期权定价B-S期权定价公式(2)
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2. 如果 f S, t 不满足BSM方程，它是某种衍生工具的
价格，那么该衍生工具的交易必然导致套利机会
17
风险中性定价(risk-neutral valuation)
1. Black-Scholes-Merton方程不包含股票收益率，说 明衍生工具的价值与投资者的风险偏好无关。因此， 在定价衍生工具时，可以采用任何风险偏好，特别地， 可以假设投资者是风险中性的
dS Sdt Sdz ， dS dt dz
S ：单位时间内股价的期望收益率(瞬时)
：股价的波动率
S : t, t .
S
2. S为股价过程，则
dG
G S
S
G t
1 2
2G S 2
2
S
2
dt
G S
Sdz
9
股价过程——对数正态分布
1. 股价对数过程， G ln S
dG @d ln S S 2 2 dt dz
3. 由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是相
同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合可
以消除掉Wiener过程。
1个单位衍生工具空头，
f S
份股票
4. 把上述投资组合的价值记作
f f S S
f
f S
S
f t
1 2
2 f S 2
2
S
2
t
14
BSM随机微分方程——推导
5. 组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的
在风险中性世界中，所有证券的期望收益率都等于无 风险利率
2. 风险中性定价的一般程序
假设标的资产的期望收益率等于无风险利率 计算衍生工具在到期日的期望支付(payoff) 把期望支付按无风险利率贴现
3. 风险中性定价是求解BSM方程的一种人造方法，用该 方法求得的解适用于任何投资者(不仅限于风险中性 的投资者)
rt
f t
1 2
2 f S 2
2
S
2
t
r
f
f S
S
t
f t
rS f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
6. 股票衍生工具都满足上述方程，不同工具的差异体现 在边界条件上
欧式买权：当t=T时，f max S X 欧式卖权：当t=T时，f max X S
15
BSM随机微分方程——应用于股票远期
刻的概率分布不依赖于股价过去的路径
股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的 技术分析不能战胜市场 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性
3
Wiener过程(布朗运动)——定义
1. 瞬时增量为z t
增量的均值等于0
增量的标准差等于 t
2. 在任意两个微小时间段内的改变量是独立的 Wiener过程是Markov过程
ln ST S0 : 2 2 T, T ln ST : ln S0 2 2 T, T
2. 称股价呈对数正态分布
E ST S0eT
var ST
S02e 2 T
e
2T
1
10
股价过程——收益率分布
1. 股票收益率(长时间尺度)
ST S0eT
或者， 1 ln ST
dx adt bdz
漂移速度a是常数 b是常数
2. x是广义Wiener过程
增量 xT x0 为正态分布，均值等于 aT
标准差为 b T
6
Ito引理
www.3722.cn中国最庞大的数据库下载
1. x是Ito过程，如果
dx a x,tdt b x,tdz
2. Ito引理：G是x与t的函数，在一定的正则条件下，
股票远期的价格满足BSM方程
f S KerTt
f t
rKerT t , f S
1,
2 f S 2
0
f t
rS f S
1 2S2
2
2 f S 2
rKerT t
rS
rf
16
BSM随机微分方程
1. BSM的任何解 f S, t 都是某种可以交易的衍生工具
的理论价格，并且它的交易不会导致套利机会
第六章
期权定价
教学内容
1. 股价过程 2. BSM随机微分方程 3. 风险中性定价 4. B-S期权定价公式 5. 标的资产支付连续红利情况下的期权定价 6. 欧式指数期权、外汇期权和期货期权
2
马尔科夫过程(Markov process)
1. 无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关 2. 如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时
18
风险中性定价——应用于股票远期
1. 边界条件： fT ST K
2.
根据风险中性定价原则，
f
e
rT
t
) E
er
T
t
) E
ST K ST erT t K
erT terT t S erT t K
S erT t K
19
欧式期权定价
1. 期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的 前面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解 决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。 在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工 作出现在1973年——金融学家F. Black与M. Scholes发表了“期权定价与公司负债”的著名论文
12
BSM随机微分方程——推导
1. f表示股票衍生工具的价值，则它是股价与时间的函数
dS Sdt Sdz
df
f S
S
f t
1 2 f 2 S 2
2
S
2
dt
f Sdz
S
2. 离散形式
S St Sz
f
f S
S f
t
1 2
2 f S 2
2
S
2
t
f S百度文库
Sz
13
BSM随机微分方程——推导
4
Wiener过程(布朗运动)——基本性质
1. Wiener过程(长时间段内)的增量
N
z T z 0 i t i 1
N T t
增量的均值等于0
增量的标准差等于 T
2. 在任意时间段内的期望路径长度为无穷大 3. 在任意时间段内，z取某一给定值的期望次数等于无
穷大
5
广义Wiener过程
1. x是广义Wiener过程，如果
T S0
:
2
2
,
T
2. 与瞬时期望收益率的差异
S : t, t
S
3. 约定：在没有特别声明的情况下，股票收益率指瞬时
期望收益率
11
BSM随机微分方程——假设
1. 股价过程为Ito过程 2. 卖空无限制 3. 没有交易成本、税收，证券是无限可分的 4. 衍生工具在到期之前不产生红利 5. 不存在套利机会 6. 证券可以连续交易 7. 所有期限的无风险利率同为常数
dG
G x
a
G t
1 2
2G x 2
b2
dt
G x
bdz
因此，G也是Ito过程
7
Ito引理——应用于股票远期价格
1. 标的资产为不分红的股票，则远期价格为
F0 S0erT
F SerT t
2. 运用Ito引理，得到，
dF r Fdt Fdz
8
股价过程
1. 股价过程：几何布朗运动
价格，那么该衍生工具的交易必然导致套利机会
17
风险中性定价(risk-neutral valuation)
1. Black-Scholes-Merton方程不包含股票收益率，说 明衍生工具的价值与投资者的风险偏好无关。因此， 在定价衍生工具时，可以采用任何风险偏好，特别地， 可以假设投资者是风险中性的
dS Sdt Sdz ， dS dt dz
S ：单位时间内股价的期望收益率(瞬时)
：股价的波动率
S : t, t .
