第四章 静定拱
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李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4章 静定拱【圣才出品】
第4章 静定拱4.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、拱的基本概念及特点 ★★表4-1-1 拱的基本概念及特点表4-1-2 有拉杆和无拉杆三铰拱的区别与联系二、三铰拱的计算 ★★★★★1．支座反力的计算（见表4-1-3）表4-1-3 支座反力的计算2．内力的计算（见表4-1-4）表4-1-4 三铰拱的内力计算三、三铰拱的合理拱轴线（见表4-1-5） ★★★表4-1-5 三铰拱的合理拱轴线4.2 课后习题详解复习思考题1．拱的受力情况和内力计算与梁和刚架有何异同？答：（1）拱与梁的受力情况和内力计算的区别①约束反力方面，拱在竖向荷载作用下会产生水平反力（推力），而梁在竖向荷载作用下不会产生水平反力（推力）；②内力分布方面，由于水平推力的存在，拱的弯矩常比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多，使得拱截面上的应力分布较为均匀；③内力分析方法方面，若只有竖向荷载时，梁只需进行简单的整体分析即可求解，而拱由于水平力的存在，需要整体分析与局部分析相结合。
（2）拱与刚架的受力情况和内力计算的异同①内力分析方法方面，拱与刚架的受力情况和内力计算的特点和所应用方法基本一致，例如三铰刚架也属于拱式结构；②拱的轴线是曲线，刚架杆的轴线是直线，在应用平衡条件计算内力时，拱仍然取投2．在非竖向荷载作用下怎样计算三铰拱的反力和内力？能否使用式（4-1）和（4-2）？答：（1）对于三铰拱承受非竖向荷载的情况，可将非竖向荷载分解为水平荷载和竖向荷载。
（2）仍然可以应用式（4-1）和（4-2），将水平反力加上非竖向荷载水平方向上的分量一起代入公式中进行求解。
(4-1)o AV AV o BV BV o c H F F F F M F f ⎫⎪=⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭cos sin (4-2)sin cos o H o S S H o N S H M M F y F F F F F F ϕϕϕϕ⎫=-⎪⎪=-⎬⎪=+⎪⎭3．什么是合理拱轴线？试绘出图4-2-1各荷载作用下三铰拱的合理拱轴线形状。
01-静定拱和悬梁结构知识点小结
K
截面的弯矩、剪力；
K 值为 K 截面法线的倾角（如图 4-1(a)所示的坐标系中），在拱顶铰以左取正，以右
取负。
K 可根据其与拱轴方程 y = f (x) 之间的关系式确定，即：
3、受力特征总结
cosK =
1
1+ ( y)2
, sinK = ycosK
x = xK
（1）支座反力与拱轴线形式无关，只与三个铰的位置有关； （2）两个竖向支座反力与相应简支梁竖向支反力对应相等，这说明竖向支反力与拱高 无关；
以上公式均适用于带拉杆的三铰平拱（承受竖向荷载作用），拉杆拉力即为水平推力 FH ，
其支座反力和内力和的计算公式不变。 5、一般荷载（含水平力）作用下，支座反力和内力不能套用上述公式，而应直接采用截面 法求内力，此时两个支座的水平反力也不相同。
二、三铰斜拱的计算
三铰斜拱在竖向荷载作用下，可根据三个整体平衡条件，以及半拱对拱顶铰 C 的平衡
y = M 0(x) FH
式中， M 0 为相应简支梁的弯矩图表达式， FH 为拱的水平推力。这表明，在竖向荷载 作用下三铰平拱合理轴线的纵坐标 y 与相应简支梁弯矩图的竖标 M 0 成比例。
三铰平拱在满跨竖向均布荷载 q 作用下的合理轴线为二次抛物线（图 4-3），即：
y
=
4f l2
x(l − x)
F 'AV = FA0V ,
F 'BV
=
FB0V ， FA' H
= FB'H
= FH'
=
M
0 C
h
式中，h
为斜拱中拱顶铰
C
至拱趾连线的垂直距离，M
0 C
为相应水平简支梁中相应
第四章-静定拱
§4-1 基本概念 2.常见形式
铰 静 拱 三 拱—— 定 拱两 拱 铰 静 结 无 拱 超 定 构 铰
三铰拱
两铰拱
无铰拱
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-1 基本概念 3. 几何特性：
拱 顶 拱轴线 (拱轴 )拱高 起拱线来自拱趾 、 ) ( 跨度
内力不仅与三铰拱位置有关， 内力不仅与三铰拱位置有关，且与拱轴线形 状有关。
谢
谢 ！
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线
3.方法： 方法： 先作出压力线， ⑴ 先作出压力线，然后以压力线代 替拱轴。 替拱轴。 ° M 利用弯矩方程： ⑵ 利用弯矩方程： = M − Hy ° M∗ 令 M = M − Hy = 0 ⇒ y = H 即为合理拱轴线的纵坐标。 y即为合理拱轴线的纵坐标。
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线（Optimal centre line of arch） 三铰拱的合理拱轴线（ arch）
