高中数学《直线方程的点斜式》课件
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3.2.1 直线的点斜式方程 课件(11张PPT)高中数学必修2(人教版A版)
解： 由直线的点斜式方程知
y 3 2( x 2)
即
2 x y 7 0.
1 (2,3) ，倾斜角 变式： 一条直线过点 P 0 为 45，求这条直线的方程。
x y 5 0
(Ⅱ)斜截式方程
y
l
设直线经过点P0( 0,b)， 其斜率为k，求直线方程. 解：代入点斜式方程，得，
x , y P 0 0 0
o
x
所以:只要直线的斜率存在,直线就可 以用点斜式方程来表示
小结:点斜式方程
y l
①倾斜角α≠90°
x y y0 y l x l
y y0 k ( x x0 )
②倾斜角α=0°
y y0
③倾斜角α=90°
O
x0
x
x x0
例题
P 例1：一条直线过点 1 ( 2,3) ，斜率 为2，求这条直线的方程。
直线方程的五种形式：
点斜式
y －y0 = k （x－x0） y = kx + b
斜截式
两点式
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) y2 y1 x2 x1
x y 1 ab 0 a b
Ax+By式
复习回顾 复习回顾
0°≤α<1800
1.倾斜角 的定义及其取值范围; ; 1.倾斜角α的定义及其取值范围
2.已知直线上两点 则直线的斜率为k ，
p1 ( x1,,y1 ), p2 ( x2 , y2 )( x1 x2 )
k y2 y1 x2 x1
K=tanα y
3.确定一条直线的几何要素？
在直角坐标系中， (1)给定一个点和斜率； (2)给定两点. 确定一条直线！
y 3 2( x 2)
即
2 x y 7 0.
1 (2,3) ，倾斜角 变式： 一条直线过点 P 0 为 45，求这条直线的方程。
x y 5 0
(Ⅱ)斜截式方程
y
l
设直线经过点P0( 0,b)， 其斜率为k，求直线方程. 解：代入点斜式方程，得，
x , y P 0 0 0
o
x
所以:只要直线的斜率存在,直线就可 以用点斜式方程来表示
小结:点斜式方程
y l
①倾斜角α≠90°
x y y0 y l x l
y y0 k ( x x0 )
②倾斜角α=0°
y y0
③倾斜角α=90°
O
x0
x
x x0
例题
P 例1：一条直线过点 1 ( 2,3) ，斜率 为2，求这条直线的方程。
直线方程的五种形式：
点斜式
y －y0 = k （x－x0） y = kx + b
斜截式
两点式
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) y2 y1 x2 x1
x y 1 ab 0 a b
Ax+By式
复习回顾 复习回顾
0°≤α<1800
1.倾斜角 的定义及其取值范围; ; 1.倾斜角α的定义及其取值范围
2.已知直线上两点 则直线的斜率为k ，
p1 ( x1,,y1 ), p2 ( x2 , y2 )( x1 x2 )
k y2 y1 x2 x1
K=tanα y
3.确定一条直线的几何要素？
在直角坐标系中， (1)给定一个点和斜率； (2)给定两点. 确定一条直线！
高中数学《直线的点斜式方程》课件(共16张PPT)
直线的点斜式、斜截式方程
1．直线的点斜式方程和斜截式方程
名称
点斜式
斜截式
已知条件 点 P(x0，y0)和斜率 k 斜率 k 和直线在 y 轴上的截距 b
图示
方程 ___y－___y0_＝__k_(_x_－__x_0_) __
_y_＝__k_x_＋__b____
适用范围
斜率存在
2.直线 l 在 y 轴上的截距 定义：直线 l 与 y 轴交点(0，b)的__纵__坐__标__b__叫作直线 l 在 y 轴上的截距． [化解疑难] 解读直线的点斜式方程 直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点 P(x0，y0)和斜率 k；(2)斜率 必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程.
二、特点
斜率：直线的斜率是直线在某一点上的变化率，反映了直线在该点上的陡峭程度。斜率越大， 直线越陡峭；斜率越小，直线越平缓。
截距：直线的截距是直线与y轴的交点坐标，反映了直线在y轴上的位置。截距越大，直线离y 轴越远；截距越小，直线离y轴越近。
方程的适用范围：直线的点斜式方程适用于已知一点和斜率的直线，不适用于斜率不存在的直 线。
1．过点 P(－2,0)，斜率是 3 的直线的方程是( )
A．y＝3x－2
B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2)
D．y＝3(x＋2)
答案： D
自主练习
2．直线方程为 y＋2＝2x－2，则( )
自主练习
A．直线过点(2，－2)，斜率为 2
B．直线过点(－2,2)，斜率为 2
C．直线过点(1，－2)，斜率为12
精准例题
直线的点斜式方程 课后总结 直线的点斜式方程是描述直线的一种重要方式，它表达了直线在某一点上的斜率和截距，是解
直线的点斜式方程 课件
【自主解答】 (1)由直线方程的斜截式方程可知，所求
直线方程为 y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角
α＝150°，∴斜率
k＝tan
150°＝－
3 3.
