信号与系统第四章.ppt
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信号与系统 吴大正 第四章 傅立叶变换和系统的频域分析
4.2 傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数—f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶 次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t) 0 T/2 T t
4.3 周期信号(Periodic Signal)的频谱
周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关 系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位 随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相 位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实 数，也可直接画Fn 。
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
4.2 傅里叶级数
周期信号展开的无穷级数成为傅里叶级数，分“三角型傅里 叶级数”和“指数型傅里叶级数”，只有当周期信号满足狄 里赫利条件时，才能展开成傅里叶级数。 狄利赫利条件(Dirichlet condition)
t 0 T
2 T bn 2T f (t )sin(nt ) d t T 2
任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分， 由于f(-t) = -fod(t) + fev(t) ，所以 f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f e v (t ) f od (t ) 2 2
4.2 傅里叶级数
三角形式 指数形式 奇偶函数的傅里叶级数
e jx e jx 由于 cos x 2
A0 f (t ) An cos( n t n ) 2 n 1
信号与系统郑君里第二版第四章课件
若 f(t)F(s)
则 d f (t) sF(s) f (0) dt
f (n)(t) snF(s)sn1 f (0) sn2 f '(0) f n1(0)
4.2.5 积分特性
若 f(t)F(s)
则
t f ( )d F(s)
s
4.2.6 时间尺度变换特性
若 f(t)F(s)
则
f(a)t 1 aF(a s) a0
f( )lim f(t)lim s(F s)
t
s 0
4.3 拉普拉斯逆变换
1 查表法
例：已F知 (s)2ss2249ss188,求其拉氏反变换。 解： 将F(s)表示为常用信号变的换拉形氏式，即：
F(s)2(ss2)2222
查表得：22(t)Fra bibliotek所以：
(ss2 )2222 e2tco2tsu(t)
f( t) L 1 [F (s ) ] 2( t) e 2 tc2 o tu ( t s )
即：
u(t) 1 s
2.单位冲激信号
F (s) L(t) (t)e sd t t (t)d t1
0
0
即：
(t) 1
3.指数信号
F (s) Le au t(t) e ae t sd t t1
0
s a
即：
eatu(t) 1 sa
4.正弦信号
F(s)L
si ntu(t)
第4章 连续信号与系统的复频 域分析
➢拉普拉斯变换 ➢拉普拉斯变换的性质 ➢拉普拉斯逆变换 ➢系统的复频域分析 ➢连续系统函数与系统特性 ➢利用MATLAB进行连续系统的 复频域分析
4.1拉普拉斯变换
从第三章可知，傅里叶变换分析法在信 号分析和处理等方面十分有效。但在应用时， 许多信号并不满足绝对可积条件，或者不存 在傅里叶变换，因此，傅里叶变换的运用受 到一定的限制。
则 d f (t) sF(s) f (0) dt
f (n)(t) snF(s)sn1 f (0) sn2 f '(0) f n1(0)
4.2.5 积分特性
若 f(t)F(s)
则
t f ( )d F(s)
s
4.2.6 时间尺度变换特性
若 f(t)F(s)
则
f(a)t 1 aF(a s) a0
f( )lim f(t)lim s(F s)
t
s 0
4.3 拉普拉斯逆变换
1 查表法
例：已F知 (s)2ss2249ss188,求其拉氏反变换。 解： 将F(s)表示为常用信号变的换拉形氏式，即：
F(s)2(ss2)2222
查表得：22(t)Fra bibliotek所以：
(ss2 )2222 e2tco2tsu(t)
f( t) L 1 [F (s ) ] 2( t) e 2 tc2 o tu ( t s )
即：
u(t) 1 s
2.单位冲激信号
F (s) L(t) (t)e sd t t (t)d t1
0
0
即：
(t) 1
3.指数信号
F (s) Le au t(t) e ae t sd t t1
0
s a
即：
eatu(t) 1 sa
4.正弦信号
F(s)L