1.定义： 定义： 在已知荷载作用下， 在已知荷载作用下，能选择三铰拱的 轴线， 轴线，使得拱的所有横截面上的弯矩 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 理拱轴线。 理拱轴线。 条件： 2.条件： 拱轴线与压力线重合时， 拱轴线与压力线重合时，满足横截面 上的弯矩M Q=0 而仅有轴力N 上的弯矩M＝0、Q=0，而仅有轴力N。
l 9
dy 2 tgϕ = = (6 − x) dx 9
截面1 截面1：x1 = 1.56m
y1 = 1.75m tgϕ1 = 1 ϕ1 = 450
铰 静 拱 三 拱—— 定 拱两 拱 铰 静 结 无 拱 超 定 构 铰
三铰拱
两铰拱
无铰拱
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-1 基本概念 3. 几何特性：
拱 顶 拱轴线 (拱轴 )拱高 起拱线来自拱趾 、 ) ( 跨度
内力不仅与三铰拱位置有关， 内力不仅与三铰拱位置有关，且与拱轴线形 状有关。
谢
谢 ！
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线
3.方法： 方法： 先作出压力线， ⑴ 先作出压力线，然后以压力线代 替拱轴。 替拱轴。 ° M 利用弯矩方程： ⑵ 利用弯矩方程： = M − Hy ° M∗ 令 M = M − Hy = 0 ⇒ y = H 即为合理拱轴线的纵坐标。 y即为合理拱轴线的纵坐标。
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线（Optimal centre line of arch） 三铰拱的合理拱轴线（ arch）
1.定义： 定义： 在已知荷载作用下， 在已知荷载作用下，能选择三铰拱的 轴线， 轴线，使得拱的所有横截面上的弯矩 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 理拱轴线。 理拱轴线。 条件： 2.条件： 拱轴线与压力线重合时， 拱轴线与压力线重合时，满足横截面 上的弯矩M Q=0 而仅有轴力N 上的弯矩M＝0、Q=0，而仅有轴力N。
l 9
dy 2 tgϕ = = (6 − x) dx 9
截面1 截面1：x1 = 1.56m
y1 = 1.75m tgϕ1 = 1 ϕ1 = 450
第4章 静定拱
第四章 静定拱
§4—1概述 拱——曲线杆件， 竖向荷载作用下有水平反力。 常用形式： 三铰拱、两铰拱、无铰拱
重要特点： 竖向荷载产生水平推力（与梁相比）
优点： M减小，N为主 ——便于使用抗压材料：砖、石、混凝土
缺点： 水平反力要求 ——地基、支承结构、（墙、柱、墩等）
更坚固。 ——可称拱式结构或推力结构
y(x) x1=1.5,y1=1.75 tanφ=y’ sinφ,cosφ
3.M1=M10-FHy1 S1=S10*c-FH*s N1=S10*s+FH*c
4.表4－1，作图。
3．特点： （1）竖向荷载作用下，
有水平推力H （2）推力使拱M减小，
M = M0 － Hy （3）拱截面内轴力较大，
（梁N=0） 4．斜拱与一般荷载作用 ①斜拱
【例4—2】 均布荷载满跨 【解】
M 0 ql x qx2 qx (l x) 2 22
H
M
0 c
1
ql 2
f f8
y M 0 qx (l x) 8 f 4 f x(l x)
H2
ql 2 l 2
具有不同髙跨比的一组抛物线——合理拱轴线
[例4—3]q = qc+ γy 解：坐标系如图，
M=M0－H（f－y）=0
f y M0 H
求导二次：
y"
1 H
d2M 0 dx2
1 H
(q)
y q H
q=qc+γy
y " x y qc HH
微分方程解 边界条件
——二阶常系数线性非齐次方程 ——确定合理拱轴线方程
[例4-4] 静水压力 解：非竖向荷载，设M＝0状态，
用微元平衡求合理拱轴线 微段：N 平衡：
§4—1概述 拱——曲线杆件， 竖向荷载作用下有水平反力。 常用形式： 三铰拱、两铰拱、无铰拱
重要特点： 竖向荷载产生水平推力（与梁相比）
优点： M减小，N为主 ——便于使用抗压材料：砖、石、混凝土
缺点： 水平反力要求 ——地基、支承结构、（墙、柱、墩等）
更坚固。 ——可称拱式结构或推力结构
y(x) x1=1.5,y1=1.75 tanφ=y’ sinφ,cosφ
3.M1=M10-FHy1 S1=S10*c-FH*s N1=S10*s+FH*c
4.表4－1，作图。
3．特点： （1）竖向荷载作用下，
有水平推力H （2）推力使拱M减小，
M = M0 － Hy （3）拱截面内轴力较大，
（梁N=0） 4．斜拱与一般荷载作用 ①斜拱
【例4—2】 均布荷载满跨 【解】
M 0 ql x qx2 qx (l x) 2 22
H
M
0 c
1
ql 2
f f8
y M 0 qx (l x) 8 f 4 f x(l x)
H2
ql 2 l 2
具有不同髙跨比的一组抛物线——合理拱轴线
[例4—3]q = qc+ γy 解：坐标系如图，
M=M0－H（f－y）=0
f y M0 H
求导二次：
y"
1 H
d2M 0 dx2
1 H
(q)
y q H
q=qc+γy
y " x y qc HH
微分方程解 边界条件
——二阶常系数线性非齐次方程 ——确定合理拱轴线方程
[例4-4] 静水压力 解：非竖向荷载，设M＝0状态，
用微元平衡求合理拱轴线 微段：N 平衡：
2010秋 任静定平面桁架——第九次课
§5-1 平面桁架的计算简图
b 按照竖向荷载是否引起水平反力（推力）： 按照竖向荷载是否引起水平反力（推力）：
