【精校】2020年湖南省株洲市高考一模数学理

2020年湖南省株洲市高考一模数学理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x ＜2}，B={x|2x＞1}，则A ∩B=( ) A.{x|0＜x ＜2} B.{x|1＜x ＜2} C.{x|x ＞0} D.{x|x ＜2}解析：∵B={x|2x＞1}={x|x ＞0}， ∴A ∩B={x|0＜x ＜2}. 答案：A 2.已知21ia i-+＝，其中i 为虚数单位，a ∈R ，则a=( )A.﹣1B.1C.2D.﹣2 解析：由21ia i-+＝，得2=(1﹣i)(a+i)=a+1+(1﹣a)i ， ∴1210a a +⎧⎨-⎩＝＝，即a=1.答案：B3.已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和.若a 1+a 3=5，a 1a 3=4，则S 6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64解析：设公比为q ，因为{a n }是递增的等比数列，所以q ＞0.a n ＞a n ﹣1因为a 1+a 3=a 1+a 1q 2=5，且a 1＞0，a 3＞0，又a 1a 3=a 22=4， 所以得a 1=1，a 2=2，a 3=4，q=2， 则S 6=11a q-(1﹣q 6)=q 6﹣1=64﹣1=63. 答案：C4.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影).设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒(大小忽略不计)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A.134B.866C.300D.500解析：设大正方形的边长为2xx ﹣x ， 向弦图内随机抛掷1000颗米粒(大小忽略不计)， 设落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为a ，则)()2210002xa x -＝，解得1000134a =≈⎝⎭. 答案：A5.已知f(x)是定义在R 上的奇函数.当x ＞0时，f(x)=x 2﹣x ，则不等式f(x)＞0的解集用区间表示为( ) A.(﹣1，1)B.(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)C.(﹣∞，﹣1)∪(0，1)D.(﹣1，0)∪(1，+∞)解析：根据题意，当x ＞0时，f(x)=x 2﹣x ，若f(x)＞0，则有x 2﹣x ＞0，解可得x ＞1，即在(1，+∞)上，f(x)＞0，反之在(0，1)上，f(x)＜0，又由函数为奇函数，则在(0，﹣1，)上，f(x)＞0，在(﹣∞，﹣1)上，f(x)＜0， 则不等式f(x)＞0的解集为(﹣1，0)∪(1，+∞)； 答案：D6.(1+x ﹣x 2)10展开式中x 3的系数为( ) A.10 B.30 C.45 D.210解析：(1+x ﹣x 2)10=[1+(x ﹣x 2)]10的展开式的通项公式为()2110rrr T C x x+=-.对于(x ﹣x 2)r，通项公式为()21mm r mm r T C xx -+=⋅⋅-，令r+m=3，根据0≤m ≤r ，r 、m 为自然数，求得21r m ⎧⎨⎩＝＝，或r m ⎧⎨⎩＝3＝0. ∴(1+x ﹣x 2)10展开式中x 3项的系数为21301021039012030C C C C -+=-+=.答案：B7.某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为1，则该三棱柱外接球的表面积为( )A.4πB.8πC.12πD.16π解析：由三棱柱的三视图得该三棱柱是一个倒放的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1， 其中△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC=2，AB ⊥AC ， AA 1⊥平面ABC ，AA 1=2，如图，∴该三棱柱外接球的半径12B C R === ∴该三棱柱外接球的表面积：224412S r πππ==⨯=.答案：C8.已知[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.5]=0，[1]=1，[2.4]=2.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A.450B.460C.495D.550解析：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出123991001010101010S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣=++⋯++⎦+的值，123991001010101010S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣=++⋯++⎦+=10×0+10×1+10×2+ (10)9+10=10+20+30+…+90+10=460. 答案：B9.已知函数()m x x f x nx e+＝(m ，n 为整数)的图象如图所示，则m ，n 的值可能为( )A.m=2，n=﹣1B.m=2，n=1C.m=1，n=1D.m=1，n=﹣1解析：根据图象可得()()1112f n e=+∈，，当n=﹣1时，不满足，故排除A ，D ；当m=n=1时，()()1110xx x xx x e x f x x f x e e e--+=+'+，＝＝＞恒成立，故函数f(x)无极值点，故不符合题意.答案：B10.已知f(x)=cosωx，(ω＞0)的图象关于点()3 04π，对称，且f(x)在区间()203π，上单调，则ω的值为( ) A.1 B.2C.103 D.23解析：f(x)的图象关于(34π，0)对称， ∴cos34πω=0，∴342k ππωπ=+，k ∈Z ， 解得2433kω=+，k ∈Z ；令kπ≤ωx≤π+kπ，解得k k x πππωωω≤≤+，k ∈Z ；∴f(x)在[0，πω]上是单调减函数， ∵f(x)在(0，23π)上单调，∴23ππω≤，解得ω≤32；又∵ω＞0，∴ω=2 3.