流体力学 第二章一压强规律及平面压力
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2.1 流体静压强及其特性
2.1.1 流体静压强的定义
流体静压强：
静止流体作用在每单位受压面积上的压力。
平均压强
Байду номын сангаас
P p A
点压强
P p lim A 0 A
压强表示方法
①N/m2、kN/m2 或Pa、kPa ②以液柱高度表示：h=p/。可以用水柱，也可用汞柱。 ③以大气压强的倍数表示。 一个标准物理大气压=1.013kg/cm2≈一个工程大气压 =1 kg/cm2=10米水柱=736毫米汞高=98kN/m2=0.1Mpa
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向
静水总压力的方向垂直并指向受压面。
§ 5.1.2 静水总压力的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD
ydP yy sindA sin y
A A
2
dA
y 2 dA I xO
dx 1 p pN p x , y , z p dx 2 2 x
质量力：F
X方向的平衡方程：
Bx
X dxdydz
1 p 1 p dx dydz p dx dydz X dxdydz 0 p 2 x 2 x 1 p 化简得： X 0 x
4.凡是自由表面都是等压面
f ds
静止流体中等压面是水平面。但静止流体中的水平面不一定 都是等压面，静止流体中水平面是等压面必须同时满足静止、同 种流体且相互连通的条件，三个条件缺一不可。
静止流体中等压面是水平面。但静止流体中的水平面不一定 都是等压面，静止流体中水平面是等压面必须同时满足静止、同 种流体且相互连通的条件，三个条件缺一不可。
受压面面积对Ox轴的惯性矩
A
§ 5.1.2 静水总压力的作用点
PyD
ydP yy sindA
A
sin y 2 dA sinI xO
A
yD
sinI xO
P
sinI xO I xO sinyc A yc A
2 I I Ay （惯性矩平行移轴定理） xO xC c
0.6m
B(h) b=0.5m
60°
解：平行力系，采用积分法求解。
在任意水深处的闸板宽度为：
B(h)=0.5+2(0.6-h)cot60°
静水总压力为：
P dP
A h
pdA
A
dh
0.6m
B(h)
b=0.5m
p B( h) dh
0 0.6
60°
h[0.5 2(0.6 h) cot 600 ]dh 1.29 KN
p p p dx dy dz Xdx Ydy Zdz x y z
即：
dp Xdx Ydy Zdz
静压强的分布规律完全由单位质量力决定。
2.3
重力场中流体静压强的分布规律
液体中任一点的压强为：
dp Xdx Ydy Zdz
n
dx dy pz o x y
倾斜面积 d An 的Y轴为法线的投影就是 d Ay。
1 dV d x d y d z 6
1 1 1 dxdzpy dxdzpn dxdydzY 0 2 2 6 当四面体微元趋于M点
时，注意到质量力比起表面 力为高阶无穷小，即得 pn=py，同理有 pn=px，pn=pz
0
压力中心位置：
0.6
Ph D dP h
1 h 2 [0.5 2 (0.6 h) cot 600 ]dh 0.37 m P 0
1 hD dP h P0
h
受压面为梯形，是对称图形，所以其压力中心位于对称轴上。
§2.5 平面上静水总压力计算 2.5.1 图解法（矩形平面）
2
pr oil h 7.8 2.5 19.5kN / m
p0=pat
L 油
300
h
平面上静水总压力计算
§5 作用于平面上的静水总压力
完整的总压力求解包括其大小、方向 、作用点。 作用在水平平面上的液体总压力
p pa gh
Fp pr A ghA
由液体产生的作用在水平平面上的总压力只与液体的密 度、平面面积和淹深有关。即在相同液体、液深和相同的自 由液面上的大气压强下，液体作用在底面积相同的水平平面 上的总压力必然相等，而与容器的形状无关。
•
静压强的大小与作用面的方向无关
在静止流体中取出以M 为顶点的四面体流体微元，它受到的
质量力和表面力必是平衡的，以 y 方向为例，写出平衡方程。
p y d Ay pn d An cos(n, y) Y dV 0
z py dz px pn
1 d An cos(n, y ) d x d z 2
