弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系

弹塑性应力-应变关系
强化法则
➢ 各向同性强化（等向强化）
• 几何特点（在应力空间）：加载面形状和中心位置都不变
，大小变化，形状相似的扩大；
• 物理意义：假定材料在强化后仍保持各向同性的性质。
•
数学表示： f(ij，k)=f0(ij) k() = 0
等向强化可理解为材料某一方向上因加载屈服极限得到提高，所 有其它方向的屈服极限都将因此而得到同等程度的提高。
我们定义有效应力σe和有效塑性应变εp，它们分别折算为 单轴应力试验中的应力和塑性应变。 ➢ 有效应力
有效塑性应力σe定义：
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弹塑性应力-应变关系
有效应力和有效塑性应变
➢ 有效应力 其中，A和n由σe折算为单轴试验中的应力σ1的条件来确定，比 如，对于von Mises材料，可以假设 f0 (ij)=J2，则有:
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弹塑性应力-应变关系
强化法则
➢ 混合强化 在结合两种强化法则的同时，把塑性应变增量分为两个共线的分量
其中， dpiij与屈服面的膨胀有关， dpkij与屈服面的平移有关假设这
两个应变分量为
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弹塑性应力-应变关系
有效应力和有效塑性应变
为了描述强化性质，需要：①记录塑性加载的历史;②描述强 化与塑性加载历史的关系。强化函数是关于强化参数κ（ 或 ） 的函数，它的函数形式是与 材料有关的。
弹塑性应力-应变关系
强化法则
➢ Ziegler随动强化模型 为了得到在子空间中也有有效的随动强化法则，Zigeler(1959)修改了 Prager强化法则，假设以如下形式沿折减应力矢量ij =ij -ij方向 平移
其中，dμ是一个正的比例系数，其与所经历的变形历史有关，为简
单起见，这个系数可假设有如下形式:
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有效应力和有效塑性应变
➢ 有效塑性应变 用流动法则，得到：
在轴向加载条件下，按定义dp等于dp11,因此，由上式得到
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有效应力和有效塑性应变
➢ 有效应力－有效塑性应变关系 有效应力－有效应变关系表示了弹塑性材料强化过程的特性现在 用单轴应力试验来标定，它的一般形式:
微分法给出增量关系
其中，Hp=dσe/ dp称为塑性模量。对各向同性强化材料，Hp表示屈
服面的膨胀率.
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有效应力和有效塑性应变
➢ 有效应力－有效塑性应变关系 对于混合强化材料，σe的变化归因于屈服面的膨胀和平移。假设 屈服面的膨胀由折减的有效应力－应变关系来决定
量,硬化参量记为 .
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强化法则
目前常用的硬化参量有如下几种：
1．塑性功 w p, w p
ij
d
p ij
是目前岩土弹塑性理论中用得较多的。
2．有效塑性应变
p ij
3．等效塑性剪应变 p S
2 3
d
ijpd
p ij
Βιβλιοθήκη Baidu
4．塑性体应变
p v
p x
p y
p z
Cijk l
1 H
H i*j H kl
C ep ijkl
K
2 3
G ij kl
G ik jl
il jk
1
9k 2 G H ij H kl
Hij 3Kij
G J 2 sij
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弹塑性应力-应变关系
理想弹塑性材料的增量应力-应变关系
➢ Drucker-prager模型
d
1 9K 2 G
3Kd
kk
G J2
skld
k
l
d
p kk
3d
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弹塑性应力-应变关系
强化法则
➢ 强化法则的概念 :在加载过程中，屈服面不断改变它的形状以使应 力点总是位于它上面，从某一个屈服面如何进入后继屈服面的准 则就是强化法则，也就是控制加载面发展的规则。
随加载，屈服极限会不断提高，称为强化或硬化,新的屈服极限：
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弹塑性应力-应变关系
强化法则
使用一组内变量（=1，2，…，n）描述塑性变形历史; 后继屈服条件 f (ij，)=0
随塑性变形的发展，不断变化，后继屈服面或加载面也 随之改变。
当应力状态ij处在加载面上，f (ij，) = 0
施加增量dij： （1）加载：dij指向加载面外
两组本构关系：(1)一个是用应力增量dσij的形式表示 应变增量dij ； (2)另一个是用应变增量dij的形式表示dσij应力增量 。
虎克定律的如下形式：
其中，Dijkl是弹性柔度张量.
