期权定价B-S期权定价公式(2)
B-S期权定价公式的简单推导
t),
T t]
（4.19）
对式（6.19）求解：
c SN (d1) Xer (T t ) N (d2 )
（4.20）
详见Hull(8) P232
其中
d1
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
t)
d2
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
则：
S St Sz （4.11）
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
df
( f S f
S
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
f S
Sdz
（4.12）
f
( f S f
S
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
Nt
T
t
，标
当△t0时，我们就可以得到极限的标准布朗
运动：
dz dt
（4.3）
2,普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。
若令漂移率为a,方差率为b2，就可得到变 量x的普通布朗运动：
dx adt bdz
（4.4）
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
（4.16）
在没有套利机会的条件下：
rt
把式（4.14）和（4.16）代入上式得：
金融工程_第11章_期权定价的BS公式.ppt
股票价格如何变化的假设
对数正态分布
对数正态分布和正态分布
未来股票价格分布
未来股票价格的期望值和方差
股票价格变化假设：连续时间模 型
股票价格的对数正态分布特性
dS Sdt Sdz
d ln S ( 2 )dt dz
2
ln
ST
ln
S
~
[(
2
2
)(T
t),
T t]
ln
ST
~ [ln
波动率的估计
波动率估计的注意事项
11.3 B-S公式的基本假设及推 导
BS模型推导
Black-Scholes微分方程的正式推导
dS Sdt Sdz
df ( f S f 1 2 f 2S 2 )dt f Sdz
S
t 2 S 2
S
S St Sz
f
( f S
S
f t
1 2
风险中性定价步骤
应用于股票远期合约
到期日远期合约的价值 ST K
f erT E(ST K )
f erT E(ST ) KerT
E(ST ) SerT f S KerT
应用风险中性定价推导B-S公式
欧式看涨期权到期日的期望价值为 E[max(ST X ,0)]
c er(T t) E[max(ST X ,0)]
S
(
2 )(T
2
t),
T t]
期望值
方差
E(ST ) Se(T t)
var(ST ) S e [e 2 2(Tt) 2 (Tt) 1]
例子
例子
练习
11.2 预期收益率和波动率及其估 计
A、预期收益率
B-S期权定价模型
Black—Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式）Black—Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）,布莱克-肖尔斯期权定价模型Black—Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日,第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton）和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯（Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克（Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表.所以，布莱克-斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型.默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese）赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献.[编辑］B—S期权定价模型(以下简称B-S模型）及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本,所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施.6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷.[编辑](二)荣获诺贝尔经济学奖的B—S定价公式［1]C = S＊N(d1) − Le− rT N（d2)其中：C—期权初始合理价格L-期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N(）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
期权定价的连续模型及BS公式
期权定价的连续模型及BS公式期权定价是金融学中一个重要的问题，它涉及到市场上期权的价格如何形成以及如何计算的问题。
在期权定价的研究中，连续模型和BS公式是常用的工具和方法之一连续模型是指在对期权定价进行建模时，假设资产价格（或指数）是连续的、随机的过程。
这些模型通常是基于随机微分方程的形式，最常见的连续模型是几何布朗运动模型和扩散模型。
其中几何布朗运动是一个经典的连续模型，它是由英国数学家罗伯特·布莱利·布朗提出的。
