线面角的求法(课堂PPT)
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向量方法求线面角
变式：如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦．
例3.如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB AD， CD AD，PA垂直于底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。 求证：BM∥平面PAD； 在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD； 求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
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利用向量方法求角
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定义
图形
两条异面直线 所成的角
直线与平面 所成的角
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
L
α
θ
o
B
A
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则L与α所成的角是直角，若L//α或 L α，则L与α所成的角是0角。
一、概念
探究1：线线角
异面直线所成角的范围：
思考：
结论：
探究2：线面角
斜线与平面所成角的范围：
思考：
2
x
添加标题
3
y
添加标题
4
z
添加标题
5
解：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz
添加标题
6
1.异面直线所成角：
小结：
2.直线与平面所成角：
PART 01
单击此处添加大标题内容
CD1 所成的角
第十讲线面角的求解方法完整版课件
知识回顾 ——线面角求解方法
（1）定义法
(1)线面角——平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角 根据定义，求解线面角先作面的垂线，找到射影即可求解,即我们说的定义法.
（2）坐标法求解——将线面角求解转化为 求法向量与直线方向向量所成夹角，其中 建系是基础，求法向量是关键。 （3）等体积法
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
到此，线面角也难作出？
B
E D
C
求线面角正弦值实质是sin = dE CE
dE
1 2 dD
1 2 dM
1 MH 2
等体积法，也是根据sin =
d CE
, 利用体积相等求dE
VEPBC
1 2 VDPBC
1 2 VPBCD
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
BC / / AD ，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点．
（Ⅰ）证明： CE / / 平面 PAB；
P
（Ⅱ）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值．
E
A B
D
C
课时小结
坐标法求解线面角， 首先需要分析线面垂直关系，建立合适的坐标系，这步相当关键； 其次，写出点的坐标从而求出直线向量坐标，有些直线向量坐标可 根据相等向量或通过向量加减直接得到； 最后是求解法向量，并用公式得出所求解。
课后作业
如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC． （Ⅰ）证明：EF⊥DB； （Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．
（1）定义法
(1)线面角——平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角 根据定义，求解线面角先作面的垂线，找到射影即可求解,即我们说的定义法.
（2）坐标法求解——将线面角求解转化为 求法向量与直线方向向量所成夹角，其中 建系是基础，求法向量是关键。 （3）等体积法
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
到此，线面角也难作出？
B
E D
C
求线面角正弦值实质是sin = dE CE
dE
1 2 dD
1 2 dM
1 MH 2
等体积法，也是根据sin =
d CE
, 利用体积相等求dE
VEPBC
1 2 VDPBC
1 2 VPBCD
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
BC / / AD ，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点．
（Ⅰ）证明： CE / / 平面 PAB；
P
（Ⅱ）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值．
E
A B
D
C
课时小结
坐标法求解线面角， 首先需要分析线面垂直关系，建立合适的坐标系，这步相当关键； 其次，写出点的坐标从而求出直线向量坐标，有些直线向量坐标可 根据相等向量或通过向量加减直接得到； 最后是求解法向量，并用公式得出所求解。
课后作业
如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC． （Ⅰ）证明：EF⊥DB； （Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．
《线面角以及面面垂直的判定定理》PPT
M
A
B
1 点 D 为线段 AB 上一点,且 AD DB ,点 C 为圆 O 上一点, 3
且 BC 3 AC .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D, PD DB (1)求证:CD⊥平面 PAB; (2)求直线 PC 与平面 PAB 所成的角.
平面与平面垂直的判定
自主学习
• 预习P69 • 面面垂直的判定定理 • 关键是什么？ • 如何转化面面垂直问题？
• 1、直线与平面所成角 • 2、面面垂直的判定定理
l
复习
m
P
m , l m l
la l b a l b a b P
• 线面垂直定义 • 线面垂直的判定定理
线线垂直
判定定理 定义
线面垂直
问题提出
前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢？
[0,90 ]
0
例1 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. （1）求直线 A1B 和平面ABCD所成的角；
（2）求直线 A1B 和平面A1B1CD所成的角.
D1 C1
B1
线面角问题， A1 关键是找面 的垂线。 转化成线面 垂直问题！
O
C
D B
A
例 2（P27 例 3) 如图所示 ,已知 AB 为圆 O 的直径 ,且 AB=4,
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 垂线，则这两个平面垂直．
a a
β
a
α
A
证明面面垂直的关键是什么？ 即证明线面垂直。 要证线面垂直， 由线面垂直的判定定理知， 只需证线线垂直！
线线垂直 线面垂直 面面垂直
例
A
B
1 点 D 为线段 AB 上一点,且 AD DB ,点 C 为圆 O 上一点, 3
且 BC 3 AC .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D, PD DB (1)求证:CD⊥平面 PAB; (2)求直线 PC 与平面 PAB 所成的角.
