线面角的求法(课堂PPT)
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问题2：
平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？
3
A
O E
D C B
AOB最小
4
研究斜线与平面内的任意直线所成角的 关系：
已知OA是平面 的斜线段，O是斜足，
线段AB垂直于 ，B为垂足，则直线
OB是斜线OA在平面内的射影。设OM
是平面内通过点O的任意条直线
OA与OB所成的角为 1
OB与OM所成的角为
cos 2
OA
所 以 co s co s1co s2
0 cos2 1
cos cos 1
1 （ 0 90）
ab abco s a ,b
6
斜线与平面所成的角
1、最小角定理： 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜
线与这个平面内所有直线所成角中最小的角。
2、规定：斜线和它在平面内的射影所成的角叫 做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。
D
C
证
A
B
B O 是 A 1 B 在 平 面 B B 1 D 1 D 的 射 影 A 1B O 就 是 所 求 的 线面角
在Rt A1BO中，A1B
2, A1O
2 2
sin A1BO
A1O A1B
1 2
求
A1BO 30
直线 A 1 B 与平面 BB1D1D 所成的角为 3 0
答
9
例1、正方ห้องสมุดไป่ตู้ ABCDA1的B1C 棱1D 1长为1。
A 1 B A 就 是 所求的线面角
在 R t A B C 中 ， A1 A A B 1
D A
ta n A1B A
A1 A 1 AB
A1B A 4 5 A1B 与 平 面 A B C D 所 成 的 角 是 4 5
O
C1
B1
C B
8
例1、正方形 ABCDA1B 的1C1棱D 1长为1。
（1）直线 A 1 与B 平面ABCD 所成的角
二、教学重点和难点：
重点：线面角的概念、最小角定理
难点：线面角的求法
三、教学方法：启发探究
四、教学过程：
2
问题1：
直线与平面的位置关系有哪几种？
规定：
如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条 直线和平面的夹角为 9 0 。 如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我 们规定这条直线和平面的夹角为0 。
2
OA与OM所成的角为
证明： 1
（向量法）
A
0
1
B
2M
5
下面我们用向量的运算来研究它们之间的关系：
O AO BB A
在直线OM上取单位向量m
O A m O B m B A m （同学们自己
B Am0
推导三个角度
0
之间的关系）
O A m O B m
A
1
B
2M
O A co s O Bco s2
OB
cos
直线与平面的夹角
高二、二部 刘静
1
一、教学目标：
1、知识与技能：掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的 概念，并会求直线与平面所称的角。掌握最小角定理并会利用公式 解决一些问题。 2、过程与方法： （1）空间想象能力：认识直线与平面的位置关系，遵循从实图和 简单的几何体入手，逐步培养学生的几何直观和空间想象能力。 （2）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线 角的转化过程中，体现出转化的思想方法。 （3）逻辑思维与运算能力：通过对线面角大小的求解，加强算中 有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能力及运算能力。 3、情感、态度与价值观：体验概念的形成过程，培养创新意识和 数学应用意识，提高学习数学的兴趣。
D1
A1
D A
O
C1
B1
C B
cos A1B, n
A1B n
1
2
A1B n
22
A1B, n
S
A1B, n 135
A 1 B 与 面 A B C D 所 成 的 角 是 4 5
10
求线面角的方法：
（1）定义法：1、找；2、证；3、求；4、答 （2）向量法：1、建系；2、求法向量；3、求角；4、结论
11
小结：
（1）最小角定理 （2）斜线与平面的夹角的定义 （3）求线面角的方法（两种）
作业：
课本108页课后题。
12
（2）直线 A 1 B与平面 BD所D1成B1 的角
D1
解： 连接 A 1 C交1 B于1 D点1 ，O连接
B O 找（作）A 1
A1C 1 B1 D 1 , A1C 1 B B1
O
C1 B1
B1D1 B B1 B1 B1D1 面 B B1D1D B B1 面 B B1D1D
A1C 1 面 B B1 D 1 D
（1）直线 A 1 与B 平面ABCD所成的角
（2）直线 A 1与B 平面 BD所D成1B1的角
向量法： 以点D为原点建立空间直角坐标系 [D;X,Y,Z], 如图所示 A1(1,0,1)B(1,1,0)A(1,0,0） C(0,1,0)D(0,0,0)
A1B (0,1, 1) 面ABCD的法向量是n=（0，0， 1）
说明： （1）实质：空间角——平面角； 线面角——线线角； （2）线面角的范围 ：斜线 直线
7
例1、正方形 ABCDA1的B1C 棱1D 1长为1。
（1）直线 A 1 与B 平面ABCD所成的角
（2）直线 A 1与B 平面 BD所D成1B1的角
D1
A1