几何布朗运动的数学表达式是一个随机微分方程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t其中，S_t是资产价格（或指数），\mu是资产的预期收益率，\sigma是资产价格的波动率，dW_t是布朗运动的增量。
这个方程描述了资产价格的变化情况，包括预期收益率和波动率对价格变化的影响。
通过这个方程，可以计算出期权的价格。
另一个常用的连续模型是扩散模型。
扩散模型是在几何布朗运动的基础上进行扩展的模型，它考虑了资产的波动率是随时间变化的情况。
在扩散模型中，资产价格的波动率是一个随机过程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma_t S_t dW_t其中的\sigma_t是时间t上的波动率。
这个模型可以更准确地描绘资产价格的变化情况，特别适用于对期限较长的期权进行定价。
BS（Black-Scholes）公式是一个基于几何布朗运动的连续模型的定价公式。
它是由美国经济学家费希尔·布莱克和美国经济学家默顿·米勒·施尔斯在1973年提出的，被广泛应用于期权定价。
BS公式的数学表达式为：C=S_0N(d_1)-Xe^{-rT}N(d_2)其中，C是看涨期权的价格，S_0是资产的当前价格，N(\cdot)是标准正态分布函数，d_1是一个与标准正态分布相关的变量，d_2是另一个与标准正态分布相关的变量，X是期权的执行价格，r是无风险利率，T是期权的时间到期。
B-S期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式)Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型Black-Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
[编辑]B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
BS期权定价模型
风险中性世界中可交易资产的随机过程
如果某种可交易资产的价格在现实世界中的随机过程为：
则在风险中性世界中其遵循：
根据伊藤引理，其远期合约的价值在风险中性世界中遵 循
理解风险中性定价
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元， 我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元， 要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议 价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
三、风险中性定价原理
在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我 们称之为进入了一个“风险中性世界”）：
– 所有可交易资产的百分比预期收益率都等于无风 险利率r，因为风险中性的投资者并不需要额外 的收益来吸引他们承担风险。
– 同样，在风险中性条件下，所有现金流在求现值 都应该使用无风险利率进行贴现。
第四讲 BS期权定价模型
统计与管理学院
第四讲 BS期权定价模型
第一节 BS期权定价模型的基本思路 第二节 BS期权定价公式 第三节 BS期权定价公式的精确度评价与拓展
第一节 BS期权定价模型的基本思路
股票价格服从的随机过程
dS = mSdt + sSdW
由 Itô 引理可得期权价格相应服从的随机过 程
这就是著名的BS微分分程，它适用于其价格取 决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。
三、风险中性定价原理
观察BS微分方程可以发现，受制于主观的风险收 益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证 券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益 偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。
因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风 险中性的。
二、BS微分方程的推导
BS期权公式
BS期权公式
bs期权定价公式为：C=S·N（d1）-X·exp（-r·T）·N（d2）其中：d1=[ln（S/X）+（r+σ^2/2）T]/（σ√T）
d2=d1-σ·√T
C—期权初始合理价格
X—期权执行价格
S—所交易金融资产现价
T—期权有效期
r—连续复利计无风险利率
σ—股票连续复利（对数）回报率的年度波动率（标准差）
N（d1），N（d2）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：
第1点，这个模型中五风险利率必须是连续复利形式，一个简单的或不连续的无风险利率一般是一年计息一次，而r要求为连续复利利率。
r0必须转化为r方能代入上式计算。
两者换算关系为：r=LN （1+r0）或r0=exp（r）-1例如r0=0.06，则r=LN（1+0.06）=0.0583，即100以583%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用
r0=0.06计算的答案一致。
第2点，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。
如果期权有效期为100天，则T=100/365=0.274.。
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
BS期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。
