高考数学144分考生：掌握节奏备战高考
2024年高考数学拿120分的全攻略总结
2024年高考数学拿120分的全攻略总结2024年高考数学考试拿满分的全攻略总结1. 努力学习数学基础知识：高考数学考试的题目主要来自于中学数学的基础知识，所以要先打牢基础。
逐章逐节复习教材内容，掌握概念、定理和公式，做好笔记整理，加深记忆。
2. 高效利用教材和辅导资料：使用好教材和辅导资料对提高数学成绩非常重要。
建议选用教育部推荐的教材，参考人教版、北师大版等。
同时，还可以从市面上购买一些名师的辅导资料，进行巩固和拓展。
3. 多做真题和模拟题：通过做真题和模拟题，可以熟悉考试的题型和考点，提高解题能力和应试能力。
可以选择每周安排一个固定的时间段，专门用来做真题和模拟题，同时要认真分析自己的错题，找出解题方法和思路上的问题，及时改正。
4. 注重解题技巧和方法：掌握一些解题技巧和方法，能够帮助在考试中更快更准确地解题。
例如，可以学习利用等式性质、函数性质进行变形和化简，学会运用图形解题的方法和技巧等。
还可以参考一些解题技巧的书籍或网络资料，进行学习和实践。
5. 积极参加课外辅导和训练班：可以报名参加一些数学的课外辅导和训练班，通过和其他同学一起学习和交流，提高学习动力和解题能力。
辅导班可以有针对性地进行突破和强化，同时还能接触到更多考试相关的知识和技巧。
6. 做好时间管理和复习规划：在备考过程中，要合理安排时间，制定详细的复习计划，并按计划进行复习和练习。
要保持良好的作息和饮食习惯，保证充足的睡眠和精神状态。
7. 自信和冷静应对考试：在考试中要保持自信和冷静，不因一些小错误而放弃信心，注意审题，认真答题。
若遇到难题，先尝试解决，若时间不足，也不要纠结于这道题上，及时转到下一题。
总结起来，想要在2024年高考数学考试中取得满分，关键在于打好基础，多做真题，掌握解题技巧，参加课外辅导，合理安排时间，保持自信和冷静应对考试。
这些方法和策略需要长期的积累和实践，希望你能够坚持，并且相信自己的能力。
祝你取得好成绩！。
2024年高三数学教师备考计划（五篇）
高三数学教师备考计划一、指导思想今年是我省使用新教材的第八年，即进入了新课程标准下高考的第六年。
高三理科数学教学要以《数学课程标准》为依据，全面____教育方针，积极实施素质教育。
提高学生的学习能力仍是我们的奋斗目标。
近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。
高考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。
更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。
二、注意事项1、高度重视基础知识，基本技能和基本方法的复习。
“基础知识，基本技能和基本方法”是高考复习的重点。
我们希望在复习课中要认真落实“基础练习”，并注意蕴涵在基础知识中的能力因素，注意基本问题中的能力培养。
特别是要学会把基础知识放在新情景中去分析，应用。
2、高中的‘重点知识’在复习中要保持较大的比重和必要的深度。
原来的重点内容函数、不等式、数列、向量、立体几何，平面三角及解析几何中的综合问题等。
在教学中，要避免重复及简单的操练。
新增的内容：算法、概率等内容在复习时也应引起我们的足够重视。
总之高三的数学复习课要以培养逻辑思维能力为核心，加强运算能力为主体进行复习。
3、重视‘通性、通法’的落实。
要把复习的重点放在教材中典型例题、习题上;放在体现通性、通法的例题、习题上;放在各部分知识网络之间的内在联系上抓好课堂教学质量，定出实施方法和评价方案。
4、认真学习，研究近三年的高考试题，提高复习课的效率。
《考试说明》是命题的依据，复习的依据。
高考试题是《考试说明》的具体体现。
只有研究近年来的考试试题，才能加深对《考试说明》的理解，找到我们与命题专家在认识《考试说明》上的差距。
并力求在二轮复习中缩小这一差距，更好地指导我们的复习。
5、渗透数学思想方法，培养数学学科能力。
《考试说明》明确指出要考查数学思想方法，要加强学科能力的考查。
我们在复习中要加强数学思想方法的复习，如转化与化归的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
2024年数学高考备考建议
2024年数学高考备考建议1. 提前规划备考时间，制定合理的备考计划。
根据自己的学习情况和时间安排，制定科学、合理的备考计划，将知识点、题型等有针对性地分配到每天的学习计划中，确保备考时间充分利用。
2. 多练习，做好试卷分析。
高考数学考试注重考查知识的运用能力，因此多做题、多练习是非常重要的。
在做题的过程中，要及时总结并分析自己的错题，了解自己的薄弱环节，逐步提高解题能力。
3. 学会应对各类题型。
数学高考试卷中，每个题型都有其独特之处，需要我们对其进行深入的理解和掌握。
因此，在备考过程中，要逐一分析各类题型的特点和解题方法，注重锻炼自己的综合运用能力。
4. 阅读理解题的解题技巧。
阅读理解题是高考数学考试中的重要题型之一，需要我们在理解文本的基础上，采用科学的解题方法和技巧进行解答。
在备考过程中，要重点掌握解题技巧，注重练习和总结。
5. 大力强化基础知识。
高考数学考试涉及知识点广泛，因此要注重强化基础知识，打好数学基础。
同时，在备考过程中，要注重理解各个知识点之间的联系和应用，提高知识的综合运用能力。
6. 注意考试策略。
在考试中，要注意策略的运用，如合理安排时间、认真审题、注意计算过程和结果的准确性等。
同时，在备考过程中，也要注重策略的训练和总结。
7. 建立自信心。
在备考过程中，要保持积极的心态，建立自信心，相信自己能够取得好成绩。
同时，要注重调节心理状态，保持良好的心态和情绪。
8. 多参加模拟考试。
模拟考试可以帮助我们了解自己的备考水平和考试情况，发现自己的不足之处，及时调整备考计划和策略。
因此，在备考过程中要多参加模拟考试，加强对考试的熟悉程度。
9. 扩大阅读面，增强数学思维。
阅读数学相关的书籍、文章等，可以帮助我们扩大阅读面，增强数学思维和创新能力。
因此，在备考过程中，要注重阅读相关书籍和文章，提高自己的数学素养。
10. 寻求帮助和支持。
在备考过程中，要注意寻求帮助和支持，如请教老师、与同学交流等。
2024年高考数学复习计划
2024年高考数学复习计划（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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第03讲 基本不等式(解析版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练
第03讲基本不等式 (精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法②“1”的代入法③二次与二次（一次）商式（换元法）④条件等式求最值高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围高频考点三：利用基本不等式解决实际问题高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数第五部分：高考真题感悟第六部分：第03讲基本不等式（精练）1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立． ②a ，b 的几何平均数；2a b+叫做正数a ，b 的算数平均数． 2、两个重要的不等式①222a b ab +≥（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． ②2()2a b ab +≤（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值①已知x ，y 是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当且仅当x y =时，和x y +有最小值；②已知x ，y 是正数，如果和x y +等于定值S ，那么当且仅当x y =时，积xy 有最大值24S；4、常用技巧利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：()1123x x a a a x a x a x a+=-++≥+=>--； 凑系数，例：()()2112121112212022282x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=⋅-≤⋅=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②拆：例：()2244442244822223x x x x x x x x x -+==++=-++≥=>----；③除：例：()2221011x x x x x=≤>++； ④1的代入：例：已知0,0,1a b a b >>+=，求11a b+的最小值. 解析：1111()()24b aa b a b a b a b+=++=++≥. ⑤整体解：例：已知a ,b 是正数，且3ab a b =++，求a b +的最小值.解析：22,322a b a b ab a b ++⎛⎫⎛⎫≤∴≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()21304a b a b +-+-≥，解得()62a b a b +≥+≤-舍去.一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4 ( )【答案】错误解：由0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦得到0sin 1x <≤， 令sin t x =，则4y t t =+，因为01t <≤，所以函数4y t t =+为减函数，当1t =时，min 145y =+=，故答案为：错误.2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知102x <<，则()12x x -的最大值为18( ) 【答案】正确 ∵102x <<， ∴()()2112121122122228x x x x x x +-⎛⎫-=-≤=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 当且仅当212x x =-，即14x =时，取等号， 故()12x x -的最大值为18.故答案为：正确 二、单选题1．（2022·江西·高一阶段练习）当0x >时，92x x+的最小值为（ ） A ．3 B ．32C ．D ．【答案】D 由92x x +≥x = 可得当0x >时，92x x+的最小值为故选：D2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】D因为2x >-，所以20x +>，102x >+，利用基本不等式可得11222022x x x x +=++-≥=++， 当且仅当122x x +=+即1x =-时等号成立. 故选：D.3．（2022·湖南·高一阶段练习）已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．5C ．32D ．52【答案】D因为2510a b +=≥52ab ≤，当且仅当5,12a b ==时，等号成立. 所以ab 的最大值为52.故选：D4．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（ ） A ．1y x x=+B ．222y x x -=+C ．3y x =+D ．2y =【答案】D对A ，y 可取负数，故A 错误； 对B ，2(1)11y x =-+≥，故B 错误；对C ，21)23y =+≥，故C 错误；对D ，222y =≥，等号成立当且仅当0x =，故D 正确；故选：D高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法1．（2022·北京大兴·高一期末）当02x <<时，(2)x x -的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4【答案】B02x <<，20x ∴->，又(2)2x x +-=[]2(2)(2)14x x x x +-∴-≤=，当且仅当2x x =-，即1x =时等号成立，所以(2)x x -的最大值为1 故选：B2．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】D因为13x >，所以3x －1>0，所以()443311153131y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当43131x x -=-，即x =1时等号成立， 故函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为5． 故选：D ．3．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知x >3，则对于43y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．y 有最大值7 B ．y 有最小值7 C ．y 有最小值4 D ．y 有最大值4【答案】B解：因为3x >，所以30x ->，所以()44333733y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当433x x -=-，即5x =时取等号，所以y 有最小值7； 故选：B4．（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数x 满足1x >-，则函数41y x x =++的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A 1x >-，∴函数(1)114441311y x x x x =+=++-≥=-=++，当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号． 因此函数41y x x =++的最小值为3． 故选：A ．5．（2022·上海虹口·高一期末）已知04x <<，则()4x x -的最大值为______． 【答案】4因04x <<，则40x ->，于是得2(4)(4)[]42x x x x +--≤=，当且仅当4x x =-，即2x =时取“=”， 所以()4x x -的最大值为4. 故答案为：4②“1”的代入法1．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知x ，y 均为正数，若261x y +=，则当3x y +取得最小值时，x y +的值为（ ） A ．16 B ．4C ．24D ．12【答案】A因为261x y+=，所以()2618233661224x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当182x y y x =，即3y x =时取等号，又因为261x y+=，所以4x =，12y =， 所以16x y +=. 故选：A.2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C解：因为0x >，0y >，22x y +=，所以()1211214122244222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y x x y =，即12x =，1y =时取等号；故选：C3．（2022·四川·泸县五中高二开学考试（文））已知,x y 为正实数，且2x y +=，则212x y+的最小值为__________. 【答案】94##2.25()21121152222222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭159224⎛≥⨯+= ⎝， 当且仅当242,,233y x x y x y ===时等号成立. 故答案为：944．（2022·广西桂林·高一期末）已知0,0a b >>，若31a b +=，则31a b+的最小值是___________.【答案】16因为0,0a b >>，31a b +=所以313133()(3)101016b a a b a b a b a b +=++=++≥+ 当且仅当，3331b aab a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即14a b ==时，取“=”号， 所以31a b+的最小值为16.故答案为：165．（2022·天津·南开中学高一期末）已知110, 0, 4a b ab>>+=，则4a b +的最小值为_______________. 【答案】94##2.25解：因为110, 0, 4a b a b>>+=，所以()111141944554444b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1144a b b a a b⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3438a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，所以4a b +的最小值为94.故答案为：94.③二次与二次（一次）商式1．