S
2. S为股价过程，则
dG
G S
S
G t
1 2
2G S 2
2
S
2
dt
G S
Sdz
9
股价过程——对数正态分布
1. 股价对数过程， G ln S
dG @d ln S S 2 2 dt dz
3. 由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是相
同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合可
以消除掉Wiener过程。
1个单位衍生工具空头，
f S
份股票
4. 把上述投资组合的价值记作
f f S S
f
f S
S
f t
1 2
2 f S 2
2
S
2
t
14
BSM随机微分方程——推导
5. 组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的
在风险中性世界中，所有证券的期望收益率都等于无 风险利率
2. 风险中性定价的一般程序
假设标的资产的期望收益率等于无风险利率 计算衍生工具在到期日的期望支付(payoff) 把期望支付按无风险利率贴现
3. 风险中性定价是求解BSM方程的一种人造方法，用该 方法求得的解适用于任何投资者(不仅限于风险中性 的投资者)
rt
f t
1 2
2 f S 2
2
S
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f t
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1 2S2
2
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6. 股票衍生工具都满足上述方程，不同工具的差异体现 在边界条件上
欧式买权：当t=T时，f max S X 欧式卖权：当t=T时，f max X S
15
BSM随机微分方程——应用于股票远期
刻的概率分布不依赖于股价过去的路径
股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的 技术分析不能战胜市场 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性
3
Wiener过程(布朗运动)——定义
1. 瞬时增量为z t
增量的均值等于0
增量的标准差等于 t
2. 在任意两个微小时间段内的改变量是独立的 Wiener过程是Markov过程
ln ST S0 : 2 2 T, T ln ST : ln S0 2 2 T, T
2. 称股价呈对数正态分布
E ST S0eT
var ST
S02e 2 T
e
2T
1
10
股价过程——收益率分布
1. 股票收益率(长时间尺度)
ST S0eT
或者， 1 ln ST
dx adt bdz
漂移速度a是常数 b是常数
2. x是广义Wiener过程
增量 xT x0 为正态分布，均值等于 aT
标准差为 b T
6
Ito引理
www.3722.cn中国最庞大的数据库下载
1. x是Ito过程，如果
dx a x,tdt b x,tdz
2. Ito引理：G是x与t的函数，在一定的正则条件下，
股票远期的价格满足BSM方程
f S KerTt
f t
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1,
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0
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1 2S2
2
2 f S 2
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16
BSM随机微分方程
1. BSM的任何解 f S, t 都是某种可以交易的衍生工具
的理论价格，并且它的交易不会导致套利机会
第六章
期权定价
教学内容
1. 股价过程 2. BSM随机微分方程 3. 风险中性定价 4. B-S期权定价公式 5. 标的资产支付连续红利情况下的期权定价 6. 欧式指数期权、外汇期权和期货期权
2
马尔科夫过程(Markov process)
1. 无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关 2. 如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时
18
风险中性定价——应用于股票远期
1. 边界条件： fT ST K
2.
根据风险中性定价原则，
f
e
rT
t
) E
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T
t
) E
ST K ST erT t K
erT terT t S erT t K
S erT t K
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欧式期权定价
1. 期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的 前面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解 决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。 在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工 作出现在1973年——金融学家F. Black与M. Scholes发表了“期权定价与公司负债”的著名论文
12
BSM随机微分方程——推导
1. f表示股票衍生工具的价值，则它是股价与时间的函数
dS Sdt Sdz
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1 2 f 2 S 2
2
S
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2. 离散形式
S St Sz
f
f S
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1 2
2 f S 2
2
S
2
t
f S百度文库
Sz
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BSM随机微分方程——推导
4
Wiener过程(布朗运动)——基本性质
1. Wiener过程(长时间段内)的增量
N
z T z 0 i t i 1
N T t
增量的均值等于0
增量的标准差等于 T
2. 在任意时间段内的期望路径长度为无穷大 3. 在任意时间段内，z取某一给定值的期望次数等于无
穷大
5
广义Wiener过程
1. x是广义Wiener过程，如果
T S0
:
2
2
,
T
2. 与瞬时期望收益率的差异
S : t, t
S
3. 约定：在没有特别声明的情况下，股票收益率指瞬时
期望收益率
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BSM随机微分方程——假设
1. 股价过程为Ito过程 2. 卖空无限制 3. 没有交易成本、税收，证券是无限可分的 4. 衍生工具在到期之前不产生红利 5. 不存在套利机会 6. 证券可以连续交易 7. 所有期限的无风险利率同为常数
dG
G x
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G t
1 2
2G x 2
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G x
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因此，G也是Ito过程
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Ito引理——应用于股票远期价格
1. 标的资产为不分红的股票，则远期价格为
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2. 运用Ito引理，得到，
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8
股价过程
1. 股价过程：几何布朗运动