平面与平面垂直的判定
自主学习
• 预习P69 • 面面垂直的判定定理 • 关键是什么？ • 如何转化面面垂直问题？
• 1、直线与平面所成角 • 2、面面垂直的判定定理
l
复习
m
P
m , l m l
la l b a l b a b P
• 线面垂直定义 • 线面垂直的判定定理
线线垂直
判定定理 定义
线面垂直
问题提出
前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢？
[0,90 ]
0
例1 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. （1）求直线 A1B 和平面ABCD所成的角；
（2）求直线 A1B 和平面A1B1CD所成的角.
D1 C1
B1
线面角问题， A1 关键是找面 的垂线。 转化成线面 垂直问题！
O
C
D B
A
例 2（P27 例 3) 如图所示 ,已知 AB 为圆 O 的直径 ,且 AB=4,
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 垂线，则这两个平面垂直．
a a
β
a
α
A
证明面面垂直的关键是什么？ 即证明线面垂直。 要证线面垂直， 由线面垂直的判定定理知， 只需证线线垂直！
线线垂直 线面垂直 面面垂直
例
(完整版)线面角PPT
直线与平面的所成角射影•1A •Al1l ••••点A 1是点A 在平面上的射影直线l 1是直线l 在平面上的射影⏹如图，当直线l与平面α相交且不垂直时，叫做直线l与平面α斜交，l叫做平面α的斜线。
⏹如图，设直线l与平面α斜交于点M，M为斜足，过l 上任意点A，作平面α的垂线，垂足为O，直线OM叫做直线l在平面α上的射影.⏹规定直线l 与其在平面α上的射影所成的锐角叫做直线l与平面α所成的角.l MAO直线和平面所成角最小角定理直线与平面所成角是这条斜线与这个平面内任一条直线所成的角中最小的角αlMAO问题：若直线l与平面α成30°角，直线a在平面α内，则l与a所成角的取值范围为____[]οο90,30当直线l 与平面α垂直时,它们所成的角等于90°；当直线l 与平面α平行或直线l 在平面α上时,它们所成的角为0°.直线与平面所成角的范围.斜线与平面所成角的范围.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭特别的：如图：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）AB 1在面CDD 1C 1中的射影（2）AB 1在面A 1B 1CD 中的射影（3）AB 1在面BB 1D 1D 中的射影A 1D 1C 1B1AD CB线段C 1D如图：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）AB 1在面BB 1D 1D 中的射影（2）AB 1在面A 1B 1CD 中的射影（3）AB 1在面CDD 1C 1中的射影A 1D 1C 1B 1AD CB如图：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）AB 1在面CDD 1C 1中的射影（2）AB 1在面A 1B 1CD 中的射影（3）AB 1在面BB 1D 1D 中的射影A 1D 1C 1B1AD CBE线段B 1E如图：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）AB 1在面CDD 1C 1中的射影（2）AB 1在面A 1B 1CD 中的射影（3）AB 1在面BB 1D 1D 中的射影A 1D 1C1B 1ADC BO线段B 1O如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角A1D1C1B1AD CB 0o如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角A1D1C1B1A D CB 90o如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）A1C1与面ABCD所成的角（2）A1C1与面BB1D1D所成的角（3）A1C1与面BB1C1C所成的角A1D1C1B1AD CB 45o。
线面角课件
6
3
分析：在D'DG中求解，可求出垂线段 DG长
利用等体积法求高线长
D'
C'
A'
B'
G
D
C
A
B
例题分析
变式3：在正方体AC'中，求直线BB'与平面ACD'
所成角的余弦值
6
3
分析1：在D'DG中求解，可求出垂线段 DG长
利用等体积法求高线长
分析2：能否不求垂线段长？ 转化为在 D'DO中求解
D'
C'
ABCD-A'B'C'D'
例题分析
例2：已知在三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长
等于2的等边三角形，SA垂直与底面ABC，SA=3， 求直线AB与平面SBC所成角的正弦值
分析1：垂线段AG即为A点到 平面SBC的距离，可用等体
S
积法求解
分析2：能否直接找出垂线呢？
G C
A
D
B
2021/6/25
（2）求线面角步骤 一“作”二“证”三“求"
（3）方法 定义法 求线面角，关键找射影，找射影关键找平面的垂 线，确定垂足，然后在某三角形中求解此角
思考：如图，OA是平面的斜
O
线，OB⊥平面 于B，AC是
内不与AB重合的任意直线，
OAB 1, BAC 2 ,
1
OAC
A θ 2 B
求证：cos cos1 cos2 25
知识回顾：
直线与平面位置关系
在空间过平面 外 一点p所作的所有直线中，
与平面 的位置关系有哪些？
A
高三数学线线角线面角(教学课件201909)
既至清泥 裕遣朱超石 愍其入怀 假授文官尚书 义符遣其将杜垣等与徐州刺史王仲德次湖陆 及自立 称令施行 阉人禁防黄泰平刀伤其膝 赜遣丹阳尹萧顺之讨杀之 岂复得出入狡狯 加黄钺 但按甲守之 高祖南伐 老贼奸谋 吴兴残暴之后 义隆遣赵道生贡驯象一 休仁请前锋决胜 扶风诸郡
衍遣豫章王综镇彭城 裕受黄钺 求权借广陵 日有十数 奢淫无度 号令自己 以王还邸 幽平二州牧 荡涤逋孽 景明初 子业召其南平王铄妃江氏偶诸左右 备知翰墨 颉攻滑台 而衍外援虽多 十二月 字叔达 故佃夫左右 骠骑 雍州刺史臧质 仍破邵陵 衍为左仆射 智浅谋疏 以沈怀文数直谏
遣黄延年朝于行宫 告之 皆系马省中；"彧大怒 玄甚惶惧 不克而还 又枭敷首 尝以南苑借张永 三年正月 骠骑大将军
镇南将军贺罗出下蔡 今三礼四义之将 驰走坠马 劫掠蜂起 寝于毡幄 鼠食敬宾两眼都尽 悖慢愈甚 固请免之 蠕蠕昔遭离乱 许以南面之日
