰两侧界面的相对转角有下列四种分段方法，使判断哪一种是正确的。 （A）按图（b）所示施加一对单位力偶，积分时不必分段； （B）按图（b）所示施加一对单位力偶，积分时必须分段； （C）按图（c）所示施加一对单位力偶，积分时不必分段； （D）按图（c）所示施加一对单位力偶，积分时必须分段； 图12.1 答案：（A） 12.2图12.2示简支梁中点只承受集中力F时，最大转角为，应变能为；中点只承受集中力偶M时,最大挠度是、梁的应变能为。当同时在中点施加F和M时，梁的应变能有以下四种答案，试判断哪一种是正确的。 （A）+； （B）++M； （C）++F； （D）++（ M+F）； 图12.2 [解] 因为对于线性弹性结构，先加F时梁内的应变能为： =F f F 在加M时，由于反对称载荷，梁中点的挠度仍是f F，所以梁内应变能将增加： M= 当同时施加F和M时的应变能，等于先加F再加M时的应变能，即 + 故答案（A）正确。 12.3 用卡氏第二定理求图12.3所示刚架A截面的位移和B截面的转角。略去剪力Q和轴力N的影响，EⅠ为已知.
第七章 超静定结构
第七章超静定结构 授课学时：6学时 一、内容提要 1、理解超静定结构中的一些基本概念，即：静定与超静定、超静定次数、多余约束、超静定系统（结构）、 基本静定系以及相当系统等。 2、熟练掌握用力法求解超静定结构。 3、掌握对称与反对称性质并能熟练应用这些性质求解超静定结构。 4、了解连续梁的概念以及三弯矩方程。 二、基本内容 1、超静定系统中的一些基本概念 超静定结构或系统：用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构或结构系统。 静定结构或系统：无多余联系的几何不变的承载结构系统，其全部约束反力与内力都可由静力平衡方程求出的机构或结构系统。 多余约束：在无多余联系的几何不变的静定系统上增加约束或联系。 外超静定：超静定结构的外部约束反力不能全由静力平衡方程求出的情况。 内超静定：超静定结构内部约束(或联系)形成的内力不能单由静力平衡方程求出的情况。 混合超静定结构：对于内、外超静定兼而有之的结构。 基本静定系：解除超静定结构的某些约束后得到静定结构，称为原超静定结构的基本静定系（简称为静定基）。静定基的选择可根据方便来选取，同一问题可以有不同选择。 相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统称为静不定问题的相当系统。 超静定次数：超静定结构的所有未知约束反力和内力的总数与结构所能提供的独立的静力平衡方程数之差。 2、力法与正则方程 力法：以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，通过变形协调条件作为补充方程求来解未知约束力，这种方法称为力法，又叫柔度法。 应用力法求解超静定问题的步骤： 1）根据问题，确定其是静定还是超静定问题，如为后者，则确定超静定次数。 2）确定哪些约束是多余约束，分析可供选择的基本静定系，并注意利用对称性，反对称性，选定合适的静定系统，在静定系上加上外力和多余约束力，形成相当系统。
超静定问题解法例说
-1- 超静定问题解法例说 [浙江永嘉县上塘中学 35100 钱呈祥] 物理习题中，未知量的个数与独立方程的数目一致时，称为静定问题。即能够由独立方程的求解，确定该系统中所有的未知量；若未知量个数大于独立平衡方程数目，则称为超静定问题。对于超静定问题，常需根据题目的相关材料，建立补充方程（辅助方程），再与独立方程联立，才能求解，一般难度较大。超静定问题，实则为补充方程如何建立的问题。 例一：如图1所示，刚性板由三根相同的弹簧悬挂，其重量为G ，重心在O 处，试求三根弹簧的受力。 [解析]AB 板受力如图，由∑=0F ，得F 1+F 2+F 3=G （1） 由∑=0M ，得F 1〃223l F a G l ?=?+ （2） 据平衡条件只有这两个方程，而未知量有三个，因此它属于超静定方程。由变形情况的几何关系有：△l 1+△l 3=2△l 2 由胡克定律，上式即化为23 1 2F k F k F =+ （3） 联合（1）（2）（3），得 F 1= G （l a -31），F 2=3G ，F 3=G （l a +31） 评论：该超静定问题的求解，除了建立原力系的平衡方程 外，关键在于找出变形的几何关系，再代入胡克定律，以建立 补充方程。在进行变形分析时，变形与受力的假设方向须保持一致。 例二：已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，求：（1）在距地面高h 的轨道上的人造地球卫星的速度；（2）该卫星的周期。 [解析]地球对人造卫星的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，可列出独立方程：)()(2 2h R V m h R GMm +=+ （1），式中M 和V 均为未知量。可列出补