pv=pat-pabs=︱pabs- pat︱= ︱pr︱
2.1.2 流体静压强的特性
• 流体静压强的方向沿作用面的内法线方向
静止流体的应力只有法向分量（流体质
点之间没有相对运动不存在切应力）。
n Pn
法向应力沿内法线方向，即受压的方向
（流体不能受拉），即：流体静压强的方 向总是垂直指向受压面。
2 一封闭水箱，自由表上 面 气 体 绝 对 压 强0p 为78kN/m ，
求 液 面 下 淹 没 深 度 h为 1.5m处 点 C的 绝 对 静 水 压 强 ， 相对 静水压强和真空度。
解： pa b s
p 0 γ w h 78 9.8 1.5
92.7kN/m
2
pr pa b s pa t
国际上规定，一个标准大气压为温度为00C,纬度为45度时 海平面上的压强。1atm＝1.013×105Pa
在工程技术中，一个工程大气压相当于海拔200m处的正常 大气压。1at＝9.8×104Pa
绝对压强、相对压强与真空值 绝对压强： 以设想的不存在任何气体的“完全真空”
（绝对真空）作为计算零点。----pabs 相对压强（计示压强或表压强）： 以当地大气压强为计算零点。---pr 真空值： 当绝对压强小于大气压强时，相对压强为负 值，负值的相对压强的绝对值。-------pv
S1 S2
F2=F1/S1×S2
2.3.2 帕斯卡原理
2.3.3 流体静力学基本方程的意义
•
在静水压强分布公式
z
p C g
中，各项都为长度量纲。
位置势能（位能）： Z 位置水头（水头） ： Z
pA / zA zB
O O
pB /
p 压强势能（压能）： 测压管高度(压强水头) ： g
静止流体的静压强
p = p(x, y, z)，是空间点的连续函数。
2.2
流体平衡微分方程
在静止流体内部任取一点O’，该点的压强为p＝p（x，y，z） 两个受压面abcd和a’b’c’d’中心点M，N 的压强： dx 1 p pM p x , y, z p dx 2 2 x
5.3kN/m
2
92.7 98
p0
h
2
p v p r 5.3kN/m
hv
c
w
pv
0.54m水柱
情况同上例，试问当 点 C 相 对 压 强 p为 8.4 kN/m2时 ， C点 在 自 由 面 下 的 淹 没 深 度 h为 多 少 ？
解：pr pabs pat p0 γ w h pat
P
dp hdA
A A
y sindA sin ydA
A
1．静水总压力的大小
yd A 受压面A对OX轴的静矩
A
ydA y A（面积距定理）
c A
A A A
P
dp hdA y sindA sin ydA
P sin yc A hc A pc A
2.5.1.1 静水压强分布图： b b h
h
h
p=h
平面静水压强分布图一般只画二维图，不必画出三维图。
2.4.1.2 用图解法求矩形平面上的静水总压力
P dp pdA
A A
pdxdy
0 0
b a
dx pdy
0 0
b
a
AP b
dV
§5.1 分析法 § 5.1.1 静水总压力的大小
1．静水总压力的大小
注意坐标 系
微小面元dA上水压力
dP pdA hdA
作用在平面上的总水压力 是平行分布力的合力
P—平面上静水总压力 yc—受压面形心到Ox轴的距离 hc—受压面形心的淹没深度 pc—受压面形心点的压强 A—受压面的面积
h
ppp
r 0
p0
at
γ
w
h
c
代入得
8.4 78 98 h 2.898 m 9.8
有一底部水平侧壁倾斜之油槽，侧壁倾角300，被油湮 没部分壁长L=5m，自由表面上的压强p0=pat=98KN/m2，油的容 重油=7.8KN/m3，问槽底板上压强为多少？
解：h
l sin 30 2.5m
p po gh
（p p0 h）
2.3.2 帕斯卡原理（巴斯加原理）
根据流体静力学基本方程 p p0 h 可知，液面压强p0与液 柱所具有的重量 h 无关，如果液面压强p0增大（或减小） △p，则液体内任意点的压强都将同时增大（或减小）同样 大小的△p。 因此可得出结论：静止流体内任一点的压强变化，会等值 传递到流体的其他各点。这就是帕斯卡原理，或称静压传 递原理。
单位势能： 测压管水头：
p z g
• 敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图
2.3.4 等压面
等压面具有如下性质：
