高中数学-公式-极坐标
高中数学极坐标与参数方程
高中数学—极坐标与参数方程引言在高中数学中，我们学习了许多的数学概念和方法。
而在代数学的领域中，有两个重要的概念是极坐标和参数方程。
它们在解决复杂的几何图形和方程时发挥着重要的作用。
本文将介绍极坐标和参数方程的基本概念，并探讨它们在数学问题中的应用。
极坐标极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，它使用极径和极角两个参数来确定点的位置。
在极坐标中，每个点的位置由一个正实数和一个角度来表示。
极坐标表示方式在极坐标中，点的位置由两个数值表示，第一个数值表示极径（r），它表示点到原点的距离；第二个数值表示极角（θ），它表示点到正半轴的角度。
例如，一个点的极坐标表示为(r,θ)。
其中，r表示点到原点的距离，θ表示点到正半轴的角度。
可以通过将直角坐标与极坐标之间的转换关系来获得极坐标的表示方式。
极坐标和直角坐标的转换在直角坐标系中，点的位置由两个坐标表示，即横坐标（x）和纵坐标（y）。
而在极坐标系中，点的位置由极径（r）和极角（θ）表示。
要将一个点的直角坐标转换为极坐标，我们可以使用以下公式：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)其中，“√”表示开方，“arctan”表示反正切函数。
根据这些公式，我们可以计算出一个点的极坐标。
同样地，我们也可以将一个点的极坐标转换为直角坐标。
转换公式如下所示：x = r × cos(θ)y = r × sin(θ)极坐标的应用极坐标在解析几何和物理学中有着重要的应用。
在一些复杂的几何问题中，使用极坐标可以简化计算，简化方程的表示和解决。
例如，在描述圆和椭圆的方程时，使用极坐标比直角坐标更简单。
此外，极坐标也可以用来描述旋转和周期性现象。
对于极坐标系中的点，我们可以将它们视为围绕原点进行旋转的向量。
极角表示向量的方向，而极径表示向量的长度。
参数方程参数方程也是一种表示几何图形的方法，与直角坐标系和极坐标系相比，参数方程可以描述出更复杂的图形。
极坐标公式和三角函数万能公式
极坐标公式和三⾓函数万能公式极坐标与参数⽅程综合复习⼀基础知识：1 极坐标),(θρ。
逆时针旋转⽽成的⾓为正⾓，顺时针旋转⽽成的⾓为负⾓。
点),(θρP 与点),(1θρ-P 关于极点中⼼对称。
点), (θρP 与点),(2πθρ+-P 是同⼀个点。
2 直⾓坐标化为极坐标的公式：.sin ;cos θρθρ==y x极坐标化为直⾓坐标的公式：xyy x =+=θρtan ;222注意：1πθρ20,0<≤> 2 注意θ的象限。
3圆锥曲线的极坐标⽅程的统⼀形式：间的距离。
是对应的焦点与准线之是离⼼率，p e 时表⽰双曲线。
时表⽰抛物线；时表⽰椭圆；1110>=<4平移变换公式：``),()(y x k h y x +=++理解为：平移前点的坐标+平移向量的坐标=平移后点的坐标5 的直线的参数⽅程为且倾斜⾓为过点α),(000y x Pθρcos 1e ep-=坐标伸缩变换。
为平⾯直⾓坐标系中的，称对到应点的作⽤下，点：任意⼀点，在变换是平⾯直⾓坐标系中的定义：设点?λλ?),(),()0()0({),(y x P y x P u y u y x x y x P ''>?='>?='为参数）t t y y t x x (sin cos {00αα+=+=2202000)()()(sin cos {r y y x x r y y r x x =-+-+=+=对应的普通⽅程为为参数θθθ。
轴上的椭圆的参数⽅程，焦点在这是中⼼在原点为参数的⼀个参数⽅程为椭圆x O b y a x b a b y a x )(sin cos {)0(12222==>>=+程。
轴上的双曲线的参数⽅，焦点在这是中⼼在原点为参数，的⼀个参数⽅程为，双曲线x O b y a x b a b y a x )2,20(tan sec {)00(12222π?π≠<≤==>>=-参数⽅程。
数学极坐标知识点总结
数学极坐标知识点总结极坐标的表示方式是(r,θ)，其中r是点到原点的距离，θ是点所在射线和指定极轴的夹角。
有时候也使用ρ来表示r，所以(r,θ)也可以表示为(ρ,θ)。
在极坐标系中，每个点都有唯一的极坐标表示。
而且极坐标系对于描述环形结构或者周期性变化的问题往往更加简洁和直观。
例如，表示圆周运动的速度、加速度等问题，用极坐标系可以节省很多计算步骤。
极坐标系与直角坐标系之间可以通过一定的换元关系进行转换。
如果已知一个点在极坐标系中的坐标(r,θ)，如何将它转换为直角坐标系中的坐标(x,y)呢？我们可以利用三角函数的相关知识来进行转换。
设点P在极坐标系中的坐标为(r,θ)，则它在直角坐标系中的坐标可以表示为：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)这里用到了三角函数cos和sin。
其中，cos表示邻边比斜边，sin表示对边比斜边。
通过这两个公式，我们可以将极坐标系中的点转换为直角坐标系中的点。
另外，直角坐标系中的点也可以转换为极坐标系中的点。