S 遵循几何布朗运动，即dS dt dz。
S其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（ dz dt ，称为标准布朗运动，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1 的正态分布）中取的一个随机值），为股票价格在单位时间内的期望收益率，则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
和都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3.资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4.该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5.在期权有效期内，无风险利率 r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
1、 Black-Scholes 期权定价模型一) B-S 期权定价公式Black 和 Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的 Black-Schole 微分方程：其中 f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程， Black 和 Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看 涨期权的定价公式： c SN(d 1) Xe r (T t) N(d 2)其中，Ttd ln(S/X) (r 2/2)(T t) dT td 2 d 1T t Tt c 为无收益资产欧式看涨期权价格； N ( x )为标准正态分布变量的累计概率 分布函数(即这个变量小于 x 的概率)，根据标准正态分布函数特性，我们有 N( x) 1 N(x) 。
B-S期权定价法
得出结果 买方期权价格= $7.796 卖期权价格= $1.503
输入当前股票价格，在实物期权测算时，输入项目的预期收益。 输入期权的执行价格，在实物期权时，输入获得项目的成本。 输入期权有效期。 输入同期无风险利率。 输入股票，资产的波动率。 更多的时候我们从金融市场上，观察到期权的价格，然后利用这个表格， 测算出某股票或者某资产所隐含的波动率。
d1 d2
两个中间变量 0.70000 0.60000
N(d1) 0.758036 N(d2) 0.725747
Exhibit 28
A 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Black-Schole's Option Pricing Problem 2 布莱克—斯科尔斯期权定价法的简单计算表
数据输入 股票价格= 执行价格= 有效期= 无风险利率= 波动率= 单位 $100.00 $ $100.00 $ 1.00 年 6.50% % 10.00% % 注解
b-s期权公式课件
连续复利收益率的问题: 尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是
横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是
2和024/的9/1对5 数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的
11
RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
2024/9/15
16
结论
几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过 程。
2024/9/15
17
参数的理解
μ:
几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券的系统性风险、无风险 利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素， 因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，
益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率 （Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ的 单位都是年。
很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的
伊藤过程。也被称为几何布朗运动
2024/9/15
9
为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？
一般认同的“弱式效率市场假说”:
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的 信息。
这个随机过程dG的 (特 征 2:)dt dz 普通布朗运动: 恒定的2 漂移率和恒定的方差率。
金融风险管理课件第5章 B-S期权定价公式
将关于股票价格变化的结论 dS Sdt Sdz 代 入伊藤引理表达式，可以得到
dG ( G G 1 2G 2 2 G S S )dt Sdz S t 2 S 2 S
2011/12/7
第五章 B-S期权定价公式
1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black& Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于 确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起 了强烈反响；同年，Robert C. Merton独立地提 出了一个更为一般化的模型。Scholes和Merton 由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。