1.等压面与质量力正交 dp Xdx Ydy Zdz =0 Xdx+Ydy+Zdz=0 2.等压面可以是平面也可以是曲面 3.静止液体的等压面是水平面
1 p Y 0 y Y，z方向可得： 1 p Z 0 z
各式相加得：
1 p p p X Y Z 0 x y z
欧拉平衡微分方程的全微分方式： X
进行变换，可得：
1 p 0 x 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
质量力只有重力：X＝Y＝0，Z＝－g，可得：
dp gdz
积分可得：
p gz c
p gz c
由边界条件确定积分常数c，可得：
p c z g g p z C g
p0 p z0 z g g p po g zo z
v
作用点位置：
沿高度（深度）方向：压强分布图的形心。 三角形：距底边 e = L/3 。 矩形：中点e = L / 2。 梯形：距底边
L ( 2 h1 h2 ) e 3 ( h1 h2 )
沿宽度方向：在作用面的对称轴上，即 b/2 处
h1
L P e
P e h2
L
某 泄 洪 隧 洞 ， 在 进 口斜 倾处 设 置 一 矩 形 平 板门 闸， 倾 角 α 为 4 5 ， 门宽b 为3 m 门 ,长 l 为 4 . 5 m ， 顶 门 在水 面 下 淹 没 深 度1 h 为 8 m ， 闸 门 自 重0 3k 0 N ， 问 闸 门 承 受静 的 水 总 压 力 P 为 多 少 ？水 静总 压 力 的 作 用 点 在 里 哪？ 沿 斜 面
o
z
py
dz
px pn
n
dx dy pz y
pn p x p y p z
x
此时，pn，px，py，pz已是同一点（M点）在不同方位作用面上 的静压强，其中斜面的方位 n 又是任取的，这就证明了静压强 的大小与作用面的方位无关。
静压强 p 与作用方向无关，仅
取决于作用点的空间位置；流体是 连续介质 ，因此：p＝ p(x,y,z)。
yD
2 I xC Ayc I yc xC yc A yc A
任何平面图形对任何轴的惯性矩等于 它对平行于该轴的形心轴的惯性矩 与图形面积乘以两平行轴间距平方之和
总压力作用点D一般在受压 面形心C之下； 仅当压强在受压面上均匀分 布时，两者重合。
如图所示，在一底边b为0.5m的梯形水槽中， 铅直插入一块闸板，水槽的边坡角为60°，求闸板所 受的静水总压力和压力中心。 dh 0.6m
2.1.1 流体静压强的定义
流体静压强：
静止流体作用在每单位受压面积上的压力。
平均压强
Байду номын сангаас
P p A
点压强
P p lim A 0 A
压强表示方法
①N/m2、kN/m2 或Pa、kPa ②以液柱高度表示：h=p/。可以用水柱，也可用汞柱。 ③以大气压强的倍数表示。 一个标准物理大气压=1.013kg/cm2≈一个工程大气压 =1 kg/cm2=10米水柱=736毫米汞高=98kN/m2=0.1Mpa
任意形状平面上的静水总压力大 小，等于受压面面积与其形心点 压强的乘积。
2．静水总压力的方向
静水总压力的方向垂直并指向受压面。
§ 5.1.2 静水总压力的作用点
根据合力矩定理，对x轴
PyD
ydP yy sindA sin y
A A
2
dA
y 2 dA I xO
dx 1 p pN p x , y , z p dx 2 2 x
质量力：F
X方向的平衡方程：
Bx
X dxdydz
1 p 1 p dx dydz p dx dydz X dxdydz 0 p 2 x 2 x 1 p 化简得： X 0 x
4.凡是自由表面都是等压面
f ds
静止流体中等压面是水平面。但静止流体中的水平面不一定 都是等压面，静止流体中水平面是等压面必须同时满足静止、同 种流体且相互连通的条件，三个条件缺一不可。
静止流体中等压面是水平面。但静止流体中的水平面不一定 都是等压面，静止流体中水平面是等压面必须同时满足静止、同 种流体且相互连通的条件，三个条件缺一不可。
受压面面积对Ox轴的惯性矩
A
§ 5.1.2 静水总压力的作用点
PyD
ydP yy sindA
A
sin y 2 dA sinI xO
A
yD
sinI xO
P
sinI xO I xO sinyc A yc A
2 I I Ay （惯性矩平行移轴定理） xO xC c
0.6m
B(h) b=0.5m
60°
解：平行力系，采用积分法求解。
在任意水深处的闸板宽度为：
B(h)=0.5+2(0.6-h)cot60°
