第四章 静定拱

×12 +
FP 2
× 4)
= 1 (15×12 + 5× 4) 16
= 200 16 =12.5kN (↑)
∑ Fy = 0 FVB = FV0B = 20 −12.5 = 7.5kN (↑)
FP1=15kN
A
K
FV0A
4m 4m l/2
FP2=5kN
C
B
J
4m
4m FV0B
l/2
下面求支座水平推力
FRA
FP1
1－2 FP2
o
2－3
FRB
FP3
FP2 FP1 1－2
E D A
FRA
C 2－3
FP3
F B
FRB
小结： 1) 压力线一定通过铰C。
2) 压力线与拱轴形状无关，只与三个铰A、B、C及 荷载的相对位置和荷载的大小有关。
3) 合力大小由力多边形确定，合力作用线由压力 线确定。 4) 若荷载是竖向集中力，则压力线为折线；若为均 布荷载，压力线为曲线。
三、例题
计算下面三铰拱K和J截面的内力
拱轴方程为
y=
4f l2
x(l − x)
y
FP1=15kN FP2=5kN
C
K
J
A
yk f=4m yJ
Bx
4m 4m 4m 4m
l/2
l/2
y FHA A
FP1=15kN FP2=5kN
C
K
J
yk f=4m yJ
B FHB x
FVA 4m 4m l/2
4m 4m FVB l/2
A
FV0A
FP1 代梁
D FQ0D
综上：
MD
=
M
0 D
−
FHA
⋅
yD
FQD = FQ0D cosϕ − FH sin ϕ
FND = FQ0D sin ϕ + FH cosϕ
小结：
1）由于推力 的存在，拱的弯矩比梁的要小。
2）三铰拱的内力值不但与荷载及三个铰的位置有 关，而且与各铰间拱轴线的形状有关。
FQD = (FVA − FP1) cosϕ − FH sin ϕ = (FV0A − FP1) cosϕ − FH sin ϕ = FQ0D cosϕ − FH sin ϕ
FHA A FVA
φ
FQ0D
FH FQD
FND = (FVA − FP1) sin ϕ + FH cosϕ
= (FV0A − FP1) sin ϕ + FH cosϕ = FQ0D sin ϕ + FH cosϕ
=
4×4 162
(16
−
2×
4)
=
1 2
15kN MK K
FºQK左＝12.5kN
5
10kN A 4m yK=3m
ϕ1
FºQK右＝－2.5kN
2
12.5kN
FH＝10kN
sinϕ = 0.447 cosϕ = 0.894
A
K左
FQK左
=
F0 QK左
cosϕ
−
FH
sinϕ
=
6.71kN
12.5kN
FºQK左
力的大小按比例绘制。
在右图所示力多边形中，射线1 －2代表FRA与FP1合力的大小和方向
；射线2－3代表FRA与FP1、FP2合力
的大小和方向。
FRA
FP1
1－2 FP2
o
2－3
FRB
FP3
3）画压力线
过A作FRA的延长线交FP1于D 过D作射线1－2的平行线交FP2于E 过E作射线2－3的平行线交FP3于F 则FB必为FRB的作用线。
2. 在竖向荷载作用下产
HA
三铰拱
HB 生水平反力。
VA
VB
P
P
HA =0
HA =0
梁
曲梁
凡在竖向荷载作 用下会产生水平反 力的结构都可称为 H A 拱式结构或 推力结 构。
二、拱常用的形式
P
推力结构
VA
HB VB
三铰拱
静定拱
两铰拱
无铰拱
超静定拱
三、拱的主要优缺点
优点：1）由于水平推力的存在使得拱的弯矩要比跨度、 荷载相同的梁的弯矩小得多，并主要是承受压力。 2）造型美观。
FHAA FVA
= (FV0A ⋅ xD − FP1 ⋅ d1) − FHA ⋅ yD
A FºVA
=
M
0 D
−
FHA
⋅
yD
d1 FP1 MD FND
D xD yD FQD
FP1 d1 D
MºD FºQD 代梁
Φ：拱轴任意截面D切线与水平线夹