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x -=-，即0x =时取“=”，所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-1【答案】D2233(1)(1)111x x x x y x x ++++++==++ 1[(1)]1(1)x x =--+++-+11≤-=-， 当且仅当1111x x +==-+,即2x =-等号成立. 故选：D.3．（2022·江西南昌·高一期末）当2x >-时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．【答案】因为2x >-，则20x +>，则()()22224622222x x x y x x x x ++++===+++++≥=当且仅当2x =时，等号成立，所以，当2x >-时，函数2462++=+xx y x 的最小值为故答案为：4．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----， 因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.5．（2021·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））()21147x x x x ->-+的最大值为______.【答案】12令1x t -=，则1x t =+，0t >，所以222111447(1)4(1)72422x t t x x t t t t t t -===≤=-++-++-++-，当且仅当4t t =，即2t =时，等号成立. 所以()21147x x x x ->-+的最大值为12. 故答案为：12.6．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值 （1）21(0)x x y x x ++=>； （2）226(1)1x x y x x ++=>-. 【答案】（1）3；（2）10. （1）2111x x y x x x++==++∵10,2x x x >∴+≥=（当且仅当1x x =，即x =1时取等号）∴21(0)x x y x x++=>的最小值为3；（2）令1(0)t x t =->，则1x t =+，22226(1)2(1)6499=44101x x t t t t y t x t t t ++++++++∴===++≥=-当且仅当9t t=即t =3时取等号 ∴y 的最小值为10④条件等式求最值1．（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知0x >，0y >，若28x y xy +=，则xy 的最小值是（ ）A B C ．18D ．14【答案】C因为0x >，0y >，由基本不等式得：2x y +≥所以8xy ≥解得：18xy ≥，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时，等号成立 故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，且3ab a b =++，则a b +的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．7 D ．6【答案】D 【详解】3,0,0a b b b a a >=++>,23()2a b a b +∴++≤,当且仅当a b =，即3a b ==时等号成立， 解得6a b +≥或2a b +≤-（舍去），a b ∴+的最小值为6故选：D3．（2022·江苏·高三专题练习）已知0a >，0b >且满足2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】C由2a b ab +=可得121b a+=，又因为0a >，0b >，所以()1242244448a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥++= ⎪⎝⎭， 当且仅当42a bb a a b ab⎧=⎪⎨⎪+=⎩即42a b =⎧⎨=⎩时等号成立，所以2+a b 的最小值为8， 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知正数x ，y 满足8xy x y =++，则x y +的最小值为_________ 【答案】8由题意，正实数,x y ，由()22224x y x y xy xy +=++≥（x y =时等号成立），所以()24x y xy +≤，所以()284x x y y y x =++≤+，即2()4()320x y x y +-+-≥，解得4x y +≤-（舍），8x y +≥，（4x y ==取最小值） 所以x y +的最小值为8.故答案为：85．（2022·全国·高三专题练习）已知2,1a b >>，且满足21ab a b =++，则2a b +的最小值为_______.【答案】5##5+∵2,1a b >>，且满足21ab a b =++， ∴13122a b a a +==+--， 2a b +=()33212255522a a a a ++=-++≥=--， 当且仅当32(2)2a a -=-时，2a b +的最小值为5. 故答案为：56．（2022·重庆·高一期末）已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 【答案】4解：由题知0,0,x y >>由基本不等式得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2422x y x y +⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭，令t x y =+，0t >，则有2422t t ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，整理得2280t t --≥，解得2t ≤-(舍去)或4t ≥，即4x y +≥，当且仅当2x y ==时等号成立， 所以x y +的最小值为4. 故答案为：4.7．（2022·广东广州·高一期末）已知0a >，0b >，且3a b ab +=-，则a b +的最小值为______． 【答案】6由0a >，0b >，得a b +≥a b =时，等号成立）， 又因3a b ab +=-，得3ab -≥，即)130≥，由0a >，0b >3，即9ab ≥，故3936a b ab +=-≥-=. 因此当3a b ==时，a b +取最小值6. 故答案为：6.高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围1．（2022·全国·高三专题练习）当2x >时，不等式12+≥-x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．[)2,+∞ C ．[)4,+∞ D ．(],4-∞【答案】D 当2x >时，11222422x x x x +=-++≥=--（当且仅当3x =时取等号），4a ∴≤，即a 的取值范围为(],4-∞. 故选：D.2．（2022·浙江·高三专题练习）若关于 x 的不等式220x ax -+>在区间[]1,5上恒成立，则a 的取值范围为（） A ．()+∞ B ．(,-∞C ．(),3-∞D ．27,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B当[]1,5x ∈时，由220x ax -+>可得2a x x <+，则min 2a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得2x x +≥x所以，a <故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，若不等式41m a b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10 B ．12 C ．16 D ．9【答案】D由已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立， 所以41()m a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，转化成求41()y a b a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小值，414()559b a y a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b aa b=时取等 所以9m ≤． 故选：D ．4．（2022·全国·高三专题练习）已知x ，()0,y ∈+∞，且1x y +=，若不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()2,1-D ．()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】A因为x ，()0,y ∈+∞，且1x y +=，所以()222231124x y x y xy x y xy xy +⎛⎫++=+-=-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当12x y ==时，等号成立； 又不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立， 所以只需2311424m m >+，即2230m m +-<，解得312m -<<. 故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞【答案】C解：因为0x >，所以22221131x x x x x =≤=++++，当且仅当1x x =即1x =时取等号，因为221x a x x ≥++恒成立，所以23a ≥，即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭；故选：C6．（2022·甘肃·无高二期末（文））已知正实数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】D因为0a >，0b >，191a b+=，所以()199101016a a b a b a b a b b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9b a a b =，即4a =，12b =时取等号．由题意，得241186x x m ≥-++-，即242x x m --≥-对任意的实数x 恒成立，又()2242266x x x --=--≥-，所以6m -≥-，即6m ≥． 故选：D ．7．（2022·全国·高三专题练习）若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A由题意，对任意0x >，则有221111313153x x x x x x x x ==≤=++++++， 当且仅当1x x =时，即1x =时，等号成立，即231xx x ++的最大值为15， 又由对任意0x >时，231x a x x ≤++恒成立，所以15a ≥，即a 的取值范围为1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A.高频考点三：利用基本不等式解决实际问题1．（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m 3，高为3m ，如果箱底每1m 2的造价为15元，箱壁每1m 2造价为12元，则箱子的最低总造价为（ ） A ．72元 B ．300元 C ．512元 D ．816元【答案】D设这个箱子的箱底的长为x m ，则宽为16xm ， 设箱子总造价为f (x )元， ∴f (x )＝15×16+12×3(2x 32x +)＝72(x 16x +240＝816， 当且仅当x 16x=，即x ＝4时，f （x ）取最小值816元． 故选：D ．2．（2022·河南开封·高一期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S =p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足14a b +=，6c =，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．6B ．C．12D ．【答案】B由题意得：10p =，S =101032a b-+-=⨯当且仅当1010a b -=-，即7a b ==时取等号， 故选：B ．3．（2022·江苏常州·高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设0p q <<，甲第一次提价%p ，第二次提价%q ；乙两次均提价%2p q+；丙一次性提价()%p q +．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（ ） A ．乙、甲、丙 B ．甲、乙、丙 C ．乙、丙、甲 D ．丙、甲、乙【答案】A设提价前价格为1，则甲提价后的价格为：(1%)(1%)1%%0.01%p q p q pq ++=+++，乙提价后价格为：21%1%1%%0.01%222p q p q p q p q +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++⨯ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，丙提价后价格为：()%11%%p q p q +=+++， 因为0p q <<，所以22p q pq +⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以1%1%(1%)(1%)12(%2)p q p p q p q q ++⎛⎫⎛⎫++>++>+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+，即乙>甲>丙. 故选：A4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知k ∈R ，则“对任意,a b ∈R ，22a b kab +≥”是“k 2≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A因为对任意,a b ∈R ，有222a b ab +≥，而对任意,a b ∈R ，22a b kab +≥， 所以22k -≤≤，因为[2,2]-是(,2]-∞的真子集，所以“对任意,a b ∈R ，22a b kab +≥”是“k 2≤”的充分不必要条件， 故选：A5．（2022·河南·模拟预测（理））一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为g m ，则（ ） A ．10m > B ．10m =C ．10m <D ．以上都有可能【答案】A由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a b ，再设先称得黄金为g x ，后称得黄金为g y ，则5bx a =，5ay b =， 5a x b ∴=，5b y a=，555510a b a b x y b a b a ⎛⎫∴+=+=+≥⨯ ⎪⎝⎭， 当且仅当a bb a=，即a b =时等号成立，但a b ，等号不成立，即10x y +>.因此，顾客购得的黄金10m >. 故选：A.6．（2022·全国·高一）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =米，3AD =米，当BM =_______时，矩形花坛AMPN 的面积最小.【答案】4设BM x =，则由//DC AM 得434ND ND x=++，解得12ND x =，∴矩形AMPN的面积为1248(4)(3)2432448S x x x x =++=++≥+=，当且仅当483x x =，即4x =时等号成立． 故答案为：4．高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题p ：“21,4,402x x ax ⎡⎤∃∈-+>⎢⎥⎣⎦”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．172a <C ．133a <D ．5a >【答案】B命题p ：“1,42x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，240x ax -+>”，即max 4a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，设4()f x x x=+，对勾函数在2x =时取得最小值为4，在12x =时取得最大值为172，故172a <，故选：B ．2．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≥B ．2a ≤-C ．52a ≥-D ．3a ≤-【答案】C若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则1a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，即max 1a x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，1y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增，max 52y =-，所以52a ≥-.