由斜截式可得方程为 y＝－ 33x－2.
(3)∵直线的倾斜角为 60°，
∴其斜率 k＝tan 60°＝ 3，
∵直线与 y 轴的交点到原点的距离为 3，
∴直线在 y 轴上的截距 b＝3 或 b＝－3.
误把“截距”当“距离”致误
已知斜率为－43的直线 l，与两坐标轴围成的三 角形面积为 6，求 l 的方程．
【错解】 设 l：y＝－43x＋b，令 x＝0 得 y＝b；令 y＝0 得 x＝34b， 由题意得12·b·(34b)＝6，
∵b>0，∴b＝4， ∴直线 l 的方程为 y＝－43x＋4.
【错因分析】 上述解法的错误主要在于“误把直线在 两轴上的截距当作距离”．
∴a＝± 3.
故当 a＝± 3时，直线 l1 与直线 l2 垂直．
已知直线 l1：y＝k1x＋b1 与直线 l2：y＝k2x＋b2. (1)若 l1∥l2，则 k1＝k2，此时两直线与 y 轴的交点不同， 即 b1≠b2；反之 k1＝k2 且 b1≠b2 时，l1∥l2.所以有 l1∥l2⇔k1 ＝k2 且 b1≠b2. (2)若 l1⊥l2，则 k1·k2＝－1；反之 k1·k2＝－1 时，l1⊥l2. 所以有 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
【自主解答】 (1)由点斜式方程可知， 所求直线的方程为 y－5＝4(x－2)， 即 4x－y－3＝0. (2)∵直线的倾斜角为 45°， ∴此直线的斜率 k＝tan 45°＝1， ∴直线的点斜式方程为 y－3＝x－2， 即 x－y＋1＝0.
直线的点斜式方程ppt课件
解析：由已知可得直线的点斜式方程为 故选C.
整理得2x-3y=0.
2.已知直线的倾斜角为60°,在y 轴上的截距为-2,则此直线的方程为(
A.y=√3x+2
B.y=-√3x+2
C.y=-√3x-2
D.y=√3x-2
解析：直线的倾斜角为60°,则其斜率为 √3,利用斜截式得直线的方程为y= √3x-2.
方程y=kx+b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 其 中 ，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距.
例2已知直线 l:y=k₁x+b₁,l₂:y=k₂x+
(1)l₁ 1/l₂ 的条件是什么?
b₂ ,试讨论：
(2)l⊥l₂ 的条件是什么?
解：(1) 若l//l₂, 则k=k₂ ,此时l,l₂ 与y 轴的交点不同，即b₁ ≠b₂; 反之，若k₁=k₂, 且b₁≠b₂, 则₁// l₂.
解：直线1经过点P(-2,3),斜率k=tan45°=1, 代入点斜式方程得y-3=x+2.
画图时，只需再找出直线1上的另一点P(x,y₁),
例如，取x =-1, 则y₁=4, 得点P 的坐标为(-1,4), 过P₀,P 两点的直线即为所求，如图所示.
直线的斜截式方程
直线l与 y 轴的交点(0,b)的纵坐标b 叫做直线l在 y 轴上的截距. 这样，方程y=kx+b 由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确定，
第二章直线和圆的方程
2.2.1直线的点斜式方程
学
01 掌握直线方程的点斜式与斜截式方程.
习
目
标
02 了解斜截式方程与一次函数的关系.
直线的点斜式方程
方程y-yo=k(xx₀)
第一课时直线的点斜式方程ppt课件
当直线l的倾斜角为90°时，斜率k不存在
此时直线与y轴平行或重合
方程为x-x0=0，即x=x0
直线的点斜式方程
直线l经过点P0（-2，3），且倾斜角α＝45°，求直线l 的点斜式方程，并画出直线.
直线l的斜率k=tan45°=1 由直线的点斜式方程得y-3=x+2
y A
P
0
令x=-1，得y=4
O
x
直线的点斜式方程
2.判断A（1，3），B（5，7），C（10，12）三点是否共线， 并说明理由. 3.已知点A（7，-4），B（-5，6），求线段AB的垂直平分线 的方程. 4.一条直线经过点A（2，-3），并且它的斜率是直线y= 1 x
3
的斜率的2倍，求这条直线的方程.