无推力桁架 或梁式桁架
推力桁架 或拱式桁架
第五章 静定平面桁架
§5-1 平面桁架的计算简图
c 按照几何组成方式： 按照几何组成方式：
简单桁架
联合桁架
复杂桁架
第五章 静定平面桁架
求桁架杆件内力的方法主要有： 结点法、 截面法、 求桁架杆件内力的方法主要有 ： 结点法 、 截面法 、 以及结点 截面法联合应用。 结点、 以及结点、截面法联合应用。
FBH
FAH FAV
l1 l l2
FSK =F0SK sin φ +FH cos φ
FBV
F1
A C
F2
B
F0AV
F0BV
φ的符号在左半拱取正， 的符号在左半拱取正， 的符号在左半拱取正 右半拱取负。 右半拱取负。 只适用于三铰刚架为平拱 时，且只受竖向荷载时的 情况。 情况。
第四章 静定拱
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
FN1
α α
FN3 = -FN4
FN4
FN2 =FN1
FN2
FN4 = -FN3
X形结点 形结点
K形结点 形结点
第五章 静定平面桁架
§ 5-2 结 点 法
试判断图示桁架中的零杆。 试判断图示桁架中的零杆。
3 4 6
0 0 0
0
F F
3
F
0
2
0
5
0
4
0 0
7
？零杆既然不受 0 0
力，在实际结构 1 0 0 5 中能否把它去掉？
F1 F2 F3 Fn G B FB
结构力学-静定拱
H=M’C/f 2 内力计算：
截面Ｋ的弯矩： M=[Vax－P1(x－a1)]－Hy
即 M=M’－Hy
A
P1
P2
B
ＫC
剪力：
Ｑ=VA cos --P1 cos--H sin V’A
V’B
＝Ｑ’ cos --H sin
轴力：
HA
P1 Ｋ
A
P2
B
HB
N=(VA--P1) sin+
Hcos
第四章 静定拱
§4--1 概述
拱：杆轴线为曲线并且有竖向荷载作用下会产生 水平反力的结构。
拱的常用形式有三种：
1、三铰拱
HA
A
P
HB B
VA
VB
2 两铰拱
3 无铰拱
拱的各部分名称如右图：拱 趾
起拱线
A
拱轴线
拱
拱高f
趾
B
跨度l
§4--2 三铰拱的数解法
1 支座反力计算
如右图： 由MB=0
a1
b1
VA
VB
=Q’sin +Hsin
综上所述，三铰平拱的内力计算公
式可写为：
M=M’--Hy
Q=Q’ cos --H sin
N=Q’ sin --H cos
§4--3 三铰拱的合理拱轴线
当拱上所有截面的弯矩都为零而只有轴力时，这
时的拱轴线为合理拱轴线。其方程为： y=M’/H
q
例４－２
y
a2
b2
P1
P2
MA=0
HA
A
HB B
HA=HB=H
l1
MC=0
VA
l2 VB
VAl1－P1(l1－a1)－Hf=0 l
李廉锟《结构力学》(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解(静定拱)【圣才出品】
第4章 静定拱4.1 复习笔记【知识框架】【重点难点归纳】一、拱的基本概念1．拱的定义拱是指轴线（截面形心的连线）为曲线并且在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构。
2．拱的分类（1）按铰点数①三铰拱；②两铰拱；③无铰拱。
拱的定义 按铰点数：三铰拱、两铰拱、无铰拱 拱的分类 按铰趾位置：平拱、斜拱拱的基本概念 拱的特点拱式结构消除推力对支撑结构影响的方法拱各部分的名称：拱轴线、拱趾、拱的跨度、起拱线、拱顶、拱高等 反力个数 支座反力的计算 计算方法 计算公式三铰拱的计算 反力值影响因素内力的计算：弯矩、剪力、轴力斜拱支座反力计算三铰拱的合理拱轴线 合理拱轴线的定义拱轴线的计算方法 静定拱图4-1-1（2）按铰趾位置①平拱平拱是指两拱趾在同一水平线上的拱。
②斜拱斜拱是指不在同一水平线上的拱。
3．拱的特点（1）优点①与梁相比，拱在竖向荷载作用下会产生水平反力。
推力的存在与否是区别拱与梁的主要标志。
②由于推力的存在，拱的弯矩常比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多，使得拱截面上的应力分布较为均匀。
③主要承受压力，可利用抗拉性能较差而抗压较强的材料如砖、石、混凝土等来建造，更能发挥材料的作用。
（2）缺点拱支座要承受水平推力，因而要求比梁具有更坚固的地基或支承结构（墙、柱、墩、台等）。
4．拱式结构拱式结构是指在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构，也称为推力结构。
如三铰刚架、拱式桁架等。
5．消除推力对支撑结构影响的方法在拱的两支座间设置拉杆来代替支座承受水平推力，使其成为带拉杆的拱（图4-1-2（a））。
为了使拱下获得较大的净空，有时也将拉杆做成折线形的（图4-1-2（b））。
图4-1-26．拱的各部分名称（1）拱轴线拱轴线是指拱身各横截面形心的连线。
（2）拱趾拱趾是指拱的两端支座的位置。
（3）拱的跨度l拱的跨度是指两拱趾间的水平距离。
（4）起拱线起拱线是指两拱趾的连线称为起拱线。
（5）拱顶拱顶是指拱轴上距起拱线最远的一点。
结构力学(拱结构)
2、计算各截面内力 截面1 ql
x1 2m
qlcos1
由式（4-4） （4-5）
方向； 3、注意左半拱截面的方向角为正，右半拱 1 M 1 M 10 H y1 7 2 1 22 6 1.75 1.5kN m 截面的方向角为负。 2 （4-3）