第十章简单超静定
第十章 简单超静定 习 题 10.1 对于图示各平面结构，若载荷作用在结构平面内，试：(1) 判断它为几次超静定结构； (2)列出相应的变形协调条件。 (a) (b) (c) (d) (e) (f)
(g) (h) 题10.1图 图一 图二 图三 解：（a ）由图可看出，此为不稳定结构，此结构在水平方向少了一个约束力，在竖直方向多了一个约束力 （b ）由图可看出，第二根铰链与第三根铰链有交点，所以这是个静定结构。无多余约束 （c ）由图可知，此为不稳定结构，此结构在水平方向少了一个约束力 （d ）由图可看出，此结构为一次超静定结构。在支座B 处多了一个水平约束，（图一）但在均布载荷q 的作用下，水平约束的支反力F =0，即变形协调条件为F =0 （e ）由图可看出，此结构为一次超静定结构，多了一个垂直约束，（图二），再此约束情况下，有变形协调条件均布载荷载在B 处引起的挠度B ω等于支座B 产生的支反力NB F 引起的变形B ?，即B B ω=? （f ）由图可看出，此为不稳定结构，此结构在垂直方向少了一个约束力 （g ）由图可看出，此结构是悬臂梁加根链杆移铰支座构成，所以这是个静定结构。无多余约束 （h ）由图可看出，此结构为一次超静定结构，在支座B 处多了一水平约束，（图三）但在均布载荷q 的作用下，水平约束的支反力F =0，即变形协调条件为F =0
10.2 如图所示受一对力F 作用的等直杆件两端固定，已知拉压刚度EA 。试求A 端和B 端的约束力。 题10.2图 解：杆件AB 为对称的受力结构，设A 、B 端的受力为NA F ，NB F 。且有NA NB F F = C D 对AC 段进行考虑，1NA F a l EA ?=（受拉） 对CD 段进行考虑，2()NA F F a l EA -?= （受压） 由变形协调方程 1220l l ?-?=得： 13 NA F F = 即：A 、B 端的受力均为1 3 F （拉力） 10.3 图示结构，AD 为刚性杆，已知F ＝40 kN ，1、2杆材料和横截面积相同，且E 1=E 2=E =200 GPa ，A 1=A 2=A =1 cm 2，a =2 m ，l ＝1.5 m 。试求1、2两杆的应力。 D D 题10.3图 解：设1、2杆的受力分别为1N F ，2N F ，变形为1l ?、2l ? 因为杆AD 为刚性杆，其变形如图所示 有平衡方程 0C M =∑得： 2120N N F l F l Fl +-= （1）
最新力法求解超静定结构的步骤：
力法求解超静定结构 的步骤：
第八章力法 本章主要内容 1）超静定结构的超静定次数 2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分）） 3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架） 4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论 5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核 6） §8-1超静定结构概述 一、静力解答特征： 静定结构：由平衡条件求出支反力及内力； 超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。 二、几何组成特征：（结合例题说明） 静定结构：无多余联系的几何不变体 超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。 多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。 多余求知力：多余联系中产生的力称为 三、超静定结构的类型（五种） 超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构 四、超静定结构的解法 综合考虑三个方面的条件： 1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程； 2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。即结构的变形必须 符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。 3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。 精确方法： 力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量 位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。 力法与位移法的联合应用： 力法与位移法的混合使用：混合法