直线的点斜式方程
5.求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点A（3，2），且与直线4x+y-2=0平行； （2）经过点C（2，-3），且平行于过点M（1，2）和N（-1，-5） 的直线； （3）经过点B（3，0），且与直线2x+y-5=0垂直.
x 显然，过点P0（x0,y0），斜率为k的直线 上的每一点的坐标都满足该方程
反之，坐标满足该方程的点都在直线l上
直线的点斜式方程
经过点P0（x0,y0）,且斜率为k的直线l的方程为y-y0=k(x-x0)
y
A
当直线l的倾斜角为0°时，k＝0
P
此时直线与x轴平行或重合
0
O
x 方程为y-y0=0，即y=y0
直线的斜截式方程
如果直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b)，直线l如何表示？
y
将点的坐标代入直线的点斜式方程，得
y-b=kx 即 y=kx+b
人教版高中数学选修一2.2.1 直线的点斜式方程 课件
2.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.
3.当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是y=0;当直线
与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴的
方程是x=0.
小试牛刀
1.直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率是(
∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.
归纳总结
点斜式方程的求法
(1)求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上
一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.
(2)斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程x=x0.
跟踪训练
方程
使用范围
y=kx+b 斜率存在的直线
点睛 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负
数和0.当直线过原点时,它的横截距和纵截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距,如直线y=2x-1的斜率
k=2,纵截距为-1.
A.2
B.-1
C.3
D.-3
)
答案:C
y-y 0
2.方程 k=
x-x 0
与 y-y0=k(x-x0)一样吗?
答案:不一样.后者表示过点(x0,y0)且斜率为k的一条直线,前者是这条直线上挖去了一
个点(x0,y0).
二、直线的斜截式方程
名称 已知条件
斜
截
式
斜率 k 和
在 y 轴上
的截距 b
3.当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是y=0;当直线
与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴的
方程是x=0.
小试牛刀
1.直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率是(
∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.
归纳总结
点斜式方程的求法
(1)求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上
一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.
(2)斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程x=x0.
跟踪训练
方程
使用范围
y=kx+b 斜率存在的直线
点睛 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负
数和0.当直线过原点时,它的横截距和纵截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距,如直线y=2x-1的斜率
k=2,纵截距为-1.
A.2
B.-1
C.3
D.-3
)
答案:C
y-y 0
2.方程 k=
x-x 0
与 y-y0=k(x-x0)一样吗?
答案:不一样.后者表示过点(x0,y0)且斜率为k的一条直线,前者是这条直线上挖去了一
个点(x0,y0).
二、直线的斜截式方程
名称 已知条件
斜
截
式
斜率 k 和
在 y 轴上
的截距 b
高中数学人教A版必修二 3.2.1 直线的点斜式方程 课件(30张)
例 3 已知直线 l 过点 A(2，－3)． (1)若 l 与直线 y＝－2x＋5 平行，求其方程； (2)若 l 与直线 y＝－2x＋5 垂直，求其方程．
【思路分析】 直线 y＝－2x＋5 的斜率 k＝－2. (1)根据两直线平行与斜率的关系可得直线 l 的斜率为－2， 进而可用点斜式求解或直接设出 l 的方程为 y＝－2x＋b，用待定 系数法求 b. (2)根据两直线垂直与斜率的关系可得直线 l 的斜率为12，进 而用点斜式求解或直接设出 l 的斜截式方程 y＝12x＋c，用待定系 数法求 c.
探究 2 斜截式方程 y＝kx＋b 是点斜式方程的特殊情况，使 用前提也是斜率存在，用待定系数法求直线方程时，常采用此种 形式，其中 b∈R.与 l：y＝kx＋b 平行的直线方程可设为 y＝kx ＋c；与 l 垂直的直线方程可设为 y＝－1kx＋c(k≠0)，其中 c 为待 定系数，直线的斜率均存在．
【解析】 方法一：(1)∵l 与 y＝－2x＋5 平行，∴kl＝－2. 由直线的点斜式方程知 y＋3＝－2(x－2)， 即 l：2x＋y－1＝0. (2)∵直线 y＝－2x＋5 的斜率为 k＝－2，l 与其垂直， ∴kl＝12. 由直线的点斜式方程知 l：y＋3＝12(x－2)， 即 x－2y－8＝0.
(2)∵k＝tan60°，∴y＝ 3x＋5.
(3)∵k＝tan150°＝－
33，∴y＝－
3 3 x.
思考题 2 一直线在 x 轴截距为 4，在 y 轴截距为－2.求直 线方程．
【解析】 由题意知直线过(4，0)，(0，－2)点， ∴k＝12，∴直线方程为 y＝12x－2.
题型三 平行、垂直条件与直线方程
例 2 写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率是 3，在 y 轴上的截距是－3； (2)倾斜角是 60°，在 y 轴上的截距是 5； (3)倾斜角是 150°，在 y 轴上的截距是 0.
【思路分析】 直线 y＝－2x＋5 的斜率 k＝－2. (1)根据两直线平行与斜率的关系可得直线 l 的斜率为－2， 进而可用点斜式求解或直接设出 l 的方程为 y＝－2x＋b，用待定 系数法求 b. (2)根据两直线垂直与斜率的关系可得直线 l 的斜率为12，进 而用点斜式求解或直接设出 l 的斜截式方程 y＝12x＋c，用待定系 数法求 c.