如果已知一个点在直角坐标系中的坐标(x,y)，如何将它转换为极坐标系中的坐标(r,θ)呢？我们可以根据坐标的定义，利用三角函数的反函数(arccos和arcsin)来进行转换。
设点P在直角坐标系中的坐标为(x,y)，则它在极坐标系中的坐标可以表示为：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)这里用到了平方根函数sqrt和反正切函数arctan。
通过这两个公式，我们可以将直角坐标系中的点转换为极坐标系中的点。
在极坐标系中，常常会遇到表示曲线方程的问题。
对于一条曲线，它在极坐标系中的方程一般形式是r = f(θ)。
其中，由于θ是在整个平面上都有定义的，所以r = f(θ)给出了一条由极坐标(r,θ)表示的曲线。
通过这种方式，我们可以用极坐标方程来描述螺线、双曲线、圆周、螺栓等曲线。
在求解曲线的长度、曲线的曲率、曲线的切线等相关问题的时候，往往需要用到极坐标的微积分知识。
高中极坐标与参数方程知识点总结
高中极坐标与参数方程知识点总结1. 极坐标与参数方程的概念极坐标和参数方程都是描述平面上点的位置的数学表示方法。
极坐标的表示方式是使用极径和极角来确定一个点的位置，而参数方程则是使用两个参数来表示一个点的横纵坐标。
在极坐标中，一个点的位置由它到极点的距离（极径）和与极轴的夹角（极角）确定。
极坐标通常表示为(r,θ)，其中r表示极径，即点到极点的距离，而θ表示极角，即点与极轴的夹角。
参数方程则是使用参数来表示点的横纵坐标。
常见的参数方程形式是x=f(t)和y=g(t)，其中x和y表示点的横纵坐标，而t是参数。
通过改变参数t的取值，可以得到点的坐标。
2. 极坐标的转换极坐标与直角坐标（笛卡尔坐标）之间可以相互转换。
下面是极坐标到直角坐标的转换公式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中(x, y)是点在直角坐标系中的坐标，r是极径，θ是极角。
而直角坐标到极坐标的转换公式如下：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)其中√表示开平方，arctan表示反正切函数。
3. 参数方程的性质参数方程可以用来描述一条曲线或图形。
通过改变参数的取值范围，可以观察到曲线的形态和特点。
•曲线方程：将参数方程解析为表达式形式，得到的就是曲线的方程。
例如，参数方程为x=f(t)和y=g(t)，将其解析为y=f(x)的形式，即可得到曲线方程。
•曲线的对称性：通过观察参数方程中各个参数的表达式，可以得到曲线的对称性。
例如，如果x=f(t)中含有关于t的奇函数，那么对应的曲线关于y轴对称；如果y=f(t)中含有关于t的偶函数，那么对应的曲线关于x轴对称。
•曲线的特殊点：通过令参数值为特定的数值，可以得到曲线上的特殊点。
例如，在参数方程x=f(t)和y=g(t)中，当t=a时，对应的点就是曲线上的一个特殊点。
4. 极坐标和参数方程的应用极坐标和参数方程在数学和物理等领域有广泛的应用。
极坐标求导公式
极坐标求导公式极坐标是一个在数学中非常有趣且有用的概念，而极坐标求导公式则是解决相关问题的重要工具。
先来说说啥是极坐标。
咱们平常熟悉的直角坐标系，就是用 x 和 y两个轴来确定一个点的位置。
但极坐标不一样，它是用距离和角度来描述点的位置。
想象一下，你站在一个大圆盘的中心，要告诉别人一个点在哪里，你会说“距离我多远，然后朝哪个方向”，这距离和方向就是极坐标里的两个关键元素。
比如说，有个点 P 的极坐标是(r, θ)，这里 r 表示点 P 到原点的距离，θ 表示极轴（一般就是 x 轴正半轴）到线段 OP 的夹角。
那极坐标求导公式是啥呢？咱们来好好聊聊。
假如有个极坐标方程r = r(θ)，要求它关于θ 的导数，这就用到极坐标求导公式啦。
这公式看起来有点复杂，不过别害怕，咱们通过一个例子来理解。
就说有个曲线的极坐标方程是r = 2 + 3sinθ 。
咱们来求它的导数。
先根据公式，dr/dθ = 3cosθ 。
那这个导数有啥用呢？它能告诉我们曲线在不同角度上变化的快慢。
就像咱们走路，有时候走得快，有时候走得慢。
这个导数就像是告诉你在极坐标这个“路上”，曲线在不同“方向”上的“速度”。
我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这极坐标求导有啥用啊，生活里能用到吗？” 我当时就笑了，给他举了个例子。
假如你是一个在操场上跑步的运动员，以操场中心为原点，你的位置用极坐标表示。
教练想知道你在不同方向上速度的变化，这时候极坐标求导不就派上用场了嘛！你跑的轨迹可以用极坐标方程表示出来，求导就能知道你在各个方向上的快慢。
所以说，数学知识可不是光摆在那里好看的，它真能帮咱们解决实际问题。
再深入一点，极坐标求导公式在物理中也有大用处。
比如说研究天体的运动轨迹，或者电磁波的传播，都可能会用到。
总之，极坐标求导公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们耐心琢磨，多做几道题，多联系实际，就能掌握它，让它成为咱们解决数学和其他科学问题的有力武器。