静定及超静定问题
平面问题 平面问题 图（b ） 图（c ） 图（d ） 静定与超静定问题 物体系统的平衡问题 （一次课教案） 教案编写者：许庆春 说明：本教案是以课时为单位编制的教学具体方案，即文字教案，由教师 采用多媒体课件与黑板、粉笔同时施教。教案中的红色数字为多媒 体课件中的页面号，为我校研制的、由高等教育出版社出版的《理 论力学课堂教学系统（上）》中的内容；教案中的*. ppt （红色字体） 是教师根据课堂教学需要、利用Powerpoint 制作的增加内容。 3-4 静定与超静定问题 物体系统的平衡问题 一、有关概念 1．自由度 完全确定物体在空间位置所需的独立变量的个数称为它的自由度，用k 表示。 2．结构与机构 自由度： k=3 k=1 k=0 k=0 从约束来看：自由体(无约束) 非自由体(有约束) 非自由体 非自由体 从自由度来看：机构（k >0） 机构 结构（k=0） 结构 未知力的个数 Nr = 3 Nr = xu4-5.ppt 开始 图（a ）
30开始 30结束 31开始 31结束 4 独立平衡方程的个数 Ne = 3 Ne = 3 Nr = Ne Nr > Ne 静定问题 超静定问题 二、静定与超静定问题 在研究的平衡问题中，如果未知量的个数等于独立的平 衡方程的个数，这时所有的未 知量可用平衡方程求出，这类问题——静定问 题，如图（c ）所示；如果未知量的个数多于独 立的平衡方程的个数，这时未知量不能或不能 全部用平衡方程求出唯一解，这类问题——超 静定问题，如图（d ）所示。 屏幕上，第一排三个例子是静定问题，第二排三个例子是超静定问题。 超静定问题工程上非常多，如这是超静定 拱、超静定梁、超静定桁架。这里我们只研 究静定问题，这是因为：①求解静定问题是 求解超静定问题的基础；②解超静定问题要 考虑物体的变形，而我们的研究对象是刚 体，不考虑变形，因此目前我们无法解超静 定问题，在后续课程材料力学、结构力学中， 我们将研究超静定问题。 在前面的讨论的平衡问题 中，研究对象大多是一个物体， 但在实际工程中，我们研究的对象往往比较复杂，由若干个物体组 成，这若干个物体组成的系统，我们就称为物体系统，下面我们研究物体系统的平衡问 题。三、物体系统的平衡问题 屏幕上的物体系统由AB 、BC 两部分组成，对整个系统而言， 铰B 是系统内物体之间的联系——内约束，对应的约束力——内约 束力；支座A 、D 、E 是系统外部其 它物体与系统的联系——外约束，相应的约束力——外约束力。 注意：内约束与外约束、内力与外力是相对的，是相对一定的研究对象而言的。如 铰B 处的约束力对整个系统而言是内力，但对AB 或BC 而言就是外力了。 xu4-5.ppt 结束 xu4-6.ppt 开始 xu4-6.ppt 结束
1、静定结构与超静定结构静力计算公式
静定结构与超静定结构静力常用计算公式 一、短柱、长柱压应力极限荷载计算公式 1、短柱压应力计算公式 荷载作用点 轴方向荷载 A F = σ bh F = σ 偏心荷载 ) 1(2 1x Y i ye A F W M A F - = -= σ )1(2 2 x Y i ye A F W M A F + =+ =σ )61(2,1h e bh F ± = σ 偏心荷载 ) 1(2 2x y y x x x y Y i ye i xe A F I x M I x M A F ± ±= ?± ?± = σ ) 661(b e h e bh F y x ± ± = σ 长短柱分界点如何界定？ 2、长柱方程式及极限荷载计算公式 支座形式 图 示 方 程 式 极限荷载 一般式 n=1 两端铰支 β=1 y a dx y d ?=2 2 2 ax B ax A y sin cos += y F M EI F a ?== ,2 EI l n 2 2 2 π EI l 2 2π 一端自由他端固定 β=2 y a dx y d ?=2 2 2 ax B ax A y sin cos += EI l n 2 2 24)12(π - EI l 2 24π