角在原图所示坐标下左半拱 取正 ，右
半拱 取负
FP1 D φFND
FP1
例 ，说明反力和
内力计算方法。FHA A
yk
一、支座反力
a1
取整体，由
FVA
∑MB =0
a2 l/2
∑ FVA =
FPibi l
= FV0A
∑MA =0
∑ FVB =
FPi ai l
= FV0B
FP1 A
K
FV0A
C
FP2
f
yJ
b1
B FHB
x
b2 FVB
l/2
FP2
C
B
J
代梁
FV0B
水平推力 取AC部分，∑ MC = 0
FºQJ右＝－7.5kN
J右
B
FºQJ右＝－7.5kN 7.5kN
2
ϕ
5
-1
sinϕ = −0.447 cosϕ = 0.894
FQJ右
=
F0 QJ 右
cosϕ
−
FH
sin ϕ
=
−7.5×
0.894
−10×
(−0.447)
= −6.71+ 4.47 = −2.24kN
FNJ右
=
F0 QJ 右
sin ϕ
万县长江大桥，1997年竣工，劲性骨架混凝土拱桥，跨径420 米。
上海卢浦大桥，2003年建成通车，跨径550米，世界 最大跨径钢拱桥。
重庆朝天门长江大桥:桥梁美学与工程美学结合的精品工 程 ,在建。跨度552米。钢桁拱，公路、城市轻轨。
§4-2 三铰拱的计算
以图示竖向荷载 作用下三铰拱为
y
+
FH
cosϕ
=
(−7.5) ×
(−0.447)
+10×
0.894
= 3.35 + 8.94 = 12.29kN
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
一、三铰拱的压力线
如果三铰拱某截面D以左(或以右)所有外力的 合力FRD已经确定，则该截面的弯矩、剪力、轴 力可按下式计算：
r FRD
MD
D
FND
αD
FRD FRD
FH A
C f
B FH
l /2 FVA
l /2 FVB
A ql / 2
q
x 代梁
M 0 = qx(l − x) / 2
解：
y= M0 FH
M 0 = 1 qx(l − x) 2
FH
=
M
0 C
f
=
1 f
× 1 ql2 8
=
ql 2 8f
y = 8 f × 1 qx(l − x) = 4 f x(l − x)
FP1=15kN
A K
FV0A 4m 4m l/2
FP2=5kN
C
J B 代梁
4m
4m FV0B
l/2
y
FP1=15kN FP2=5kN
C
K
J
A
yk f=4m yJ
B
x
解：
FVA 4m 4m l/2
4m 4m FVB l/2
1. 支座反力 整体平衡 ∑ M B = 0
FVA
=
FV0A
=
1 16
( FP1
个铰A、B、C及荷载的相对位置和荷载的大小有关。
二、内力计算
求任意截面D的弯矩、剪力和轴力，未 知力正方向如图示 。轴力以压为正。
取AD段作隔离体：
∑MD =0
M D = FVA ⋅ xD − FHA ⋅ yD − FP1 ⋅ d1
= (FVA ⋅ xD − FP1 ⋅ d1) − FHA ⋅ yD
M
0 C
=
FV0A
×
l 2
−
FP1 ×
l 4
= 12.5×8 −15× 4
=
40kN.m
FHA
=
M
0 C
f
=
40 4
= 10kN (→)
FHB = 10kN (←)
2. 弯矩计算
下面求K、J截面的弯矩MK和MJ。
15kN MK K
5kN J MJ
10kN A 4m yK=3m yJ=3m 4m B10kN
FNK左
=
F0 QK左
sinϕ
+
FH
cosϕ
=14.53kN
FQK右
=
F0 QK右
cosϕ
−
FH
sinϕ
=
−6.71kN
15kN
A
K右
FNK右
=
F0 QK右
sinϕ
+
FH
cosϕ
=
7.82kN
12.5kN
FºQK右
求FQJ右、FNJ右 。
xJ＝12m
y
'
=