探究 2 斜截式方程 y＝kx＋b 是点斜式方程的特殊情况，使 用前提也是斜率存在，用待定系数法求直线方程时，常采用此种 形式，其中 b∈R.与 l：y＝kx＋b 平行的直线方程可设为 y＝kx ＋c；与 l 垂直的直线方程可设为 y＝－1kx＋c(k≠0)，其中 c 为待 定系数，直线的斜率均存在．
【解析】 方法一：(1)∵l 与 y＝－2x＋5 平行，∴kl＝－2. 由直线的点斜式方程知 y＋3＝－2(x－2)， 即 l：2x＋y－1＝0. (2)∵直线 y＝－2x＋5 的斜率为 k＝－2，l 与其垂直， ∴kl＝12. 由直线的点斜式方程知 l：y＋3＝12(x－2)， 即 x－2y－8＝0.
(2)∵k＝tan60°，∴y＝ 3x＋5.
(3)∵k＝tan150°＝－
33，∴y＝－
3 3 x.
思考题 2 一直线在 x 轴截距为 4，在 y 轴截距为－2.求直 线方程．
【解析】 由题意知直线过(4，0)，(0，－2)点， ∴k＝12，∴直线方程为 y＝12x－2.
题型三 平行、垂直条件与直线方程
例 2 写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率是 3，在 y 轴上的截距是－3； (2)倾斜角是 60°，在 y 轴上的截距是 5； (3)倾斜角是 150°，在 y 轴上的截距是 0.
高中数学人教A版必修二3.2.1直线的点斜式方程课件
时直线 l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式
表示．这时，直线 l上每一点的横坐标都等于 x0，所
以它的方程就是
x x0 0 ，或 x x0
yl
故 y轴所在直线的方程是：
x0
O
x
典型例题
例1 直线 l经过点 P0 2,3，且倾斜角 45，
求直线 l 的点斜式方程，并画出直线 l ．
解：直线 l经过点 P0 2,3，斜率 k tan 45 1，
视察方程 y kx b ，它的情势具有什么特点？
我们发现，左端 y的系数恒为1，右端 x的系数
k 和常数项 b均有明显的几何意义： k是直线的斜率， b是直线在 y 轴上的截距．
斜截式是点斜式的特例。只适用于斜率存在的情形。 直线在坐标轴上的横、纵截距及求法： 截距的值是实数，它是坐标值，不是距离
3.2.1 直线的点斜式方程
复习
1.倾斜角 的定义及其取值范围;
2. 已知直线上两点P(x1, y1),Q(x2, y2 ),如果x2 x1, 那么直线PQ的斜率.
y
Q(x2 , y2 )
P(x1, y1)
OB
x
直线的倾斜角的取值范围是:[00, 1800)
k y2 y1 y tan
件是什么？
解： 于是我们得到，对于直线：
l1 : y k1x b1，l2 : y k2x b2
,且
；
知识小结
（1）直线的点斜式方程：
y y0 kx x0
（2）直线的斜截式方程:
y kxb
y 直线l的斜率为k l
O P0
x
y
直线l的斜率为k
l
b
O
x
经过探究，上述两条都成立，所以这个方程就是
高中数学人教新课标B版必修2《3.2.1直线的点斜式方程》课件
3.思考：视察方程y=kx+b，它的情势具有 什么特点？
与一次函数的表达式类似
一次函数y=kx+b(k≠0): (1)图象是一条直线; (2)x的系数k是直线的斜率；
直线y=-2x+3的斜 率和在y轴上的截 距分别是？
(3)常数项b是直线在y轴上的截距.
4.写出下列直线的斜截式方程
(1)斜率为2，在y轴上 的截距为5；
结论：l1 : y=k1x+b1 l2 : y=k2x+b2
(1)l1
// l2Βιβλιοθήκη kb11k2 b2
(2)l1 ⊥l2 ⇔k1 • k2 = -1
2.已知直线y = ax - 2和y = - a x+1互相垂直， 2
则a = 2 .
3.若直线l1 :
2
y
=
-
2 a
x
-
1 a
与直线l2
:
y
=
3x
-1互相平行，
3.2.1 直线的点斜 式方程
一、回忆
在直角坐标系内确定一条直线的几何要 素:
❖ 1.两个点: P1(x1,y1)，P2(x2,y2) ❖ 2.一个点+倾斜角: P0(x0,y0)+k
二、直线的点斜式方程
1.已知直线l经过点P0(x0, y0 ),且斜率为k.则直线l上
任意一点P(x, y)的坐标满足什么关系？
则a =
3
.