答案：D11.已知抛物线C1：y2＝4x和圆C2：(x-1)2+y2＝1，直线y=k(x﹣1)与C1，C2依次相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)四点(其中x1＜x2＜x3＜x4)，则|AB|·|CD|的值为( )A.1B.2C.2 4 kD.k2解析：∵y2=4x，焦点F(1，0)，准线 l0：x=﹣1.由定义得：|AF|=x A+1，又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=x A，同理：|CD|=x D，由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为：y=k(x﹣1)代入抛物线方程，得：k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0，∴x A x D=1，则|AB|·|CD|=1.综上所述，|AB|·|CD|=1.答案：A12.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1，分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( )A.B.3C.D.4解析：如图，不妨设N在B处，AM=h，CQ=m，则有MB 2=h 2+4，BQ 2=m 2+4，MQ 2=(h ﹣m)2+4由MB 2=，=BQ 2+MQ 2⇒m 2﹣hm+2=0.△=h 2﹣8≥0⇒h 2≥8该直角三角形斜边≥答案：C二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，E 为边BC 的中点，则AE AB ⋅u u u r u u u r=______. 解析：∵E 为等边三角形ABCBC 的中点，∴∠BAE=30°，，∴cos302cos303AE AB AE AB ⋅=︒=︒=u u u r u u u r u u u r u u u r.答案：314.已知实数x ，y 满足1200x y x y ≤+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z=2x+y 的最大值为=______.解析：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).由z=2x+y 得y=﹣2x+z ， 平移直线y=﹣2x+z ，由图象可知当直线y=﹣2x+z 经过点C 时，直线y=﹣2x+z 的截距最大， 此时z 最大. 由2x y y +⎧⎨⎩＝＝，解得C(2，0)将C(2，0)的坐标代入目标函数z=2x+y ， 得z=2×2+0=4.即z=2x+y 的最大值为4. 答案：415.已知双曲线E 经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线E 的离心率为=______.解析：根据题意，如图：设双曲线E 经过的正方形的四个顶点为A 、B 、C 、D ， 其A 在第一象限，双曲线的两个焦点为F 1、F 2， 连接AF 1，若双曲线的焦距等于该正方形的边长，则有|F 1F 2|=2c ， |AF 2|=c ，则有|AF 1，则2a=|AF 1|﹣|AF 21)c ，则双曲线的离心率c e a ==.16.如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数.则112在这“等差数阵”中出现的次数为=______.4 7 10 … a 1j … 7 12 17 … a 2j … 10 17 24 … a 3j … … … … … … … a i1 a i2 a i3 … a ij … … … … … … …解析：根据图象和每行、每列都是等差数列，该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j =4+3(j ﹣1)， 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a 2j =7+5(j ﹣1) 第i 行是首项为4+3(i ﹣1)，公差为2i+1的等差数列， 因此a ij =4+3(i ﹣1)+(2i+1)(j ﹣1)=2ij+i+j ，要找112在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得2ij+i+j=112， 所以11221ij i -=+， 当i=1时，j=37， 当i=2时，j=22， 当i=4时，j=12， 当i=7时，j=7， 当i=12时，j=4，当i=22时，j=2， 当i=37时，j=1.∴112在这“等差数阵”中出现的次数为7. 答案：7三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在△ABC 中，A ＝30°，BC ＝D 在AB 边上，且∠BCD 为锐角，CD=2，△BCD 的面积为4.(1)求cos ∠BCD 的值； (2)求边AC 的长. 解析：(1)首先利用三角形的面积公式求出sin ∠BCD 的值，进一步利用同角三角函数的关系式求出结果.(2)利用余弦定理和勾股定理逆定理求出结果.答案：(1)∵BC ＝CD ＝2， 则：1sin 42BCD S BC CD BCD ⋅⋅∠V ＝＝，∴in s BCD ∠.∴cos BCD ∠；(2)在△BCD 中，2cos CD BC BCD ∠＝，＝，由余弦定理得：DB 2=CD 2+BC 2﹣2CD ·BC ·cos ∠BCD=16， 即DB=4，∵DB 2+CD 2=BC 2， ∴∠BCD=90°，即△ACD 为直角三角形， ∵A=30°， ∴AC=2CD=4.18.如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ADEF 为矩形，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，平面CBE 与平面BDE 垂直，且CB ⊥BE. (1)求证：ED ⊥平面ABCD ；(2)若AB ⊥AD ，AB=AD=1，且平面BCE 与平面ADEF AF 的长.解析：(1)推导出CB ⊥BE ，从而CB ⊥面BDE ，进而CB ⊥ED ，再由ED ⊥AD ，能证明ED ⊥平面ABCD.