信号与系统第四章.ppt

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4.2 拉普拉斯变换
3． 指数函数 f (t)=eat (t) (a是实常数)的拉氏变换
L[eat (t)]
eatest dt
0
e(as)t dt
0

[ s
1 a
e ] (sa)t 0

s
1 a
(Re[s] a)
即
L[eat (t)] 1
1
2j
0
e(s j)t
e(s j)t
dt
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4.2 拉普拉斯变换
即 同理

1 2j

s
1 j

s
1 j


s2
2
(Re[s]

0)
L[sin t ]

s2
s
2
Re[s] 0
L[cost] s , (Re[s] 0) s2 2
对这几种傅立叶变换不存在的信号，若乘一衰减因子 e-t
（ 为实数），构建新的信号：
(t)et
eat et ( a)

et sin t
对于新构建的信号 f (t) e-t（ 为实数），如果能选择适当
的 使 f (t)e- t 绝对可积，
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L[ (t)] 1
s
2．函数 f (t) t (t) 的拉普拉斯变换
L[t (t)]
test dt
0

te st [
s
]0

1 s
e st
0

1 s2

即
L[t (t)]

1 s2
同理可得，当n为正整数
L[tn (t)]

n! s n 1
一一对应的关系。在以 为实轴， j 为虚轴如图4-1所示的复
平面中，使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合，称为拉氏变换的 收敛域 （Region of Convergence），拉氏变换的ROC是非常重要的 概念。
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4.2 拉普拉斯变换
任一信号f(t)的双边拉普拉斯变换不一定都存在。由于f(t)的
第4章 连续信号与系统的复频域分析
4.1 引言 4.2 拉普拉斯变换 4.3 单边拉普拉斯变换的性质 4.4 拉普拉斯逆变换 4.5 连续系统的复频域分析 4.6 S域的网络模型法或运算电路法 4.7 连续信号的信号流图 4.8 系统函数与系统特性
4.1 引言
复频域分析是动态电路的一种分析方法，这种方法不是在时间 域里直接进行分析和求解，而是变换到复频域的范围内求解。所使 用的数学工具就是拉普拉斯变换理论。拉普拉斯变换理论（又称为 运算微积分，或称为算子微积分），是在19世纪末发展起来的。首 先是英国工程师亥维赛德(O.Heaviside)，发明了用运算法解决当时 电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证。后来由法 国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace)给出了严密的数学定义，所以称之 为拉普拉斯变换方法。
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4.2 拉普拉斯变换
4.2.1 从傅立叶变换到拉氏变换
拉普拉斯（Laplace）变换在电学、光学、力学等工程技术与 科学领域中有着广泛的应用。由于它的原函数f(t)要求的条件比傅 里叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里叶变换的适用 面要广。 傅里叶变换要求进行变换的函数在无穷区间 (, ) 有定义，
4.2 拉普拉斯变换
即满足狄里赫利条件，则该信号的傅里叶变换存在。
用 F( j) 表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义，
则有 F ( j) f (t)e( j)tdt
根据傅里叶逆变换的定义，则
f (t)et 1 F ( j)e jtd
从上述可以看出拉普拉斯变换的收敛域的边界位置是由拉普拉 斯变换的极点决定的，拉普拉斯变换的收敛域有以下的特征,归纳如 下:
在任一有限区间上满足狄利赫利条件，并要求 f (t) dt 存在。这是
一个比较苛刻的要求，有几种常见的情况就不满足狄里赫利条件：
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4.2 拉普拉斯变换
阶跃信号 f (t) (t)
增长信号 f (t) eat (a>0)
周期信号 f (t) sint
2
上式两边乘以 et ，得
f (t) 1

F (

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j)e jtd et
2
令 s j , 则 d( j) ds ，代入上式得到

F (s) f (t)estdt f (t) 1 j F (s)estds
双边拉普拉斯变换是信号 f (t)et 的傅里叶变换，因此，若 f (t)et
绝对可积，即

f (t) etdt
则f(t)的双边拉普拉斯变换一定存在。上式表明，F(s)是否存
在取决于能否选取适当的 。进一步说，由于 Re[s] ，所以，
F(s)是否存在取决于能否选取适当的S。由于F(s)的收敛域由S的实
(Re[s] a)
sa
4． 单位冲激函数 (t)的拉氏变换
L[ (t)]


(t )e st dt

0 (t)estdt 1
0
0
即 L[ (t)] 1
5． 正弦函数 f (t) sin t (t) 的拉氏变换
L[sint (t)] sintestdt 0
部 决定，与S的虚部
平行
轴j的直线。
j无 关，所以，F(s)的收敛域的边界是
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4.2 拉普拉斯变换
4.2.4 常用信号的拉普拉斯变换
1．单位阶跃函数 (t) 的拉普拉斯变换
L[ (t)]
1 est dt
0
[ est s
]0

1 s
即

2 j j
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4.2 拉普拉斯变换
4.2.2 双边拉普拉斯变换的收敛域
拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛域问题。并非任何信号的 拉氏变换都存在，也不是S平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛 域不同。 只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立