事件间的关系与事件的运算

第一周
随机事件及其概率运算
1.3
事件间的关系与事件的运算
事件关系（包含，相等，互不相容，对立）
（1）包含关系：若事件,A B 满足A B
⊂，则称事件B 包含事件A ，用示性函数表示
为()()ωω
≤A B I I .
（2）相等关系：若A B ⊂，且A B ⊂，即B A =，则称事件A 与事件B 相等（或等
价），为同一事件。

用示性函数表示为()()A B I I ωω=.
（3）互不相容关系，也称互斥关系：对于事件A 、B ，如果不可能同时发生，则A 、
B 称为互不相容事件，此时AB =Φ。

用示性函数表示为()()0A B I I ωω=.
（4）对立关系：如果两个事件A 、B 中，=B “A 不发生”，则A 、B 称为具有对
立关系（或互逆关系），又称B 为A 的对立事件，记为A B =。

用示性函数表示为()()1ωω+=A B I I .
Ω
Ω
*********************************************************事件运算（和，积，差，交换律，结合律，分配律，结合律，对偶律）
（1）事件的和：事件A 与事件B 的并集构成的事件称为事件A 与事件B 的和事件，
记为A B 或A B +，即{}|A B x x A x B =∈∈ 或，如图所示的阴影部分.显然，当且仅当事件A 与事件B 至少有一个发生时，事件A B 才发生。

n 个事件n A A A ,,,21 的和事件，即为n 个集合的并集 n k k A 1
=。

（2）事件的积（或交）：事件A 与事件B 的交集构成的事件称为事件A 与事件B 的积
（或交）事件，事件A 与事件B 同时发生。

记为A B 或AB 。

n 个事件n A A A ,,,21 的积事件，即为n 个集合的交集 n
k k A 1
=。

（3）事件的差：事件A 与事件B 的差集所构成的事件称为事件A 与事件B 的差事件，记为B A -。

{}|A B x x A x B AB -=∈∉=且。

当且仅当事件A 发生但事件B 不发生时，事件B A -
才发生.
例1.3.1某同学在篮球场上进行了连续3次投篮练习，记=i A {第i 次投中篮筐}，试用i A ()3,2,1=i 表示事件：
（1）=j B {连续3次投篮中恰好有j 次投中篮筐}()3,2,1,0=j ；（2）=k C {连续3次投篮中至少有k 次投中篮筐}()3,2,1,0=k .1123123123B A A A A A A A A A = ；2123123123B A A A A A A A A A = ；3213A A A B =.
（2）00123C B B B B =Ω= ；
1123123C A A A B B B == ；
212233123C A A A A A A B B == ；31233
C A A A B ==*********************************************************事件的运算律
交换律：A B B A =,BA AB =（即A B B A =）
分配律：()BC AC C B A =,()()()C B C A C B A =结合律：()()C B A C B A =，()()
BC A C AB =对偶律：
B A B A =，B
A B A =*********************************************************事件概率的几条基本性质：
*********************************************************
例1.3.2袋中有编号为n ,,2,1 的n 个球，从中有放回地任取m 次，求取出的m 个号码中最大编号恰好是k 的概率。

分析：最大编号不超过k 的基本事件数为m m
k n
解：设事件k A 为最大号码恰为k ，k B 表示最大号码不超过k ，
则1--=k k k B B A ，且k k B B ⊂-1，所以()()()
1--=k k k B P B P A P 又知()m
k m
k P B n
=()1,2,,k n = ，
得()()m
m
m k n k k A P 1--=
()n k ,,2,1 =。

*********************************************************
例1.3.3（匹配问题）n 封写给不同人的信随机放入n 个写好收信人姓名的信封，求所有信件都装错了信封的概率。

解：将n 封不同的信分别编号n ,,2,1 ，n 个对应的信封同样编号n ,,2,1 ，
设事件i A 表示编号为i 的信恰好装入了编号为i 的信封，则所求概率
()
n A A A P p 2101-=概率的加法公式：
()()()()
P A B P A P B P AB =+- ()()()()()()()()
P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC
=++---+
()()()
()()
12123121231
121
1111n n n i i i i i i i n i i i n i i i n i P A P A P A A P A A A P A A A -=≤<≤≤<<≤=⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭∑∑∑ ()
0121n p P A A A =- ()()()
()()12123121231
111111n n i i i i i i n i i i n i i i n P A P A A P A A A P A A -=≤<≤≤<<≤⎡⎤=--+-+-⎢⎥
⎣⎦
∑∑∑ ()
n
A P i 1
1=
,()
()()
111
21+--=
k n n n A A A P k i i i ()
n i i i k ≤<<<≤∀ 211()()1121111112!3!4!!
n n P A A A n -=-
+-++- 注意到()()
1
11
1
111111112!3!4!!
!
k n k e n k -∞
--=--=-+-++-+=
∑
可得1
00.37p e
-≈≈，当4n ≥时，这一估计值的误差不超过小于1%。

*********************************************************。