静水总压力为：
P dP
A h
pdA
A
dh
0.6m
B(h)
b=0.5m
p B( h) dh
0 0.6
60°
h[0.5 2(0.6 h) cot 600 ]dh 1.29 KN
p p p dx dy dz Xdx Ydy Zdz x y z
即：
dp Xdx Ydy Zdz
静压强的分布规律完全由单位质量力决定。
2.3
重力场中流体静压强的分布规律
液体中任一点的压强为：
dp Xdx Ydy Zdz
n
dx dy pz o x y
倾斜面积 d An 的Y轴为法线的投影就是 d Ay。
1 dV d x d y d z 6
1 1 1 dxdzpy dxdzpn dxdydzY 0 2 2 6 当四面体微元趋于M点
时，注意到质量力比起表面 力为高阶无穷小，即得 pn=py，同理有 pn=px，pn=pz
0
压力中心位置：
0.6
Ph D dP h
1 h 2 [0.5 2 (0.6 h) cot 600 ]dh 0.37 m P 0
1 hD dP h P0
h
受压面为梯形，是对称图形，所以其压力中心位于对称轴上。
§2.5 平面上静水总压力计算 2.5.1 图解法（矩形平面）
2
pr oil h 7.8 2.5 19.5kN / m
p0=pat
L 油
300
h
平面上静水总压力计算
§5 作用于平面上的静水总压力
完整的总压力求解包括其大小、方向 、作用点。 作用在水平平面上的液体总压力
p pa gh
Fp pr A ghA
由液体产生的作用在水平平面上的总压力只与液体的密 度、平面面积和淹深有关。即在相同液体、液深和相同的自 由液面上的大气压强下，液体作用在底面积相同的水平平面 上的总压力必然相等，而与容器的形状无关。
•
静压强的大小与作用面的方向无关
在静止流体中取出以M 为顶点的四面体流体微元，它受到的
质量力和表面力必是平衡的，以 y 方向为例，写出平衡方程。
p y d Ay pn d An cos(n, y) Y dV 0
z py dz px pn
1 d An cos(n, y ) d x d z 2
pv=pat-pabs=︱pabs- pat︱= ︱pr︱
2.1.2 流体静压强的特性
• 流体静压强的方向沿作用面的内法线方向
静止流体的应力只有法向分量（流体质
点之间没有相对运动不存在切应力）。
n Pn
法向应力沿内法线方向，即受压的方向
（流体不能受拉），即：流体静压强的方 向总是垂直指向受压面。
2 一封闭水箱，自由表上 面 气 体 绝 对 压 强0p 为78kN/m ，
求 液 面 下 淹 没 深 度 h为 1.5m处 点 C的 绝 对 静 水 压 强 ， 相对 静水压强和真空度。
解： pa b s
p 0 γ w h 78 9.8 1.5
92.7kN/m
2
pr pa b s pa t
国际上规定，一个标准大气压为温度为00C,纬度为45度时 海平面上的压强。1atm＝1.013×105Pa
在工程技术中，一个工程大气压相当于海拔200m处的正常 大气压。1at＝9.8×104Pa
绝对压强、相对压强与真空值 绝对压强： 以设想的不存在任何气体的“完全真空”
（绝对真空）作为计算零点。----pabs 相对压强（计示压强或表压强）： 以当地大气压强为计算零点。---pr 真空值： 当绝对压强小于大气压强时，相对压强为负 值，负值的相对压强的绝对值。-------pv
S1 S2
F2=F1/S1×S2
2.3.2 帕斯卡原理
2.3.3 流体静力学基本方程的意义
•
在静水压强分布公式
z
p C g
中，各项都为长度量纲。
位置势能（位能）： Z 位置水头（水头） ： Z
pA / zA zB
O O
pB /
p 压强势能（压能）： 测压管高度(压强水头) ： g
静止流体的静压强
p = p(x, y, z)，是空间点的连续函数。
2.2
流体平衡微分方程
在静止流体内部任取一点O’，该点的压强为p＝p（x，y，z） 两个受压面abcd和a’b’c’d’中心点M，N 的压强： dx 1 p pM p x , y, z p dx 2 2 x
5.3kN/m
2
92.7 98
p0
h
2
p v p r 5.3kN/m
hv
c
w
pv
0.54m水柱
情况同上例，试问当 点 C 相 对 压 强 p为 8.4 kN/m2时 ， C点 在 自 由 面 下 的 淹 没 深 度 h为 多 少 ？
解：pr pabs pat p0 γ w h pat