高中数学极坐标与参数方程知识点
高中数学极坐标与参数方程知识点知识点参数方程的定义：如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，且对于每个允许值的t，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．常见曲线的参数方程：1.过定点（x，y），倾角为α的直线：x = x + tcosαy = y + tsinα其中参数t是以定点P（x，y）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．2.中心在（x，y），半径等于r的圆：x = x + rcosθy = y + rsinθθ为参数）3.中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：x = acosθ 或x = bcosθθ为参数）（或）y = bsinθ 或y = asinθ4.中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：x = asecθ 或x = btanθθ为参数）（或）y = btanθ 或y = asecθ5.顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：x = 2pt^2t为参数，p＞0）y = 2pt直线的参数方程和参数的几何意义：过定点P（x，y），倾斜角为α的直线的参数方程是x = x + tcosαy = y + tsinα其中参数t是以定点P（x，y）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量。
根据t的几何意义，可以得出结论：设AB是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t_A和t_B，则AB = t_B - t_A = (t_B - t_A)^2 - 4t_A*t_B。
极坐标系是在平面内取一个定点O作为极点，引一条射线Ox作为极轴，再选一个长度单位和角度的正方向。
对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox 到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。
这样建立的坐标系叫做极坐标系。
极坐标方程公式大全
极坐标方程公式大全1.点到原点的距离：r2.与正半轴的夹角：θ3.线段：r=ar=a表示距离原点为a的一个圆，其中a是一个常数。
如果a>0，圆心在极坐标系的原点；如果a<0，圆心在原点的反向。
4. 线段：r = a(1±sinθ)r = a(1±sinθ)表示一个心脏形状曲线，其中a是一个常数。
当a>0时，曲线是两半心脏形状；当a<0时，曲线是两半相反的心脏形状。
5. 线段：r = 1/a(1±cosθ)r = 1/a(1±cosθ)表示一个准一次曲线，其中a是一个常数。
当a>0时，曲线有两个极大值和一个极小值；当a<0时，曲线有一个极大值和两个极小值。
6. 线段：r = a±bcosθr = a±bcosθ表示一个椭圆形状曲线，其中a和b是常数。
当a=0时，曲线是一个标准椭圆；当a≠0时，曲线是一个偏心椭圆。
7. 线段：r = a±bsinθr = a±bsinθ表示一个双曲线形状曲线，其中a和b是常数。
当a>0时，曲线有两个分支；当a<0时，曲线只有一条分支。
8. 曲线：r = a(1-sinθ)r = a(1-sinθ)表示一个钟形曲线，其中a是一个常数。
9. 曲线：r = a(1+sinθ)r = a(1+sinθ)表示一个叶形曲线，其中a是一个常数。
10. 曲线：r = asin(nθ)r = asin(nθ)表示一个以原点为中心，顶点在极轴上，具有n个叶片的曲线，其中a和n是常数。
以上是一些常见的极坐标方程公式示例，用于描述平面上的点的坐标。
这些方程能够帮助我们更完整地了解点的位置和形状。
不同的极坐标方程可以描述出各种各样的曲线形状，从简单的圆形到复杂的心脏形状和叶形曲线，极坐标方程为我们提供了更灵活的表示平面上点的方式。
极坐标公式
极坐标与直角坐标系转换公式:x=r*cosθ y=r*sinθljm1985782009-06-29 16:41:09x=r*cosθy=r*sinθmeitian52009-06-29 18:30:45极坐标系中的两个坐标r 和θ 可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值x = r \cos \theta \,y = r \sin \theta \,由上述二公式，可得到从直角坐标系中x 和y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标r = \sqrt{x^2 + y^2} \,\theta = \arctan \frac{y}{x}\ uad x \ne 0 \,[9]在x = 0的情况下：若y 为正数θ = 90° (π/2 radians); 若y 为负, 则θ = 270° (3π/2 radians).[编辑] 极坐标方程用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。