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）函数2y =的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．1D ．不存在【答案】B()2t t =≥，函数1y t t =+在()1,+∞上是增函数，1y t t∴=+在[)2,+∞上也是增函数．∴当2t =2，0x =时，min 52y =． 故选：B ．4．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞【答案】A解：121,1,[2,3]2x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≤，等价于121,1,[2,3]2x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦， ()1max f x ()2max g x ≤，由对勾函数的单调性知4()f x x x =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以max 117()22f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 又()2xg x a =+在[2,3]上单调递增，所以max 32(8)g x a a =+=+，所以1782a ≤+，解得12a ≥，所以实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A.5．（2022·全国·高二课时练习）函数()3421x xf x x x -=++在区间[]1,3上（ ）A0 B ．有最大值为2491，最小值为0 CD ．有最大值为2491，无最小值 【答案】A当0x ≠时，()3242221111113x x x x xx f x x x x x x x ---===++⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭， 设1x t x -=，易知1t x x =-在[]1,3上单调递增，故80,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ()23t g t t =+，()00g =，当0t >时，()2133t g t t t t==++，双勾函数3y x x =+在(上单调递减，在83⎤⎥⎦上单调递增，且0y >，故()max g t g==，()min 0g t >， 综上所述：()max g t =，()min 0g t =，即()max f x =()min 0f x =. 故选：A.1．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +-=则121a b ++的最小值是（ ） A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】B解：因为()()240f a f b +-=，所以(2)(4)f a f b =--， 因为奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数， 所以(2)(4)(4)f a f b f b =--=-， 所以24a b =-，即24a b +=， 所以226a b ++=，即2(1)6a b ++=， 所以12112[2(1)]161a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭14(1)2261b a a b +⎡⎤=+++⎢⎥+⎣⎦14(1)461b a a b +⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦1144(44)663⎡⎤≥=+=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当4(1)1b a a b+=+，即1,32a b ==时取等号，所以121a b ++的最小值是43. 故选：B2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+ D ．4ln ln y x x=+【答案】C对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意； 对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意． 故选：C ．3．（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________．【答案】0 , 0a b >>，212a b b a b b b ∴++≥=+≥当且仅当21a a b=且2b b =，即a b ==所以21ab ab ++的最小值为故答案为：4．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005x y x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元. （1）2000245y x x x=+-，[60,110]x ∈2416≥= 当且仅当20005x x=时，即100x =取“=”，符合题意； ∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）()()2212424200012088055x L x x x x ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭又60110x ≤≤，∴当110x =时，max ()860L x =. 答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.一、单选题1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（ ） A ．12x x+≥ B ．函数224x y +=4C ．若0,x >则(2)x x -最大值为1D ．已知3a >时，43+≥-a a 43=-a a 即4a =时，43+-a a 取得最小值8【答案】C对于选项A ,只有当0x >时，才满足基本不等式的使用条件，则A 不正确； 对于选项B ,224x y +=2231x ++==(t t =≥，即(22y t t t =+≥在)+∞上单调递增，则最小值为min y ==, 则B 不正确；对于选项C ,()()22(2)211111x x x x x -=--++=--+≤，则C 正确；对于选项D ,当3a >时，44333733a a a a +=-++≥=--，当且仅当 433a a -=-时，即5a =，等号成立，则D 不正确. 故选：C .2．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数2455()()22x x f x x x -+=≥-有（ ） A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D（方法1）52x ，20x ∴->，则2245(2)11(2)222(2)x x x x x x x -+-+==-+---，当且仅当122x x -=-，即3x =时，等号成立.（方法2）令2x t -=，52x，12t ∴，2x t ∴=+. 将其代入，原函数可化为22(2)4(2)511122t t t y t t t t t t +-+++===+⋅=，当且仅当1t t =，即1t =时等号成立，此时3x =. 故选：D3．（2022·河南·郏县第一高级中学高二开学考试（理））正实数ab 满足121a b+=，则()()24a b ++的最小值为（ ） A ．16 B ．24 C ．32 D ．40【答案】C正实数ab 满足121a b +=,所以18ab ≥≥当且仅当24b a ==时取等号，121a b +=化简得2ab a b =+，所以()()()228384322ab a b a a b b =+++=+≥++ 故选：C.4．（2022·江西抚州·高二期末（文））若命题“对任意(),0x ∈-∞，使得2240x ax -+≥成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,-+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],2-∞- D ．(],2-∞【答案】A 解：由题得22x a x≥+对任意(),0x ∈-∞恒成立，22[()()]222x x x x +=--+-≤-- (当且仅当2x =-时等号成立) 所以2a ≥-. 故选：A5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为1V ，在逆水中的速度为()212V V V ≠，则游船此次行程的平均速度V 与122V V +的大小关系是（ ） A ．122V V V +<B ．122V V V +≤C ．122V V V +>D ．122V V V +=【答案】A易知120,0V V >>，设奥运公园码头到漕运码头之间的距离为1，则游船顺流而下的时间为11V ，逆流而上的时间为21V ，则平均速度12211V V V =+，由基本不等式可得V ≤，而122V V +≥当12V V =时，两个不等式都取得“=”，而根据题意12V V ≠，于是122V V V +. 故选：A.6．（2022·浙江温州·二模）已知正数a ，b 和实数t 满足221a tab b ++=，若a b +存在最大值，则t 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．()2,-+∞ C ．(]2,2- D ．[)2,+∞【答案】C解：()()22212a a b t a tab b b =+++-+=，①当20t -=，即2t =时，1a b +=，则a b +的最大值为1，符合题意； ②当20t ->，即2t >时， 则()()()()()222222244t t a b t ab a b a b a b -+++-≤+++=+， 所以()2214t a b ++≥，所以a b +≥a b =时取等号， 此时a b +有最小值，无最大值，与题意矛盾； ③当20t -<，即2a <时， 则()()()22224t a b t ab a b +++-≥+， 当20t +=，即2a =-时，()22221a a ab b b +=-=-，所以1a b -=，不妨设a b >，则1a b -=，即1a b =+，故21a b b +=+，此时a b +无最大值，与题意矛盾； 当20t +>，即22t -<<时，()2214t a b ++≤，所以0a b <+≤a b =时取等号， 此时a b +有最大值，符合题意；当20t +<，即2t <-时，()2214t a b ++≤恒不成立，不符题意， 综上所述，若a b +存在最大值，(]2,2t ∈-. 故选：C.7．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米【答案】C由题意知，8,12PB QB ==，设,,PMB QMB BM x ∠=∠==αβ，则812tan ,tan x x==αβ，所以()212844tan tan 12896961x x x PMQ x x x x x -∠=-===≤=++⋅+βα，当且仅当96x x =，即x =10，所以BM 大约为10米. 故选：C.8．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b+=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞【答案】A解：设方程2320x x ab --=的两个异号的实根分别为1x ，2x ，则1203abx x =-<，0ab ∴>． 又211a b+=，0a ∴>，0b >，则()21422448a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当4a =，2b =时取“=”）， 由不等式222a b m m +>+恒成立，得228m m +<，解得42m -<<．∴实数m 的取值范围是()4,2-． 故选：A ． 二、填空题9．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，334x y x y+--=.则x y +的取值范围为__________. 【答案】[6,)+∞ 因为334x y x y+--=，0,0x y >>， 所以23()3()1242x y x y x y xy x y x y +++-=≥=++⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当x y =时等号成立， 即2()4()120x y x y +-+-≥， 解得6x y +≥或2x y +≤-（舍去） 所以x y +的取值范围为[6,)+∞. 故答案为：[)6,+∞10．（2022·上海·二模）已知对()0,x ∀∈+∞，不等式1x m x>-恒成立，则实数m 的最大值是_________.【答案】不存在由已知可得()0,x ∀∈+∞，1m x x <+，由基本不等式可得12x x +≥=，当且仅当1x =时，等号成立，2m <∴，故实数m 的最大值不存在. 故答案为：不存在.11．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦若()f x 在[3,4]上的最大值max ()f x ，()g x 在[4,8]上的最大值max ()g x ， 由题设，只需max max ()()f x g x ≥即可. 在[3,4]上，9()6f x x x =+≥=当且仅当3x =时等号成立， 由对勾函数的性质：()f x 在[3,4]上递增，故max 25()4f x =.在[4,8]上，()g x 单调递增，则max ()3g x a =+， 所以2534a ≥+，可得134a ≤.故答案为：13,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.12．（2022·安徽合肥·高一期末）如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田ABCD ，其中//,AB CD AD AB ⊥.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域AGEH 试种新品种的西红柿，点E 在边BC 上，则该矩形区域的面积最大值为___________.【答案】75设,615AG x x =≤<， 12124tan 15693B ===-， 15BG x =-，()()415tan 153EG x B x =-⨯=-， 所以矩形AGEH 的面积()244154225157533234x x x x -+⎛⎫-⋅≤⨯=⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当1515,2x x x -==时等号成立. 故选：75 三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？【答案】（1）a =b =6时，它们的和最小，为12；（2）a =b =9时，它们的积最大，为81 设两个正数为a ，b（1）36ab =，则12a b +≥=，当且仅当6a b ==等号成立， 即a =b =6时，它们的和最小，为12.（2）18a b +=，则()2814a b ab +≤=当且仅当9a b ==等号成立即a =b =9时，它们的积最大，为81.14．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为8cm ，将△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB xcm =，求ADP △面积的最大值及相应x 的值.【答案】x =(212cm -.由题意，矩形()ABCD AB AD >的周长为8cm ，且AB xcm =， ∴()4AD x cm =-，则4x x >-，∴24x <<， 又由AP AB PB AB DP x DP ''=-=-=-， 在Rt ADP △中，()()2224x DP x DP -+=-， 解得48x DP cm x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()1148422ADP x S AD DP x x-=⋅=-⋅△812212212x x ⎛⎫=-+≤-⨯- ⎪⎝⎭当且仅当8x x=，即x =∴ADP △面积的最大值为(212cm -，此时x =15．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知关于x 的不等式220ax ax ++>的解集为R ，记实数a 的所有取值构成的集合为M . (1)求M ；(2)若0t >，对a M ∀∈，有245321a t t a --≤+-+，求t 的最小值. 