y F M EI F a ?== ,2 两端固定 β=0.5 )(2 2 =- +F M y a dx y d A F M ax B ax A y A + +=sin cos A M y F M EI F a +?-== ,2 EI l 2 2 4π EI l 2 2 4π 一端铰支他端固定 β=0.75 )(2 2 2 x l EI Q y a dx y d -= ?+ ) (sin cos x l F Q ax B ax A y -+ +=水平荷载 -= Q EI F a ,2 —— EI l 2 2 7778.1π 注：压杆稳定临界承载能力计算公式：EI l P cr 2 2) (βπ = 二、单跨梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式 1、简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式 荷载形式 M 图 V 图 反力 2 F R R B A = = L Fb R A = L Fa R B = 2 qL R R B A = = 4 qL R R B A = = 剪力 V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B
超静定次数的确定及基本结构的取法
第六章力法 § 6 —1超静定次数的确定及基本结构的取 法 超静定结构：具有多余联系的几何不变体系。 超静定次数：多余联系的数目。 多余力：多余联系所发生的力。 超静定次数的判定： 1、去掉一个支链杆相当于去掉一个约束。 2、去掉一个铰相当于去掉两个约束。 X1 X2 X2
3、去掉一个固定端相当于去掉三个约束。5、刚结变铰接去掉一个约束。 4、切断一个梁式杆去掉三个约束。
例: § 6—2力法原理 P ---------------------------------------------- 解：①基本结构，基本体系 ②列力法方程：基本结构在多余约束力和荷载的在去掉 约束处的位移等于原结构的实际 共同作用下, 位移。 基本结构 11X1 1p 0 11 ――单位约束力作用下，基本结构去掉约束处的 位移。 基本体系X 1 1p 荷载作用下，基本结构去掉约束处的位移。 *a）、力法方程是一个位移协调方程。 b）、右侧不一定为零。 ③求系数11和自由项 I3 11 3EI 5PI3 48EI X i 11 16P 3PL/16
解法 P ”X1 L nr 解：1 ）、基本结构; 2） 、 11X1 1 p 0 3） 、11 l 1 p PI2 3EI 16EI 1p 3 f X1 —PI 11 16 4） 、M M 1X1 M P （同 上） 解法三: M 解：1 ）、基本结构; 2 ） 、 11X1 1p 0 I311PI3 3 ） 、11 3EI 1p 48EI 1p 11 X1 —P 11 16 4 ） 、M M 1X1M P（同上） 通过选择多种基本结构，加深理解力法方程的物理意义。熟悉力法 解题步骤，增加解题的灵活性。 例题：作M图（提问：加深对脚标的印象及系数的特点） L f M X2 X1 基本结构
结构力学静定结构与超静定结构 建筑类
1、静定与超静定结构的概念:无多余约束的几何不变体系是静定结 构 静定结构：由静力平衡方程可求出所有内力和约束力的体系 有多余约束的几何不变体系是超静定结构 超静定结构：由静力平衡方程不能求出所有内力和约束力的体系. 瞬变体系不能作为结构:瞬变体系的主要特性为: 1.可发生微量位移,但不能继续运动 2.在变形位置上会产生很大内力 3.在原位置上,一般外力不能平衡 4.在特定荷载下,可以平衡,会产生静不定力 5.可产生初内力. 常变体系是一种机构而不是结构 2、静定结构的内力分析方法 几何特性：无多余联系的几何不变体系 静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力内力 求解一般原则：从几何组成入手，选择合适的隔 离体，使得一个隔离体上未知力的个数不超过三个，如果力系为平面汇交力系，则不应超过两个。一般按照几何组成的相反顺序分析。 一、单跨梁的内力分析 弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系 1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线，M图为斜直线。 2.均布荷载段(q=常数)，Q图为斜直线,M图为抛物线,且凸向与荷载指向相
同。 3.集中力作用处,Q图有突变，且突变量等于力值; M图有尖点,且指向与荷载相同。 4.集中力偶作用处，M图有突变，且突变量等于力偶值; Q图无变化。 内力计算的关键在于:正确区 分基本部分和附属部分. 熟练 掌握单跨梁的计算. 单体刚架(联合结构)的支座反 力(约束力)计算 方法:切断约束，取一个刚片为 隔离体，假定约束力的方向，由隔离体的平衡建立三个平衡方程。 四.刚架弯矩图的绘制做法:拆成单个杆,求出杆两端的弯矩,按与单跨梁相同的方法画弯矩图. 分段定点连线 六.由做出的剪力图作轴力图 做法: 逐个杆作轴力图,利用结点的平衡条件,由已知的杆端剪力和求杆端轴力,再由杆端轴力画轴力图.注意:轴力图画在杆件那一侧均可,必须注明符号和控制点竖标.