极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(−θ) = r(θ)，则曲线关于极点(0°/180°)对称，如果r(π−θ) = r(θ)，则曲线关于极点(90°/270°)对称，如果r(θ−α) = r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。
[9]meikai8922467892009-07-22 11:07:50极坐标系中的两个坐标r 和θ 可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值x = r \cos \theta \,y = r \sin \theta \,由上述二公式，可得到从直角坐标系中x 和y 两坐标如何计算出极坐标下的坐标r = \sqrt{x^2 + y^2} \,\theta = \arctan \frac{y}{x}\ uad x \ne 0 \,[9]在x = 0的情况下：若y 为正数θ = 90° (π/2 radians); 若y 为负, 则θ = 270° (3π/2 radians).[编辑] 极坐标方程用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。
极坐标知识点归纳总结
极坐标知识点归纳总结一、基本概念极坐标是一种描述平面上点位置的数学表示方法。
与直角坐标系不同，极坐标系使用径向和角度来描述一个点的位置，而不是使用水平和垂直距离。
在极坐标系中，一个点的位置可以用一个有序对(r, θ)来表示，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示点与正向 x 轴的夹角。
二、极坐标与直角坐标的转换1. 从直角坐标到极坐标的转换对于给定的直角坐标点(x, y)，它的极坐标表示为：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)2. 从极坐标到直角坐标的转换对于给定的极坐标点(r, θ)，它的直角坐标表示为：x = r*cos(θ)y = r*sin(θ)三、极坐标下的图形1. 点在极坐标系中，点的位置由一个有序对(r, θ)来表示，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示点与正向 x 轴的夹角。
2. 直线和圆在极坐标系中，直线可以表示为两个夹角θ1和θ2之间的所有点，即θ1 ≤ θ ≤ θ2。
而圆则可以表示为一个常数r。
3. 极坐标下的极坐标曲线极坐标方程可以描述出各种各样的曲线，其中一些常见的包括：- 极坐标的直线：r = a/cos(θ - α)- 极坐标的圆：r = a- 极坐标的双纽线：r² = a²*cos(2θ)四、极坐标下的运算1. 极坐标下的加法两个点的极坐标加法可以通过将它们的径向和角度相加得到：(r1, θ1) + (r2, θ2) = (r1 + r2, θ1 + θ2)2. 极坐标下的乘法两个点的极坐标乘法可以通过将它们的径向和角度相乘得到：(r1, θ1) * (r2, θ2) = (r1 * r2, θ1 + θ2)3. 极坐标下的除法两个点的极坐标除法可以通过将它们的径向和角度相除得到：(r1, θ1) / (r2, θ2) = (r1 / r2, θ1 - θ2)五、极坐标下的导数和微分在极坐标系下，对极坐标函数求导需要使用以下公式：dr/dt = ∂r/∂θ * dθ/dt + ∂r/∂tdθ/dt = 1/r * ∂r/∂θ + ∂θ/∂t其中dr/dt表示径向速度，dθ/dt表示角速度。
高考文科数学复习专题-极坐标与参数方程
1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．明显，每一个有序实数对(ρ，θ)，确定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区分在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线C上的随意一点的极坐标满意方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)， 其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．依据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ. 中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos α，y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p(t 为参数，p>0)． 