P
dp hdA
A A
y sindA sin ydA
A
1．静水总压力的大小
yd A 受压面A对OX轴的静矩
A
ydA y A（面积距定理）
c A
A A A
P
dp hdA y sindA sin ydA
P sin yc A hc A pc A
2.5.1.1 静水压强分布图： b b h
h
h
p=h
平面静水压强分布图一般只画二维图，不必画出三维图。
2.4.1.2 用图解法求矩形平面上的静水总压力
P dp pdA
A A
pdxdy
0 0
b a
dx pdy
0 0
b
a
AP b
dV
§5.1 分析法 § 5.1.1 静水总压力的大小
1．静水总压力的大小
注意坐标 系
微小面元dA上水压力
dP pdA hdA
作用在平面上的总水压力 是平行分布力的合力
P—平面上静水总压力 yc—受压面形心到Ox轴的距离 hc—受压面形心的淹没深度 pc—受压面形心点的压强 A—受压面的面积
h
ppp
r 0
p0
at
γ
w
h
c
代入得
8.4 78 98 h 2.898 m 9.8
有一底部水平侧壁倾斜之油槽，侧壁倾角300，被油湮 没部分壁长L=5m，自由表面上的压强p0=pat=98KN/m2，油的容 重油=7.8KN/m3，问槽底板上压强为多少？
解：h
l sin 30 2.5m
p po gh
（p p0 h）
2.3.2 帕斯卡原理（巴斯加原理）
根据流体静力学基本方程 p p0 h 可知，液面压强p0与液 柱所具有的重量 h 无关，如果液面压强p0增大（或减小） △p，则液体内任意点的压强都将同时增大（或减小）同样 大小的△p。 因此可得出结论：静止流体内任一点的压强变化，会等值 传递到流体的其他各点。这就是帕斯卡原理，或称静压传 递原理。
单位势能： 测压管水头：
p z g
• 敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图
2.3.4 等压面
等压面具有如下性质：
1.等压面与质量力正交 dp Xdx Ydy Zdz =0 Xdx+Ydy+Zdz=0 2.等压面可以是平面也可以是曲面 3.静止液体的等压面是水平面
1 p Y 0 y Y，z方向可得： 1 p Z 0 z
各式相加得：
1 p p p X Y Z 0 x y z
欧拉平衡微分方程的全微分方式： X
进行变换，可得：
1 p 0 x 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
质量力只有重力：X＝Y＝0，Z＝－g，可得：
dp gdz
积分可得：
p gz c
p gz c
由边界条件确定积分常数c，可得：
p c z g g p z C g
p0 p z0 z g g p po g zo z
v
作用点位置：
沿高度（深度）方向：压强分布图的形心。 三角形：距底边 e = L/3 。 矩形：中点e = L / 2。 梯形：距底边
L ( 2 h1 h2 ) e 3 ( h1 h2 )
沿宽度方向：在作用面的对称轴上，即 b/2 处
h1
L P e
P e h2
L
某 泄 洪 隧 洞 ， 在 进 口斜 倾处 设 置 一 矩 形 平 板门 闸， 倾 角 α 为 4 5 ， 门宽b 为3 m 门 ,长 l 为 4 . 5 m ， 顶 门 在水 面 下 淹 没 深 度1 h 为 8 m ， 闸 门 自 重0 3k 0 N ， 问 闸 门 承 受静 的 水 总 压 力 P 为 多 少 ？水 静总 压 力 的 作 用 点 在 里 哪？ 沿 斜 面
o
z
py
dz
px pn
n
dx dy pz y
pn p x p y p z
x
此时，pn，px，py，pz已是同一点（M点）在不同方位作用面上 的静压强，其中斜面的方位 n 又是任取的，这就证明了静压强 的大小与作用面的方位无关。
静压强 p 与作用方向无关，仅
取决于作用点的空间位置；流体是 连续介质 ，因此：p＝ p(x,y,z)。
yD
2 I xC Ayc I yc xC yc A yc A
任何平面图形对任何轴的惯性矩等于 它对平行于该轴的形心轴的惯性矩 与图形面积乘以两平行轴间距平方之和
总压力作用点D一般在受压 面形心C之下； 仅当压强在受压面上均匀分 布时，两者重合。
如图所示，在一底边b为0.5m的梯形水槽中， 铅直插入一块闸板，水槽的边坡角为60°，求闸板所 受的静水总压力和压力中心。 dh 0.6m