4.当a为何值时，直线l1 : y = -x+2a与直线 l2：y = (a2 - 2)x+2平行？
a -1
课堂小结
( ) 1.直线的点斜式方程： y - y0 = k x - x0
高中数学选择性必修一(人教版)《2.2.1直线的点斜式方程》课件
xy－ －yx00.
()
(2)直线 y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)． ( )
答案：(1)× (2)√
2．若直线 l 的点斜式方程是 y－2＝3(x＋1)，则直线 l 的斜率是
A．2
B．－1
()
C．3
D．－3
解析：由直线的点斜式方程可知直线 l 的斜率是 3.
答案：C
3 ． 过 点 ( － 1,2) ， 且 倾 斜 角 为 135°的 直 线 的 点 斜 式 方 程 为 ________．
答案：B
题型一 直线的点斜式方程 [学透用活]
[典例 1] 写出下列直线的点斜式方程． (1)经过点 A(2,5)，且与直线 y＝2x＋7 平行； (2)经过点 C(－1，－1)，且与 x 轴平行； (3)经过点 D(1,2)，且与 x 轴垂直．
[解] (1)由题意知，直线的斜率为 2，所以其点斜式方程为 y－5＝2(x－2)．
谢 谢观看
[对点练清] 已知直线 l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形， 求 l 的斜截式方程． 解：设直线方程为 y＝16x＋b，则当 x＝0 时，y＝b； y＝0 时，x＝－6b.由已知可得12·|b|·|－6b|＝3， 即 6|b|2＝6，∴b＝±1. 故所求直线 l 的斜截式方程为 y＝16x＋1 或 y＝16x－1.
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前 提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在 y 轴上，就可以直 接用斜截式表示．
(2)直线的斜截式方程 y＝kx＋b 中只有两个参数，因此要确 定直线方程，只需知道参数 k，b 的值即可．
(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率 k，只 需引入参数 b；同理，如果已知截距 b，只需引入参数 k.
《直线的点斜式方程》PPT课件
l2 : y k2 x b2
l1 ∥ l2 k1 k2,且b1 b2
l1 l2 k1 k2 1
练习
1、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5）， 求直线l的方程
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
kl
5 5 2
23
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得
y－(－5) =－2 ( x－3 ) 即 2x + y －1 = 0
y0
l
x O
直线上任意点 纵坐标都等于y0
l与x轴平行或重合 倾斜角为0° 斜率k=0
y y0 0 (x x0 )
y y0 0
y y0
点斜式方程
y
l
l与x轴垂直
P0(x0,y0)
倾斜角为90°
x
O
x0
直线上任意点 横坐标都等于x0
斜率k 不存在 不能用点斜式求方程
x x0 0 x x0
代入点斜式得
y
y－3 = x + 2
P1 °°5
°
-5 O
斜截式方程
y
a
设直线经过点P0( 0, b )，其斜
率为k，求直线方程。
P0(0,b)
解：y b k(x 0)
y kx b
x
斜截式
斜率
截距
当知道斜率和截距时用斜截式
斜截式方程的应用：
斜截式方程:y = k x + b 几何意义：k 是直线的斜率，b是直线 在y轴上的截距
当90 180时，k 0
0时，k 0
90时，k不存在
复习回顾
平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其
斜率分别为k1、k2，有
l1 ∥ l2 k1 k2,且b1 b2
l1 l2 k1 k2 1
练习
1、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5）， 求直线l的方程
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
kl
5 5 2
23
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得
y－(－5) =－2 ( x－3 ) 即 2x + y －1 = 0
y0
l
x O
直线上任意点 纵坐标都等于y0
l与x轴平行或重合 倾斜角为0° 斜率k=0
y y0 0 (x x0 )
y y0 0
y y0
点斜式方程
y
l
l与x轴垂直
P0(x0,y0)
倾斜角为90°
x
O
x0
直线上任意点 横坐标都等于x0
斜率k 不存在 不能用点斜式求方程
x x0 0 x x0
代入点斜式得
y
y－3 = x + 2
P1 °°5
°
-5 O
斜截式方程
y
a
设直线经过点P0( 0, b )，其斜
率为k，求直线方程。
P0(0,b)
解：y b k(x 0)
y kx b
x
斜截式
斜率
截距
当知道斜率和截距时用斜截式
斜截式方程的应用：
斜截式方程:y = k x + b 几何意义：k 是直线的斜率，b是直线 在y轴上的截距
当90 180时，k 0
0时，k 0
90时，k不存在
复习回顾
平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其
斜率分别为k1、k2，有
2.2.1 直线的点斜式方程(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)
建立直线的方程，就是利用确定直线位置的几何要素，
建立直线上任意一点的横坐标x，纵坐标y所满足的关系式．
探究新知
点斜式方程辨析
点斜式方程 y y0 k ( x x0 )
① 点斜式方程由直线的斜率k 与直线上定点P x0 , y0 确定 ；
② 斜截式特点：左边y y0 ，右边 x x0 外为斜率；
x0 2, 则y1 3, 得点P0的坐标为( 2, 3), 画过P0 , P1两点的直
线即可得到直线 l 的图, 如右图所示.