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弹塑性应力-应变关系
强化材料的增量应力-应变关系
➢ 各向同性强化 一致性要求在塑性变形过程中应力点总是位于屈服面上。因此 对于各向同性强化材料，以下两个方程也必须满足:
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强化法则
Mises初始屈服条件
J2
2 s
3
0
3J 2 s 0
加载（后继屈服）条件
3J 2 0
3
2
sij
sij
0
( d p )0
函数可通过单轴拉伸下实验曲线确定.
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强化法则
➢ 随动强化
• 几何特点（在应力空间）：形状和大小、方向保持不变，只 是中心位置发生改变，加载面作刚体移动。
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弹塑性应力-应变关系
本章学习要点：
掌握加载工程、卸载过程、中性变载等概念 理解理想弹塑性材料的增量应力—应变关系
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弹塑性应力-应变关系
理想弹塑性材料的增量应力-应变关系
➢ Drucker-prager模型
f g I1 J2 k 0
C ep ijkl
由于M在单调试验中的不确定性，所以其值不应该影响Hp 的值。
那么式(7.91)要求
利用式(7.87)和式(7.89)，可以把σe和σe表示为
考虑到式(7.93)左和式(7.94)，可得
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弹塑性应力-应变关系
强化材料的增量应力-应变关系
在这一节中，将推导强化材料的增量应力－应变关系,特别地，将讨论 两种强化法则：各向同性强化和混合强化。
(s)new = Max()
C
后继屈服条件（也称加载条件） ＝(s)new 处于屈服状态
*
B
s
A'
p
A
<(s)new
处于卸载状态
O
E
p
e
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弹塑性应力-应变关系
强化法则
Max()随塑性变形历史单调增长，Max()＝(p) 后继屈服条件即加载条件也可表示为 (p)＝0 为了描述强化性质，需要：（1）记录塑性加载的历史；（2） 描述强化与塑性加载历史的关系。表达加载历史的参量为硬化参量 (强化参数)，它又称为内变量（internal- variable），它不能由观测 仪器直接观测求出，而应力变形一类可由仪器直接测出的量称外变
弹塑性应力-应变关系
强化材料的增量应力-应变关系
其中， 是弹塑性柔度张量，表示为 • 以应变增量表示的应力增量
考虑到式(7.29)和式(7.105)有
把dλ和应变增量联系起来，则有 其中 从式(7.4)，式(7.179)和式(7.112)可得
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强化材料的增量应力-应变关系
中性变载?d
n d 加载
（2）中性变载：dij沿着加载面 （3）卸载：dij指向加载面内
卸载?d ij
加载面
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强化法则
由于任何一种应力状态都不能位于加载面之外
• 增量前 f (ij，) = 0， • 增量后 f (ij+dij，+d) = 0
f (ijdij , d
强化法则
✓ Prager随动强化模型
最简单的方法就是假设dij和dij线性相关，这就是所谓的Prager强化准
则(Prager,1995,1956),即：反（背）应力增量dij应平行于塑性应变增量
dij
cd
p ij
式中c是材料常数，由试验确定。对于Mises屈服条件，该模型可写成
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弹塑性应力-应变关系
主要内容
塑性应力-应变关系概述
加载总则和流动法则
理想弹塑性材料的增量应力-应变关系
强化法则
有效应力和有效塑性应变
•
强化材料的增量应力-应变关系 •
关于塑性强化的几点评述
•
需要判断应变往塑性变形发展还是弹性变 化，即需要加卸载条件判断； 塑性变形时，应变和应力的关系如何，需 要流动法则来解决； 塑性变形后，材料屈服极限是否提高，屈 服曲面如何变化，由强化法则来判断。
对于在X1方向的加载试验，σe＝σ1，而其它方向应力分量为零，由此 可得A＝1/3和n＝2，因此 因为在塑性应变中，f0－k＝0，对于这种材料强化函数k可用σe表示为：