si ntu(t)
第4章 连续信号与系统的复频 域分析
➢拉普拉斯变换 ➢拉普拉斯变换的性质 ➢拉普拉斯逆变换 ➢系统的复频域分析 ➢连续系统函数与系统特性 ➢利用MATLAB进行连续系统的 复频域分析
4.1拉普拉斯变换
从第三章可知，傅里叶变换分析法在信 号分析和处理等方面十分有效。但在应用时， 许多信号并不满足绝对可积条件，或者不存 在傅里叶变换，因此，傅里叶变换的运用受 到一定的限制。
《信号与系统》第四章
图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
解：变量n用k替代
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
信号与系统吴大正第四版第四章完整ppt课件
Wa(l0,t)
O
Wal(1,t)
O
1/ 2
Wa(l2,t)
1
t
1
t
O
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1/ 4
1/ 2
3/ 4
1
精选编辑ppt ■
t
10
信号与系统 电子课件
如果是复函数集，正交是指：
若复函数集 {i(t)}i (1,2,,n)在区间（t1,t2）满足
t1 t2i(t)j(t)d t 0 K ,i 0,当 当 ii jj
信号与系统 电子课件
连续时间信号与系统的频域分析
精选编辑ppt
1
第1-1页
■
信号与系统 电子课件
本章安排
• 信号的正交分解和傅里叶级数 • 周期信号和非周期信号的频谱 • 傅里叶变换的性质 • 周期信号的傅里叶变换 • LTI系统的频域分析和取样定理 • 离散傅里叶变换及其性质
精选编辑ppt
2
第1-2页
j 1
如何选择C j才能得到最佳近似。
2 1
t2t1
t1 t2[f(t)jn 1Cj
j(t)]2dt
精选编辑ppt
12
第1-12页
■
信号与系统 电子课件
多元函数就极值问题
1
C j t2t1
t1 t2[f(t)jn 1C j j(t)]2d t0
Ci
t2 t1
f (t)i(t)dt
则称 1和在2区间(t1,t2)内正交。
若有n个函数 1 (t) ,2 (t)构,, 成n ( 一t) 个函数集，
这些函数在区间(t1,t2)内满足
t1 t2i(t)j(t)d t 0 K ,i 0,
当 ij 当 ij
O
Wal(1,t)
O
1/ 2
Wa(l2,t)
1
t
1
t
O
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t
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信号与系统 电子课件
如果是复函数集，正交是指：
若复函数集 {i(t)}i (1,2,,n)在区间（t1,t2）满足
t1 t2i(t)j(t)d t 0 K ,i 0,当 当 ii jj
信号与系统 电子课件
连续时间信号与系统的频域分析
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■
信号与系统 电子课件
本章安排
• 信号的正交分解和傅里叶级数 • 周期信号和非周期信号的频谱 • 傅里叶变换的性质 • 周期信号的傅里叶变换 • LTI系统的频域分析和取样定理 • 离散傅里叶变换及其性质
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j 1
如何选择C j才能得到最佳近似。
2 1
t2t1
t1 t2[f(t)jn 1Cj
j(t)]2dt
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■
信号与系统 电子课件
多元函数就极值问题
1
C j t2t1
t1 t2[f(t)jn 1C j j(t)]2d t0
Ci
t2 t1
f (t)i(t)dt
则称 1和在2区间(t1,t2)内正交。
若有n个函数 1 (t) ,2 (t)构,, 成n ( 一t) 个函数集，
这些函数在区间(t1,t2)内满足
t1 t2i(t)j(t)d t 0 K ,i 0,
当 ij 当 ij
信号与系统第4章
35
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，
《信号与系统》课程讲义4-6PPT课件
若 1 2 1 2
若 1 2 无公共收敛区
2
对应 u(t )
j
对应u ( t )
FB ( s) 的收敛域一般形式为： 1 2
1
2
§4.6 双边拉氏变换；拉氏变换 ∽傅里叶变换
② 右边信号的双边拉氏变换 f (t ) f1 (t )u(t )
§4.6 双边拉氏变换；拉氏变换 ∽傅里叶变换
③
f (t ) eat u(t ) ebt u(t )
1 1 a FB ( s ) s a b s b
a b ( a b) 不存在 ( a b)
④
f (t ) e
f (t ) e
a) 2， - 2－左边；0－左边； 1－左边
1 1 1 2 FB ( s) 2 0 s 1 s 2 s
j
1 t 1 2t f (t ) ( e e )u (t ) 2 2
2 0 1
a)
§4.6 双边拉氏变换；拉氏变换 ∽傅里叶变换