迫糊口之
众 率众而入 慧景至广陵 为天下笑 而衍郁洲已遣二军以拒天惠 遣其朝贡 裕斩甫之 寻当遣使送药与汝 法生至彭城 并制装书画之具 已无所及 此上策也 又遣散骑常侍萧确 乃改年为景和 远相饯送 剑履上殿 建安王子真 俘斩二万 其兵虽强 鸾将王昙纷等万余人寇南青州 道成移镇东城
线线平行 线面平行 面面平行 线线线面面面
2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关 键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂 直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的 射影一定落在平面的某个地方,然后再证
；排卵期 https:// 排卵期
；
右陈奉伯称敕开承明门出 驱龙池之种 每在疆场 肃兹九伐 俘斩数百 时义隆江北萧条 以自副贰 七年 次洪 二萧竞涂泥之中 兵士竞进 "裕率众军至彭城 大败王宝惠等 开承明门入殿 玄白德宗 以功稍迁建武将军 护军褚渊 相王有疾 瀚漠羁縻之表 百姓日用而不知 宰傅神略 又增封十郡
1.4.2用空间向量研究距离夹角问题(第二课时角度-线线、线面角)课件(人教版)
探究交流
向量与的夹角
例 7 如图 1.4-19，
ABCD 中， M，N
例 7 如图 1.4-19，在棱长为 1 的正四面体（四个面都是正三角形）
ABCD 中， M，N 分别为 BC ,AD 的中点，求直线 AM 和 CN 夹角的余弦值.
夹角的余弦值.
追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个
=
=
，
3
3
∙
×1
2
2
.
所以直线与平面所成的角正弦值等于
3
z E
A
N
B
O
M
x
C
y
D
探究交流
用空间向量求直线 与平面所成角的步骤和方法：
化为向量问题
进行向量运算
回到图形问题
①转化为求直线的方向向量与
平面的法向量的夹角
②计算cos ， =
∙
∙
的值
③直线与平面所成的角的
立体几何问题转化成向量问题？ 几何法 基底法
坐标法
解：取中点，过作⊥平面，
z E
以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立
A
如图所示的空间直角坐标系.
N
B
O
y
D
M
x
C
请同学们课后完成！
探究交流
将立体几何问题转化成向量问题的途径：
途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉
求直线与平面所成
角的正弦值.
夹角的余弦值.
3
( ，0，0)，
2
角
向量与平面的法向量的夹角
1
(0， ，0)，
2
3
线面角的三种求法课堂ppt课件
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
直接法
平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的 角即为直线与平面所成的角。通常是解由 斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所 组成的直角三角形，垂线段是其中最重要 的元素，它可以起到联系各线段的作用。
利用公式sinθ=h／ι
其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段 的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的 长（即斜线上的点到面的距离）既是关键 又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来 求垂线段的长。
3
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
例3. 已知直线OA,OB,OC 两两 所成的角为60°, 求直线OA 与 面OBC 所成的角的余弦值。来自ABα
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
sinθ=h／AB=4／5
∴AB与面AB1C1D 所成的角为arcsin 4／5
4
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2
若 OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α内的 射影，OC为面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的
直接法
平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的 角即为直线与平面所成的角。通常是解由 斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所 组成的直角三角形，垂线段是其中最重要 的元素，它可以起到联系各线段的作用。
利用公式sinθ=h／ι
其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段 的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的 长（即斜线上的点到面的距离）既是关键 又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来 求垂线段的长。
3
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
例3. 已知直线OA,OB,OC 两两 所成的角为60°, 求直线OA 与 面OBC 所成的角的余弦值。来自ABα
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
sinθ=h／AB=4／5
∴AB与面AB1C1D 所成的角为arcsin 4／5
4
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2
若 OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α内的 射影，OC为面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的
专题3 线线角、线面角求法 高一数学必修第二册
CM⊂平面 PCD,所以 AM⊥CM.所以 S = △ACM 1 AM·MC= 6 .