【答案】(1){08}aa ≤<∣(2)1 (1)当0a =时，20>满足题意；当0a ≠时，要使不等式220ax ax ++>的解集为R ，必须2080a a a >⎧⎨-<⎩，解得08a <<，综上可知08a ≤<，所以{08}M aa =≤<∣(2)∵08a ≤<，∴119a ≤+<， ∴441141311a a a a +=++-≥-=++，（当且仅当1a =时取“=”） ∴4521a a --≤+， ∵a M ∀∈，有245321a t t a --≤+-+，∴2322t t +-≥， ∴2340t t +-≥，∴1t ≥或4t ≤-， 又0t >，∴1t ≥，∴ t 的最小值为1.16．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）党中央国务院对节能减排高度重视，各地区认真贯彻党中央国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，新能源汽车环保节能以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且()210500,040,64009016300,40.x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．(1)请写出2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本） (2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式为2104002500,040()100003800,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当80x =时，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元. (1)当040x <<时，()229100105002500104002500L x x x x x =⨯---=-+-；当40x ≥时，()640064009100901630025003800L x x x x x x ⎛⎫=⨯--+-=-+ ⎪⎝⎭； 所以()2104002500,04064003800,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ (2)当040x <<时，()()210201500L x x =--+， 当20x时，()max 1500L x =；当40x ≥时，()64003800380038001603640L x x x ⎛⎫=-+≤-=-= ⎪⎝⎭ （当且仅当6400x x=即80x =时，“=”成立） 因为36401500>所以，当80x =时，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元. 答：（1）2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式为2104002500,040()100003800,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当80x =时，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元.。
吉林省白城十四中2024学年高三高考考前指导卷(1)数学试题
吉林省白城十四中2024学年高三高考考前指导卷（1）数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．122．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若tan 2sin()a B b B C =+．则角B 的大小为( ) A ．π3 B ．π6 C ．π2 D ．π43．若单位向量1e ，2e 夹角为60︒，12a e e λ=-，且3a =，则实数λ=（ ） A ．－1 B ．2 C ．0或－1 D ．2或－14．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<），将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则1()3f x =是32123x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差.6．已知复数21z i =+ ，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．5 B ．3 C ．2 D ．27．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ）A ．32B ．32-C ．12D ．12- 8．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）A ．225514x y -=B ．225514y x -=C ．225514y x -=D ．225514x y -= 9．函数()1ln 1x f x x-=+的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．10．已知3log 5a =，0.50.4b =，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>11．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u = lny ，v =(x -4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．e B ．e 2 C ．ln 2 D ．2ln 212．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB = A ．{}3 B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学压轴专题新备战高考《平面向量》知识点训练附答案
新高考数学《平面向量》练习题一、选择题1．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设z OP OA =⋅u u u r u u u r，则z 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可知它的可行域如下图：Q ()2,1A ，(), P x y∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，即24z x y =+=.故选：C. 【点睛】本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.2．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC⋅u u u r u u u r的值为（ ）A ．83- B ．1- C ．1 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】由已知可得：7 ， 又23tan BED 3BD ED ∠===所以221tan 1cos 1tan 7BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ⎛⎫⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．3．若向量a b r r ，的夹角为3π，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ）A ．12-B ．12C ．32D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =⋅r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ⋅+⋅=r r r，即可得出答案.【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r两边平方得2222442a a b b a a b b -⋅+=+⋅+r r r r r r r r .即22b a b=⋅r r r，也即22cos3b a bπ=r r r，所以b a=r r.又由()a ta b⊥+r r r，得()0a ta b⋅+=r r r，即2t a a b⋅+⋅=r r r.所以2221122ba bta b⋅=-=-=-rr rr r故选：A【点睛】本题考查数量积的运算性质和根据向量垂直求参数的值，属于中档题.4．已知向量ar与向量br满足||2a=r，||22b=r，||||45a b a b+⋅-=r r r r，则向量ar与向量br的夹角为( )A．4π或34πB．6π或56πC．3π或23πD．2π【答案】A【解析】【分析】设向量ar，br的夹角为θ，则2||1282cosa bθ+=+r r，2||1282cosa bθ-=-r r，即可求出2cosθ，从而得到向量的夹角；【详解】解：设向量ar，br的夹角为θ，222||||||2||||cos4882cosa b a b a bθθ+=++=++r r r r r r1282cosθ=+，222||||||2||||cos4882cos1282cosa b a b a bθθθ-=+-=+-=-r r r r r r，所以2222||||144128cos(45)80a b a bθ+⋅-=-==r r r r，21cos2θ∴=，因为[0,)θπ∈，故4πθ=或34π，故选：A.【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律，及夹角的计算，属于中档题.5．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若(,)CA CE DB Rλμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λ＋μ的值为（）A．6 5B．85C．2D．83【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DBu u u r u u u r u u u r，利用(,)CA CE DB Rλμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，列出方程组求解即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB∴=-=-=u u u r u u u r u u u rCA CE DBλμ=+u u u r u u u r u u u rQ∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则85λμ+=.故选：B【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.6．在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，CE的延长线交AB于点,F则（）A．1162DF AB AC=--u u u r u u u r u u u rB．1134DF AB AC=--u u u r u u u r u u u rC．3142DF AB AC=-+u u u r u u u r u u u rD．1126DF AB AC=--u u u r u u u r u u u r【答案】A【解析】【分析】设AB AFλ=u u u r u u u r，由平行四边形法则得出144AE AF ACλ=+u u u ru u u r u u u r，再根据平面向量共线定理得出得出=3λ，由DF AF AD=-u u u r u u u r u u u r，即可得出答案.【详解】设AB AF λ=u u u r u u u r ，111124444AE AB A A C A AC D F λ==+=+u u u r u u u u u ur u u u r r u u u r u u u r因为C E F 、、三点共线，则1=144λ+，=3λ 所以1111132262DF AF AD AB AB AC AB AC =-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r故选：A【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.7．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）.A ．33,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．2323,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．233⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭ D ．3,3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1cos1202AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ，由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r，即2210k kt t -+->，构造函数22()1f k k tk t =-+-， 由题意，()22410t t ∆--<=， 解得23t <或23t >.故选：B. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.8．若向量(1,1)a =r ，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r，则x =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，求得(3)(2,6)a b +=rr ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，向量(1,1)a =r，(1,3)b =-r ，(2,)c x =r ，则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=rr ，所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r，解得1x =，故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，及向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．设x ，y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为（ ） A ．125B ．125-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．10．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +⋅u u ur u u u r 的最小值为（ ） A ．1- B ．3-C ．12-D ．32-【答案】A 【解析】 【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解． 【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r，故223131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r223322122x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当32x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-.故选：A ． 【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11．在边长为1的等边三角形ABC 中，点P 是边AB 上一点，且．2BP PA =，则CP CB ⋅=u u u v u u u v（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的加减法及数乘运算用,CA CB u u u r u u u r 表示CP u u u v，再利用数量积的定义得解．【详解】依据已知作出图形如下：()11213333CP CA AP CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v .所以221213333CP CB CA CB CB CA CB CB ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v 221211cos 13333π=⨯⨯⨯+⨯= 故选C 【点睛】 本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了数量积的定义，考查转化能力，属于中档题．12．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．23-B ．43-C ．83-D ．2-【答案】D 【解析】 【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值． 