应用新知
变式训练：
求下列直线的点斜式方程：
解析
(1)经过点 D(－1，1)，倾斜角为 0°；
（1）y 1
(2)经过点 B(4，2)，倾斜角为 90°；
（2）x 4
当 k 0 时，直线 l 不经过第三象限， k 0, b 0 ， kb 0 ．
当 k 0, b 0 时，直线 l 也不经过第三象限，
( 2) 若l1 l2 , 则k1 k2 1;
反之, 若k1 k2 1, 则l1 l2 .
应用新知
总结：如何利用直线的斜截式判断两条直线平行或垂直？
对于直线
l1 : y k1 x b1 ,
l2 : y k2 x b2
平行
l1 / / l2 k1 k2 , 且b1 b2
一次函数是直线斜截式方程. 但是直线方程不一定是一次函数.
对于斜截式, 直线方程里斜率可以是0, 但一次函数斜率不能为0.
例如: 对于直线斜截式方程y=kx+b, 当k≠0时, 这个直线方程就是一次函数,
当k=0(即斜率为0)时，y=b就不能称一次函数了，是常函数了.
【全文】直线的点斜式方程-完整PPT课件
(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C(－1，2)，且与y轴平行； (4)过点D(2，1)和E(3，－4). 解 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3[x－(－4)]. (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y －4＝－[x－(－1)].
2.经过点(－1，1)，且斜率是直线 y＝ 22x－2 的斜率的 2 倍的直线方程是( )
A.x＝－1
B.y＝1
C.y－1＝ 2(x＋1) D.y－1＝2 2(x＋1)
解析 由题意知所求直线斜率为 2，故由点斜式知所求直线方程为 y－1＝ 2(x＋1).
答案 C
3.(多填题)已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________， 倾斜角为________，在y轴上的截距为________. 答案 1 45° 0
(2)由 4(2a－1)＝－1，解得 a＝38.故当 a＝38时，l1⊥l2.
角度2 直线过定点问题 【例3－2】 求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限.
证明 法一 直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)， ∴直线l过定点(－2，3). 由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限. 法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
【训练2】 写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
解 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3. (2)∵k＝tan 60°＝ 3，∴所求直线的斜截式方程为 y＝ 3x＋5. (3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2， ∴直线过点(4，0)和(0，－2). ∴k＝－02－－40＝12，∴所求直线的斜截式方程为 y＝12x－2.
高中数学北师大版必修2《第2章 1 1.2 第1课时 直线方程的点斜式》课件
斜截式 斜率 k 和直线在 y 轴上的截距 b
图示
方程 适用范围
y_－__y__0_＝__k_(_x_－__x_0_)_
斜率存在
__y_＝__k_x__＋_ b
4
思考1：直线的点斜式方程能否表示平面内所有的直线？ 提示：不能．不表示倾斜角为90°的直线．
5
2．直线 l 的截距
(1)在 y 轴上的截距：直线与 y 轴的交点(0，b)的 纵坐标 ． (2)在 x 轴上的截距：直线与 x 轴的交点(a,0)的 横坐标 ．
21
[解] (1)法一：易知直线的斜率存在， 设直线方程为y＝k(x－2)，
∵点A(3,4)在直线上， ∴k＝4，∴y＝4×(x－2)＝4x－8， ∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.
22
法二：由于直线过点A(3,4)和点(2,0)， 则直线的斜率k＝43－－02＝4， 由直线的点斜式方程得y－0＝4×(x－2)＝4x－8， ∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8. (2)因为直线x＋y＝0的方程可化为y＝－x，斜率为－1， 直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3， 所以所求直线方程的斜截式为y＝－x＋3.
3 2
(x＋7)
[(1)k＝tan 135°＝－1，由
直线的点斜式方程得y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
(2)由直线与x轴交点的横坐标为－7，得直线过点(－7,0)．
又斜率为 23， 所以所求直线的点斜式方程为：
y－0＝ 23(x＋7)．]
16
【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
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1.2 直线的方程 第一课时 直线方程的点斜式
[学习目标] 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程． 2.结合具 体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在 y 轴上的截距的含义． 3. 会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.
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随堂基础巩固
课后课时精练
【主干自填】 1．直线方程的点斜式和斜截式
[解] (1)直线斜率为 tan45°＝1， ∴直线方程为 y－4＝x＋1. (2)直线斜率不存在，直线平行于 y 轴， ∴所求直线方程为 x＝4. (3)直线斜率为 tan60°＝ 3， ∴所求直线的方程为 y＝ 3x. (4)直线斜率为 0，∴直线方程为 y＝1.