注：sec θ＝1cos θ.3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要留意参数的取值范围对x ，y 的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A 的直角坐标是(2，－23)．2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 2．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的一般方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.依据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的一般方程；(2)P 为曲线C 2上随意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y23＝1，直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.(2)设点P(2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π65＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得一般方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，整理，得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝3.。
极坐标换算公式
极坐标换算公式极坐标是数学中一个非常有趣且实用的概念，在很多数学问题的解决中都能发挥大作用。
咱们先来说说极坐标的基本定义哈。
极坐标用一个长度和一个角度来确定平面上的点。
比如说，一个点的极坐标是（r，θ），其中 r 表示这个点到极点的距离，θ 表示从极轴正半轴旋转到这个点所形成的角度。
那极坐标换算公式到底是啥呢？这可得好好说道说道。
从直角坐标（x，y）转换到极坐标（r，θ）的公式是：r = √(x² + y²) ，θ = arctan(y / x) 。
这里面，arctan 就是反正切函数。
给您举个例子哈。
比如说有个点的直角坐标是（3，4），那它的极坐标咋算呢？先算 r ，就是r = √(3² + 4²) = 5 。
再算θ ，θ = arctan(4 / 3) ，用计算器一按，大概就是 53.13 度。
记得我之前教学生这个知识点的时候，有个小同学总是弄不明白。
我就给他打了个比方，我说这极坐标就像是你在操场上跑步，r 就是你跑的距离，θ 就是你跑的方向。
这小同学一下子就有点明白了，眼睛都亮了起来。
咱再深入讲讲极坐标换算的应用。
在物理学中，比如研究天体运动、电磁场，极坐标都能帮大忙。
还有在工程领域，设计一些圆形或者弧形的结构时，极坐标也能让计算更简单明了。
其实极坐标换算公式就像是一把神奇的钥匙，能打开很多数学难题的大门。
它让我们从另一个角度去看待平面上的点，给我们提供了新的解题思路和方法。
总之，极坐标换算公式虽然看起来有点复杂，但只要多琢磨琢磨，多做几道题，您就会发现它的妙处啦！希望您也能在数学的世界里，靠着这把钥匙，发现更多的精彩！。
高中数学极坐标
参数方程： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、 y都是某个变数t的函数：
并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这 条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x、 y的变数t叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标 间关系的方程叫普通方程。
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极坐标：（1）了解坐标系的作用，了解平面直角坐标系的伸缩变换作用下 平面图形的变化情况。 （2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能 进行极坐标和直角坐标的互化。 （3）能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。 参数方程：（1）了解参数方程的意义。 （2）能选择适当的参数写出直线、圆、和椭圆的参数方程。
极
坐
标
高
与
三
参
数
数
学
方
程