【详解】在边长为2的等边三角形ABC 中，若13AE AC =u u u r u u u r，则BE AF ⋅=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r ）•12（AC AB +u u ur u u u r ）＝（13AC AB -u u u r u u u r ）•12（AC AB +u u ur u u u r ）1123AC =u u u r （2AB -u u u r 223AB -u u u r •AC =u u u r ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．13．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值. 【详解】设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r，则 22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r，因为点P 为椭圆上，所以有：22143x y +=即22334y x =-， 所以()222223132244x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r又因为22x -≤≤，所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为6 故选：C 【点睛】本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.14．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v（ ）A ．3155AB AC +u u uv u u u v B ．2155AB AC +u u uv u u u vC ．481515AB AC +u u uv u u u v D ．841515AB AC +u u uv u u u v 【答案】D 【解析】 【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =u u u r u u u r，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r为基底来表示的形式.【详解】设6BC =，则2AB AC BD DE EC =====，AD AE ===，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u ur u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 故选：D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.15．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，3CD a mb =+u u u r r r，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．23B ．15C ．72D ．152【答案】D 【解析】 【分析】计算25AC a b =+u u u r r r，得到()253a b a mb λ+=+r r r r ，解得答案.【详解】∵3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u r r r ，∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r，∵A ，C ，D 三点共线，∴AC CD λ=u u u r u u u r，即()253a b a mb λ+=+r r r r ，∴235m λλ=⎧⎨=⎩，解得23152m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故选：D . 【点睛】本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.16．已知平面直角坐标系xOy 中有一凸四边形ABCD ，且AB 不平行于,CD AD 不平行于BC ．设AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，且222a b +=，求||||AB DC +u u u r u u u r的取值范围（ ） A ．(4,)+∞ B ．[4,)+∞C ．(0,4)D ．(2,4)【答案】A 【解析】 【分析】根据AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -，通过向量运算得到2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r，从而有2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r ，用两点间距离公式得到EF u u u r，再根据AB 不平行于CD ，由||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r求解.【详解】因为,EF ED DC CF EF EA AB BF =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ，又因为2EF ===u u u r ，所以24AB DC EF +==u u u r u u ， 因为AB 不平行于CD ，所以||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以||||4AB DC +>u u u r u u u r.故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量在平面几何中的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.17．已知向量OA u u u r 与OB uuu r的夹角为θ，2OA =u u u r ，1OB =uu u r ，=u u u r u u u r OP tOA ，()1OQ t OB =-u u u r u u u r ，PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ） A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围.【详解】因为2cos OA OB θ⋅=u u u r u u u r，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ， ∵PQ u u u r 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，所以223ππθ<<，故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.18．已知向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r 的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP AB ⊥u u u r u u u r ，OP xa yb =+u u ur r r ，则x ，y 的值分别为（ ）A ．15，45B ．43，13-C ．45，15D ．13-，43 【答案】C 【解析】 【分析】求得向量5(,5)2OP x y =u u u r ，5(,5)2AB b a =-=-u u u r r r ，根据OP AB ⊥u u u r u u u r 和,,A B P 三点共线，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r ，所以5(,5)2OP xa yb x y =+=u u u r r r ，又由5(,5)2AB b a =-=-u u u r r r ，因为OP AB ⊥u u u r u u u r ，所以252504OP AB x y ⋅=-+=u u u r u u u r ，可得4x y =， 又由,,A B P 三点共线，所以1x y +=，联立方程组41x y x y =⎧⎨+=⎩，解得41,55x y ==.故选：C . 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用，着重考查了运算与求解能力.19．已知单位向量,a b r r满足3a b +=r r，则a r 与b r 的夹角为A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】由3a b +=r r 22236913a b a a b b +=+⋅+=r rr r r r ，又因为单位向量,a b r r ，所以1632a ba b ⋅=⇒⋅=rr r r ，所以向量,a b r r 的夹角为1cos ,2a b a b a b ⋅〈〉==⋅r r r r r r ，且,[0,]a b π〈〉∈r r ，所以,3a b π〈〉∈r r ，故选C.20．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v的最小值为（ ）ABC．3D．2【答案】A 【解析】 【分析】根据OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP uu u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知2OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OBAOB OAB=∠∠u u u r u u u r 代入2sin 2OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22,22⎛ ⎝⎭所以2222OA ⎛= ⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u ur因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r 2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得()()22322232λλλλ+-+-218518λλ-=+=所以当95λ=时, min OP ==u u u r 故选:A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.。
万唯数学试题研究2024河南考点精讲
万唯数学试题研究2024河南考点精讲全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：万唯数学试题研究2024河南考点精讲第一部分：分析考试趋势我们需要了解河南数学考试的趋势和特点。
根据往年的考试情况来看，河南数学试题相对来说难度适中，题型多样化，注重考查学生对基础知识的掌握和运用能力。
考生在备考过程中需要注重扎实基础知识的学习和理解，同时也要注重题型的练习和技巧的掌握。
第二部分：重点难点总结我们需要对2024河南考点的重点难点进行总结。
根据历年考试的情况，我们可以发现以下几个方面是考生容易出错的地方：概率统计、函数与方程、几何与三角、数列与数学归纳法等。
这些知识点在考试中经常被考查，考生需要重点关注和加强。
概率统计是数学中的一个重要知识点，涵盖了概率、排列组合、事件独立性等内容。
考生在学习概率统计时需要理清概念，熟练运用公式，同时也要注重题型的练习，提高解题能力。
函数与方程是数学的基础内容，也是考试中常见的考点。
考生需要熟练掌握函数的概念、性质及图像，能够灵活运用各种函数变换。
方程的解法也是考试中常考查的内容，考生需要掌握各类方程的解法，提高解题效率。
几何与三角是数学中的经典知识点，也是考试中常见的难点。
在几何中，考生需要掌握各种几何定理、性质和证明方法，能够熟练运用几何知识解决实际问题。
而在三角中，考生需要掌握三角函数的定义、性质及运用，能够熟练解决各类三角题型。
数列与数学归纳法是数学中的重要内容，也是考试中的热点之一。
考生需要掌握数列的概念、性质及各种数列的求和公式，在解题时要注重数列的特点和规律。
数学归纳法是解决数列问题的重要方法，考生需要掌握数学归纳法的基本思想和应用技巧。
第三部分：备考建议策略我们需要给出备考建议策略。
在备战2024河南考试时，考生应该注重以下几个方面：系统学习、整体规划、针对性训练、模拟演练等。
考生需要系统学习各类数学知识，建立扎实的基础。
在学习过程中，可以根据自己的情况，制定合理的学习计划，按部就班地学习和复习各类知识点。
2024年高考数学拿120分的全攻略总结
2024年高考数学拿120分的全攻略总结在2024年高考数学中获得120分的总攻略随着高考的临近，对于考生来说，数学作为其中重要科目之一，考试成绩的好坏对于最终的高考总分有着至关重要的影响。
在此，笔者将为大家总结一些在2024年高考数学中获得120分的总攻略，希望对于广大考生有所帮助。
一、全面掌握考纲和重点在备考过程中，首先需要全面了解高考数学的考纲和重点内容。
根据教育部公布的最新考纲，数学的考试范围包括了数与式、函数与方程、几何与变换、统计与概率四个方面。
并且需要熟悉各个知识点的定义、性质、公式和解题方法。
明确各个知识点的考点和高频考点，将基础知识扎实掌握，对于后续的复习和应试有着至关重要的作用。
二、建立扎实的基础知识建立扎实的数学基础知识是获得高分的关键。
在备考阶段，要特别注重基础知识的掌握和巩固。
可以通过刷题、做题、总结等方式巩固基础知识。
同时也可以通过参加数学兴趣班、找老师辅导等方式补充自己的数学知识，提高数学的应用能力。
三、做好错题和弱项的总结在备考中，经常会遇到一些难题或者做错的题目。
及时总结这些错题和做题的经验，找出自己的弱点和不足之处，并加以针对性的强化训练。
可以将错题收集并分类整理，关注自己在哪些类型的题目上易犯错误，有针对性地加强练习。
同时也可以在做题过程中经常总结，查看解题的方法和过程，找出自己的错误之处。
四、提高解题能力在备考过程中，不仅要掌握基础的知识，还需要提高解题能力。
解题能力是考查数学应用能力的重要指标之一。
可以通过大量的练习和解题技巧的掌握来提高解题能力。
在做题过程中，可以多思考解题的思路和方法，培养灵活应变的能力。
同时也要尝试去解决一些较难的题目，提高自己的解题能力。
五、刷题是提高成绩的有效途径在备考过程中，刷题是非常重要的。
可以通过刷题来提高自己的解题速度和做题技巧。
可以选择一些历年高考真题、模拟试题、习题集等进行刷题。
在刷题过程中，可以通过时间来检验自己的解题速度，找出自己解题的不足之处，并加以改进。
2024年高考数学拿120分的全攻略总结
2024年高考数学拿120分的全攻略总结引言：数学是高考的一门重要科目，也是很多学生感到头疼的科目之一。
2024年高考数学考试取得120分的方法并不复杂，只要我们掌握一些学习技巧和备考策略，就能在考试中获得高分。
本文将为大家总结2024年高考数学120分的全攻略，希望对广大考生有所帮助。
一、掌握基础知识和考点1. 熟练掌握必修一、必修二和必修三的数学知识，建立牢固的数学基础。
2. 着重掌握高考数学的重点和难点知识点，如函数、解析几何、三角函数、概率与统计等。
3. 清楚了解2024年高考数学考纲和考点分布，针对性地系统学习和复习。
二、制定合理的学习计划1. 建立科学的学习计划，合理安排每天的学习时间，确保每个知识点都得到充分的复习和巩固。
2. 及时了解学校的教学进度和考试安排，根据实际情况进行合理调整。
3. 制定每周或每月的学习目标，并进行量化管理，定期检查和总结学习成果。
三、注重解题技巧的培养1. 题型熟练度是取得高分的关键。
熟悉各种题型的解题思路和方法，掌握常用的解题技巧和思维方法。
2. 多做一些模拟题和历年真题，熟悉高考数学题型和难度，提高解题速度和准确性。
3. 学会灵活运用公式和定理，善于转化和联想问题，发现问题的本质和规律。
四、注重综合能力的培养1. 提高推理能力和分析问题的能力。
多进行逻辑思维训练，学会详略得当地分析问题，善于归纳和总结。
2. 培养数学思维和创造力。
学会用多种方法解决同一个问题，培养灵活的思维方式。
3. 注重实际应用能力的培养。
将数学知识与实际问题相结合，学会应用数学解决实际生活中的问题。
五、合理利用资源，多角度进行备考1. 上课认真听讲，做好课堂学习的笔记和习题。
2. 有针对性地利用辅导书和教辅材料进行自主学习和复习。
3. 参加针对高考数学的培训班或辅导班，借鉴他人的学习方法和经验。
4. 利用互联网资源，如高考数学学习网站、题库、知识点视频等，进行深入学习和训练。
六、切勿临时抱佛脚1. 确定好高考数学的复习时间，不能等到临近考试才开始准备。
权方和不等式(含柯西不等式的应用)(高阶拓展、竞赛适用)(教师版)备战2025年高考数学一轮复习学案
