垂径定理及其推论

25.2圆的对称性

-----垂径定理及其推论

一、教学目标：

知识目标：1．理解圆的轴对称性和垂径定理及其推论；

2．使学生掌握垂径定理，并能应用垂径定理及其推论进行有关计算和证明。

技能目标：通过“垂径定理及其推论”的教学，培养学生的抽象概括能力；识图、绘图能力；运算以及推理论证能力；发散思维

能力。

情感目标：创造生动、愉悦的课堂气氛，勾通师生间情感，渗透特殊与一般的辩证思想，努力培养学生积极参与课堂教学的意识。

二、重难点：重点：“垂径定理”及其推论

难点：垂径定理及其推论的证明。

三、教学过程：

（一）、复习与提问：

⒈叙述：前面学习了圆，你会画圆吗？什么叫圆？（请同学从圆的描

述性、集合性定义叙述）

⒉教师问：连结圆上任意两点的线段叫圆的弦，圆上两点间的部分叫

做弧，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，弦和它所对的

弧组成的图形叫做弓形。

3.课本P15页有关“赵州桥”问题。

（二）、动手实践，发现新知

⒈同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手

试一试，有方法的同学请举手。

⒉问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠

时，两个半圆 完全重合。 ②刚才的实验说明圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的每一条直线。

（三）、创设情境，探索垂径定理及其推论

⒈在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系

⒉若把AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下， 还有与刚才相类似的结论吗？

⒊要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD 折叠,实验后提出猜想。 ⒋猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知，求证。 然后让学生阅读课本P87证明，并回答下列问题：

①书中证明利用了圆的什么性质？

②若只证AE=BE ，还有什么方法？

⒌垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

符号语言：

D E

∵CD 为直径，CD ⊥AB 于E

∴AE=BE ，

AD=BD,AC=BC

６．例题巩固，熟悉定理

课本Ｐ１４页例２、已知：在圆O 中，半径为５ｃｍ，弦ＡＢ为６ｃｍ，求圆心Ｏ到弦ＡＢ的距离。

圆心Ｏ到弦ＡＢ的距离叫弦心距。

７．探究垂径定理的推论

你能分清垂径定理的题设和结论吗？它的逆命题是什么？

由于定理的题设和结论关系较复杂，教师进一步帮助学生分析定理，并归结为：一条直线（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；

（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.同时引导学生认识到垂径定理就是满足条件（1）、（2）而推出其他结论.

学生自主探索，合作交流得出定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧。

强调：其实我们对垂径定理的题设和结论可分为五个事项

D

①CD 过圆心②CD垂直于弦AB ③CD平分AB ④弧AC=弧

BC ⑤弧AD=弧BD

若其中的两个事项成立，则其余三个事项也成立（由圆的轴对称性可证）习惯上说为“知二推三”：

８．例3、讲评P15页的“赵州桥”问题。

例３．你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）

【分析】首先要把这样一个实际问题转化为一个数学问题，把这个问题中的已知什么和欲求什么转化为数学问题的已知和求解，因此要画出图形，并结合图形写出已知、求解；其次再讨论如何解决这个问题；最后才写出解题过程。

作辅助线垂直于弦的直径是本题的关键，结合勾股定理即可。（四）、拓展训练：

１．课本Ｐ１６页练习１、２、３

２、已知一段弧AB，请作出弧AB所在圆的圆心。

（五）、课堂小结：

本节课你有什么收获？谈谈你的想法！

（六）、课后作业