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极坐标：在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫 做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针 方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有 时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径， θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建 立的坐标系叫做极坐标系。
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1．【2016年新课标1卷理23】在直角坐标系中xOy，曲线的C1参数方程 为
（t为参数，a > 0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐
标系中，曲线C2：
（1）说明是C1哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（2）直线C3的极坐标方程为 C1与C2的公共点都在C3上，求a
，其中满足
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1.极坐标与直角坐标的互化： (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式
高中数学极坐标公式
高中数学极坐标公式极坐标公式是描述平面上点的位置的一种坐标系表示方法。
它由一个点到原点的距离（极径）和从正半轴逆时针旋转的角度（极角）两个参数组成。
高中数学中，极坐标公式是一个重要而且常用的工具，可以解决一些复杂的几何问题。
一、极坐标的表示方法极坐标公式可以用一个有序数对(r, θ)表示，其中r表示点到原点的距离，θ表示从正半轴逆时针旋转的角度。
在平面直角坐标系中，点P(x,y)的极坐标可以通过以下公式转换得到：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)其中，√表示平方根，arctan表示反正切函数。
二、极坐标公式与直角坐标系的转换极坐标公式与直角坐标系之间可以相互转换。
给定一个点的极坐标(r, θ)，可以通过以下公式计算其直角坐标(x, y)：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)反之，给定一个点的直角坐标(x, y)，可以通过以下公式计算其极坐标(r, θ)：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)三、极坐标的性质和应用1. 极坐标中的角度是以弧度为单位的，而不是以度为单位。
一圈的弧度数为2π，360度等于2π弧度。
2. 极坐标公式可以简化一些复杂的几何问题。
例如，对于一条直线，我们可以通过将直线转换为极坐标方程，从而更容易找到它的参数方程。
3. 极坐标公式在物理学和工程学中也有广泛的应用。
例如，极坐标公式可以用来描述电场和磁场的分布，以及天体运动的轨迹等。
4. 极坐标公式还可以用来表示复数。
复数可以用极坐标形式表示为z = r(cosθ + isinθ)，其中r表示模长，θ表示辐角。
这种表示方法在复数的乘法、除法和幂次运算中特别有用。
四、极坐标公式的例题解析1. 例题1：求点P(3, 4)的极坐标表示。
解：根据公式，我们可以计算出点P到原点的距离r为√(3^2 + 4^2) = 5，点P与正半轴的夹角θ为arctan(4/3)。
因此，点P的极坐标表示为(5, arctan(4/3))。
高三数学知识点极坐标
高三数学知识点极坐标在高三数学学习中，极坐标是一个非常重要的知识点。
它是一种用极径和极角来表示平面上的点的坐标系统，相比于常见的直角坐标系，极坐标系统更具有几何直观性。
下面将从定义极坐标，极坐标与直角坐标之间的转换，以及极坐标下的常见图形三个方面展开对极坐标的介绍。
一、定义极坐标在极坐标系统中，每个点都由一个极径和一个极角唯一确定。
极径表示点到极点的距离，而极角则表示与极轴的夹角。
极点被定义为原点O，极轴则是与x轴正方向重合的直线。
一般来说，极坐标中极径为正数，极角可以为正，也可以为负。
当极径为负数时，表示与原点的距离相同，但方向相反。
二、极坐标与直角坐标之间的转换在极坐标与直角坐标之间进行转换时，只需利用三角函数的关系。
以极坐标中的点P(r,θ)为例，其中r为极径，θ为极角。
转换公式如下：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)反之，若已知点的直角坐标(x, y)，要转换为极坐标则有如下公式：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)通过这些转换公式，可以将不同坐标系下的点互相转换，方便进行计算和分析。
三、极坐标下的常见图形在极坐标下，一些常见的图形具有简洁的表示方式。
以下是几种常见图形的极坐标方程及其特点：1. 极径为常数的线段：r = a这是一个以极点为端点的线段，长度为a。
当a为正数时，该线段位于极轴的一侧；当a为负数时，该线段位于极轴的另一侧。