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解 (1)设直线的倾斜角为 α， ∵α＝60°，k＝tanα＝tan60°＝ 3， ∴所求直线的点斜式方程为 y－1＝ 3(x－3)．
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答案
(2)由直线与 x 轴交点的横坐标为－7 得直线过点(－7,0)， 又斜率为 23， 由直线方程的点斜式得 y－0＝ 23[x－(－7)]， 即 y＝ 23(x＋7).
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提示
(2)过点(2,1)且垂直于 x 轴或 y 轴的直线方程是怎样的？
提示：x＝2，y＝1.
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提示
(3)经过 y 轴上一点(0，b)且斜率为 k 的直线方程是什么？
提示：设直线上除(0，b)外任一点坐标为(x，y)，则y－x b＝k，即 y＝kx ＋b.点(0，b)也满足该式，∴直线方程为 y＝kx＋b.
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2．垂直于坐标轴的直线
直线过点 直线的特点 方程形式
(x0，y0) 垂直于 x 轴 x＝x0 垂直于 y 轴 y＝y0
3．截距的概念
(1)在 y 轴上的截距：直线与 y 轴的交点(0，b)的 □03 纵坐标． (2)在 x 轴上的截距：直线与 x 轴的交点(a,0)的 □04 横坐标．
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答案
类题通法 点斜式方程使用的条件是直线的斜率必须存在，因此解答本题要先判断 直线的斜率是否存在.若存在，求出斜率，利用点斜式写出方程；若不存在， 直接写出方程 x＝x0.
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[变式训练1] 根据下列条件写出直线方程的点斜式． (1)经过点(3,1)，倾斜角为 60°； (2)斜率为 23，与 x 轴交点的横坐标为－7.
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提示
4．直线方程 y＝kx＋b(k＋b＝0，k≠0)表示的图形可能是( )
提示：B 解法一：因为直线方程为 y＝kx＋b，且 k≠0，k＋b＝0，即 k ＝－b，所以令 y＝0，得 x＝－bk＝1，所以直线与 x 轴的交点为(1,0)．只有选 项 B 中图形符合要求．
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【即时小测】 1．思考下列问题 (1)若直线经过点 P0(x0，y0)，且斜率为 k，则该直线上任意一点的坐标满 足什么关系？
提示：设 P(x，y)是直线上除 P0 外任意一点，那么xy－ －yx00＝k，∴y－y0＝ k(x－x0)，点 P0 也满足该式，这就是直线的方程．
选项 A 中，k>0，b>0，则 k＋b>0，不符合要求； 选项 B 中，k>0，b<0，图形可能符合要求； 选项 C 中，k<0，b＝0，则 k＋b<0，不符合要求； 选项 D 中，k<0，b<0，则 k＋b<0，不符合要求.
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3．已知直线的方程是 y＋2＝－x－1，则( ) A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为 1
提示：C ∵直线方程 y＋2＝－x－1， 可化为 y－(－2)＝－[x－(－1)]， 故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.
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提示
解法二：已知 k＋b＝0，所以 k＝－b，代入直线方程，可得 y＝－bx＋b， 即 y＝－b(x－1)．又 k≠0，所以 b≠0，所以直线必过点(1,0)．只有选项 B 中 图形符合要求．
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提示
解法三：由直线方程为 y＝kx＋b，可得直线的斜率为 k，在 y 轴上的截 距为 b.因为 k＋b＝0，所以 k＝－b，即直线的斜率与直线在 y 轴上的截距互 为相反数．
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答案
例 2 (1)写出斜率为 2，在 y 轴上截距是 3 的直线方程的斜截式． (2)已知直线 l 的方程是 2x＋y－1＝0，求直线的斜率 k，在 y 轴上的截距 b，以及与 y 轴交点 P 的坐标． [解] (1)∵直线的斜率为 2，在 y 轴上截距是 3， ∴直线方程的斜截式为 y＝2x＋3. (2)把直线 l 的方程 2x＋y－1＝0 化为斜截式为 y＝－2x＋1， ∴k＝－2，b＝1，点 P 的坐标为(
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提示
2．过点 P(－2,0)，斜率为 3 的直线方程是( ) A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2 C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
提示：D 由点斜式得 y－0＝3(x＋2)，即 y＝3(x＋2)．
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例 1 根据条件写出下列直线方程的点斜式． (1)经过点 A(－1,4)，倾斜角为 45°； (2)经过点 B(4,2)，倾斜角为 90°； (3)经过原点，倾斜角为 60°； (4)经过点 D(－1,1)，倾斜角为 0°.
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[学习目标] 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程． 2.结合具 体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在 y 轴上的截距的含义． 3. 会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.