1 1 FB ( s ) s s 1
f (t ) (1 e )u(t )
t
0
1
a)
§4.6 双边拉氏变换；拉氏变换 ∽傅里叶变换
b) 0 1 ，对应双边: 0－右边；1－左边
1 1 1 1 FB ( s ) s s 1 s 1 s
j
f (t ) u(t ) et u(t )
§4.6 双边拉氏变换；拉氏变换 ∽傅里叶变换
③ 左边信号的双边拉氏变换 f (t ) f 2 (t )u( t )
若 1 2 无公共收敛区
2
对应 u(t )
j
对应u ( t )
FB ( s) 的收敛域一般形式为： 1 2
1
2
§4.6 双边拉氏变换；拉氏变换 ∽傅里叶变换
② 右边信号的双边拉氏变换 f (t ) f1 (t )u(t )
§4.6 双边拉氏变换；拉氏变换 ∽傅里叶变换
③
f (t ) eat u(t ) ebt u(t )
1 1 a FB ( s ) s a b s b
a b ( a b) 不存在 ( a b)
④
f (t ) e
f (t ) e
a) 2， - 2－左边；0－左边； 1－左边
1 1 1 2 FB ( s) 2 0 s 1 s 2 s
j
1 t 1 2t f (t ) ( e e )u (t ) 2 2
2 0 1
a)
§4.6 双边拉氏变换；拉氏变换 ∽傅里叶变换
1 1 FB ( s ) s s 1
f (t ) (1 e )u(t )
t
0
1
a)
§4.6 双边拉氏变换；拉氏变换 ∽傅里叶变换
b) 0 1 ，对应双边: 0－右边；1－左边
1 1 1 1 FB ( s ) s s 1 s 1 s
j
f (t ) u(t ) et u(t )
§4.6 双边拉氏变换；拉氏变换 ∽傅里叶变换
③ 左边信号的双边拉氏变换 f (t ) f 2 (t )u( t )
重庆邮电大学信号与系统课件第4章
f
(t )
etch tU
(t )
F (s)
(s
(s ) )2
2
23
通信与信息基础教学部
典型信号的拉普拉斯变换(1)
原函数
f (t)
像函数
F (s)
(t)
(t)
t (t)
Ae at (t)
sin0t (t)
cos0t (t)
24
通信与信息基础教学部
1
1 s 1 s2 A
sa
0 s2 02
1 2
s
1
s
1
1 2
s2
2s
2
s2
s
2
22
通信与信息基础教学部
典型信号的拉氏变换
同理
f
(t)
s ht
F (s)
s2
2
f
(t)
s h tU (t)
F (s)
s2
2
f
(t)
c h tU (t)
F (s)
s2
s
2
f (t) et s h tU (t) F (s)
(s )2 2
f (t) 1
2 j
j j
Fb
(
s)e
st
ds
拉普拉斯变换是将时域函数f(t)变为复频域函数Fb(s)；或作相 反的变换。此处时域变量t是实数，复频域变量s是复数。
（拉普拉斯变换建立了时域和复频域（s 域）间的联系。）
6
通信与信息基础教学部
拉普拉斯变换的收敛域(1)
拉普拉斯变换的收敛域
02
18
通信与信息基础教学部
典型信号的拉氏变换
同理
信号与系统-模拟角度调制系统
瞬时角频率：(t) c KFM f (t)
瞬时相位： (t) (t)dt ct KFM f (t)dt
sFM t A0 cosct 0 kFM f t dt
kFM ——调频灵敏度，单位为弧度/秒/伏。
调频波的瞬时频率偏移与f(t)成线性关系。
PM 信号和FM 信号波形如图所示：
满足窄带条件时
sNBFM t A cosct
A FM 1
2
cosc
m1t
A FM 1
2
c
m1t
AFM 2
2
cosc
m2 t
AFM 2
2
cosc
m2 t
有效频带宽度：若m2 m1 BNBFM 2m1
不满足窄带条件时：
sFM t A e j t
取其实部
A
J J e n FM1
f t Am1 cosm1t Am2 cosm2t
t c kFM Am1 cosm1t kFM Am2 cosm2t
t ct FM1 sin m1t FM 2 sin m2t
FM 1
kFM Am1
m1
FM 2
kFM Am 2 m 2
sFM t A cos ct FM1 sin m1t FM 2 sinm2t
有效带宽：（以单音调制为例）
调相波的有效带宽： BPM 2 PM 1 fm
窄带调相波的有效带宽： BPM 2 fm
调相波的的有效带宽与调制频率有关；而调频 波在调制频率变化时，有效带宽基本保持不变；
对于多音调制，调相波的有效带宽取决于最高调 制频率分量，而调频制不存在这个问题；在实际 应用中，调频制比调相制要广泛的多。
调频波的有效带宽：
理论上调频信号的带宽为无限宽。然而实际上各次边频
瞬时相位： (t) (t)dt ct KFM f (t)dt
sFM t A0 cosct 0 kFM f t dt
kFM ——调频灵敏度，单位为弧度/秒/伏。
调频波的瞬时频率偏移与f(t)成线性关系。
PM 信号和FM 信号波形如图所示：
满足窄带条件时
sNBFM t A cosct
A FM 1
2
cosc
m1t
A FM 1
2
c
m1t
AFM 2
2
cosc
m2 t
AFM 2
2
cosc
m2 t
有效频带宽度：若m2 m1 BNBFM 2m1