0 MC 5 8 4 4 H 6kN f 4
2、计算各截面内力
9
三铰拱的内力计算
4f (l x1 ) x1 2 l N1 4 4 M1 qlsin1 2 (16 2 ) 2 1.75m 1 6 sin1 16 6 cos1 dy Q1 0 tan1 6kN dx x 2m 1 1、计算原理仍然是截面法； 7 sin1 2m 4f 44 2 l 2 x1 2、拱轴线方程主要用于确定截面的位置及 2 0.75 16 2 。 l 16 16 7 cos1 其法线方向，从而确定截面上的剪力和轴力 0.8 7kN 1 3652，, sin1 0.6 , cos 1 y1
三铰拱的内力计算11三铰拱的内力计算3内力图绘制弯矩图绘制12弯矩图绘制等代梁弯矩图水平推力引起的弯矩图竖向荷载作用下拱结构的受力特点1三铰拱与对应的等代梁相比弯矩要小得多其原因是水平推力的存在所致
江苏大学本科生课程课件
江苏大学土木工程与力学学院
1
第四章 静定拱
4.1
概述
1、拱结构的定义 拱结构：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载 作用下，支座产生水平推力的结构。
VB0
1
N K VAsinK P sinK HcosK 1 (VA P )sinK HcosK 1
0 K
0 A
0 0 QK VA P1 VA P1
结构力学第4章静定拱(f)
FH
FH
由边界条件
x 0, y 0 : x 0, y 0 :
A qc
B0
合理拱轴线的方程为
y qc (cosh x 1)
FH
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-3 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
解：由图a，荷载为非竖向荷载。
思路：假定拱处于无弯矩状态，根据平衡 条件推求合理拱轴线方程。
Fi ai l
Fx 0 FAH FBH FH
相应简支梁
取左半拱为隔离体
MC 0
FH
FAV l1 F1(l1 a1) f
可 得
FAV FBV
FA0V FB0V
FH
M
0 C
f
三铰拱的反力只与 荷载及三个铰的位置有 关，与拱轴线形状无关；
推力FH 与拱高 f 成反比。
§4-2 三铰拱的计算
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
压力为正
任一截面的轴力等于该截面一 侧所有外力在该截面法线方向 上的投影代数和。
FN FAV sin FH cos F1 sin (FAV F1) sin FH cos FS0 sin FH cos
相应简支梁
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
区别拱与梁的主要标志：推力的存在与否。
§4-1 概述
拉杆拱： 拱两支座间的拉杆代替支座承受水平推力
拉杆做成折线形可获得较大空间
高跨比：f/l
平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
§4-2 三铰拱的计算
1、支座反力的计算
由拱的整体平衡
M B 0 FAV
Fibi l
M A 0 FBV
第四章结构力学静定拱
15kN
A
K左
A
K右
12.5kN
12.5kN
FºSK左＝12.5kN
FºSK右＝－2.5kN
( F H 1 0 k N ,F S 0 K 左 1 2 . 5 k N ,F S 0 K 右 2 . 5 k N )
( s i n 0 .4 4 7 ,c o s 0 .8 9 4 )
FSK左FS0K左cosFHsin12.50.894100.447
r FP1 90。 D D
C
FQD A
FP2 B
FRA
FRB
M D FRD rD
FQD FRD sin D FND FRD cos D
r D ——截面D形心到FRD作用线之距离。
D ——FRD作用线与截面D轴线切线的夹角。
由此看出，确定截面内力的问题归结为确定 截面一边所有外力的合力之大小、方向及作用线 的问题。
tgy'4l2f
(l2x)a b
F
V
0 A
FP1
D
F
0 SD
代梁
a2+b2 a
b
2) FºSD是代梁截面D的剪力，设为正方向。 故FºSD可能大于零、等于零或小于零。
下面用上述公式求FSK、FNK。
xK＝4m y'41 624(1624)1 2 FºSK左＝12.5kN
5
1 2
FºSK右＝－2.5kN
FP2 E FP1
D
FRA A
o
C FP1 FP2
FRA
FRB
FP3
FP3 F
B
FRB
在上图所示力多边形中，射线1－2代表FRA与 FP1合力的大小和方向；射线2－3代表FRA与FP1、 FP2合力的大小和方向。
4静定拱
FF
CC
BB
F
V0BF
0 VB
FH FfH f
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
三铰拱的合理拱轴线
三铰拱在竖向荷载作用下任一截面的弯矩为：
MK
M
0 K
FH y
拱合理拱轴线：若拱的所有截面上的弯矩都为零，
这样的拱轴线为合理拱轴线。
由 M M 0 FH y 0 得合理拱轴线方程
C
A B
B
A
B
有拉杆的三铰拱
两铰拱
(c)
梁式结构在竖向荷载作用下是不会产生推力的。
C
B
A
B
曲梁
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§4-1 概 述