2. 极径与极角成正比的线段：r = kθ该线段从极点开始，随着极角的增加而不断延伸。
k为常数，决定了线段的长度和斜率。
3. 圆：r = a * cos(θ) 或r = a * sin(θ)这是一个以极点为中心的圆，半径大小由a决定。
当a为正数时，极坐标为r = a * cos(θ)的圆在极轴的上方；当a为负数时，极坐标为r = a * sin(θ)的圆在极轴的下方。
通过对不同图形的极坐标方程的分析，可以更好地理解这些图形的几何特性，并进行相应的计算和绘图。
高中数学极坐标PPT课件
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极坐标：（1）了解坐标系的作用，了解平面直角坐标系的伸缩变换作用下 平面图形的变化情况。 （2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能 进行极坐标和直角坐标的互化。 （3）能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程。 参数方程：（1）了解参数方程的意义。 （2）能选择适当的参数写出直线、圆、和椭圆的参数方程。
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参数方程： 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、 y都是某个变数t的函数：
并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这 条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x、 y的变数t叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标 间关系的方程叫普通方程。
，该方程叫曲线
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
（1）圆的参数方程可表示为.
（2）椭圆的参数方程可表示为.
（3）抛物线的参数方程可表示为.
ห้องสมุดไป่ตู้
（4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）
在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的 互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.
极
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标
高
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三
参
数
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学
方
程
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极坐标：在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫 做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针 方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有 时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径， θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建 立的坐标系叫做极坐标系。
极坐标公式
极坐标公式极坐标系是一种有趣的坐标系，它有助于解决许多复杂的数学问题。
简而言之，极坐标就是以极轴（半径）和角度描述一个点的坐标系。
它主要是在三维情况下使用，可以用于描述圆锥曲面上任意点的位置。
极坐标系中的坐标可以表示为(ρ,θ,φ)，其中ρ表示极轴半径，θ表示从x轴正方向到点的角度，而φ表示从z轴正方向到点的角度。
极坐标的变换公式可以表示为：x =sinθcosφy =sinθsinφz =cosθ极坐标系中的坐标可以用来解决形状变换问题，例如旋转，缩放或投影变换。
例如，如果有一个三维曲面，可以用极坐标系来描述这个曲面的形状。
另外，极坐标系还可以用来求解三维空间的积分，例如沿球心的积分。
极坐标系也可以用于描述椭圆，因为椭圆的形状可以用极坐标的形式表示。
例如，椭圆的极坐标形式可以写成：x = a * cosθ * sinφy = b * sinθ * sinφz = c * cosφ其中a, b, c是椭圆的长短轴参数。
极坐标系在许多诸如重力，磁学和热学等物理问题中也有应用。
它可以用来求解由不同张力组成的系统，也可以用来表示波的方程式。
此外，极坐标系也用于描述引力场的曲率和电磁场的展开效应，以及傅立叶变换方面的研究。