第06讲 权方和不等式（含柯西不等式的应用）（高阶拓展、竞赛适用）本节内容为基本不等式的高阶拓展，熟练掌握后能快速解决基本不等式中的最值问题，常在高考及竞赛中做到类型题的秒解！一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R , 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)≥|ac +bd |(a ,b ,c ,d ∈R , 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)(2)≥|ac |+|bd |(a ,b ,c ,d ∈R , 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)(3) (a +b )(c +d )≥(a ,b ,c ,d ≥0, 当且仅当 ad =bc 时，等号成立.)3.扩展： a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2二、权方和不等式:若 ,,,0a b x y > 则 222()a b a b x y x y ++³+ 当且仅当 a bx y= 时取等.(注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀)广义上更为一般的权方和不等式:设 1212,,,,,,,n n x x x R y y y R ++ÎÎL L ,若 0m > 或 1m <-, 则 ()()111112121212m m m m n n m m m mn n x x x x x x y y y y y y ++++++++++³+++L L L ;若 10m -<<, 则 ()()111112121212m m m m n n m m m mn n x x x x x x y y y y y y ++++++++++£+++L L L ;上述两个不等式中的等号当且仅当312123n nx x x x y y y y ====L 时取等注意观察这个不等式的结构特征, 分子分母均为正数, 且始终要求分子的次数比分母的次数多 1, 出现定值是解题的关键, 特别的, 高考题中以 1m = 最为常见, 此时这个不等式是大家熟悉的柯西不等式.例1：若正数x ，y 满足111=+yx ，则y x 2+的最小值为______________解：21111212x y x yx +=+=+³，123x y£Þ+³+，当且仅当1x =时取等号，即1x =+，1y =+时取等号所以y x 2+的最小值为3+例2：若0>x ，0>y ，2321=+++yxy x ，则y x 56+的最小值为______________解：()21311212242x y x y x y x y x y +=+==+++++即2³，则13652x y +³+12x y =+例3：已知正数,x y 满足491x y +=，则22492x x y y+++的最小值为解：()()2222222222249944949149492184298917x yy x x x y y x x y y x y x yæö+ç÷èø+=+=+³=++++++++当且仅当944989y x x y =++时取等号.由49194,4989x y y x x y ì+=ïïïíï=ï++ïî解得：17217x y ì=ïíï=î，例4：若1>a ，0>b ，=+b ab2+的最小值为______________解：2121311a b a +=³+--，当且仅当11a =-例5：若1>a ，1>b ，则1122-+-a b b a 的最小值为______________解：()()22222448112a b t a b t b a a b t t+++³==++³--+-当且仅当1122ab b a a b ì=ï--íï+-=î时取等号，即2a b ==，所以2211a b b a +--的最小值为8例6：已知正数x ，y ，z 满足1=++z y x ，则yx zx z y z y x 222222+++++的最小值为______________解：()222212222223x y z x y z y z z x x y y z z x x y ++++³=++++++++当且仅当222x y zy z z x x y==+++时取等号例7：已知正数x ，y ，z 满足1=++z y x ，则zy x 941++的最小值为______________解：()222212314912336x y z x y z x y z++++=++³=++，当且仅当123x y z ==时取等号例8：已知正数x ，y 满足1=+y x ，则2281y x +的最小值为______________解：()()3332222212181227x y x y x y ++=+³=+当且仅当12x y=时取等号例9：求θθ22cos 4sin 1+的最小值为______________解：()()()()2221112222221214129sin cos sin cos sin cos θθθθθθ++=+³=+当且仅当2212sin cos θθ=时取等号例10：求6cos 583sin 25)(22+++=x x x f 的最小值为______________解：()()()()22222222254585481()2sin 35cos 63752sin 325cos 610sin cos 27f x x x x x x x +=+=+³=++++++当且仅当()()225452sin 325cos 6x x =++时取等号例11：权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设*0,0,,0n n a b n m >>Î>N ，则()()11111123123123123m m m m m n nm m m m m n n a a a a a a a a b b b b b b b b +++++++++++++³++++L L L ，当且仅当123123n n a a a a b b b b ====L 时，等号成立．根据权方和不等式，若π0,2x æöÎç÷èø1cos x 取得最小值时，x 的值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12解：由题意得，sin 0,cos 0x x >>，()()()333322221112222222131(31)48cos sin cos sincos xx x x x ++=+³==+，当且仅当2231sin cos x x=，即1cos 2x =时等号成立，所以π3x =．例12：已知正数x ，y 满足194=+yx ，则y y x x +++22924的最小值为______________解：()()2222222222249944949149492184298917x y y x x x y y x x y y x y x yæö+ç÷èø+=+=+³=++++++++当且仅当944989y x x y=++时取等号例13：已知305432=++++v u z y x ，求222225432v u z y x ++++的最小值为______________解：()()()()()222222222222234523451234523453060123+4+515y z u v x x y z u v x y z u z ++++=++++++++³==++当且仅当x y z u v ====时取等号例14：已知0>a ，0>b ，5=+b a，求31+++b a 的最大值为______________()()()()111222111122221313311112a b a b ----++++++=+£==+当且仅当13a b+=+时取等号例15：求223223)(x x xx x f -+++-=的最大值为______________解：()()()()11222211221222123223()11322311x x x x f x xx x x----++-=+=+-+++-£=+当且仅当223223x x x x -+=+-时取等号例16：已知正数a ，b ，c 满足1=++c b a，求131313+++++c b a 的最大值为___________解：()()()()()1112221112221212313131111313131111a b ca b c ----+++=+++++++£=++当且仅当13a b c ===时取等号例1：用柯西不等式求函数y=的最大值为A B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】配凑目标函数，再利用柯西不等式即可求得结果.【详解】由柯西不等式可得，函数y=4£=2x =时等号成立，故该的最大值为4.故选：C.例2：由柯西不等式，当24x yz ++=）A ．10B ．4C．2D【答案】D【分析】利用柯西不等式可得2(2)(424)x y z ++++³，即求.【详解】解：由柯西不等式，得2(2)(424)x y z ++++³，当且仅当2424x y z==，即82,25x z y ===时，等号成立.因为24x y z++=，所以210£，£故选：D例3：已知,(0,)xy Î+¥k 的取值范围是．【答案】k >【详解】试题分析：由柯西不等式得22(13)()x y£++£k >.考点：柯西不等式例4：已知23612x y z ++=，求222x y z ++的最小值.（利用柯西不等式）【答案】14449【分析】利用柯西不等式进行求解．【详解】由柯西不等式可知：（222x y z ++）（4+9+36）2144(236)49x y z ³++³，22214449x y z \++³，当且仅当243672,,,23649494923612x y zx y z x y z ì==ï===íï++=î即【点睛】本题考查的是函数最值的求法，主要通过消元和配方解决问题，也可以是利用柯西不等式进行求解．考查学生的转化能力．例5：已知正实数a ，b ，c ，d 满足1a b c d +++=，则1111a b c b c d c d a d a b+++++++++++的最小值是 ．【答案】163/153【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解.【详解】由题意可知，1111a b c b c d c d a d a b+++++++++++()1111133a b c d a b c b c d c d a d a b æöéù=+++´+++ç÷ëû++++++++èø()()()()111113a b c b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b æöéù=+++++++++++´+++ç÷ëû++++++++èø()2116111133³+++=，当且仅当14a b c d ====时取“=”号．所以原式的最小值为163．故答案为：163.例6：已知非负实数a 、b 、c 、d 满足1ab bc cd da +++=，求证：33331.3a b c d b c d c d a d a b a b c +++³++++++++【答案】证明见解析【分析】利用切比雪夫不等式的推论、柯西不等式及均值不等式即可求解.【详解】不妨设0a b c d ££££，则22220a b c d ££££．记a b c d S +++=，则0S a S b S c S d -³-³-³->，1111S a S b S c S d£££----．依次运用切比雪夫不等式的推论1、柯西不等式、均值不等式得到3333a b c d b c d c d a d a b a b c+++++++++++()2222222221()4a ab bc cd c a b c d a b c d S a S b S c S d ××××=+++³+++×+++----1111S a S b S c S d æö×+++ç÷----èø()()()()()22221111148a b c d S a S b S c S d S a S b S c S d æöéù=+++×-+-+-+-×+++ç÷ëû----èø()222221448a b c d ³+++×()()()()2222222216a b b c c d d a éù=+++++++ëû1(2222)6ab bc cd da ³+++11()33ab bc cd da =+++=，故原不等式正确．一、单选题1．（2024·山西临汾·三模）若01x <<，则121x x+-的最小值是（ ）A ．1B ．4C ．2+D ．3+【答案】D【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．【详解】因为01x <<，所以10x ->，则()121212133111x x x x x x x x x x -æö+=+×+-=++³+éùç÷ëû---èø，当且仅当121x xx x-=-，即1x =-时，等号成立，取得最小值3+故选：D ．2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知0x >，0y >，且21x y +=，则x y yx +的最小值为（ ）A ．4B ．C ．6D ．3【答案】D【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为0x >，0y >，且21x y +=，所以()112231331x x y x y xy y x x y y x y æö=+=++=++³=çèø+÷，当且仅当2x yy x =，即x =1y =时取等号.故选：D3．（2024·江苏南通·二模）设0x >，0y >，122y x+=，则1x y+的最小值为（ ）A ．32B．C．32D ．3【答案】C【分析】由不等式“1”的代换求解即可.【详解】因为122y x+=，所以112+=y x，因为0x >，0y >，所以111111222x x y xy y y x xy æöæö+=++=+++ç÷ç÷èøèø31333222222xy xy =++³+=+=当且仅当12112xy xy y x ì=ïïíï+=ïî，即x y ì=ïíïî时取等.故选：C.4．（2024·四川成都·模拟预测）若,a b 是正实数，且111324a b a b+=++，则a b +的最小值为（ ）A ．45B ．23C ．1D ．2【答案】A【分析】观察等式分母可知()()()3245a b a b a b +++=+，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.【详解】因为()()()()()1111155324324555324a b a b a b a b a b a b a b a b æöéùéù+=+=+++=++++ç÷ëûëû++èø12431422532455a b a b a b a b æ++æö=++³+=çç÷ç++èøè，当且仅当31,55a b ==时取等号，所以a b +的最小值为45.故选：A5．（2024·河南·模拟预测）已知点(),P x y 在以原点O为圆心，半径r =221411x y +++的最小值为（ ）A ．49BC ．79D ．1【答案】D【分析】由题可得点P 满足的圆方程227x y +=，进而()()22119x y +++=，然后利用基本不等式结合条件即得.【详解】由题意可得点P 的坐标满足227x y +=，所以，()()22119x y +++=．因此，()()222222141141111911x y x y x y éùéù+=++++êúë++++ëû()2222411115519119x y x y ééù++êêú=++³+=ê++êúëûë.当且仅当()222241111x y x y ++=++时，即x y ==故选: D ．6．（2024·全国·模拟预测）设正实数a ，b 满足2a b +=，则1112+++a b 的最小值为（ ）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】C【分析】由已知可得125a b +++=，根据“1”的代换化简得出11121212512b a a b a b ++æö+=++ç÷++++èø.进而根据基本不等式，即可求得答案.【详解】因为2a b +=，所以125a b +++=，所以()111111212512a b a b a b æö+=++++ç÷++++èø1212512b a a b ++æö=++ç÷++èø14255æ³+=ççè，当且仅当12,2a b a b +=++=，即31,22a b ==时，等号成立，所以1112+++a b 的最小值为45．故选：C ．7．（2021·浙江·模拟预测）已知0x >，R y Î，且2530x xy x y +-+=的最大值为（ ）A B C ．D ．【答案】C【分析】依题意得6x y +==，进而由柯西不等式可得最大值.【详解】由2530x xy x y +-+=可得23050x x xy y --++=，即()()560x x y ++-=.由0x >可知6x y +===.由0x >，20x -³可得02x <£，由柯西不等式得22222124éùéù£+×+=êúêúëûëû，£=12x =时，取等号..故选：C.【点睛】关键点点睛：+=+之后，关键在于根据题目特点应用柯西不等式求最大值.8．（高三上·浙江宁波·期中）设a ，b 为正实数，且121322a b a b +++=，则12a b+的最大值和最小值之和为（ ）A ．2B ．92C ．132D ．9【答案】C【分析】根据题意可得2122113a b a b éùæö+++=ç÷êúèøëû，再由“1”与12a b +相乘利用基本不等式转化为221212913a b a b éùæö++£+êúç÷èøêúëû，解不等式即可求解.