结构力学
三铰拱各部分名称
拱顶
拱轴线
f 矢高
拱趾
拱趾
l 跨度
拱顶：拱的最高点。 拱趾： 支座处。 跨度：两支座之间的水平距离， 用l表示。 矢高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f表示。
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
例4-2 设三铰拱上作用沿水平向均布的竖向荷载q
试求拱的合理轴线。
q
M0
解:由式（4-5） y FH
Y
C
在均布荷载q作用下， 代梁的弯矩方程为
f
A l 2
X B l
2
M 0 ql x qx2 q x(l x)
q
2 22
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4静定拱的内力计算自编
0.3805rad 210 48
x 5
cos D 0.9285,sin D 0.3714
20kN/m
解：由整体平衡可得：
100kN C
由 M D 0，得M D FAV xD ( FAH FNAB ) yD 67 5 (80 122.5) 3 207.5kNm
2
(l x) x
4m
A
D
D
10m
B
FAV=67kN FBV=33kN FAH=80kN
以CB为隔离体，对c点取矩： 4FNAB-33×10-20×4×2=0 得：FNAB=122.5kN
X=5m时
FAH FAV
5m 5m
FBV
dy D arctg dx
4f 4 4 yD 2 (l x) x (20 5) 5 3m l 20 20
dx
2
y x A ch
e x chx shx
x B sh
x
练习
图示拱，求其合理拱轴线方程
3q
3q 解： qx x l
1 1 l ql FAV ( l 3q ) l 2 3 2 1 1 2l FBV ( l 3q ) ql l 2 3
dy dx
x 3
M C 11 6 2 6 3 FH 7.5kN f 4
M 2 M 2 FH y2 11 3 2 3 1.5 7.5 3
1.5kN m
tg 2 4 f 2x 1 l l
FV B FV B
FH A A
y
MB 0
结构力学第4章 静定拱结构
一、工程中的拱结构轴线为曲线、仅在竖向荷载下能产生水平反力(推力)的结构称为拱。
图4-1所示为拱结构的工程实例。
图4-1工程中的拱结构二、拱式结构的特征及其应用1、定义：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。
2、特点：（1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。
（2）用料省、自重轻、跨度大。
（3）可用抗压性能强的砖石材料。
（4）构造复杂，施工费用高。
3、拱的种类：图4-2拱的种类4、拱各部分的名称：一、支座反力的计算C拱顶铰BA拱肋跨度拱趾铰(a) 等高三铰拱C高差hAB(b) 不等高三铰拱严格的来说，实体三铰拱支座反力的计算与一般三铰刚架结构反力计算相同。
本书介绍的是等代梁解法。
图4-4实体三铰拱第二节实体三铰拱的数解法图4-5等代粱ll 1l 2a 3b 3b 2b 1a 2a 1F P1F P2F P3F P1F P2F P3F A yF B yF A yF B yF B xF A x 00A CBAB C(b)(a )f0CH M F =HB A F F F ==x x 0Ay Ay F F =0ByBy FF =二、拱内截面内力的计算图4-6拱内截面内力1、拱的内力计算原理仍然是截面法。
2、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。
对于竖向荷载作用三铰拱，其内力计算有简捷公式。
(c)CB A00F B yF A yF P3F P2F P1B F B xAF A x F A yF B y(a )C F P3F P2F P1a 1a 2b 1b 2b 3a 3lϕK F A y F A xF P1KM K F NKF QKx KK ϕy KxyK K(b)yF MM H 0-=ϕϕsin cos H 0Q Q F F F -=ϕϕcos sin H 0Q N F F F --=A0AyFQ F 0M (b) 代梁受力F Ax =F H F Ayx A y k F y FxyϕM(a) 截面k 坐标方向力图4-7拱内截面内力需要指出的是，非竖向荷载作用不等高三铰拱等情形，上述公式是不适用的。
4第四章静定拱
结 构 力 学 （ 08-09
21
12:14
合理拱轴线小结： 1）不同荷载作用下三铰拱的合理拱轴 线不同。 2）实际工程中，尽可能使受力状态接 近无弯矩状态。通常是以主要荷载作用 下的合理拱轴线作为拱的轴线。
学 年 ）
学 年 ）
M y FH
M M FH y 0
0
0
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线的纵 坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。
§4-3三铰拱的合理拱轴线
12:14
结 试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线 构 力 q MC0=ql2/8 学 （ C 2/8f y F = ql f H A B 学 x l M0=qlx/2-qx2 /2 年 =qx(l-x)/2 ） q 08-09