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【主干自填】 1．直线方程的点斜式和斜截式
[解] (1)直线斜率为 tan45°＝1， ∴直线方程为 y－4＝x＋1. (2)直线斜率不存在，直线平行于 y 轴， ∴所求直线方程为 x＝4. (3)直线斜率为 tan60°＝ 3， ∴所求直线的方程为 y＝ 3x. (4)直线斜率为 0，∴直线方程为 y＝1.
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解 (1)设直线的倾斜角为 α， ∵α＝60°，k＝tanα＝tan60°＝ 3， ∴所求直线的点斜式方程为 y－1＝ 3(x－3)．
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答案
(2)由直线与 x 轴交点的横坐标为－7 得直线过点(－7,0)， 又斜率为 23， 由直线方程的点斜式得 y－0＝ 23[x－(－7)]， 即 y＝ 23(x＋7).
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提示
(2)过点(2,1)且垂直于 x 轴或 y 轴的直线方程是怎样的？
提示：x＝2，y＝1.
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提示
(3)经过 y 轴上一点(0，b)且斜率为 k 的直线方程是什么？
提示：设直线上除(0，b)外任一点坐标为(x，y)，则y－x b＝k，即 y＝kx ＋b.点(0，b)也满足该式，∴直线方程为 y＝kx＋b.
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2．垂直于坐标轴的直线
直线过点 直线的特点 方程形式
(x0，y0) 垂直于 x 轴 x＝x0 垂直于 y 轴 y＝y0
3．截距的概念
(1)在 y 轴上的截距：直线与 y 轴的交点(0，b)的 □03 纵坐标． (2)在 x 轴上的截距：直线与 x 轴的交点(a,0)的 □04 横坐标．
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答案
类题通法 点斜式方程使用的条件是直线的斜率必须存在，因此解答本题要先判断 直线的斜率是否存在.若存在，求出斜率，利用点斜式写出方程；若不存在， 直接写出方程 x＝x0.
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[变式训练1] 根据下列条件写出直线方程的点斜式． (1)经过点(3,1)，倾斜角为 60°； (2)斜率为 23，与 x 轴交点的横坐标为－7.
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4．直线方程 y＝kx＋b(k＋b＝0，k≠0)表示的图形可能是( )
提示：B 解法一：因为直线方程为 y＝kx＋b，且 k≠0，k＋b＝0，即 k ＝－b，所以令 y＝0，得 x＝－bk＝1，所以直线与 x 轴的交点为(1,0)．只有选 项 B 中图形符合要求．
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【即时小测】 1．思考下列问题 (1)若直线经过点 P0(x0，y0)，且斜率为 k，则该直线上任意一点的坐标满 足什么关系？
提示：设 P(x，y)是直线上除 P0 外任意一点，那么xy－ －yx00＝k，∴y－y0＝ k(x－x0)，点 P0 也满足该式，这就是直线的方程．
选项 A 中，k>0，b>0，则 k＋b>0，不符合要求； 选项 B 中，k>0，b<0，图形可能符合要求； 选项 C 中，k<0，b＝0，则 k＋b<0，不符合要求； 选项 D 中，k<0，b<0，则 k＋b<0，不符合要求.
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3．已知直线的方程是 y＋2＝－x－1，则( ) A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为 1
提示：C ∵直线方程 y＋2＝－x－1， 可化为 y－(－2)＝－[x－(－1)]， 故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.
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解法二：已知 k＋b＝0，所以 k＝－b，代入直线方程，可得 y＝－bx＋b， 即 y＝－b(x－1)．又 k≠0，所以 b≠0，所以直线必过点(1,0)．只有选项 B 中 图形符合要求．
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解法三：由直线方程为 y＝kx＋b，可得直线的斜率为 k，在 y 轴上的截 距为 b.因为 k＋b＝0，所以 k＝－b，即直线的斜率与直线在 y 轴上的截距互 为相反数．
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例 2 (1)写出斜率为 2，在 y 轴上截距是 3 的直线方程的斜截式． (2)已知直线 l 的方程是 2x＋y－1＝0，求直线的斜率 k，在 y 轴上的截距 b，以及与 y 轴交点 P 的坐标． [解] (1)∵直线的斜率为 2，在 y 轴上截距是 3， ∴直线方程的斜截式为 y＝2x＋3. (2)把直线 l 的方程 2x＋y－1＝0 化为斜截式为 y＝－2x＋1， ∴k＝－2，b＝1，点 P 的坐标为(
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2．过点 P(－2,0)，斜率为 3 的直线方程是( ) A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2 C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
提示：D 由点斜式得 y－0＝3(x＋2)，即 y＝3(x＋2)．
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例 1 根据条件写出下列直线方程的点斜式． (1)经过点 A(－1,4)，倾斜角为 45°； (2)经过点 B(4,2)，倾斜角为 90°； (3)经过原点，倾斜角为 60°； (4)经过点 D(－1,1)，倾斜角为 0°.
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