不满足窄带条件时：
sFM t A e j t
取其实部
A
J J e n FM1
f t Am1 cosm1t Am2 cosm2t
t c kFM Am1 cosm1t kFM Am2 cosm2t
t ct FM1 sin m1t FM 2 sin m2t
FM 1
kFM Am1
m1
FM 2
kFM Am 2 m 2
sFM t A cos ct FM1 sin m1t FM 2 sinm2t
有效带宽：（以单音调制为例）
调相波的有效带宽： BPM 2 PM 1 fm
窄带调相波的有效带宽： BPM 2 fm
调相波的的有效带宽与调制频率有关；而调频 波在调制频率变化时，有效带宽基本保持不变；
对于多音调制，调相波的有效带宽取决于最高调 制频率分量，而调频制不存在这个问题；在实际 应用中，调频制比调相制要广泛的多。
调频波的有效带宽：
理论上调频信号的带宽为无限宽。然而实际上各次边频
信号与系统第4章拉氏变换
为“象函数”。
拉普拉斯变换是t域函数f(t)与s域函数F(s)之间的变换。 f(t)与F(s)的拉普拉斯变换关系常用以下符号表示：
f (t) F(s)
机械工业出版社
7
三、定义说明
1、为什么正、反变换的原函数相差一个u(t)？ 在单边拉普拉斯正变换中，原函数可以是非因
果信号，所以在拉氏正变换中用 f(t) 表示。由于正 变换是对原函数从 t = 0−开始的积分，丢掉了原函 数中t < 0的信息，反变换只能还原t > 0的函数值， 所以在拉氏反变换式中原函数用因果函数f(t)u(t)表 示。 推论：两个t ≥0的波形相同，t < 0波形不同的原函 数，它们单边拉普拉斯变换的象函数完全相同。
0
0
令s = j，代入上式得
F1( j)
∞ -∞
f1 (t )
e- jt dt
∞ f (t) e-stdt F (s)
0
含义：求e- tf(t)u(t)的谱函数等于求f(t)u(t)的复变函数。
F1(j)的傅里叶反变换为
f1 (t )
e- t
f
(t )u(t )
1 2π
∞
-∞ F1(
j )e j t d
等式两边同乘e t，把F1(j) =F(s)，s = j，ds =jd
代入式中，得
et
f1(t)
f (t)u(t)
1 2π
∞ -∞
F1
(
j
)e(
j)t d
1 2πj
j∞ - j∞
F
(
s)est
面上的一个点。
机械工业出版社
信号与系统基础-第4章
5
4.1 傅氏级数 随时间的变化
是时间的函数，我们关心的是信号大小、快慢和延迟
关系，时间是研究信号和系统的基本出发点，因此，系统分析自然也就围绕着时间变量
展开。在时域分析中，信号f (t)
但是我们还注意到一个事实，一些信号的大小（幅度）和延迟（相位）还直接与另 一个变量
——频率有关，比如正弦型信号、复指数信号等。或者说，一些信号的幅度和相位还是 频率的函数。
【例题4-4】如图4-(6a) 所示的周期信号f1(t) 的傅里叶系数为F，n 试用其表示图4-(6b)、
(c) 、(d) 所示各信号的傅里叶系数。
【解】因为
f 2 (t)
f1
(t
T 2
)
所以，根据傅里叶级数的时移特性有
由题意可知
f
2
(t
)
F S
e
jn
T 2
0
Fn
(1)n Fn
f3 (t) f1 (t) f 2 (t)
c0 cn cos(n0t n ) (4-5)
n1
c0 a0
(4-6)
式(4-5)表明任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和各次谐波分量之和。
12
4.1 傅氏级数
式(4-5)表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号都可分解为一个常数和无数个不同频率 不同相位的余弦信号分量之和。其中，第一c0 项常数项是f (t) 在一个周期内的平均值，
式(4-1)说明
f (t) a0 (an cos n0t bn sin n0t)
n 1
(4-1)
任一周期信号可以用三角正交函数的线性组合表示。显然，这是信号分解特性 的体现。
9
4.1 傅氏级数
傅氏级数采用三角函数集的主要特点： （1）三角函数是基本函数； （2）三角函数同时具有时间和频率两个物 理量。 （3）三角函数容易产生、传输和处理。 （4）三角函数通过线性时不变系统后仍为 同频三角函数，仅幅值和相位会有所变化。
4.1 傅氏级数 随时间的变化
是时间的函数，我们关心的是信号大小、快慢和延迟
关系，时间是研究信号和系统的基本出发点，因此，系统分析自然也就围绕着时间变量
展开。在时域分析中，信号f (t)
但是我们还注意到一个事实，一些信号的大小（幅度）和延迟（相位）还直接与另 一个变量
——频率有关，比如正弦型信号、复指数信号等。或者说，一些信号的幅度和相位还是 频率的函数。
【例题4-4】如图4-(6a) 所示的周期信号f1(t) 的傅里叶系数为F，n 试用其表示图4-(6b)、
(c) 、(d) 所示各信号的傅里叶系数。
【解】因为
f 2 (t)
f1
(t
T 2
)
所以，根据傅里叶级数的时移特性有
由题意可知
f
2
(t
)
F S
e
jn
T 2
0
Fn
(1)n Fn
f3 (t) f1 (t) f 2 (t)