0 FP2=50kN FH= MC / f =50.25 KN
8.5 163.5 201
58.5 175.5
FQ(kN)
M(kN.m)
0 MK MK FH y 0 FQK FQK cos FHsin
FNK FQK 0sin FHcos
§4-2三铰拱的计算
17
y=4fx(l-x)/l2
x
抛物线
§4-3三铰拱的合理拱轴线
结 构 力 学 （ 08-09
18
12:14
试求，在填土重量作用下，三铰拱的合理 轴线。土的容重为γ，拱所受的竖向荷载 为q(x)=qc+ γy
学 年 ）
§4-3三铰拱的合理拱轴线
结 构 力 学 （ 08-09
19
12:14
M f y FH
第四章 静定拱
21
12:14
合理拱轴线小结： 1）不同荷载作用下三铰拱的合理拱轴 线不同。 2）实际工程中，尽可能使受力状态接 近无弯矩状态。通常是以主要荷载作用 下的合理拱轴线作为拱的轴线。
学 年 ）
学 年 ）
M y FH
M M FH y 0
0
0
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线的纵 坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。
§4-3三铰拱的合理拱轴线
12:14
结 试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线 构 力 q MC0=ql2/8 学 （ C 2/8f y F = ql f H A B 学 x l M0=qlx/2-qx2 /2 年 =qx(l-x)/2 ） q 08-09
0 FP2=50kN FH= MC / f =50.25 KN
8.5 163.5 201
58.5 175.5
FQ(kN)
M(kN.m)
0 MK MK FH y 0 FQK FQK cos FHsin
FNK FQK 0sin FHcos
§4-2三铰拱的计算
17
y=4fx(l-x)/l2
x
抛物线
§4-3三铰拱的合理拱轴线
结 构 力 学 （ 08-09
18
12:14
试求，在填土重量作用下，三铰拱的合理 轴线。土的容重为γ，拱所受的竖向荷载 为q(x)=qc+ γy
学 年 ）
§4-3三铰拱的合理拱轴线
结 构 力 学 （ 08-09
19
12:14
M f y FH
第四章 静定拱
04第四章 静定拱
方程的一般解为
y A cosh
FH
x B sinh
FH
x
qc
由边界条件
x 0, y 0 : x 0, y 0 :
A
qc
B0
合理拱轴线的方程为
y
qc
(cosh
FH
x 1)
在填土重量作用下，三铰拱的合理拱轴线是一悬链线。
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-4 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
受力特点 （1）在竖向荷载作用下有水平反力 FH ; （2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多 ; （3）拱内有较大的轴向压力FN.
§4-2 三铰拱的计算
q=2kN .m y
1 0 3 4 5
F=8kN
6 7 8
2
2 y2 x
f=4m
B
例1 三铰拱及其所受荷载如 图所示拱的轴线为抛物线方 程 y 4 2f xl x
MC 0
FAV
FB V
d
F1
A
F2
c
f
B
FAV l1 F1 d FH f 0
M MC FH f 0 FH C f
FAV
x
c
F
BV
FH FAV
l1
§4-2 三铰拱的计算
二、内力计算
F1
x-a1 FS
D
FH
FN
y
以截面D为例 截面内弯矩要和竖向力及水平力对D点构成 的力矩相平衡，设使拱内侧受拉为正。 MD 0 M FAV x F1 x a1 FH y
y A cosh
FH
x B sinh
FH
x
qc
由边界条件
x 0, y 0 : x 0, y 0 :
A
qc
B0
合理拱轴线的方程为
y
qc
(cosh
FH
x 1)
在填土重量作用下，三铰拱的合理拱轴线是一悬链线。
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-4 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
受力特点 （1）在竖向荷载作用下有水平反力 FH ; （2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多 ; （3）拱内有较大的轴向压力FN.
§4-2 三铰拱的计算
q=2kN .m y
1 0 3 4 5
F=8kN
6 7 8
2
2 y2 x
f=4m
B
例1 三铰拱及其所受荷载如 图所示拱的轴线为抛物线方 程 y 4 2f xl x
MC 0
FAV
FB V
d
F1
A
F2
c
f
B
FAV l1 F1 d FH f 0
M MC FH f 0 FH C f
FAV
x
c
F
BV
FH FAV
l1
§4-2 三铰拱的计算
二、内力计算
F1
x-a1 FS
D
FH
FN
y
以截面D为例 截面内弯矩要和竖向力及水平力对D点构成 的力矩相平衡，设使拱内侧受拉为正。 MD 0 M FAV x F1 x a1 FH y