【详解】由121322a b a b +++=，则2122113a b a b éùæö+++=ç÷êúèøëû，所以1221212213a b a b a b a b éùæöæö+=++++ç÷ç÷êúèøèøëû 2222121413a b b a a b éùæö=+++++êúç÷èøêúëû22212212591313a b a b éùéùæöæö³++=++êúêúç÷ç÷èøèøêúêúëûëû，当且仅当22a b b a=时，即32a b ==或23时，等号成立，即221212913a b a béùæö++£+êúç÷èøêúëû，解得12922a b £+£所以12a b +的最大值为92；最小值为2；所以最大值和最小值之和为132.故选：C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，运用基本不等式求最值需验证等号成立的条件，属于中档题.9．（2024·辽宁·一模）已知20m n >>，则 2m mm n n+-的最小值为（ ）A ．3+B ．3-C ．2+D ．2【答案】A【分析】根据题意，()22m m n n =-+，将所求式子变形，利用基本不等式求解.【详解】由20m n >>，20m n \->，()22m m n n =-+，()()22222233222m n n m n n m m n m nm n n m n n m n n-+-+-\+=+=++³+---当且仅当222n m nm n n-=-，即(2m n =时等号成立.故选：A.10．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数11,2x y >>，不等式()()222241211x y a y a x +³--恒成立，则实数a 的最大值（ ）A ．2B ．4CD ．【答案】D 【分析】首先不等式变形为2224211x y a y x £+--恒成立，再利用两次基本不等式求224211x y t y x =+--的最小值，即可求解a 的取值.【详解】不等式()()222241211x y a y a x +³--恒成立，可转化为2224211x y a y x £+--恒成立，其中11,2x y >>，令()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----，³，=8³=，第二次使用基本不等式，等号成立的条件是111x x -=-且12121y y -=-，得2x =且1y =，此时第一次使用基本不等式()()()()221211212211211x x y y y x -+-+-+-+=--，说明两次基本不等式能同时取得，所以224211x y y x +--的最小值为8，即28a £，则a -££所以实数a 的最大值为故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求224211x y t y x =+--的最值时，需变形为()()()()222212112122114211211x x y y x y t y x y x -+-+-+-+=+=+----，再通过两次基本不等式求最值.二、填空题11．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知()0,m n Î+¥,，14n m+=，则9m n +的最小值为.【答案】4【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为(),0,m n ¥Î+，14n m+=，所以9191191044m m n mn n n m mn æöæöæö+=++=++ç÷ç÷ç÷èøèøèø11044æö³=ç÷ç÷èø，当且仅当9mn mn=，即1m =，3n =时取等号.故答案为：412．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数0,2a b >>，且121123a b +=+-，则2a b +的最小值是 ．【答案】24【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值【详解】因为0,2a b >>，且121123a b +=+-，所以36112a b +=+-，所以()()()()32121362212661212b a a b a b a b a b -+éùéù+=++-+=+++ëûêú+-+-ëû1224³+=，当且仅当()()3212112b a a b -+=+-，即22(1)b a -=+，5,14a b ==时等号成立，故答案为：2413．（2024·河南·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c ++=，则41a b c++的最小值为 ．【答案】92【分析】,,a b c 是ABC V 的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解.【详解】因为2a b c ++=，所以()411412a b c a b c a b c æöéù+=×+++ç÷ëû++èø141955222c a b a b c æ+æö=×++³×+=çç÷ç+èøè，当且仅当4c a b a b c +=+，即2a b c +=时等号成立，故41a b c ++的最小值为92．故答案为：92.14．（2024·广西河池·模拟预测）若实数10>>>a b ，且2222a b b a +=+，则111a b+-的最小值为 .【答案】4【分析】根据10>>>a b ，将2222a b b a +=+化简可得20a b +-=，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可.【详解】由2222a b b a +=+可得()()20a b a b -+-=，因为10>>>a b ，所以0a b -¹，即20a b +-=，则11-+=a b ，则()111111224111b a a b a b a b a b -æö+=+-+=++³+=ç÷---èø，当且仅当11b a a b-=-，即31,22a b ==时等号成立，故111a b +-的最小值为4.故答案为：4.15．（2024·全国·模拟预测）已知1x >，0y >，且22x y +=，则11y x +-的最小值是 ．【答案】3+3．【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解.【详解】由22x y +=，得211x y-+=，因为1x >，0y >，所以10,0x y ->>，所以121213(1)3311(1)y x y x y x y x x y æöæö+=-++=+-+³+=+ç÷ç÷---èøèø当且仅当2(1)(1)x y x y-=-，即x 2y =所以11y x +-的最小值是3+故答案为：3+16．（2024·全国·模拟预测）已知0x y >>，621x y x y+=+-，则2x y -的最小值为 ．【答案】12【分析】令2a x y =+，2b x y =-，从而可得11x a b =+，11y a b =-，再根据()1323x y a b a b æö-=++ç÷èø，结合基本不等式求解即可.【详解】令2a x y =+，2b x y =-，则2x y a+=，2x y b -=，且0a >，0b >，所以11x a b =+，11y a b=-．又31a b +=，所以()11111313223x y a b a b a b a b a b æöæöæö-=+--=+=++ç÷ç÷ç÷èøèøèø933612b a a b =+++³+=，当且仅当16a =，12b =，即8x =，4y =时，等号成立．故答案为：1217．（21-22高三上·天津南开·期中）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121a ab ++的最小值为 .【答案】52/2.5【分析】将目标式转化为1421a b +-+，应用柯西不等式求141a b ++的取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，1a b =-，则12122142111a b a b a b a b -+=+=+-+++，又214(1)()91a b a b +++==+，∴14912a b +³+，当且仅当12b a +=时等号成立，∴12952122a a b +³-=+，当且仅当1223b a +==时等号成立.∴121a ab ++的最小值为52.故答案为：52.18．（2024·江西·一模）已知正数x ，y 满足6x y +=，若不等式2212x y a x y £+++恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(],4¥-【分析】将2212x y x y +++变形为1414122431212x y x y x y ++-+++-=++++++，利用均值不等式求1412x y +++的最小值即可求解.【详解】因为6x y +=，所以()()()()2222121124241212x x y y x y t x y x y +-+++-++=+=+++++1414122431212x y x y x y =++-+++-=++++++，所以1412143312912x y t x y x y æö+++=++=++ç÷++++èø()()()41322324991929x y x y ++=++³+=++，等号成立当且仅当4,2y x ==，所以22min 412x y x y æö+=ç÷++èø，4a £，故实数a 的取值范围是(],4¥-.故答案为：(],4-¥【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到221431212x y x y x y +=++++++，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.19．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为 .【答案】94【分析】由()()47232x y x y x y +=+++，结合基本不等式求解即可.【详解】因为474x y +=，所以()()2112123232432x y x y x y x y x y x y æöéù+=++++ç÷ëû++++èø，所以()()22211413242233x y x y x y x y x y x y éù++=+++êú++ë+++û，因为,x y 为正实数，所以()()220,02233x y yyx y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x yx y++++³=+，当且仅当32474x y x y x y +=+ìí+=î时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以()21194413244x y x y +³++=++，当且仅当84,1515x y ==时等号成立，所以2132x y x y +++的最小值为94，故答案为：94.20．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）已知1,1,10x y xy >>=，则12lg lg x y+的最小值为 .【答案】3+3【分析】依题意可得lg lg 1x y +=，再由基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为1,1,10x y xy >>=，所以lg lg lg 1x y xy +==，lg 0x >，lg 0>y ，所以1212lg 2lg ()(lg lg )33lg lg lg lg lg lg y x x y x y x y x y +=++=++³+3=+当且仅当lg 2lg lg lg y xx y=，即lg 2y x ==时，等号成立，显然此时,x y 有解，所以12lg lg x y+的最小值为3+.故答案为：3+21．（2024·江西宜春·三模）已知0x >，0y >，且满足2249630x y xy ++-=，则23x y +的最大值为．【答案】2【分析】解法1、根据题意，得到22491236x y xy xy ++=+，结合基本不等式求得23(23)34x y +£，进而求得23x y +的最大值；解法2、根据题意，得到222(96)33x y xy x +++=，利用权方和不等式得24(23)x y +≥，进而求得23x y +的最大值．【详解】解法1、由2249630x y xy ++-=，可得22491236x y xy xy ++=+，由基本不等式得2223(23)3233()2x y x y x y ++=+×£+，可得23(23)34x y +£，所以232x y +£，当且仅当23x y =时取等号，联立方程组222349630x y x y xy =ìí++-=î，解得12x =，13y =，故23x y +的最大值为2．解法2、由2249630x y xy ++-=，可得222(96)33x y xy x +++=，因为0,0x y >>，由权方和不等式得222(3)(3)111133x y x x y x +++++，即24(23)x y +≥，所以232x y +£，当且仅当3113x y x+=，即23x y =时取等号，联立方程组222349630x y x y xy =ìí++-=î，解得12x =，13y =，故23x y +的最大值为2．故答案为：2.22．（22-23高一上·福建福州·期中）若三个正数,,x y z 满足31224x y z ++=，则2123x y y z+++的最小值为 .【答案】22【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】依题意,,x y z 为正数，()()312232234x y z x y y z ++=+++=，所以2123x y y z +++()()2132232314x y y z x y y z æö++++++=éùç÷ëûèø()()433218423y zx y x y y z ++éù=++êú++ë1824é³+=êêë当且仅当()()()()224332,324323y z x y x y y z x y y z++=+=+++，)()223x y y z +=+，23x y y z ì+ïíï+=î.故答案为：223．（2024·上海嘉定·二模）已知()22sin cosf x x x =+，π0,2x æöÎç÷èø，则函数()y f x =的最小值为 ．【答案】【分析】令πsin cos )4t x x x =+=+，可求t 的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，222(sin cos )()sin cos sin cos x x f x x x x x+=+=，令πsin cos )4t x x x=+=+，由π02x <<，得ππ3π444x <+<，πsin()14x <+£，则1t <£由sin cos t x x =+，得22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以21sin cos 2t x x -=，则原函数可化为22244()1112ttg t t t t t ===---，又函数1,y t yt ==-在上单调递增，所以1y t t=-在上单调递增，故当t =时，1y t t =-，此时()g t 取得最小值故答案为：24．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数,a b满足112121a b a b a b +++=+++，则a b +的最小值为 .【分析】根据分离常量法可得112212121a b a b +=++++，结合权方和不等式计算可得(1)(1)1a b a b +-++³，即2()2a b +³，即可求解.【详解】0,0a b >>，112212121a b a b+++++，所以11a b =++，所以(1)(1)1a b a b +-++³，得2()2a b +³，所以a b +³a b +£，即a b +。
2024年高考数学提高分数的攻略总结
2024年高考数学提高分数的攻略总结一、入手前准备1. 确定目标：根据自己的实际情况和目标学校的要求，确定自己在数学考试中的目标分数。
2. 制定计划：根据目标分数制定合理的复习计划，要有具体的时间安排和每天的学习任务。
要充分利用课余时间，合理安排每天的学习时间。
3. 整理知识点：将高中数学课程中的各个知识点进行整理，并清晰地记录下来。
对于每个知识点，要能够正确理解和掌握其基本概念、定理、公式和解题方法。
在整理的过程中，可以通过查阅教材、参考书和课外资料，加深自己的理解。
4. 定期复习：定期复习已学过的知识点，并进行相关的习题练习。
通过反复巩固，加深自己对知识点的记忆和理解。
5. 掌握解题技巧：数学考试不仅要掌握基本的知识点，还需要掌握一些解题技巧和方法。
要学会灵活运用各种解题方法，提高解题的效率和准确性。
二、重点攻克的知识点和题型1. 高中数学必修一、二、三的知识点：这些知识点是高考数学的基础，掌握好这些知识点是提高数学分数的关键。
要重点复习和巩固这些知识点，并进行相关的练习题目。
这些知识点包括代数、函数、极限、导数、积分、解析几何等。
2. 基础题型：要熟练掌握各种基础题型的解题方法，包括代数方程、函数图像、三角函数、平面几何等。
要理解题目的要求，正确应用相关的知识点，同时要注重解题的思路和方法。
3. 高难题型：要重点攻克一些难度较大的题型，如数列问题、不等式、复数、向量、概率等。