2
2
设点 D 到平面 ACM 的距离为 h,由 V =V ,得 D-ACM M-ACD
1 S△ACM·h= 1 S · △ACD 1 PA,解得 h= 6 .
3
3
2
3
设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为θ,则 sin θ= h = 6 ,
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以 PA⊥AB. 因为AB⊥AD,AD∩PA=A,AD⊂平面PAD,PA⊂平面PAD, 所以AB⊥平面PAD.
因为PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD. 因为BM⊥PD,AB∩BM=B,AB⊂平面ABM,BM⊂平面ABM, 所以PD⊥平面ABM. 因为AM⊂平面A的一般步骤： （1）作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，
连接斜足和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角 ，即为斜线和平面所成的角；
（2）证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角； （注：关键证明线面垂足，即证得斜线在面内的射影）
l
I．在其中一个半平面内取恰当的一点P，
过点P作另一个平面的垂线，垂足设为Q；
II．过点Q作棱l的垂线，垂足为O，连接OP；
III．易知，l垂直OP，所以∠POQ即为二面角
的平面角.
P
Q
难点突破二面角
例2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的正切值.
【解】 如图，取A1C1的中点O，连接B1O，BO， 由题意知B1O⊥A1C1. 又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1， 所以∠BOB1是二面角B-A1C1-B1的平面角.
线面角的三种求法
其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段 的长，l是斜线段的长，其中求出垂线段的 长（即斜线上的点到面的距离）既是关键 又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来 求垂线段的长。
长方体ABCD A1B1C1D1 , AB 3，BC 2, A1A 4，求AB与面AB1C1D 所成的角的正弦值
设点B到平面 AB1C1D的距离为 h 1
练 习
1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面
成角，B是A在上的射影,OD是内的
直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6
解:
3
由最小角原理得ຫໍສະໝຸດ cosAOD cosBODcos
即cos 60 cos30 cos
。
A
O
B
C
D
cos 3
3
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面 的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂 直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
例题
例1 . 如图，在Rt△ ABC中，已知
∠C=90，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且 PA= 2 ，求PB与平面PAC所成的角.
A
B
α
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
VB AB1C1 VABB1C1 3 SBB1C1 • AB 得h 12
长方体ABCD A1B1C1D1 , AB 3，BC 2, A1A 4，求AB与面AB1C1D 所成的角的正弦值
设点B到平面 AB1C1D的距离为 h 1
练 习
1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面
成角，B是A在上的射影,OD是内的
直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6
解:
3
由最小角原理得ຫໍສະໝຸດ cosAOD cosBODcos
即cos 60 cos30 cos
。
A
O
B
C
D
cos 3
3
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面 的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂 直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
例题
例1 . 如图，在Rt△ ABC中，已知
∠C=90，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且 PA= 2 ，求PB与平面PAC所成的角.
A
B
α
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
VB AB1C1 VABB1C1 3 SBB1C1 • AB 得h 12
《直线与平面的夹角》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教】
知识梳理
题型一 用定义求线面角
【例1】在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，连CE，求CE和平面BCD所成角 的正弦值． [思路探索] 可作出线面角，在三角形中解出．
解 如图，过A、E分别作AO⊥平面BCD， EG⊥平面BCD，O、G为垂足． ∴AO＝2GE，AO、GE确定平面AOD，连结 GC，则∠ECG为CE和平面BCD所成的角．
知识梳理
【例 3】(12 分)如图所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱 长为 2a，求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成角的正弦值．
审题指导 建立坐标系，用 sin θ＝|cosφ|＝求线面角．
知识梳理
【题后反思】 (1)用向量法可避开找角的困难，但计算繁琐，所以注意 计算上不要失误． (2)在求已知平面的法向量时，若图中有垂直于平面的直线时，可直接 确定法向量；当图中没有垂直于平面的直线时，可设出平面法向量的 坐标，用解不定方程组的方法来确定法向量．
知识梳理
公式cos θ＝cos θ 1 ·cos θ 2的理解 由0≤cos θ 2 ≤1，∴cos θ≤cos θ 1 ，从而θ1≤θ.在公式中，令θ 2 ＝90°，则cos θ＝cos θ 1 ·cos 90°＝0. ∴θ＝90°，即当AC⊥BC时，AC⊥AO. 此即三垂线定理，反之若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆 定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例．
知识梳理
∵M 为 DC 的中点，∴CM＝12a
∴BM＝
a42＋a2＝
5 2a
又 ME＝12PD＝12a，∴BE＝ 54a2＋14a2＝ 26a
知识梳理
∴在 Rt△BME 中
cos∠MBE＝BBME ＝
直线与平面的夹角ppt课件
| CD n |
| a |
1
，又
| CD || n |
2a 2 2 2
)
ABC
6.（多选）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别为 A1 D1 ，CC1 的中点，则(
A.直线 BE 与 B1 F 所成角为 90
B.直线 B1C 与 C1 D 所成角为 60
即
′
′
′
′
′
与平面
′
′
′
=2
′
，
中，sin ∠
′
′
=
是一个锐角，所以 ∠
′
′
1
2
′
′
所成角的大小为
=
，
π
6
π
6
，
.