c0 cn cos(n0t n ) (4-5)
n1
c0 a0
(4-6)
式(4-5)表明任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和各次谐波分量之和。
12
4.1 傅氏级数
式(4-5)表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号都可分解为一个常数和无数个不同频率 不同相位的余弦信号分量之和。其中，第一c0 项常数项是f (t) 在一个周期内的平均值，
式(4-1)说明
f (t) a0 (an cos n0t bn sin n0t)
n 1
(4-1)
任一周期信号可以用三角正交函数的线性组合表示。显然，这是信号分解特性 的体现。
9
4.1 傅氏级数
傅氏级数采用三角函数集的主要特点： （1）三角函数是基本函数； （2）三角函数同时具有时间和频率两个物 理量。 （3）三角函数容易产生、传输和处理。 （4）三角函数通过线性时不变系统后仍为 同频三角函数，仅幅值和相位会有所变化。
信号与系统-吴大正PPT课件
■ 第 17 页
§1.2 信号的描述和分类
信号的描述 信号的分类 几种典型确定性信号
■ 第 18 页
一、信号的描述
信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或 位置变化的物理量。
信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们 可以相互转换。
电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课 程讨论电信号——简称“信号”。
▲
■
第1页
信号与系统
是电子技术、信息工程、通信工程 等专业重要的学科基础课
课程介绍
Signals and Systems
电子技术、 信息工程、 通信工程 等专业的 考研课程
■
第3页
课程位置
先修课
后续课程
《高等数学》 《通信原理》
《线性代数》 《数字信号处理》
《复变函数》 《自动控制原理》
《电路分析基础》 《数字图像处理》
▲
■
第7页
参考书目
(1)郑君里等. 信号与系统(第二版) . 北京：高等教育出 版社, 2000 (2) 管致中等 . 信号与线性系统 (第四版) . 北京：高等 教育出版 社, 2004 (3)A.V.OPPENHEIM. 信号与系统 (第二版) .北京 ：电 子工业出版 社, 2002 (4)王松林、张永瑞、郭宝龙、李小平.信号与线性系统 分析 (第4版) 教学指导书. 北京:高等教育出版 社, 2006
▲
■
第8页
信号与系统
第一章 信号与系统
第二章 连续系统的时域分析
第三章 离散系统的时域分析
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
第五章 连续系统的s域分析
第六章 离散系统的z域分析
第七章 系统函数
第八章 系统的状态变量分析
§1.2 信号的描述和分类
信号的描述 信号的分类 几种典型确定性信号
■ 第 18 页
一、信号的描述
信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或 位置变化的物理量。
信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们 可以相互转换。
电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课 程讨论电信号——简称“信号”。
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信号与系统
是电子技术、信息工程、通信工程 等专业重要的学科基础课
课程介绍
Signals and Systems
电子技术、 信息工程、 通信工程 等专业的 考研课程
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课程位置
先修课
后续课程
《高等数学》 《通信原理》
《线性代数》 《数字信号处理》
《复变函数》 《自动控制原理》
《电路分析基础》 《数字图像处理》
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参考书目
(1)郑君里等. 信号与系统(第二版) . 北京：高等教育出 版社, 2000 (2) 管致中等 . 信号与线性系统 (第四版) . 北京：高等 教育出版 社, 2004 (3)A.V.OPPENHEIM. 信号与系统 (第二版) .北京 ：电 子工业出版 社, 2002 (4)王松林、张永瑞、郭宝龙、李小平.信号与线性系统 分析 (第4版) 教学指导书. 北京:高等教育出版 社, 2006
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第8页
信号与系统
第一章 信号与系统
第二章 连续系统的时域分析
第三章 离散系统的时域分析
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
第五章 连续系统的s域分析
第六章 离散系统的z域分析
第七章 系统函数