24
23
4
2011/12/7
B-S-M微分方程的推导 可以构造这样的投资组合： 1. 卖出一份衍生证券 f 2. 买入S 份股票 则该证券组合的价值为：
f f S S f S S
B-S-M微分方程的推导 在Δt时间内，组合的变化量为 f 1 2 f 2 2 ( S )t t 2 S 2 因为这个方程不含有ΔZ，经过Δt时间后证券组合 必定没有风险。因此，该证券组合的瞬时收益率 一定与其它短期无风险证券的收益率相同，即 rt 代入上式得到 f 1 2 f 2 2 f ( S )t r ( f S )t t 2 S 2 S
z t
其中，ε代表从标准正态分布中取的一个随机值 2. 对于任何两个不同时间间隔，ΔZ的值相互独立 从性质1可以得到， ΔZ~N (0，Δt）；从性质2可 以证明，变量Z服从马尔科夫过程
5
6
1
2011/12/7
B―S期权定价模型为公司股票和债权定价
d1=ln+tσf=d1-σt
σ是股票价格的年化波动率。
另外，我们简单介绍下看涨-看跌平价理论。设计以下交易：1）卖出看涨期权，到期日t，交割价格X。2）买入看跌期权，到期日t，交割价格X。3）买入对应的标的资产。4）借入Xe-rt的资金。令C表示看涨期权价格，P表示看跌期权价格。则期初现金流为：C-P-S+Xe-rt。则到到期日，不论股票价格大于或者小于交割价格X，净现金流均为0，由无套利可知，初始的现金流也该为0。即：P= C-S+Xe-rt=SN-Xe-rtN-S+Xe-rt=Xe-rtN-SN
现在，我们考虑到一个有负债的公司，其资本结构由权益资本和债务资本组成，设V为此公司在t时刻的总价值，E表示t时刻的权益资本，D为t时刻的债务资本价值，根据MM定理有：
V= E+ D
设T时刻公司的债务价值为B= B*T-t即为发行债券时的票面价值），其中rb为借款利率，大于无风险利率r。V为T时刻的公司总价值，它是不确定的，E为T时刻权益的价值。我们假设债务在T时刻进行清算，则到期日T时，若VB，根据上述分析的，股东将执行看涨期权，支付B给债权人，可视为股东以B，即低于公司资产价值的价格向债权人买入公司。股东获得差额E= V- B，即公司股票价格在T时为V- B。相反，若VB，即资不抵债，股东不执行权利，宣布破产，将公司交予债权人，债权人获得公司价值V，而股东一无所获，此时股票的价值将等于0。综上所述，T时债券的价值等于Min[V，B]，而T时股票的价值等于E=Max[V- B，0]。可见，公司股票确实可视为基于公司资产的看涨期权，因此，其价值可以用B-S看涨期权定价公式估计为：子可知，期权的价格只和S，X，r，t，σ这五个变量有关，而前四个变量都可以通过数据观察得到，σ则可以通过历史的价格数据进行估计。投资者的风险偏好和股票的预期收益率没有出现在定价公式中，这正是期权定价方法不同于开篇所述的现金流绝对定价法的地方。
B-S期权定价模型解析
没有交易费用或税收，即无摩擦的市场假设，且所 有证券都是高度可分的。
在期权的有效期内无风险利率和金融资产收益的变 量恒定。
不存在无风险套利机会。 证券交易是连续的，即不存在股票价格的跳跃行为。
投资者能够以相同的无风险利率借款或贷款，无风 险利率r为常数且对所有到期日都相同。
该期权是欧式期权
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
价值变动仅与时间 dt 有关，因此该组合
成功消除了 dz 带来的不确定性 12
根据无套利定价原理，组合收益率应 等于无风险利率 r (无套利机会)：
d rdt
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
r(- f
f S
S )dt
f rS f t S
1、股票价格的运动过程
dS dt dz, dz dt
S
dS ：股票的瞬间收益率
S
：股票的期望瞬间收益率
：股价收益率的瞬间标准差
4
波动率估计
1 观测证券价格的历史数据S0 、 S1 、…… 、 Sn ， 观测时间间隔为t（以年为单位）
2 计算每期以复利计算的回报率
ui＝Ln(Si / Si-1 ), i=1,……,n 3 计算回报率的标准差s
10
（3）B-S微分方程的推导
股票及衍生品的运动过程分别为：
dS Sdt Sdz
df
f S
S f
t
பைடு நூலகம்
1 2
2 S
f
2
2S
2
dt＋
f S
Sdz
为消除不确定性，构造投资组合：
衍生品：－1；股票：＋ f S
7.2 BS定价公式及应用
例10：股票价格为100， 股票波动率年平均标准差 为0.5，无风险利率为10%，期权执行价为95，存 续期为3个月。试计算该股票欧式期权价格。 解： >> [Call,Put] = blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5) Call = 13.6953 Put = 6.3497 把数据输入excel文件计算结果是一样的。
因此,无收益资产看涨期权的内在价值S-Xe-r(T-t),而有收益欧式看 涨期权的内在价值=S-D-Xe-r(T-t)；同理,无收益资产欧式看跌期权 的内在价值都为Xe-r(T-t) –S,有收益资产欧式看跌期权的内在价值 都为Xe-r(T-t) +D–S。
• 美式期权由于可以提前执行,所以,美式期权的内在价值 就应该等于其即时执行的收益,而无需对X进行贴现。对 于美式看涨期权来说,如果标的资产是没有现金收益的, 在期权到期前提前行使无收益美式看涨期权是不明智的 （因为S-X≤S-Xe-r(T-t）） • 因此,无收益资产美式看涨期权内在价值等于欧式看涨 期权内在价值,也就是等于S-Xe-r(T-t),即等于欧式看涨 期权的内在价值。此外,有收益资产美式看涨期权虽然 也有提前执行的可能,但可能性较小,也认为其内在价值 等于S-D-Xe-r(T-t) • 对于美式看跌期权来说,如果无收益,其内在价值等于XS；如果有收益,内在价值等于X+D-S。