《结构力学》第四章静定拱
实例演示
通过实例演示内力图的 绘制过程，帮助读者掌
握绘制技巧。
04 静定拱的位移计算
位移计算基本概念
位移的定义
位移是指在外力作用下，结构物 某一点或某一截面位置的变化。
静定拱的位移
静定拱在荷载作用下的位移包括 拱顶竖向位移、拱脚水平位移和
转角位移等。
位移计算的意义
位移计算是结构力学中的重要内 容，对于评估结构的安全性、稳 定性和使用功能具有重要意义。
虚功原理在位移计算中的应用
虚功原理的基本概念
01
虚功原理是结构力学中的一个基本原理，它建立了外
力功与结构内部应变能之间的关系。
虚功原理在静定拱位移计算中的应用
02 通过构建静力可能位移和虚力状态，利用虚功原理可
以求解静定拱在各种荷载作用下的位移。
虚功原理的适用条件
03
虚功原理适用于线弹性结构，即结构在受力过程中满
解题思路
同样需要构建静力可能位移和虚力 状态，利用虚功原理求解位移。
解题步骤
详细列出解题步骤，并解释每一步 的意义和计算方法。
05 静定拱的稳定性分析
稳定性分析基本概念
稳定性
结构在受到外部扰动后，能够恢复原有平衡状态的能力。
临界荷载
使结构失去稳定或发生破坏的最小荷载。
稳定性分析
研究结构在荷载作用下是否会发生失稳或破坏，以及如何提高结 构的稳定性。
通过截取拱的任意截面，利用静 力平衡条件求解截面上的内力。
叠加法
将复杂的拱结构分解为若干简单结 构，分别计算内力后再进行叠加。
力法
通过引入多余未知力，建立力法方 程求解拱的内力。
典型例题解析
圆弧拱内力计算
01
结构力学第4章静定拱
y M0 H
三铰拱合理拱轴线的纵坐标y与相应简支梁弯矩图的竖标成 正比。当荷载已知时，只需求出相应简支梁的弯矩方程式，除 以常数H便得到合理拱轴线方程。
11
例 4－2 求图示对称三铰拱在均布荷载q作用下的合理拱轴线。
解：
相应简支梁的弯矩方程为
y
M 0 qL x qx2 1 qx(L x) 2 22
x
所以
H
M
0 C
qL2
f 8f
y
M0 H
4f L2
x(L x)
x
合理拱轴线为抛物线
12
本章小结
三铰拱是按三刚片规则组成的静定结构； 在竖向荷载作用下，产生竖向反力与水平推力； 拱的主要内力是轴力； 利用合理拱轴可以使拱的弯矩达到最小。
13
y
23
1
50.25kN
→H o
↑VA
75.5kN
4
x
50.25kN
←H ↑ VB
58.5kN
以1截面为例： L=12m、f=4m代入拱轴方程
y
44 122
x(12
x)
x 9
(12
x)
tg dy 2 (6 x) dx 9
9
1截面： x1=1.5m 1=450
y1=1.75m tg1=1 sin 1=0.707 cos 1=0.707
503
755
→H
↑ VA
kN 75.5kN
←H
↑VB
58.5kN
VB VB0 14 6 3 50 9 58 5 kN 12
↑VA0
↑VB0
H
M
0 C
75 5 6 14 6 3
50 25kN
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2. 在竖向荷载作用下产
HA
三铰拱
HB 生水平反力。
VA
VB
P
P
HA =0
HA =0
梁
曲梁
凡在竖向荷载作 用下会产生水平反 力的结构都可称为 H A 拱式结构或 推力结 构。
二、拱常用的形式Biblioteka P推力结构VA
HB VB
三铰拱
静定拱
两铰拱
无铰拱
超静定拱
三、拱的主要优缺点
优点：1）由于水平推力的存在使得拱的弯矩要比跨度、 荷载相同的梁的弯矩小得多，并主要是承受压力。 2）造型美观。
FH A
C f
B FH
l /2 FVA
l /2 FVB
A ql / 2
q
x 代梁
M 0 = qx(l − x) / 2
解：
y= M0 FH
M 0 = 1 qx(l − x) 2
FH
=
M
0 C
f
=
1 f
× 1 ql2 8
=
ql 2 8f
y = 8 f × 1 qx(l − x) = 4 f x(l − x)
FHAA FVA
= (FV0A ⋅ xD − FP1 ⋅ d1) − FHA ⋅ yD
A FºVA
=
M
0 D
−
FHA
⋅
yD
d1 FP1 MD FND
D xD yD FQD
FP1 d1 D
MºD FºQD 代梁
Φ：拱轴任意截面D切线与水平线夹
角在原图所示坐标下左半拱 取正 ，右
半拱 取负
FP1 D φFND
FRA
FP1
1－2 FP2
o
2－3
FRB
FP3
FP2 FP1 1－2
E D A
FRA
C 2－3
FP3
F B
FRB
小结： 1) 压力线一定通过铰C。
2) 压力线与拱轴形状无关，只与三个铰A、B、C及 荷载的相对位置和荷载的大小有关。
3) 合力大小由力多边形确定，合力作用线由压力 线确定。 4) 若荷载是竖向集中力，则压力线为折线；若为均 布荷载，压力线为曲线。
FP1
例 ，说明反力和
内力计算方法。FHA A
yk
一、支座反力
a1
取整体，由
FVA
∑MB =0
a2 l/2
∑ FVA =
FPibi l
= FV0A
∑MA =0
∑ FVB =
FPi ai l
= FV0B
FP1 A
K
FV0A
C
FP2
f
yJ
b1
B FHB
x
b2 FVB
l/2
FP2
C
B
J
代梁
FV0B
水平推力 取AC部分，∑ MC = 0
12.5kN
7.5kN
求MK
yk
=
4×4 162
×
4(16
−
4)
=
3m
