匝道中卵形曲线坐标的计算

匝道中卵形曲线坐标的计算

happy

【摘要】在高速公路立交平面线型中，现在越来越多采用卵形曲线这一线型形式，而卵形曲线坐标的计算在现有的书籍中很少提到，这就给施工中坐标的计算和放样增加了难度。在***施工中**互通式立交的匝道上就有卵形曲线的形式，我通过实践和对缓和曲线坐标计算的分析研究，总结出了卵形曲线的计算方法和技巧。

【关键词】卵形曲线缓和曲线坐标计算

一、卵形曲线的概念

卵形曲线是指在两个半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线（目前高速公路多采用以回旋线形式的缓和曲线，本文所说的缓和曲线均是回旋线的形式）。也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。

二、卵形曲线坐标的计算原理

根据图纸上提供的已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整的缓和曲线的相关参数和曲线要素，然后再按照缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意一点的坐标。

972

D

（图一）

三、坐标计算的实例

以我所在沧黄高速六合同段黄骅互通式立交B匝道上的卵形曲线为例。见图一所示，已

由图一和上表可知：YH1→HY2、YH2→HY3段均是卵曲线，半径变化为R=50→R=200、R=200→R=50。下面就以YH1—HY2段卵曲线为例进行计算。

1. 卵曲线参数计算

A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（196.873-159.373）×

50×200÷（200-50）=2500 ∴A=50

2. 卵形曲线所在的缓和曲线要素计算

卵形曲线的长度L F由已知条件知：L F=HY2-YH1=196.873-159.373=37.5

卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度L S，由此找出HZ点的桩号及坐标（实际上HZ点不存在，只是作为卵形曲线的辅助计算用）。

L S=（YH1至HZ的弧长）= A2÷R1=2500÷50=50

∴HZ桩号=YH1+ L S=159.373+50=209.373

L E=HY2至HZ的弧长= A2÷R2=2500÷200=12.5或L E= L S- L F=50-37.5=12.5

卵形曲线长度L F= L S- L E=50-12.5=37.5（校核）

HY2=HZ- L E=209.373-12.5=196.873（校核）

由以上说明计算正确。

3. HZ点坐标的计算（见图二）

⑴用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：

X n=[(-1)n+1×L4n-3]÷[(2n-2)！×22n-2×(4n-3)×(RL S)2n-2]

Y n=[(-1)n+1×L4n-1]÷[(2n-2)！×22n-1×(4n-1)×(RL S)2n-1]

公式中的符号含义：

n —项数序号（1、2、3……n）

！—阶乘

R —圆曲线半径

L S —缓和曲线长

（图二）

⑵现取公式的前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中BK0+159.373～BK0+196.873段的缓和曲线用三项来算误差达5cm）公式如下：

X=L-L5÷[40（R L S）2]+L9÷[3456（R L S）4]- L13÷[599040（R L S）6] +L17÷[175472640（R L S）8] – L21÷[7.80337152×1010（R L S）10] （公式1）Y=L3÷[6R L S]-L7÷[336（R L S）3]+L11÷[42240（R L S）5]- L15÷[9676800（R L S）7] +L19÷[3530096640（R L S）9] – L23÷[1.8802409472×1012（R L S）11] （公式2）

公式中L为计算点至ZH或HZ点的弧长。

⑶ HZ点坐标的计算

HZ：BK0+209.373的坐标从YH1：BK0+159.373推算。

L= L S=HZ-YH1=209.373-159.373=50

将L= L S代入公式（1）、（2）中得 X=48.76438441 Y=8.185702369

L对应弦长C=（X2+Y2）1/2=49.446647 偏角a1=arctg-1（Y/X）=9°31′44.27″缓和曲线切线角a2=90L2÷（πK）=90×502÷（π2500）=28°38′52.4″

K为卵形曲线参数，本例中K=A2=2500

a3=180°- a1-（180°- a2）=19°07′8.13″

∴YH1→HZ切线方位角（M→B）=2°25′47″+19°07′8.13″=21°32′55.13″

∴HZ：BK0+209.373的坐标：

X=X YH1+Ccos21°32′55.13″=1233.754+49.446647 cos21°32′55.13″=1279.745 Y=Y YH1+Csin21°32′55.13″=3680.580+49.446647 sin21°32′55.13″=3698.741

⑷ HZ：BK0+209.373点的切线方位角（D→B）计算

D→B方位角=2°25′47″+28°38′52.4″=31°04′39.4″

∴B→D切线方位角=31°04′39.4″+180°=211°04′39.4″

⑸卵曲线上任意一点坐标的计算

以HZ：BK0+209.373点坐标推算

①计算HY2：BK0+196.873的坐标

∵L=HZ-HY2=209.373-196.873=12.5代入公式（1）、（2）中得

X=12.49877935 Y=0.130199251

偏角a1= arctg-1（Y/X）= arctg-1（0.130199251/12.49877935）=0°35′48.57″L对应的弦长C=（X2+Y2）1/2=12.49945747

坐标：

X=1279.745+12.49945747cos（211°04′39.4″-0°35′48.57″）=1268.973

Y=3698.741+12.49945747sin（211°04′39.4″-0°35′48.57″）=3692.401

②与设计值相比较：

ΔX=X计算值-X设计值=1268.973-1268.972=+0.001㎜=1㎜

ΔY=Y计算值-Y设计值=3692.401-3692.401=0㎜

同理依次可计算出卵形曲线上任意一点的坐标。由此可见，采用上述的计算方法所求得的坐标与设计院通过电脑程序计算的结果相差很小，其计算相当精确。这种方法完全可以应用于高速公路卵形曲线的坐标计算。我在沧黄高速公路匝道中卵形曲线的坐标计算和施工放样中深受其益。

参考文献：

[1] 聂让《高等测量》2002年

[2] 聂让、许金良、邓云潮《公路测量施工手册》2000年