Ch 7期权类工具
Section 2 期权定价与计算
（二）Black-scholes模型
1．欧式期权定价公式 （1）无收欧式看涨期权（现货） c=SN(d1)-Ke-rTN(d2)
S 2 ln (r )T 2 d2 K d1 T T
(一)欧式期权定价公式
BLACK-SCHOLES期权定价模型
BLACK-SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
(一)B-S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布；（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S 定价公式)()(21d N Le d SN c rT --=其中:C —期权初始合理价格L —期权交割价格S —所交易金融资产现价T —期权有效期r —连续复利计无风险利率2σ—年度化方差（波动率）N()—正态分布变量的累积概率分布函数，（标准正态分布 μ=0）在此应当说明两点： 第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
期权定价B-S期权定价公式
13
BSM随机微分方程——推导
1. 由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是 相同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合 可以消除掉Wiener过程。
q 1个单位衍生工具空头， 份股票
2. 把上述投资组合的价值记作
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BSM随机微分方程——推导
1. 组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的
2. x是广义Wiener过程
q 增量
为正态分布，均值等于
q 标准差为
6
Ito引理
1. x是Ito过程，如果 2. Ito引理：G是x与t的函数，在一定的正则条件下，
因此，G也是Ito过程
7
Ito引理——应用于股票远期价格
1. 标的资产为不分红的股票，则远期价格为 2. 运用Ito引理，得到，
8
得到审稿意见的情况下遭到拒绝 4. 在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑
打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文 5. 这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先
22
BS期权定价公式——离散红利
1. 不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：股 票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期的时间、 无风险利率以及标的股票的波动率
时刻的概率分布不依赖于股价过去的路径
q 股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技 术分析不能战胜市场
q 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性
3
Wiener过程(布朗运动)——定义
1. 瞬时增量为
q 增量的均值等于0 q 增量的标准差等于
2. 在任意两个微小时间段内的改变量是独立的 Wiener过程是Markov过程
B-S期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
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期权定价
教学内容
1. 股价过程 2. BSM随机微分方程 3. 风险中性定价 4. B-S期权定价公式 5. 标的资产支付连续红利情况下的期权定价 6. 欧式指数期权、外汇期权和期货期权
2
马尔科夫过程(Markov process)
1. 无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关 2. 如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时
2. 如果 f S, t 不满足BSM方程，它是某种衍生工具的
价格，那么该衍生工具的交易必然导致套利机会
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风险中性定价(risk-neutral valuation)
1. Black-Scholes-Merton方程不包含股票收益率，说 明衍生工具的价值与投资者的风险偏好无关。因此， 在定价衍生工具时，可以采用任何风险偏好，特别地， 可以假设投资者是风险中性的
ln ST S0 : 2 2 T, T ln ST : ln S0 2 2 T, T
2. 称股价呈对数正态分布
E ST S0eT
var ST
S02e 2 T
e
2T
1
10
股价过程——收益率分布
1. 股票收益率(长时间尺度)
ST S0eT
或者， 1 ln ST
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风险中性定价——应用于股票远期
1. 边界条件： fT ST K
2.