(2)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间坐标系，利用向量法能出AF=DE=1. 答案：(1)因为平面CBE 与平面BDE 垂直， 且CB ⊥BE ，平面CBE 与平面BDE 的交线为BE ， 所以CB ⊥面BDE ，又ED ⊂面BDE ，所以，CB ⊥ED ，在矩形ADEF 中，ED ⊥AD ，又四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，所以AD 与CB 相交， 故ED ⊥平面ABCD.解：(2)由(1)知，ED 垂直DA ，ED 垂直DC ，又AD 垂直AB ，AB 平行CD ，所以DC 垂直DA ， 如图，以D 为坐标原点，DA 、DC 、DE 分别为x ，y ，z 轴建立空间坐标系AD ＝AB ＝1，AB ⊥AD ，BD又CB ⊥BD ，∠CDB=45°，所以DC=2，设DE=a ，则B(1，1，0)，C(0，2，0)，E(0，0，a)，BE u u u r=(﹣1，﹣1，a)，BC uuu r =(﹣1，1，0)设平面BEC 的法向量为()n x y z r＝，，，则0000n x y a BE z x y n BC ⎧⋅--+⎧⎪⇒⎨⎨-+⋅⎩⎪⎩r r u u u ru u r u ＝＝＝＝，令x=1，则y ＝1，z＝2a ，所以平面BEC 的法向量为，平面ADEF 的法向量为m u r＝(0，1，0)，因为平面BCE 与平面ADEF 则cos n m r u r，，，解得a=1，即AF=DE=1.19.某协会对A ，B 两家服务机构进行满意度调查，在A ，B 两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以 10 为组距分成6 组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]，得到A 服务机构分数的频数分布表，B 服务机构分数的频率分布直方图：A 服务机构分数的频数分布表分数区间 频数 [0，10) 20 [10，20) 30 [20，30) 50 [30，40) 150 [40，50) 400 [50，60] 350定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：分数[0，30) [30，50) [50，60]满意度指数0 1 2(1)在抽样的1000人中，求对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数；(2)从在A，B两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查，试估计其对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率；(3)如果从A，B服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由.解析：(1)由对B服务机构的频率分布直方图，得对B服务机构“满意度指数”为0的频率为0.2，由此能求出对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数.(2)设“对B服务机构评价‘满意度指数’比对A服务机构评价‘满意度指数’高”为事件C.记“对B服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件B1；“对B服务机构评价‘满意度指数’为2”为事件B2；“对A服务机构评价‘满意度指数’为0”为事件A0；“对A服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件A1.P(C)=P(B1A0+B2A0+B2A1)，由此能求出该学生对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率.(3)如果从学生对A，B两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看分别求出B服务机构“满意度指数”X的分布列和A服务机构“满意度指数”Y的分布列，由此能出结果. 答案：(1)由对B服务机构的频率分布直方图，得：对B服务机构“满意度指数”为0的频率为(0.003+0.005+0.012)×10=0.2，所以，对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数为1000×0.2=200人.(2)设“对B服务机构评价‘满意度指数’比对A服务机构评价‘满意度指数’高”为事件C.记“对B服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件B1；“对B服务机构评价‘满意度指数’为2”为事件B2；“对A服务机构评价‘满意度指数’为0”为事件A0；“对A服务机构评价‘满意度指数’为1”为事件A1.所以P(B1)=(0.02+0.02)×10=0.4，P(B2)=0.4，由用频率估计概率得：P(A0)=0.1，P(A1)=0.55，因为事件A i与B j相互独立，其中i=1，2，j=0，1.所以P(C)=P(B1A0+B2A0+B2A1)=0.3，所以该学生对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率为0.3.(3)如果从学生对A，B两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看：B服务机构“满意度指数”X的分布列为：X 0 1 2P 0.2 0.4 0.4A服务机构“满意度指数”Y的分布列为：Y 0 1 2P 0.1 0.55 0.35因为E(X)=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2；E(Y)=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25，所以E(X)＜E(Y)，会选择A 服务机构.20.已知椭圆C ：22221y x a b+＝(a ＞b ＞0)与直线l ：bx ﹣ay=0都经过点(M .直线m 与l 平行，且与椭圆C 交于A ，B 两点，直线MA ，MB 与x 轴分别交于E ，F 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：△MEF 为等腰三角形.