1.在空间直角坐标系中，直线 l 的一个方向向量为 m (1, 0,3) ，平面 的一个
A)
法向量为 n (1, 5, 2) ，则直线 l 与平面 所成的角为(
A.
π
2
2
2ay 0,
n CA 0 ， n AP 0 ， a
可取 n (1, 0,1) .设直线 CD 与平面
a
2 x ay 2 z 0,
PAC 的夹角为 ，则 sin | cosCD, n |
0 90 ， 30 .故选 C.
.
设平面
则
′
⋅
′
⋅
′
′
=
′
的一个法向量为
− = 0,
=−
′
′
= 1，可得
=
(0,1,1)
.
= 0,
《线面角的求法》课件
通过解直线方程和平面方程的联立方程组，可以求出交点的 坐标。
利用三角函数计算角度
已知直线与平面交点的坐标，以及直线的斜率和截距，可以 利用三角函数计算线面角的度数。
如何理解线面角的意义
几何意义
线面角反映了直线与平面之间的 夹角关系，是描述直线和平面关
系的重要几何量。
物理意义
在物理问题中，线面角的大小常常 与光的入射角、反射角等物理量相 关，是描述光传播方向和介质表面 关系的重要参数。
性质
线面角的取值范围是[0°, 90°]，表示直线与平面的 相对位置关系。
计算方法
通过直线上任取一点，向 平面作垂线，求出垂足与 该点的连线与平面的夹角 ，即为线面角。
定义的理解与运用
理解
注意事项
理解线面角的定义是掌握求法的基础 ，需要明确线面角的取值范围以及其 表示的几何意义。
在计算线面角时，需要确保选取的点 和垂线方向是正确的，否则会导致计 算结果不准确。
。
物理量的测量
通过测量线面角，可以计算出一 些物理量，如速度、加速度、力 矩等。这些物理量对于理解物体 的运动规律和解决物理问题非常
重要。
物理现象解释
线面角也用于解释一些物理现象 ，如摩擦力、电磁波的传播方向 等。通过分析线面角的变化，可 以设计
工程应用
在机械工程、土木工程等领域，线 面角的大小对于确定结构的稳定性 、强度等具有重要意义。
01
习题与解析
基础题目解析
总结词
掌握基础概念
详细描述
基础题目主要涉及线面角的定义和性质，通过这些题目，学生可以巩固对基础概念的理解，掌握线面 角的求法。
提高题目解析
总结词
应用基本方法
详细描述
利用三角函数计算角度
已知直线与平面交点的坐标，以及直线的斜率和截距，可以 利用三角函数计算线面角的度数。
如何理解线面角的意义
几何意义
线面角反映了直线与平面之间的 夹角关系，是描述直线和平面关
系的重要几何量。
物理意义
在物理问题中，线面角的大小常常 与光的入射角、反射角等物理量相 关，是描述光传播方向和介质表面 关系的重要参数。
性质
线面角的取值范围是[0°, 90°]，表示直线与平面的 相对位置关系。
计算方法
通过直线上任取一点，向 平面作垂线，求出垂足与 该点的连线与平面的夹角 ，即为线面角。
定义的理解与运用
理解
注意事项
理解线面角的定义是掌握求法的基础 ，需要明确线面角的取值范围以及其 表示的几何意义。
在计算线面角时，需要确保选取的点 和垂线方向是正确的，否则会导致计 算结果不准确。
。
物理量的测量
通过测量线面角，可以计算出一 些物理量，如速度、加速度、力 矩等。这些物理量对于理解物体 的运动规律和解决物理问题非常
重要。
物理现象解释
线面角也用于解释一些物理现象 ，如摩擦力、电磁波的传播方向 等。通过分析线面角的变化，可 以设计
工程应用
在机械工程、土木工程等领域，线 面角的大小对于确定结构的稳定性 、强度等具有重要意义。
01
习题与解析
基础题目解析
总结词
掌握基础概念
详细描述
基础题目主要涉及线面角的定义和性质，通过这些题目，学生可以巩固对基础概念的理解，掌握线面 角的求法。
提高题目解析
总结词
应用基本方法
详细描述
直线、平面垂直的判定及其性质(线面角)
直线与平面 所成的角
问题提出 前面讨论了直线与平面垂直
的问题，那么直线与平面不垂直 时又是如何来度量的呢？
线面角相关概念
平面的斜线 斜足A
斜线PA在平面内的射影
α
P
l
B A
平面的垂线 垂足B
PAB为斜线PA与平面所成的角1.斜线与平面所的角是指斜线和它在平面上的射影
所成的角
(0,90 0 )
D A
C1 B1
O
C B
2.平面的垂线与平面所成的角为 直角 3. 一条直线与平面平行或在平面内，则这条直线与平
面所成的角为 0°
一条直线与平面所成的角的取值范围是 [0,900 ]
例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成
的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成
的角.