根据风险中性定价原则，
f
e
rT
Hale Waihona Puke t) Eer
T
t
) E
ST K ST erT t K
erT terT t S erT t K
S erT t K
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欧式期权定价
1. 期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的 前面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解 决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。 在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工 作出现在1973年——金融学家F. Black与M. Scholes发表了“期权定价与公司负债”的著名论文
股票远期的价格满足BSM方程
f S KerTt
f t
rKerT t , f S
1,
2 f S 2
0
f t
rS f S
1 2S2
2
2 f S 2
rKerT t
rS
rf
16
BSM随机微分方程
1. BSM的任何解 f S, t 都是某种可以交易的衍生工具
的理论价格，并且它的交易不会导致套利机会
T S0
:
2
2
,
T
2. 与瞬时期望收益率的差异
S : t, t
S
3. 约定：在没有特别声明的情况下，股票收益率指瞬时
期望收益率
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BSM随机微分方程——假设
1. 股价过程为Ito过程 2. 卖空无限制 3. 没有交易成本、税收，证券是无限可分的 4. 衍生工具在到期之前不产生红利 5. 不存在套利机会 6. 证券可以连续交易 7. 所有期限的无风险利率同为常数
dx adt bdz
漂移速度a是常数 b是常数
2. x是广义Wiener过程
增量 xT x0 为正态分布，均值等于 aT
标准差为 b T
6
Ito引理
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1. x是Ito过程，如果
dx a x,tdt b x,tdz
2. Ito引理：G是x与t的函数，在一定的正则条件下，
dS Sdt Sdz ， dS dt dz
S ：单位时间内股价的期望收益率(瞬时)
：股价的波动率
S : t, t .
S
2. S为股价过程，则
dG
G S
S
G t
1 2
2G S 2
2
S
2
dt
G S
Sdz
9
股价过程——对数正态分布
1. 股价对数过程， G ln S
dG @d ln S S 2 2 dt dz
4
Wiener过程(布朗运动)——基本性质
1. Wiener过程(长时间段内)的增量
N
z T z 0 i t i 1
N T t
增量的均值等于0
增量的标准差等于 T
2. 在任意时间段内的期望路径长度为无穷大 3. 在任意时间段内，z取某一给定值的期望次数等于无
穷大
5
广义Wiener过程
1. x是广义Wiener过程，如果
刻的概率分布不依赖于股价过去的路径
股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的 技术分析不能战胜市场 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性
3
Wiener过程(布朗运动)——定义
1. 瞬时增量为z t
增量的均值等于0
增量的标准差等于 t
2. 在任意两个微小时间段内的改变量是独立的 Wiener过程是Markov过程
3. 由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是相
同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合可
以消除掉Wiener过程。
1个单位衍生工具空头，
f S
份股票
4. 把上述投资组合的价值记作
f f S S
f
f S
S
f t
1 2
2 f S 2
2
S
2
t
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BSM随机微分方程——推导
5. 组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的
rt
f t
1 2
2 f S 2
2
S
2
t
r
f
f S
S
t
f t
rS f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
6. 股票衍生工具都满足上述方程，不同工具的差异体现 在边界条件上
欧式买权：当t=T时，f max S X 欧式卖权：当t=T时，f max X S
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BSM随机微分方程——应用于股票远期
在风险中性世界中，所有证券的期望收益率都等于无 风险利率
2. 风险中性定价的一般程序
假设标的资产的期望收益率等于无风险利率 计算衍生工具在到期日的期望支付(payoff) 把期望支付按无风险利率贴现
3. 风险中性定价是求解BSM方程的一种人造方法，用该 方法求得的解适用于任何投资者(不仅限于风险中性 的投资者)
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BSM随机微分方程——推导
1. f表示股票衍生工具的价值，则它是股价与时间的函数
dS Sdt Sdz
df
f S
S
f t
1 2 f 2 S 2
2
S
2
dt
f Sdz
S
2. 离散形式
S St Sz
f
f S
S f
t
1 2
2 f S 2
2
S
2
t
f S
Sz
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BSM随机微分方程——推导
dG
G x
a
G t
1 2
2G x 2
b2
dt
G x
bdz
因此，G也是Ito过程
7
Ito引理——应用于股票远期价格
1. 标的资产为不分红的股票，则远期价格为
F0 S0erT
F SerT t
2. 运用Ito引理，得到，
dF r Fdt Fdz
8
股价过程
1. 股价过程：几何布朗运动