极坐标系也在天文学中被广泛使用，它可以用来表示一个天体距离地球的距离，也可以用来表示天体在太阳系中的位置。
极坐标系在天文学中的应用可以用来计算行星在椭圆轨道中的位置，以及计算星星在空间上的分布情况。
综上所述，极坐标公式在数学，物理，天文学等多个领域有着广泛的应用。
它的变换公式可以用来解决形状变换问题，它也可以用来求解三维空间的积分，以及描述天体距离地球的距离等等。
此可见，极坐标公式的应用非常广泛，为我们解决许多复杂的数学问题提供了有力的帮助。
极坐标方程表达形式
极坐标方程表达形式什么是极坐标？在数学中，极坐标是描述二维平面上的点的一种坐标系统。
与直角坐标系（笛卡尔坐标系）不同，极坐标使用径向距离（r）和极角（θ）来表示一个点的位置。
极坐标的表达形式极坐标的表达形式可以通过以下两种方式表示：极坐标方程和坐标对。
极坐标方程极坐标方程是使用极坐标中的径向距离（r）和极角（θ）来表示一个点的位置的数学公式。
极坐标方程的一般形式为：r = f(θ)其中，r代表径向距离，θ代表极角，f(θ)是一个函数，描述了随着极角的变化，径向距离的变化关系。
不同的函数f(θ)代表不同的曲线形状，例如圆、椭圆、螺旋等。
举个例子，假设我们要描述一个半径为2的圆，圆心位于极坐标原点。
那么圆的极坐标方程可以写为：r = 2这个方程表示了半径始终为2，而极角可以取任意值，即点沿圆周运动。
坐标对坐标对是表示点在极坐标中的位置的一种方式。
一个坐标对由径向距离（r）和极角（θ）组成，用一对数值表示。
例如，坐标对(3, π/4)表示了一个点，它的径向距离为3，极角为π/4。
在实际应用中，坐标对常常用来表示一个点的具体位置。
通过改变径向距离和极角的数值，我们可以确定不同的点在极坐标中的位置。
极坐标与直角坐标的转换极坐标和直角坐标之间存在一种转换关系。
通过这种转换关系，我们可以将一个点在极坐标中的位置转换为在直角坐标中的位置，反之亦然。
将直角坐标(x, y)转换为极坐标(r, θ)的公式如下：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)这里，sqrt表示开平方根，arctan表示反正切函数。
通过将x和y代入这两个公式，我们可以得到对应的极坐标。
将极坐标(r, θ)转换为直角坐标(x, y)的公式如下：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，cos表示余弦函数，sin表示正弦函数。
通过将r和θ代入这两个公式，我们可以得到对应的直角坐标。
结论极坐标方程和坐标对是描述在极坐标中点的位置的两种方式。
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极坐标、参数方程
1、经过点),(000y x P 的直线参数方程的一般形式是：⎩
⎨⎧+=+=)(00是参数t bt y y at x x 。
2、若直线l 经过点α，倾斜角为),(000y x P ，则直线参数方程的标准形式是：⎩⎨⎧+=+=)(sin cos 00是参数t t y y t x x α
α。
其中点P 对应的参数t 的几何意义是：有向线段P P 0的数量。
若点P 1、P 2、P 是直线l 上的点，它们在上述参数方程中对应的参数分别是，和、t t t 21则：2121t t P P -=；当点P 分有向线段λ成定比21P P 时，λ
λ++=
121t t t ；当点P 是线段P 1P 2的中点时，221t t t +=。
3、圆心在点)(b a C ，，半径为r 的圆的参数方程是：⎩
⎨⎧+=+=)(sin cos 是参数αααr b y r a x 。
4、若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为，),(θρ直角坐标为),(y x ，
则=x θρcos ，=y θρsin ，x
y tg y x =+=θρ，22。
5、 经过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程是：απθαθ+==或， 经过点)0(，a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：a =θρcos ， 经过点)2
(π
，a 且平行于极轴的直线的极坐标方程是：a =θρsin ， 经过点)(00θρ，且倾斜角为α的直线的极坐标方程是：)sin()sin(00αθραθρ-=-。
6、 圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是r =ρ；
圆心在点a a ，半径为，
)0(的圆的极坐标方程是θρcos 2a =； 圆心在点a a ，半径为，)2
(π
的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 圆心在点)(00θρ，，半径为r 的圆的极坐标方程是200202)cos(
2r =--+θθρρρρ。
7、若点M )(11θρ，、N )(22θρ，，则=MN )cos(221212221θθρρρρ--+。