解析：(1)将点M 分别直线方程及椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；(2)设直线m 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得k MA +k MB =0，即可求得△MEF 为等腰三角形.答案：(1)由直线l ：bx ﹣ay=0都经过点(M ，则a=2b ，将(M 代入椭圆方程：222214y x b b+＝，解得：b 2=4，a 2=16， ∴椭圆C 的方程为221164y x +＝； (2)证明：设直线m 为：12y x t +＝，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)联立：22116412y x y x t ⎧+⎪⎨⎪+⎩＝＝，整理得x 2+2tx+2t 2﹣8=0，∴x 1+x 2=﹣2t ，x 1x 2=2t 2﹣8，设直线MA ，MB 的斜率为k MA ，k MB ，要证△MEF 为等腰三角形， 只需k MA +k MB =0，由MA MB k k()12120MA MB x x t x x k k +-++==， 所以△MEF 为等腰三角形.21.已知函数f(x)=lnx+a(x ﹣1)2(a ＞0). (1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(0，1)内有唯一的零点x 0，证明：3120e x e --＜＜.解析：(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)设()1ln 2x g x xx-＝，(x ∈(0，1))，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可. 答案：(1)()2221ax ax f x x-+'＝，①当0＜a ≤2时，f'(x)≥0，y=f(x)在(0，+∞)上单调递增，②当a ＞2时，设2ax 2﹣2ax+1=0的两个根为()1212102x x x x，＜＜＜，且12x x ， y=f(x)在(0，x 1)，(x 2，+∞)单调递増，在(x 1，x 2)单调递减.(2)证明：依题可知f(1)=0，若f(x)在区间(0，1)内有唯一的零点x 0，由(1)可知a ＞2，且()01102x x ∈＝，. 于是：lnx 0+a(x 0-1)2＝0①2ax 02-2ax 0+1＝0②由①②得0001ln 02x x x --＝，设()1ln 2x g x x x -＝，(x ∈(0，1))，则()2212x g x x-'＝，因此g(x)在()102，上单调递减，又()331212430022e e g e g e ----⎛-⎫ ⎪⎝⎭＝＞，＝＜根据零点存在定理，故3120e x e --＜＜.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα+⎧⎨⎩＝＝(t 为参数).(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且AB ＝α的值. 解析：(1)由曲线C 的极坐标方程，得ρ2=4ρcosθ.由x 2+y 2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C 的直角坐标方程.(2)将直线l 的参数方程代入圆的方程，得：t 2﹣2tcosα﹣3=0.利用韦达定理和弦长公式能求出直线的倾斜角α的值.答案：(1)由曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ. ∵x 2+y 2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x=0，即(x ﹣2)2+y 2=4.(2)将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα+⎧⎨⎩＝＝(t 为参数)代入圆的方程，得：(tcosα﹣1)2+(tsinα)2=4，化简得t 2﹣2tcosα﹣3=0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则12122cos 3t t t t α+⎧⎨-⎩＝＝，∴12AB t t =-===4cos 2α=1，解得1cos 2α±＝， ∴α＝3π或α＝23π.[选修4-5：不等式选讲.]23.已知函数f(x)=|2x+1|﹣|x|+a ，(1)若a=﹣1，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若方程f(x)=2x 有三个不同的解，求a 的取值范围.解析：(1)通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出取并集即可； (2)求出a=2x+|x|﹣|2x+1|，令g(x)=2x+|x|﹣|2x+1|，结合函数的图象求出a 的范围即可. 答案：(1)当a=﹣1时，不等式f(x)≥0可化为：|2x+1|﹣|x|﹣1≥0，∴()()()()()110022211021102110x x x x x x x x x ⎧⎧≥--≤⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨+--≥⎪⎩⎪⎪-+---≥+---≥⎩⎩＜＜或或，解得：x ≤﹣2或x ≥0，∴不等式的解集为(﹣∞，﹣2]∪[0，+∞). (2)由f(x)=2x 得：a=2x+|x|﹣|2x+1|，令g(x)=2x+|x|﹣|2x+1|，则：()()()()1312110210x x g x x x x x +----≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪-≥⎪⎩＜＝＜，作出函数y=g(x)的图象如图示，易知()()110122A B ---，，，，结合图象知：当112a --＜＜时，函数y=a 与y=g(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)=2x 有三个不同的解， ∴a 的取值范围为()112--，. 考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。