材料力学中的超静定问题{含答案}
超静定练习题 3-1 等截面钢杆AB ，在其C 截面处加力，F = 100kN ，截面面积A = 20cm 2，求A 、B 两端约束反力及杆内应力。 参考答案：R A =33.3kN ， R A =66.6kN 3-2 已知1、2、3三杆的截面积A 及长度l 均相等，F = 120kN ，试求三杆内力。参考答案：N 1 = 48kN ，N 2 = N 3 = 41.5kN 3-3 图示一刚性梁AB ，其左端铰支于A 点，杆1、2的横截面面积A 、长度l 和材料（为钢）均相同。如钢的许用应力[σ] = 100MPa ，在梁的右端受F = 50kN ，梁自重不计。（1）求1、2两杆的内力。（2）求两杆所需的截面面积。 （3）问能否同时使二杆中的应力都等于许用应力[σ]？（4）当钢杆布满于AB 梁上，如何求各杆内力（思考）？参考答案：N 1 = 30kN ， N 2 = 60kN 3-4 如图示横梁AB 变形略去不计。杆1、2的材料、截面积、长度均相同，其[σ] = 100MPa ，A = 2cm 2。试求许可载荷F 值。 参考答案： [F ] = 50kN 题3-4图 题3-5图 3-5 已知杆1、2的E 、A 相同，横梁AB 的变形不计，试求各杆内力。 参考答案： ==21N N 0.830F 3-6 图示结构由钢杆组成，各杆之截面面 积相等，[σ] = 160MPa ，问当F = 100kN 时各杆 截面面积为多少？ 参考答案：A ＝4.68cm 2 (a) 3-7 钢制薄壁筒1套在铜制薄壁筒2上。 [σ1] = 146MPa ，[σ2] = 26.7MPa ，E 1 = 200GPa ， E 2 = 100GPa 。试求作用于铜套筒内壁的许可 内压力p 为多少？ 参考答案：p=0.875MPa 3-8 两刚性铸件，用钢螺栓1、2联结如 图示。现欲移开两铸件，以便将长度为 20.02cm 、截面积A = 6cm 2的铜杆3自由地安 装在图示位置。若已知E 1 = E 2 =200GPa ，E 3 = 100GPa ，求（1）所需的拉力F 。（2）当F 去
简单超静定word版
第十章简单超静定 习题 10.1对于图示各平面结构，若载荷作用在结构平面内，试：(1) 判断它为几次超静定结构； (2)列出相应的变形协调条件。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)(h) 题10.1图
图一 图二 图三 解：（a ）由图可看出，此为不稳定结构，此结构在水平方向少了一个约束力，在竖直方向多了一个约束力 （b ）由图可看出，第二根铰链与第三根铰链有交点，所以这是个静定结构。无多余约束 （c ）由图可知，此为不稳定结构，此结构在水平方向少了一个约束力 （d ）由图可看出，此结构为一次超静定结构。在支座B 处多了一个水平约束，（图一）但在均布载荷q 的作用下，水平约束的支反力F =0，即变形协调条件为F =0 （e ）由图可看出，此结构为一次超静定结构，多了一个垂直约束，（图二），再此约束情况下，有变形协调条件均布载荷载在B 处引起的挠度B ω等于支座B 产生的支反力NB F 引起的变形B ?，即B B ω=? （f ）由图可看出，此为不稳定结构，此结构在垂直方向少了一个约束力 （g ）由图可看出，此结构是悬臂梁加根链杆移铰支座构成，所以这是个静定结构。无多余约束 （h ）由图可看出，此结构为一次超静定结构，在支座B 处多了一水平约束，（图三）但在均布载荷q 的作用下，水平约束的支反力F =0，即变形协调条件为F =0 10.2 如图所示受一对力F 作用的等直杆件两端固定，已知拉压刚度EA 。试求A 端和B 端的约束力。 题10.2图