证明： A1 A 平 面 A C
A B 是 A 1 B 在 平 面 A C 内的射影
平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？
3
A
O E
D C B
AOB最小
4
研究斜线与平面内的任意直线所成角的 关系：
已知OA是平面 的斜线段，O是斜足，
线段AB垂直于 ，B为垂足，则直线
OB是斜线OA在平面内的射影。设OM
是平面内通过点O的任意条直线
OA与OB所成的角为 1
OB与OM所成的角为
cos 2
OA
所 以 co s co s1co s2
0 cos2 1
cos cos 1
1 （ 0 90）
ab abco s a ,b
6
斜线与平面所成的角
1、最小角定理： 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜
线与这个平面内所有直线所成角中最小的角。
2、规定：斜线和它在平面内的射影所成的角叫 做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。
D
C
证
A
B
B O 是 A 1 B 在 平 面 B B 1 D 1 D 的 射 影 A 1B O 就 是 所 求 的 线面角
在Rt A1BO中，A1B
2, A1O
2 2
sin A1BO
A1O A1B
1 2
求
A1BO 30
直线 A 1 B 与平面 BB1D1D 所成的角为 3 0
答
9
例1、正方ห้องสมุดไป่ตู้ ABCDA1的B1C 棱1D 1长为1。
A 1 B A 就 是 所求的线面角
在 R t A B C 中 ， A1 A A B 1
D A
ta n A1B A
A1 A 1 AB
A1B A 4 5 A1B 与 平 面 A B C D 所 成 的 角 是 4 5
O
C1
B1
C B
8
例1、正方形 ABCDA1B 的1C1棱D 1长为1。
（1）直线 A 1 与B 平面ABCD 所成的角
二、教学重点和难点：
重点：线面角的概念、最小角定理
难点：线面角的求法
三、教学方法：启发探究
四、教学过程：
2
问题1：
直线与平面的位置关系有哪几种？
规定：
如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条 直线和平面的夹角为 9 0 。 如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我 们规定这条直线和平面的夹角为0 。
2
OA与OM所成的角为
证明： 1
（向量法）
A
0
1
B
2M
5
下面我们用向量的运算来研究它们之间的关系：
O AO BB A
在直线OM上取单位向量m
O A m O B m B A m （同学们自己
B Am0
推导三个角度
0
之间的关系）
O A m O B m
A
1
B
2M
O A co s O Bco s2
OB
cos
直线与平面的夹角
高二、二部 刘静
1
一、教学目标：
1、知识与技能：掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的 概念，并会求直线与平面所称的角。掌握最小角定理并会利用公式 解决一些问题。 2、过程与方法： （1）空间想象能力：认识直线与平面的位置关系，遵循从实图和 简单的几何体入手，逐步培养学生的几何直观和空间想象能力。 （2）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线 角的转化过程中，体现出转化的思想方法。 （3）逻辑思维与运算能力：通过对线面角大小的求解，加强算中 有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能力及运算能力。 3、情感、态度与价值观：体验概念的形成过程，培养创新意识和 数学应用意识，提高学习数学的兴趣。
D1
A1
D A
O
C1
B1
C B
cos A1B, n
A1B n
1
2
A1B n
22
A1B, n
S
A1B, n 135
A 1 B 与 面 A B C D 所 成 的 角 是 4 5
10
求线面角的方法：
（1）定义法：1、找；2、证；3、求；4、答 （2）向量法：1、建系；2、求法向量；3、求角；4、结论
11
小结：
（1）最小角定理 （2）斜线与平面的夹角的定义 （3）求线面角的方法（两种）
作业：
课本108页课后题。
12
（2）直线 A 1 B与平面 BD所D1成B1 的角
D1
解： 连接 A 1 C交1 B于1 D点1 ，O连接
B O 找（作）A 1
A1C 1 B1 D 1 , A1C 1 B B1
O
C1 B1
B1D1 B B1 B1 B1D1 面 B B1D1D B B1 面 B B1D1D
A1C 1 面 B B1 D 1 D
（1）直线 A 1 与B 平面ABCD所成的角
（2）直线 A 1与B 平面 BD所D成1B1的角
向量法： 以点D为原点建立空间直角坐标系 [D;X,Y,Z], 如图所示 A1(1,0,1)B(1,1,0)A(1,0,0） C(0,1,0)D(0,0,0)
A1B (0,1, 1) 面ABCD的法向量是n=（0，0， 1）
说明： （1）实质：空间角——平面角； 线面角——线线角； （2）线面角的范围 ：斜线 直线
7
例1、正方形 ABCDA1的B1C 棱1D 1长为1。
（1）直线 A 1 与B 平面ABCD所成的角
（2）直线 A 1与B 平面 BD所D成1B1的角
D1
A1
证明： A1 A 平 面 A C
A B 是 A 1 B 在 平 面 A C 内的射影