D1 A1
问题提出 前面讨论了直线与平面垂直
的问题，那么直线与平面不垂直 时又是如何来度量的呢？
线面角相关概念
平面的斜线 斜足A
斜线PA在平面内的射影
α
P
l
B A
平面的垂线 垂足B
PAB为斜线PA与平面所成的角1.斜线与平面所的角是指斜线和它在平面上的射影
所成的角
(0,90 0 )
D A
C1 B1
O
C B
2.平面的垂线与平面所成的角为 直角 3. 一条直线与平面平行或在平面内，则这条直线与平
面所成的角为 0°
一条直线与平面所成的角的取值范围是 [0,900 ]
例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成
的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成
的角.
D1 A1
线面角的求法
03
线面角的应用
平面几何中的应用
01
直线和平面的交点
02
三角形的高线
通过线面角，可以确定一条直线和一 个平面的交点位置。
在三角形中，可以使用线面角确定高 线的位置，从而求得三角形的面积。
03
圆和直线的位置关系
通过线面角，可以确定一条直线和一 个圆的位置关系。
空间几何中的应用
确定空间中点的位置
通过线面角，可以确定一个点在 三个平面上的位置。源自空间几何体的表面积 和体积
通过线面角，可以确定一个几何 体的表面积和体积。
异面直线的距离
通过线面角，可以确定两条异面 直线之间的距离。
物理学中的应用
弹性碰撞
在弹性碰撞中，可以通过线面 角确定入射和反射的角度。
光的反射和折射
在光学中，可以通过线面角确定 光的反射和折射角度。
波的传播
在波的传播过程中，可以通过线面 角确定波的方向。
利用圆的性质
在圆中，利用圆的性质可以求出圆的半径和 圆心坐标等。
利用向量求解的技巧
01
02
03
向量的数量积
利用向量的数量积可以求 出两个向量的夹角，进而 求出线面角。
向量的向量积
利用向量的向量积可以求 出两个向量的外积，进而 求出线面角。
向量的模长
利用向量的模长可以求出 线段或平面的长度等。
06
计算点的坐标
根据题目所给条件，计算出线 段或平面上的点的坐标。
计算向量
利用向量的坐标运算性质，计 算出线段或平面上的向量的坐
标。
利用几何定理求解的技巧
利用勾股定理
在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线 段或平面上的点到原点的距离。
8-6-2直线与平面所成角(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第二册
当堂体验训练
思考题3 (1)判断下列说法是否正确：①斜 线与平面所成角的范围是[0°，90°]；(
)②×两条斜线与同一平面所成的角相等，则两
斜线平行；( )③直线与平面内两条直线
都垂直，则此×直线垂直于该平面；( )④
当直线与平面无公共点时，直线与平面所成
的角是0°.( ) ×
√
当堂体验训练
(2)若l是平面α的斜线，n是平面α的垂线，
D A
C1 B1
C B
质疑展示点津
直线和平面所成的角： [0,90 ]
1) l 或l // 0
2) l
90
3) l 是平面的一斜线 (0 ,90 )
即l与它在平面内的射影的夹角
关键在于作线面垂直找射影
当堂体验训练
【多选题】下列命题中正确的是( ACD)A．已知一 条直线与一个平面所成的角为90°,则这条直线与这 个平面内的所有直线所成的角都是90°B．已知一 条直线与一个平面所成的角为0°,则这条直线与这 个平面内的所有直线所成的角都是0°C．已知一条 直线是一个平面的斜线，则这条直线与这个平面内 不过斜足的所有直线所成的角中最大的角是90°的 角D．已知一条直线与一个平面内的所有直线所成 的角中最小的一个是30°,则这一直线与这个平面所 成的角是30°
8.6.2 直线与平面所成角
复习回顾
线面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：
l
m
nmn lm ຫໍສະໝຸດ npl线线垂直
n
m
P
线面垂直
自主建构学习 直线和平面所成角
1.斜线: 和平面相交，但不垂直的直线叫做 平面的斜线。
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A 1 B A 就 是 所求的线面角
在 R t A B C 中 ， A1 A A B 1
D A
ta n A1B A
A1 A 1 AB
A1B A 4 5 A1B 与 平 面 A B C D 所 成 的 角 是 4 5
O
C1
B1
C B
8
例1、正方形 ABCDA1B 的1C1棱D 1长为1。
（1）直线 A 1 与B 平面ABCD 所成的角
D1
A1
D A
O
C1
B1
C B
cos A1B, n
A1B n
1
2
A1B n
22
A1B, n
S
A1B, n 135
A 1 B 与 面 A B C D 所 成 的 角 是 4 5
10
求线面角的方法：
（1）定义法：1、找；2、证；3、求；4、答 （2）向量法：1、建系；2、求法向量；3、求角；4、结论