第八章 系统的状态变量分析
信号与系统张晔版第四章ppt
L[u(t)] est dt est 1
0
s
s
0
u(t) 1 s
(2) 单边指数信号 f (t) eatu(t)
延时信号
→ 对比傅里叶变换？ 双边
L[eat ] eat est dt e(as)t 1
0
as
as
0
eat u(t) 1 sa
( a)
哈尔滨工业大学图象与信息技术研究所
L f (t t0 )u(t t0 ) F (s)est0
→
L
f
(at
t0 )u(at
t0 )
1 a
F
s a
e
s a
t0
(2) 先尺度、后平移
L
f
(at)u(at)
1 a
F
s a
→
L
f
(at
t0 )u(at
t0 )
1 a
F
s a
e
s a
t0
哈尔滨工业大学图象与信息技术研究所
4.2.6 时域微分特性
推而广之：
L
d n f (t)
dt n
sn F (s)
n 1 r 0
snr 1
f
(r) (0)
式中
f
(r)
(0)是r阶导数
d
r f (t) dt r
在0-时刻的取值。特别是，如果它们都为0，则
L
df (t dt
)
sF
(s)
L
d
2f dt
(t
2
)
s2F(s)
i 1
i 1
在应用中，可实现复杂信号的分解。
4.2.2 时域平移特性
《信号与系统第四章》PPT课件
1 ） 系 统 函 数 的 零 、 极 点 分 布 确 定 系 统 冲 激 响 应 的 模 式
①
h t
单阶减 ea极t幅 sin 点振 荡 0tth a t 0 L 1 H js L h s1 tin i 0 n t1 s t k ，ip 正i弦 振荡i n 1 等k i 幅e e p a i t ts i n t0 tta 0
系 统 函 数 的 零 、 极 点 分 布 图
系 统 函 数 必 定 是 复 变 量 s 的 实 有 理 函 数 ， 零 、 极 点 一 定 是 实 数 或 成 对 共 轭 复 数 。
极 点 是 对 应 系 统 输 入 输 出 微 分 方 程 的
特 征 根 自 然 频 率 、 固 有 频 率 。
1
2 、 系 统 零 、 极 点 分 布 对 系 统 时 域 响 应 特 性 的 影 响
14
课堂小结
拉氏变换及其性质 S域分析法 系统函数H(s)〔零、极点〕 系统稳定性的判断
15
作业
4.5(2) 4.11(1) 4.16 4.22
16
m
jzr
F ht HHssjH 0rn 1jpi
k1
H()一般为复数，可表示为：
H H ej
m
j z r
m
n
H H 0 r n 1
幅 频 特 性 ， a r g j z r a r g j p i相 频 特 性 。
j p i
r 1
i 1
i 1 结 论 ： 零 极 点 分 布 决 定 了 H 的 大 小 ！
yzs
t
h
f
t
d
因为|f(t)| Me，所以
yzs t
Me
《信号与系统教案》课件
《信号与系统教案》PPT课件第一章：信号与系统导论1.1 信号的定义与分类定义：信号是自变量为时间（或空间）的函数。
分类：连续信号、离散信号、模拟信号、数字信号等。
1.2 系统的定义与分类定义：系统是一个输入与输出之间的映射关系。
分类：线性系统、非线性系统、时不变系统、时变系统等。
1.3 信号与系统的研究方法数学方法：微分方程、差分方程、矩阵分析等。
图形方法：波形图、频谱图、相位图等。
第二章：连续信号与系统2.1 连续信号的性质连续时间：自变量为连续的实数。
有限能量：能量信号的能量有限。
有限带宽：带宽有限的信号。
2.2 连续系统的特性线性特性：叠加原理、齐次性原理。
时不变特性：输入信号的延迟不会影响输出信号。
2.3 连续信号的运算叠加运算：两个连续信号的叠加仍然是连续信号。
齐次运算：连续信号的常数倍仍然是连续信号。
第三章：离散信号与系统3.1 离散信号的性质离散时间：自变量为离散的整数。
有限能量：能量信号的能量有限。
有限带宽：带宽有限的信号。
3.2 离散系统的特性线性特性：叠加原理、齐次性原理。
时不变特性：输入信号的延迟不会影响输出信号。
3.3 离散信号的运算叠加运算：两个离散信号的叠加仍然是离散信号。
齐次运算：离散信号的常数倍仍然是离散信号。
第四章：模拟信号与系统4.1 模拟信号的定义与特点定义：模拟信号是连续时间、连续幅度、连续频率的信号。
特点：连续性、模拟性、无限可再生性。
4.2 模拟系统的特性线性特性：叠加原理、齐次性原理。
时不变特性：输入信号的延迟不会影响输出信号。
4.3 模拟信号的处理方法模拟滤波器：根据频率特性对模拟信号进行滤波。
模拟调制：将信息信号与载波信号进行合成。
第五章：数字信号与系统5.1 数字信号的定义与特点定义：数字信号是离散时间、离散幅度、离散频率的信号。
特点：离散性、数字化、抗干扰性强。
5.2 数字系统的特性线性特性：叠加原理、齐次性原理。
时不变特性：输入信号的延迟不会影响输出信号。
信号与系统 全套课件完整版ppt教学教程最新最全
2.积分 信号的积分是指信号在区间(-∞，t)上的积分。可表示为
t
y(t)
f()df( 1)(t)
1.2.3 信号的相加、相乘及综合变换 1.相加
信号相加任一瞬间值，等于同一瞬间相加信号瞬时值的和。即
y (t)f1 (t)f2 (t) ...