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弹塑性应力-应变关系
有效应力和有效塑性应变
➢ 有效塑性应变 历史上的两个假设：一个是假设强化以来于塑性功Wp， 即屈服 的抗力取决于在材料上所做的总塑性功Wp，这被称为加工强化 假设；另一个假设称作应变强化假设，假 设强化与总的塑性变 形有关，同时塑性变形经常被表示 为所谓的有效塑性应变εp。 所谓的有效塑性应变εp用塑性增量的简单组合来确定
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弹塑性应力-应变关系
把式(7.114)左代入式(7.29)得到应力－应变增量关系为 或
在这里，Cijkl是弹塑性刚度张量，表示为 其中
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强化材料的增量应力-应变关系
➢ 混合强化 对于混合强化材料的屈服面表示为 一致性要求 增量形式的一致性要求
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强化材料的增量应力-应变关系
反应力增量dαij与塑性变形相关，如果用Prager 强化准则式(7.84)，
则有
如果用Ziegler强化准则式(7.85)，则有
因此在两者中的任一情况下，可写出
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弹塑性应力-应变关系
强化材料的增量应力-应变关系
对Prager法则 对Ziegler法则 把式(7.124）代入式(7.121)导出 其中
• 一致性条件：
f (ij,
f ij
dij
f
d
0
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强化法则
•
随加载过程，内变量不断地增加
•
中性变载或者卸载时，则内变量保持不变
总之：内变量只会增加，不会减少。
且只有产生新的塑性变形时，它才会增加。
这是由塑性变形的不可逆性所决定的。
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• 物理意义：材料在强化后为各向异性。
•
数学表示：f (ij,ij)=f 0(ij-ij) k = 0
f 0(ij-ij) = k
ij 是一个表征加载面中心移动的应力值，称为反（背）应力
（back stress）提供了考虑Bauschinger效应的简单方法。
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弹塑性应力-应变关系
对上面方程进行微分可得到 屈服面的膨胀率:
其中， Hp为与屈服面的膨胀有关的塑性模量,
和M并不是相
互独立的，如果M给定，就能根据σe( p)来建立函数 .
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有效应力和有效塑性应变
➢ 有效应力－有效塑性应变关系 为证明这一点，首先令
式中，系数B取决于随动强化法则和塑性势能函数的类型。对于 某些材料B的特殊形式将在例7.11中讨论。由此和式(7.87)，式 (7.89)容易导出
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理想弹塑性材料的增量应力-应变关系
➢ Drucker-prager模型
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理想弹塑性材料的增量应力-应变关系
➢ Drucker-prager模型
d
p ij
d ij
sij 2 J2
d
1 H
f
kl
cijkld kl
应力增量形式的表达式 式中，
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强化材料的增量应力-应变关系
• 以应力增量表示的应变增量 根据式(7.105)有： 把上式代入流动法则式(7.4)和式(7.79右)则导出
考虑到式(7.27),式(7.103)和式(7.108左),得到应变增量表达式
或
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强化法则
➢ 混合强化 •几何特点：加载面大小、位置和中心都改变，它是前面两种情况的 综合； • 数学表达： f (ij，ij，k) = f0 (ij,ij) k(κ)= 0 与随动强化不同的是，这里k随加载的历史而变化。
在这种情况下，加载面既有均匀膨胀又有平移，前者用k(κ)度量， 后者用ij确定.