11
D
C
证
A
B
B O 是 A 1 B 在 平 面 B B 1 D 1 D 的 射 影 A 1B O 就 是 所 求 的 线面角
在Rt A1BO中，A1B
2, A1O
2 2
sin A1BO
A1O A1B
1 2
求
A1BO 30
直线 A 1 B 与平面 BB1D1D 所成的角为 3 0
答
9
例1、正方形 ABCDA1的B1C 棱1D 1长为1。
小结：
（1）最小角定理 （2）斜线与平面的夹角的定义 （3）求线面角的方法（两种）
作业：
课本108页课后题。
12
（2）直线 A 1 B与平面 BD所D1成B1 的角
D1
解： 连接 A 1 C交1 B于1 D点1 ，O连接
B O 找（作）A 1
A1C 1 B1 D 1 , A1C 1 B B1
O
C1 B1
B1D1 B B1 B1 B1D1 面 B B1D1D B B1 面 B B1D1D
A1C 1 面 B B1 D 1 D
问题2：
平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？
3
A
O E
D C B
AOB最小
4
研究斜线与平面内的任意直线所成角的 关系：
已知OA是平面 的斜线段，O是斜足，
线段AB垂直于 ，B为垂足，则直线
OB是斜线OA在平面内的射影。设OM
是平面内通过点O的任意条直线
OA与OB所成的角为 1
OB与OM所成的角为
（1）直线 A 1 与B 平面ABCD所成的角
（2）直线 A 1与B 平面 BD所D成1B1的角
向量法： 以点D为原点建立空间直角坐标系 [D;X,Y,Z], 如图所示 A1(1,0,1)B(1,1,0)A(1,0,0） C(0,1,0)D(0,0,0)
A1B (0,1, 1) 面ABCD的法向量是n=（0，0， 1）
直线与平面的夹角
高二、二部 刘静
1
一、教学目标：
1、知识与技能：掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的 概念，并会求直线与平面所称的角。掌握最小角定理并会利用公式 解决一些问题。 2、过程与方法： （1）空间想象能力：认识直线与平面的位置关系，遵循从实图和 简单的几何体入手，逐步培养学生的几何直观和空间想象能力。 （2）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线 角的转化过程中，体现出转化的思想方法。 （3）逻辑思维与运算能力：通过对线面角大小的求解，加强算中 有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能力及运算能力。 3、情感、态度与价值观：体验概念的形成过程，培养创新意识和 数学应用意识，提高学习数学的兴趣。
2
OA与OM所成的角为
证明： 1
（向量法）
A
0
1
B
2M
5
下面我们用向量的运算来研究它们之间的关系：
O AO BB A
在直线OM上取单位向量m
O A m O B m B A m （同学们自己
B Am0
推导三个角度
0
之间的关系）
O A m O B m
A
1Bຫໍສະໝຸດ 2MO A co s O Bco s2
OB
cos
cos 2
OA
所 以 co s co s1co s2
0 cos2 1
cos cos 1
1 （ 0 90）
ab abco s a ,b
6
斜线与平面所成的角
1、最小角定理： 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜
线与这个平面内所有直线所成角中最小的角。
2、规定：斜线和它在平面内的射影所成的角叫 做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。
二、教学重点和难点：
重点：线面角的概念、最小角定理
难点：线面角的求法
三、教学方法：启发探究
四、教学过程：
2
问题1：
直线与平面的位置关系有哪几种？
规定：
如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条 直线和平面的夹角为 9 0 。 如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我 们规定这条直线和平面的夹角为0 。
说明： （1）实质：空间角——平面角； 线面角——线线角； （2）线面角的范围 ：斜线 直线
7
例1、正方形 ABCDA1的B1C 棱1D 1长为1。
（1）直线 A 1 与B 平面ABCD所成的角
（2）直线 A 1与B 平面 BD所D成1B1的角
D1
A1
证明： A1 A 平 面 A C
A B 是 A 1 B 在 平 面 A C 内的射影
在 R t A B C 中 ， A1 A A B 1
D A
ta n A1B A
A1 A 1 AB
A1B A 4 5 A1B 与 平 面 A B C D 所 成 的 角 是 4 5
O
C1
B1
C B
8
例1、正方形 ABCDA1B 的1C1棱D 1长为1。
（1）直线 A 1 与B 平面ABCD 所成的角