1.2.3 信号的相加、相乘及综合变换 2.相乘
信号相乘任一瞬间值，等于同一瞬间相乘信号瞬时值的积。即
离散时间系统是指输入系统的信号是离散时间信号，输出也是离散 时间信号的系统，简称离散系统。如图连续时间系统与离散时间系统(b) 所示。
1.3.1 系统的定义及系统分类 2. 线性系统与非线性系统
线性系统是指具有线性特性的系统，线性特性包括齐次性与叠加性。线 性系统的数学模型是线性微分方程和线性差分方程。
2.1.2 MATLAB语言的特点
1、友好的工作平台和编程环境 2、简单易用的程序语言 3、强大的科学计算机数据处理能力 4、出色的图形处理功能
1、友好的工作平台和编程环境
MATLAB由一系列工具组成。这些工具方 便用户使用MATLAB的函数和文件，其中 许多工具采用的是图形用户界面。
新版本的MATLAB提供了完整的联机查询、 帮助系统，极大的方便了用户的使用。简 单的编程环境提供了比较完备的调试系统， 程序不必经过编译就可以直接运行，而且 能够及时地报告出现的错误及进行出错原 因分析。
y (t)f1 (t) f2 (t) ...
1.2.3 信号的相加、相乘及综合变换 3.综合变换 在信号分析的处理过程中，通常的情况不是以上某种单一信号的运算，往
往都是一些信号的复合变换，我们称之为综合变换。
1.3 系统
1.3.1 系统的定义及系统分类
t
y(t)
f()df( 1)(t)
1.2.3 信号的相加、相乘及综合变换 1.相加
信号相加任一瞬间值，等于同一瞬间相加信号瞬时值的和。即
y (t)f1 (t)f2 (t) ...
1.2.3 信号的相加、相乘及综合变换 2.相乘
信号相乘任一瞬间值，等于同一瞬间相乘信号瞬时值的积。即
离散时间系统是指输入系统的信号是离散时间信号，输出也是离散 时间信号的系统，简称离散系统。如图连续时间系统与离散时间系统(b) 所示。
1.3.1 系统的定义及系统分类 2. 线性系统与非线性系统
线性系统是指具有线性特性的系统，线性特性包括齐次性与叠加性。线 性系统的数学模型是线性微分方程和线性差分方程。
2.1.2 MATLAB语言的特点
1、友好的工作平台和编程环境 2、简单易用的程序语言 3、强大的科学计算机数据处理能力 4、出色的图形处理功能
1、友好的工作平台和编程环境
MATLAB由一系列工具组成。这些工具方 便用户使用MATLAB的函数和文件，其中 许多工具采用的是图形用户界面。
新版本的MATLAB提供了完整的联机查询、 帮助系统，极大的方便了用户的使用。简 单的编程环境提供了比较完备的调试系统， 程序不必经过编译就可以直接运行，而且 能够及时地报告出现的错误及进行出错原 因分析。
y (t)f1 (t) f2 (t) ...