解：杆件AB 为对称的受力结构，设A 、B 端的受力为NA F ，NB F 。且有NA NB F F = D 对AC 段进行考虑，1NA F a l EA ?=（受拉） 对CD 段进行考虑，2()NA F F a l EA -?= （受压） 由变形协调方程 1220l l ?-?=得： 13 NA F F = 即：A 、B 端的受力均为 1 3 F （拉力） 10.3 图示结构，AD 为刚性杆，已知F ＝40 kN ，1、2杆材料和横截面积相同，且E 1=E 2=E =200 GPa ，A 1=A 2=A =1 cm 2 ，a =2 m ，l ＝1.5 m 。试求1、2两杆的应力。 D D 题10.3图 解：设1、2杆的受力分别为1N F ，2N F ，变形为1l ?、2l ? 因为杆AD 为刚性杆，其变形如图所示 有平衡方程 0C M =∑得： 2120N N F l F l Fl +-= （1） 其变形协调方程： 1l ?=22l ? （2） 又有 11111N N F a F a E A EA ?= = 22222N N F a F a E A EA ?== 联立方程（1）、（2）得： 2120 N N F a F a Fa +-=
第十章 能量法
一、是非题 10.1 杆系结构的变形能，等于各杆变形能之和。（） 10.2 弹性体变形能与加力次序无关，只与最后受力有关。（） 10.3 结构上的外力作功可能为正或负，因而结构的变形能有正负之分。（） 10.4 线性弹性结构的变形能可以叠加而非弹性结构的变形能不能叠加。（） 10.5 载荷与变形能之间必为非线形关系。（） 10.6以莫尔积分求各种结构在载荷作用下的位移时都可以采用图形互乘法。（） 10.7应用单位力法计算出结构在某处的位移值时在数值上就等于该单位力所做的虚功。（） 10.8若由载荷引起之弯矩图面积的代数和为零（=0 ），则不论其形心所对应的单位力弯矩图之值Mc 为何值，图乘所得必为零。（） 10.9超静定结构的多余约束数即等于建立力法方程的变形条件数。（） 10.10结构中的内力与应力只与结构受力和结构尺寸有关，与材料无关。（） 10.11变形协调法在本质上也是力法。（） 10.12力法的基本未知量均不能用静力平衡条件求得。（） 10.13温度变化和支座位移不会引起静定结构的内力，但一般会引起超静定结构的内力。（） 10.14力法基本方程均是根据结构支座处的位移约束条件建立的。（） 10.15n 次超静定结构的静定基可由解除结构任意n 个约束而得。（） 10.16力法正则方程适用于任何材料制成的小变形超静定结构。（） 10.17外力超静定结构必须解除外部多余约束而得到静定基。（） 10.18以力法求解超静定结构后经力平衡方程验算无误，说明结果正确。（） 二、选择题
10.19设一梁在n 个广义力F 1 ，F 2 ，……，F n 共同作用下的外力功 ，则式中为（）。 A. 广义力F i 在其作用处产生的挠度 B. 广义力F i 在其作用处产生的相应广义位移 C. n 个广义力在F i 作用处产生的挠度 D. n 个广义力在F i 作用处产生的广义位移 10.20一根梁处于不同的载荷或约束状态，则（） A. 梁的弯矩图相同，其变形能也一定相同 B. 梁的弯矩图不同，其变形能也一定不同 C. 梁的变形能相同，其弯矩图也一定相同 D. 梁的弯矩图相同，而约束状态不同，其变形能也不同 10.21一梁在集中力F 作用下，其应变能为V e 。若将力F 改为 2 F ，其他条件不变，则其应变能为（）。 A. 2 V e B. 4 V e C. 8 V e D. 16 V e 10.22当结构上作用多个载荷时，其变形能（）。 A. 可以叠加 B. 不可以叠加 C. 再某些情况下可以叠加 D. 产生不同种应力的才可以叠加 10.23变形体虚功原理的应用条件是（）