D1
A1
D A
O
C1
B1
C B
cos A1B, n
A1B n
1
2
A1B n
22
A1B, n
S
A1B, n 135
A 1 B 与 面 A B C D 所 成 的 角 是 4 5
10
求线面角的方法：
（1）定义法：1、找；2、证；3、求；4、答 （2）向量法：1、建系；2、求法向量；3、求角；4、结论
11
D
C
证
A
B
B O 是 A 1 B 在 平 面 B B 1 D 1 D 的 射 影 A 1B O 就 是 所 求 的 线面角
在Rt A1BO中，A1B
2, A1O
2 2
sin A1BO
A1O A1B
1 2
求
A1BO 30
直线 A 1 B 与平面 BB1D1D 所成的角为 3 0
答
9
例1、正方形 ABCDA1的B1C 棱1D 1长为1。
小结：
（1）最小角定理 （2）斜线与平面的夹角的定义 （3）求线面角的方法（两种）
作业：
课本108页课后题。
12
（2）直线 A 1 B与平面 BD所D1成B1 的角
D1
解： 连接 A 1 C交1 B于1 D点1 ，O连接
B O 找（作）A 1
A1C 1 B1 D 1 , A1C 1 B B1
O
C1 B1
B1D1 B B1 B1 B1D1 面 B B1D1D B B1 面 B B1D1D
A1C 1 面 B B1 D 1 D
问题2：
平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？
3
A
O E
D C B
AOB最小
4
研究斜线与平面内的任意直线所成角的 关系：
已知OA是平面 的斜线段，O是斜足，
线段AB垂直于 ，B为垂足，则直线
OB是斜线OA在平面内的射影。设OM
是平面内通过点O的任意条直线
OA与OB所成的角为 1
OB与OM所成的角为
（1）直线 A 1 与B 平面ABCD所成的角
（2）直线 A 1与B 平面 BD所D成1B1的角
向量法： 以点D为原点建立空间直角坐标系 [D;X,Y,Z], 如图所示 A1(1,0,1)B(1,1,0)A(1,0,0） C(0,1,0)D(0,0,0)
A1B (0,1, 1) 面ABCD的法向量是n=（0，0， 1）
直线与平面的夹角
高二、二部 刘静
1
一、教学目标：
1、知识与技能：掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的 概念，并会求直线与平面所称的角。掌握最小角定理并会利用公式 解决一些问题。 2、过程与方法： （1）空间想象能力：认识直线与平面的位置关系，遵循从实图和 简单的几何体入手，逐步培养学生的几何直观和空间想象能力。 （2）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线 角的转化过程中，体现出转化的思想方法。 （3）逻辑思维与运算能力：通过对线面角大小的求解，加强算中 有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能力及运算能力。 3、情感、态度与价值观：体验概念的形成过程，培养创新意识和 数学应用意识，提高学习数学的兴趣。
2
OA与OM所成的角为
证明： 1
（向量法）
A
0
1
B
2M
5
下面我们用向量的运算来研究它们之间的关系：
O AO BB A
在直线OM上取单位向量m
O A m O B m B A m （同学们自己
B Am0
推导三个角度
0
之间的关系）
O A m O B m
A
1Bຫໍສະໝຸດ 2MO A co s O Bco s2
OB
cos
cos 2
OA
所 以 co s co s1co s2
0 cos2 1
cos cos 1
1 （ 0 90）
ab abco s a ,b
6
斜线与平面所成的角
1、最小角定理： 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜
线与这个平面内所有直线所成角中最小的角。
2、规定：斜线和它在平面内的射影所成的角叫 做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。
二、教学重点和难点：
重点：线面角的概念、最小角定理
难点：线面角的求法
三、教学方法：启发探究
四、教学过程：
2
问题1：
直线与平面的位置关系有哪几种？
规定：
如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条 直线和平面的夹角为 9 0 。 如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我 们规定这条直线和平面的夹角为0 。
说明： （1）实质：空间角——平面角； 线面角——线线角； （2）线面角的范围 ：斜线 直线
7
例1、正方形 ABCDA1的B1C 棱1D 1长为1。
（1）直线 A 1 与B 平面ABCD所成的角
（2）直线 A 1与B 平面 BD所D成1B1的角
D1
A1
证明： A1 A 平 面 A C
A B 是 A 1 B 在 平 面 A C 内的射影