1.2.3 信号的相加、相乘及综合变换 3.综合变换 在信号分析的处理过程中，通常的情况不是以上某种单一信号的运算，往
往都是一些信号的复合变换，我们称之为综合变换。
1.3 系统
1.3.1 系统的定义及系统分类
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从上述可以看出拉普拉斯变换的收敛域的边界位置是由拉普拉 斯变换的极点决定的，拉普拉斯变换的收敛域有以下的特征,归纳如 下:
一一对应的关系。在以 为实轴， j 为虚轴如图4-1所示的复
平面中，使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合，称为拉氏变换的 收敛域 （Region of Convergence），拉氏变换的ROC是非常重要的 概念。
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4.2 拉普拉斯变换
任一信号f(t)的双边拉普拉斯变换不一定都存在。由于f(t)的
L[ (t)] 1
s
2．函数 f (t) t (t) 的拉普拉斯变换
L[t (t)]
test dt
0
te st [
s
]0
1 s
e st
0
1 s2
即
L[t (t)]
1 s2
同理可得，当n为正整数
L[tn (t)]
n! s n 1
4.2 拉普拉斯变换
即满足狄里赫利条件，则该信号的傅里叶变换存在。
用 F( j) 表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义，
则有 F ( j) f (t)e( j)tdt
根据傅里叶逆变换的定义，则
f (t)et 1 F ( j)e jtd
部 决定，与S的虚部
平行
轴j的直线。
j无 关，所以，F(s)的收敛域的边界是
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4.2 拉普拉斯变换
4.2.4 常用信号的拉普拉斯变换
1．单位阶跃函数 (t) 的拉普拉斯变换
L[ (t)]
1 est dt
0
[ est s
]0
1 s
即
2 j j
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4.2 拉普拉斯变换
4.2.2 双边拉普拉斯变换的收敛域
拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛域问题。并非任何信号的 拉氏变换都存在，也不是S平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛 域不同。 只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立
在任一有限区间上满足狄利赫利条件，并要求 f (t) dt 存在。这是
一个比较苛刻的要求，有几种常见的情况就不满足狄里赫利条件：
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4.2 拉普拉斯变换
阶跃信号 f (t) (t)
增长信号 f (t) eat (a>0)
周期信号 f (t) sint
第4章 连续信号与系统的复频域分析
4.1 引言 4.2 拉普拉斯变换 4.3 单边拉普拉斯变换的性质 4.4 拉普拉斯逆变换 4.5 连续系统的复频域分析 4.6 S域的网络模型法或运算电路法 4.7 连续信号的信号流图 4.8 系统函数与系统特性
4.1 引言
复频域分析是动态电路的一种分析方法，这种方法不是在时间 域里直接进行分析和求解，而是变换到复频域的范围内求解。所使 用的数学工具就是拉普拉斯变换理论。拉普拉斯变换理论（又称为 运算微积分，或称为算子微积分），是在19世纪末发展起来的。首 先是英国工程师亥维赛德(O.Heaviside)，发明了用运算法解决当时 电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证。后来由法 国数学家拉普拉斯(place)给出了严密的数学定义，所以称之 为拉普拉斯变换方法。
1
2j
0
e(s j)t
e(s j)t
dt
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4.2 拉普拉斯变换
即 同理
1 2j
s
1 j
s
1 j
s2
2
(Re[s]
0)
L[sin t ]
s2
s
2
Re[s] 0
L[cost] s , (Re[s] 0) s2 2
(Re[s] a)
sa
4． 单位冲激函数 (t)的拉氏变换
L[ (t)]
(t )e st dt
0 (t)estdt 1
0
0
即 L[ (t)] 1
5． 正弦函数 f (t) sin t (t) 的拉氏变换
L[sint (t)] sintestdt 0
双边拉普拉斯变换是信号 f (t)et 的傅里叶变换，因此，若 f (t)et
绝对可积，即
f (t) etdt
则f(t)的双边拉普拉斯变换一定存在。上式表明，F(s)是否存
在取决于能否选取适当的 。进一步说，由于 Re[s] ，所以，
F(s)是否存在取决于能否选取适当的S。由于F(s)的收敛域由S的实
2
上式两边乘以 et ，得 f (t) 1
F (
j)e jtd et
2
令 s j , 则 d( j) ds ，代入上式得到
F (s) f (t)estdt f (t) 1 j F (s)estds
返回
4.2 拉普拉斯变换
4.2.1 从傅立叶变换到拉氏变换
拉普拉斯（Laplace）变换在电学、光学、力学等工程技术与 科学领域中有着广泛的应用。由于它的原函数f(t)要求的条件比傅 里叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里叶变换的适用 面要广。 傅里叶变换要求进行变换的函数在无穷区间 (, ) 有定义，
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4.2 拉普拉斯变换
3． 指数函数 f (t)=eat (t) (a是实常数)的拉氏变换
L[eat (t)]
eatest dt
0
e(as)t dt
0
[ s
1 a
e ] (sa)t 0
s
1 a
(Re[s] a)
即
L[eat (t)] 1
对这几种傅立叶变换不存在的信号，若乘一衰减因子 e-t
（ 为实数），构建新的信号：
(t)et
eat et ( a)
et sin t
对于新构建的信号 f (t) e-t（ 为实数），如果能选择适当
的 使 f (t)e- t 绝对可积，
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