高中物理简谐运动的图像和公式导学案教科版选修讲义全

简谐运动的图像和公式

[目标定位] 1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息．

一、简谐运动的图像

1．坐标系的建立：以横坐标表示时间，纵坐标表示位移，描绘出简谐运动中振动物体离开平衡位置的位移x 随时间t 变化的图像，称为简谐运动的图像(或称振动图像)．

2．图像形状：严格的理论和实验都证明所有简谐运动的运动图像都是正弦(或余弦)曲线． 3. 由简谐运动图像，可找出物体振动的周期和振幅．

想一想 在描述简谐运动图像时，为什么能用薄板移动的距离表示时间？

答案 匀速拉动薄板时，薄板的位移与时间成正比，即x ＝vt ，因此，一定的位移就对应一定的时间，这样匀速拉动薄板时薄板移动的距离就能表示时间．

二、简谐运动的表达式

x ＝A sin(ωt ＋φ)

其中ω＝2πT ，f ＝1

T

，综合可得

x ＝A sin(

2π

T

t ＋φ)＝A sin(2πft ＋φ)．

式中A 表示振动的振幅，T 和f 分别表示物体振动的周期和频率．物体在不同的初始位置开始振动，φ值不同． 三、简谐运动的相位、相位差 1．相位

在式x ＝A sin(2πft ＋φ)中，“2πft ＋φ”这个量叫做简谐运动的相位．

t ＝0时的相位φ叫做初相位，简称初相．

2．相位差

指两振动的相位之差．

一、对简谐运动图像的认识 1．形状：正(余)弦曲线 2．物理意义

表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律． 3．获取信息

(1)简谐运动的振幅A 和周期T ，再根据f ＝1

T

求出频率．

(2)任意时刻质点的位移的大小和方向．如图1－3－1所示，质点在t 1、t 2时刻的位移分别为x 1和－x 2.

图1－3－1

图1－3－2

(3)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图1－3－2中a 点，下一时刻离平衡位置更远，故a 此刻质点向x 轴正方向振动．

(4)判断质点的速度、加速度、位移的变化情况：若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小． 注意：振动图像描述的是振动质点的位移随时间的变化关系，而非质点运动的轨迹．比如弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为一直线，而它的振动图像却是正弦曲线．

图1－3－3

【例1】 如图1－3－3所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( ) A ．由P →Q ，位移在增大 B ．由P →Q ，速度在增大 C ．由M →N ，位移先减小后增大 D ．由M →N ，加速度先增大后减小

解析 由P →Q ，位置坐标越来越大，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A 正确，选项B 错误；由M →N ，质点先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因此位移先减小后增大，由a ＝F m ＝－kx m

可知，加速度先减小后增大，选项C 正确，选项D 错误．

答案 AC

借题发挥 简谐运动图像的应用

(1)可以从图像中直接读出某时刻质点的位移大小和方向、速度方向、加速度方向、质点的最大位移．

(2)可比较不同时刻质点位移的大小、速度的大小、加速度的大小．

(3)可以预测一段时间后质点位于平衡位置的正向或负向，质点位移的大小与方向，速度、加速度的大小和方向的变化趋势．

针对训练1 一质点做简谐运动，其位移x 与时间t 的关系图像如图1－3－4所示，由图可知( )

图1－3－4

A ．质点振动的频率是4 Hz

B ．质点振动的振幅是2 cm

C ．t ＝3 s 时，质点的速度最大

D ．在t ＝3 s 时，质点的振幅为零

解析 由题图可以直接看出振幅为2 cm ，周期为4 s ，所以频率为0.25 Hz ，所以选项A 错误，B 正确；t ＝3 s 时，质点经过平衡位置，速度最大，所以选项C 正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移，与质点的位移有着本质的区别，t ＝3 s 时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm ，所以选项D 错误． 答案 BC

二、简谐运动的表达式与相位、相位差

做简谐运动的物体位移随时间t 变化的表达式

x ＝A sin(2πft ＋φ)

1．由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅A ，频率f 和初相φ.可根据T ＝1

f

求周期，

可以求某一时刻质点的位移x .

2．关于两个相同频率的简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的理解 (1)取值围：－π≤Δφ≤π.

(2)Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相． Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相． (3)Δφ>0，表示振动2比振动1超前． Δφ<0，表示振动2比振动1滞后．

【例2】 一个小球和轻质弹簧组成的系统按x 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8πt ＋π4cm 的规律振动． (1)求该振动的周期、频率、振幅和初相．

(2)另一简谐运动的表达式为x 2＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8πt ＋54πcm ，求它们的相位差．

解析 (1)已知ω＝8π rad/s，由ω＝2πT 得T ＝1

4

s ，

f ＝1T ＝4 Hz.A ＝5 cm ，φ1＝π

4

.

(2)由Δφ＝(ωt ＋φ2)－(ωt ＋φ1)＝φ2－φ1得，Δφ＝54π－π

4＝π.

答案 (1)14 s 4 Hz 5 cm π

4

(2)π

针对训练2 有两个振动，其表达式分别是x 1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3cm ，x 2＝

5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6cm ，下列说确的是

( ) A ．它们的振幅相同

B ．它们的周期相同

C ．它们的相位差恒定

D ．它们的振动步调一致

解析 由简谐运动的公式可看出，振幅分别为4 cm 、5 cm ，故不同；ω都是100π rad/s，所以周期(T ＝2πω)都是150 s ；由Δφ＝(100πt ＋π3)－(100πt ＋π6)＝π6得相位差(为π

6)

恒定；Δφ≠0，即振动步调不一致． 答案 BC

简谐运动的图像

图1－3－5

1．如图1－3－5表示某质点简谐运动的图像，以下说确的是( ) A ．t 1、t 2时刻的速度相同