4×4 162
(16
−
2 ×12)
=
−
1 2
ql2 2
l2
可见合理拱轴为抛物线方程。
小结： 1，三铰拱的受力特点：主要受轴向压力。
2，三铰拱计算公式。
FVA = FV0A FVB = FV0B
MD
=
M
0 D
−
FHA
⋅
yD
FH
=
M
0 C
fLeabharlann Baidu
FQD = FQ0D cosϕ − FH sin ϕ
FND = FQ0D sin ϕ + FH cosϕ
3，三铰拱的合理拱轴。 作业： 4－1，4－2，4－3。
FQD
M D = FRDrD
FQD = −FRD sinαD FND = −FRD cosαD
rD ——截面D形心到FRD作用线之距离。
αD ——FRD作用线与截面D轴线切线的夹角。
由此看出，确定截面 内力的问题归结为确 定截面一边所有外力 的合力之大小、方向
r FP1
C 90。 D D
FP2
及作用线的问题。
定义：三铰拱每个截 A 面一边所有外力的合力 FRA 作用点的连线，就称为 三铰拱的压力线。
B FRB
作压力线的方法和步骤为：
1）求三铰拱的支座反力FHA、FVA 、FHB、FVB，进而求出反力FRA、FRB
的大小和方向。
FHA FRA FVA
2）作封闭的力多边形，以确定拱轴各截面一
边外力合力的大小及方向。作力多边形时应按
第四章 静定拱
§4-1 概述 §4-2 三铰拱的计算 §4-3 三铰拱的合理拱轴线
重点：
三铰拱的受力特点 三铰拱的内力计算方法 三铰拱合理拱轴的概念
难点： 斜拱的计算
§4-1 概述
一、拱的概念：
拱是杆轴线为曲线并且在竖向荷载作用下会产生水
平反力（推力）的结构。
P
拱与梁的区别：
1. 杆轴线的曲直；
二、 三铰拱的合理轴线
在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯矩为零 的轴线就称为合理拱轴。
若用压力线作为三铰拱轴线，则任一截面弯矩都 为零，故压力线就是合理拱轴。
在竖向荷载作用下三铰拱任一截面弯矩为
令 得到
M = M 0 − FH ⋅ y
M =0
y= M0 FH
合理拱轴方程的表达式
例 求三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴。 q
FP1
C
FHA
=
1 f
⎡ ⎢⎣
FVA
×
l 2
−
FP1
×
(
l 2
− a1)⎤⎥⎦
FHA A
K yk
f
=
M
0 C
(→)
f
FHB
=
M
0 C
f
(←)
FVA
l/2
MC0 为代梁C截面弯矩
思考：三铰拱的支座反力与拱轴线的形状有关吗？
小结：
1)水平推力与矢高f
成反比。FHA = FHB
=
M
0 C
f
2) 支座反力FVA、FVB、FHA、FHB与拱轴形状无关，只与三
12.5kN
7.5kN
求MK
yk
=
4×4 162
×
4(16
−
4)
=
3m
∑ M K = 0 M K = 12.5× 4 −10× 3 = 20kN.m(下拉)
求MJ yJ = 3m
∑ M J = 0 M J = 7.5× 4 −10× 3 = 30 − 30 = 0
3. 求FQK、FNK
xK＝4m
y'
缺点：由于支座要承受水平推力，因而要求比梁具有更坚 固的地基或支承结构（墙、柱、墩、台等）
P
P
拉杆 拉杆来代替支座承受水平推力
提高净空
四、拱的各部分名称
拱趾
拱顶
拱轴线
起拱线
拱高 f
跨度 l
f
高跨比是拱结构的一个重
l
高跨比 要参数，对内力有很大影 响。
五、拱桥实例
赵州桥，又名安济桥，完成于公元605年，位于河北赵县，为国家重点保 护文物，被美国土木工程师学会选为“国际历史土木工程里程碑”。该桥为 空腹敞肩式坦拱桥，桥长64.4m，净跨37.02m，桥宽9m，净矢高 7.23m，桥面纵坡6.5%。