∑ M K = 0 M K = 12.5× 4 −10× 3 = 20kN.m(下拉)
求MJ yJ = 3m
∑ M J = 0 M J = 7.5× 4 −10× 3 = 30 − 30 = 0
3. 求FQK、FNK
xK＝4m
y'
FNK左
=
F0 QK左
sinϕ
+
FH
cosϕ
=14.53kN
FQK右
=
F0 QK右
cosϕ
−
FH
sinϕ
=
−6.71kN
15kN
A
K右
FNK右
=
F0 QK右
sinϕ
+
FH
cosϕ
=
7.82kN
12.5kN
FºQK右
求FQJ右、FNJ右 。
xJ＝12m
y
'
=
4×4 162
(16
−
2 ×12)
=
−
1 2
缺点：由于支座要承受水平推力，因而要求比梁具有更坚 固的地基或支承结构（墙、柱、墩、台等）
P
P
拉杆 拉杆来代替支座承受水平推力
提高净空
四、拱的各部分名称
拱趾
拱顶
拱轴线
起拱线
拱高 f
跨度 l
f
高跨比是拱结构的一个重
l
高跨比 要参数，对内力有很大影 响。
五、拱桥实例
赵州桥，又名安济桥，完成于公元605年，位于河北赵县，为国家重点保 护文物，被美国土木工程师学会选为“国际历史土木工程里程碑”。该桥为 空腹敞肩式坦拱桥，桥长64.4m，净跨37.02m，桥宽9m，净矢高 7.23m，桥面纵坡6.5%。
FQD = (FVA − FP1) cosϕ − FH sin ϕ = (FV0A − FP1) cosϕ − FH sin ϕ = FQ0D cosϕ − FH sin ϕ
FHA A FVA
φ
FQ0D
FH FQD
FND = (FVA − FP1) sin ϕ + FH cosϕ
= (FV0A − FP1) sin ϕ + FH cosϕ = FQ0D sin ϕ + FH cosϕ
+
FH
cosϕ
=
(−7.5) ×
(−0.447)
+10×
0.894
= 3.35 + 8.94 = 12.29kN
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
一、三铰拱的压力线
如果三铰拱某截面D以左(或以右)所有外力的 合力FRD已经确定，则该截面的弯矩、剪力、轴 力可按下式计算：
r FRD
MD
D
FND
αD
FRD FRD
三、例题
计算下面三铰拱K和J截面的内力
拱轴方程为
y=
4f l2
x(l − x)
y
FP1=15kN FP2=5kN
C
K
J
A
yk f=4m yJ
Bx
4m 4m 4m 4m
l/2
l/2
y FHA A
FP1=15kN FP2=5kN
C
K
J
yk f=4m yJ
B FHB x
FVA 4m 4m l/2
4m 4m FVB l/2
二、 三铰拱的合理轴线
在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯矩为零 的轴线就称为合理拱轴。
若用压力线作为三铰拱轴线，则任一截面弯矩都 为零，故压力线就是合理拱轴。
在竖向荷载作用下三铰拱任一截面弯矩为
令 得到
M = M 0 − FH ⋅ y
M =0
y= M0 FH
合理拱轴方程的表达式
例 求三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴。 q
FP1=15kN
A K
FV0A 4m 4m l/2
FP2=5kN
C
J B 代梁
4m
4m FV0B
l/2
y
FP1=15kN FP2=5kN
C
K
J
A
yk f=4m yJ
B
x
解：
FVA 4m 4m l/2
4m 4m FVB l/2
1. 支座反力 整体平衡 ∑ M B = 0
FVA
=
FV0A
=
1 16
( FP1
定义：三铰拱每个截 A 面一边所有外力的合力 FRA 作用点的连线，就称为 三铰拱的压力线。
B FRB
作压力线的方法和步骤为：
1）求三铰拱的支座反力FHA、FVA 、FHB、FVB，进而求出反力FRA、FRB
的大小和方向。
FHA FRA FVA
2）作封闭的力多边形，以确定拱轴各截面一
边外力合力的大小及方向。作力多边形时应按
FºQJ右＝－7.5kN
J右
B
FºQJ右＝－7.5kN 7.5kN
2
ϕ
5
-1
sinϕ = −0.447 cosϕ = 0.894
FQJ右
=
F0 QJ 右
cosϕ
−
FH
sin ϕ
=
−7.5×
0.894
−10×
(−0.447)
= −6.71+ 4.47 = −2.24kN
FNJ右
=
F0 QJ 右
sin ϕ
ql2 2
l2
可见合理拱轴为抛物线方程。
小结： 1，三铰拱的受力特点：主要受轴向压力。
2，三铰拱计算公式。
FVA = FV0A FVB = FV0B
MD
=
M
0 D
−
FHA
⋅
yD
FH
=
M
0 C
f
FQD = FQ0D cosϕ − FH sin ϕ
FND = FQ0D sin ϕ + FH cosϕ
3，三铰拱的合理拱轴。 作业： 4－1，4－2，4－3。
万县长江大桥，1997年竣工，劲性骨架混凝土拱桥，跨径420 米。
上海卢浦大桥，2003年建成通车，跨径550米，世界 最大跨径钢拱桥。
重庆朝天门长江大桥:桥梁美学与工程美学结合的精品工 程 ,在建。跨度552米。钢桁拱，公路、城市轻轨。
§4-2 三铰拱的计算
以图示竖向荷载 作用下三铰拱为
y
M
0 C
=
FV0A
×
l 2
−
FP1 ×
l 4
= 12.5×8 −15× 4
=
40kN.m