要深入理解这些知识点的概念和定理，掌握相应的解题方法。
通过大量的练习和解析，提高解题的能力和水平。
三、复习方法和技巧1. 理解和记忆：数学考试不仅仅是机械地记忆和运用概念、公式和方法，更重要的是理解和掌握其背后的原理和思想。
可以通过实例和图表等方式，帮助自己理解和记忆相关的知识点。
2. 分类归纳：将学过的知识点进行分类归纳，建立知识点之间的联系，形成一个完整的知识体系。
通过分类归纳，可以更清晰地认识和掌握知识点，加强对整体知识体系的理解。
朝阳区2024-2025学年第一学期期中高三数学试题及答案
北京市朝阳区2024-2025学年度第一学期期中质量检测高三数学试卷 2024.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{02}A x x =≤≤，集合{13}B x x =<<，则AB =（ ） A.{12}x x <≤ B.{02}x x ≤≤ C.{03}x x ≤< D.{13}x x << 2.若函数4()(0)f x x x x =+>在x a =处取得最小值，则a =（ ）A.1 C.2 D.43.下列函数中，既是奇函数又在区间(,0)−∞上单调递增的是（ ）A.2x y =B.ln ||y x =C.tan y x =D.2y x x=−4.如图，在ABC △中，13BD BC =，12AE AC =，则（ ） A.1133BD AB AC =− B.2233BD AB AC =− C.2136DE AB AC =−+ D.2136DE AB AC =− 5.已知单位向量i ，j 满足0i j ⋅=，设向量2c i j =−，则向量c 与向量i 夹角的余弦值是（ ）A.5−B.5− C.5 D.5 6.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”.由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（ ）A.1天B.2天C.3天D.4天7.已知α，β均为第二象限角，则“sin sin αβ>”是“cos cos αβ>”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知函数e ,0,()0.x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若直线y x m =+与函数()y f x =的图象有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.(,1](2,)−∞+∞ B.(,1)[2,)−∞+∞ C.(,0](2,)−∞+∞ D.(,0)[2,)−∞+∞9.在三棱锥O -ABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，点P 在底面ABC 内，已知点P 到OA ，OB ，OC 所在直线的距离分别为1，2，2，则线段OP 的长为（ ）A.22C.3D.92 10.数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记S 为集合S 的元素个数，()S ϕ为集合S 的子集个数，若集合A ，B ，C 满足： ①99A =，100B =；②()()()()A B C B C Aϕϕϕϕ++=， 则A B C 的最大值是（ ）A.99 B .98 C .97 D .96第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.计算2i 1i=−________. 12.在ABC △中，已知3cos 5A =，则sin A =__________；tan(π)A −=________. 13.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S An Bn =+（A ，B 为常数），写出一个有序数对(),A B =________，使得数列{}n a 是递增数列.14.某种灭活疫苗的有效保存时间T （单位：h ）与储藏的温度t （单位：℃）满足函数关系e kt b T +=（k ，b 为常数，其中e 2.71828=）.已知该疫苗在0℃时的有效保存时间是1440h ，在5℃时的有效保存时间是360h ，则该疫苗在10℃时的有效保存时间是________h.15.对于无穷数列{}n a ，若存在常数0M >，对任意的*n ∈N ，都有不等式21321n n a a a a a a M +−+−++−≤成立，则称数列{}n a 具有性质P .给出下列四个结论： ①存在公差不为0的等差数列{}n a 具有性质P ；②以1为首项，(||1)q q <为公比的等比数列{}n a 具有性质P ；③若由数列{}n a 的前n 项和构成的数列{}n S 具有性质P ，则数列{}n a 也具有性质P ；④若数列{}n a 和{}n b 均具有性质P ，则数列{}n n a b 也具有性质P .其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）在ABC △中，cos cos 2a C c A a +=.（I ）求b a的值；（II ）若π6A =，c =b 及ABC △的面积. 17.（本小题15分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，2AB AD ==，3CD PD ==.（I ）求证：AB ⊥平面P AD ；（Ⅱ）求平面P AB 与平面PCD 的夹角的余弦值；（Ⅲ）记平面P AB 与平面PCD 的交线为l .试判断直线AB 与l 的位置关系，并说明理由.18.（本小题13分）已知函数()ln(1)()f x ax x a =−+∈R .（I ）若1a =，求()f x 的最小值；（II ）若()f x 存在极小值，求a 的取值范围.19.（本小题14分） 设函数2π()sin 2cos 2cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭. （I ）若1ω=，π6ϕ=，求π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（II ）已知()f x 在区间ππ,63⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，且π3x =是函数()y f x =的图象的对称轴，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求ω，φ的值. 条件①：当π6x =−时，()f x 取到最小值； 条件②：π532f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 条件③：()f x 在区间ππ,36⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦上单调递减. 注：如果选择的条件不符合要求，第（II ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.20.（本小题15分）已知函数()e cos x f x x =+.（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（II ）讨论()f x 在区间(π,)−+∞上的零点个数；（III ）若()f m n =，其中0m >，求证：2n m −>.21.（本小题15分）若有穷正整数数列A ：1a ，2a ，3a ，…，2(3)n a n ≥满足如下两个性质，则称数列A 为T 数列： ①2122(1,2,3,,)i i i a a i n −+==； ②对任意的{1,2,3,,21}i n ∈−，都存在正整数j i ≤，使得112()i j j j j i j a a a a a ++++−=++++. （I ）判断数列A ：1，1，1，3，3，5和数列B ：1，1，2，2，4，4，4，12是否为T 数列，说明理由； （II ）已知数列A ：1a ，2a ，3a ，…，2(3)n a n ≥是T 数列.（i ）证明：对任意的{2,3,,1}i n ∈−，2232i i a −=⨯与22132i i a −+=⨯不能同时成立；（ii ）若n 为奇数，求2462n a a a a ++++的最大值.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。
2024年高考数学提高分数的攻略总结(二篇)
2024年高考数学提高分数的攻略总结高考数学对于很多学生来说是一门难以逾越的坎。
提高高考数学分数不仅需要对数学知识的掌握，还需要一定的策略和方法。
下面是一些提高高考数学分数的攻略总结。
首先，要系统地学好数学基础知识。
高考数学考试的内容主要包括数与代数、函数与方程、几何与向量、概率与统计等方面的知识。
在学习这些知识点时，要注重理解概念，掌握基本的计算方法，并能够灵活运用到解题中。
此外，要注重巩固和扩大知识面，了解和学习一些高中数学的拓展内容，这样可以在应对高考中的变化题型时更加得心应手。
其次，要注重做题训练和模拟考试。
高考数学的考察重点是对知识点的应用能力，所以在提高分数方面，做题训练是最为有效的方法之一。
可以选择一些难度适中的题目进行练习，理解题目的解题思路和解题方法，并多做一些真题和模拟试卷，模拟考试的时间和环境，提高自己的应试能力。
第三，要注重解题方法和思维的培养。
高考数学的解题方法和思维往往是决定分数高低的关键。
解题时要注重思路的拓展和灵活运用，要学会分析题目的要求和条件，找到解题的关键点。
可以通过学习一些解题技巧和思维方法，如画图法、分析法、反证法等，提高解题的效率和准确度。
第四，要注重知识点之间的联系和综合运用。
高考数学试题往往是将多个知识点融合在一起进行考察的，所以要注重知识点之间的联系和综合运用。
在学习过程中，要注意将各个知识点相互联系起来，理解它们之间的逻辑关系，这样在解题时就能够更好地进行综合运用，提高解题的能力。
第五，要注重举一反三和拓展思维。
高考数学试题的考察往往是以变化题型为主，所以在学习过程中要注重拓展思维，培养灵活转化和应变能力。
学会从一个具体的问题中理解和推广出一般性的结论，从而能够更好地应对各种题型的考察要求。
最后，要注重复习和反思。
高考数学的复习和反思是提高分数的重要环节。
复习时要注重细节，巩固基础知识，做到知识点的熟练掌握。
同时，要不断反思自己在做题过程中的不足之处，总结经验，找到提高的方法和策略。
备战2025年高考二轮复习数学课件专题：概率与统计 专题突破练-计数原理
级参加,其中高一年级需要连续两天,高二、高三年级各需要一天,则不同
的安排方案有( B )
A.18种
B.24种
C.30种
D.32种
解析 高一年级可以从周一和周二、周二和周三、周三和周四、周四和周
五中选择两天去参观,共4种选择;再从剩下的三天里安排高二、高三年级,
A.16
B.20
C.18
D.24
解析 显然300=22×3×52,则300的正因数为2α×3β×5γ,其中
α=0,1,2,β=0,1,γ=0,1,2,
所以300的不同正因数有3×2×3=18个.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
7.(2024·山东菏泽模拟)球类运动对学生的身心发展非常重要.现某高中为
计数原理
一、选择题
1.(2024·福建漳州三模)在二项式(1-2x)6的展开式中,含x2项的系数为( D )
A.-60
B.-15
C.15
D.60
解析 展开式的通项 Tr+1=C6 (-2x)r,其中含 x2 的项为 T3=C62 (-2x)2=60x2,所以在
(1-2x)6 的展开式中,含 x2 的项的系数为 60.
14.(2024·全国甲,理 13)
是
5
1
3
+
10
的展开式中,各项系数的最大值
.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
解析 展开式的通项公式为 Tr+1=C10
1 10- r
x
,0≤r≤10
3
且 r∈Z,
高考数学142分学霸讲解
高考数学142分学霸讲解首先，需要说明一下高考数学的评分规则。
高考数学共150分，其中选择题占105分，填空题占15分，解答题占30分。
选择题和填空题采取加权得分方式，每题1分，解答题则按照答案的完整性、正确性、清晰度等方面进行评分。
因此，142分代表该学生在高考数学中有出色的表现，但也不失准确性和详细性。
以下为该学霸对高考数学142分的解释：1. 在选择题和填空题中，我准确率很高。
选择题和填空题是高考数学中的基础题型，但也是制约学生得分的重要因素。
对于选择题和填空题，我在备考过程中注重理解题意，认真分析各种情况，并采用基本的解题技巧和方法。
我对数学知识体系的掌握较为全面，能够有效地运用数学的思维方式和逻辑推理的能力，较少犯错。
2. 在解答题中，我能够准确地理解所给信息，合理地运用所学数学知识，提炼所需信息，解决问题。
解答题部分是数学考试中的高难度题型，因此在备考过程中，我注重从教材中提取解题思路，以及分析各类解答题的解题思路，掌握正确的解题方法。
同时，加强经典习题的训练，培养解答题的技巧和思维能力，能够快速从题目中提取所需信息并加以合理的分析，找到解题的关键点，从而顺利地解决问题。
3. 我习惯于思考问题的多种方式和策略，懂得进行变形，以及合理地利用所学数学知识解决问题。
在高考数学中，有些问题需要一些特殊的技巧和思维策略，因此我在备考过程中，不断地总结并掌握思考问题的不同方式和策略，并进行模拟练习。
同时，我对所学数学知识的理解也较为深刻，能够灵活地运用所学知识，进行变形或直接推理，解决问题。
以上就是我对高考数学142分的解释。
我相信，在高考数学中取得高分，不仅仅是靠刻苦的努力和学习，更需要有良好的解题方法和思维能力。
通过不懈的努力，我成功地战胜了高考数学，获得了优异的成绩。
鼓励备战高考加油句子说说
鼓励备战高考加油句子说说鼓励备战高考加油句子说说【经典篇】1.亲爱的准大学生们,你已享受金榜题名时的喜悦,即将迎来进入大学校园的梦想,然后体验美好的大学生活,希望你们勇攀科学高峰,为国人争光,为祖国添彩!2.七月如隔夜的雨,洗净陈年的沧桑,历练新的朝气,精华曾经浮气,扬起全新志气,重现全新空气,新学期新景气,用全心的力气,拼出不一样的新天地.大学即将开始,愿大家勇往直前.3.在我印象中,你一直都很珍惜时间.勤奋好学,我想上帝是公平的,是你在学习中奋斗不息的精神,让你在学业上有如此的成功.祝贺你,朋友!4.妹妹终于要离开家了,去远方求学了,姐姐很高兴!以后可要自己照顾自己了,注意身体啊!最后祝福妹妹在大学里学习生活愉快!5.对学习,要努力,努力之余莫忘休息;对同学,要友爱,真心相待结真情;对家人,要联系,电话平安要传递;对生活,要乐观,切忌莫自暴自弃.朋友,祝你大学新生活万事如意!6.你理想中的那所大学给你发了录取通知书,真诚地祝贺你!最终实现了你的奋斗目标.在接下来这段日子里,让自己彻底放开心轻松一下吧!7.高考是船,船上满员,奋发图强,期盼三年,终到彼岸;大学是岸,崛起天边,缤纷绚烂,期盼N年,终得欢喜笑开颜.祝你在大学校园里,新环境,新机遇,新挑战,自信满满,勇敢登攀,学业蒸蒸日上,生活开心顺利,拥有更多的精彩绚丽!8.冬至不端饺子碗,冻掉耳朵没人管,饺子也有大学问,营养搭配要完善,少放肥肉多放菜,控制脂肪拌好馅,饺子皮里加粗粮,不变美味保康健!9.一份耕耘,一份收获,不经风雨,哪有彩虹,进入大学,摒弃苦涩,新的学期,新的生活,好的起点,努力开拓,学海无涯,勤能补拙,珍藏荣耀,更上层楼,加油!_.大学里充满了无限可能,它可能将你变得更坏,也可能将你变得更好.在汲取知识的同时,千万要注意加强下品格修养.做学问,先学做人!_.踏进大学校园的那刻,所有的一切都是新的,新的面孔,新的环境.尽快去适应,开始你人生的又一段旅途,相信你奋斗了,付出了,你一定会有所收获!加油吧朋友!用汗水去擦亮你的未来!_.去年今日大学中,师生情谊比天高,今年学生天涯散,恩师重接新学生,吾等不敢忘师恩,今年教师节气至,发条短信送祝福,祝您事业节节高,天天无忧乐开怀!_.该生热爱祖国,遵纪守法,有强烈的民族自豪感和责任心.在校期间,学习刻苦努力,积极上进,工作认真负责,得到了广大师生的认可.曾在经管院学生会组织部工作,参与了大型团日活动〝纪念重庆大轰炸〞,获〝团日活动先进个人〞;任班长时,组织专业团日活动〝盛世荣耀〞;参与区土地变更调查,获荣誉证书;组织社会实践小分队,任队长,联合十几所大学学生和数名德国朋友举办了大型宣传活动;获〝优秀团员〞._.一个暑假月吧长,疲惫身躯换新样,大学新篇章,友情重聚欢乐堂.为梦想,相互付出,为明天,一起努力,为目标,不再懈怠,为前方,莫在犹豫,冲刺吧!让我们在大学冲出一片全新模样._.我们预定的目标,不是享受,也不是受苦,而是要使每一天,都比昨天更进一步._.大学是新的起点,大学是新的挑战,大学是新的梦想,愿你在大学里,新朋友对你照顾,新老师对你关照,新校园任你驰骋!_.当一扇门向你关上,必然有另外一扇门向你打开.成才的道路很多,并非只有上大学一条,可以根据自己和家庭的实际情况,选择适合自己的路继续深造,抛开无谓的自责与沉沦,只要用心去工作,学习,就一定可以成为生活的强者._.过去的黑暗,为今天的光明,曾经的历练,为今天的功成,七月的拼搏,为今天的大学,理想的方向,指定了今天的所往.暑假即将结束,大学生活即将开始,愿成功折桂的你在大学一展宏图,再创辉煌._.（大）学生活五彩缤纷,（学）海无涯充满活力,（新）的开始扬帆起航,（生）生不息刻苦读书,（活）出精彩青春之歌!祝你大学新生活快乐,天天都精彩!_.特别地要向你表示热烈的祝贺!我的朋友,你被理想中的学校录取了,这要算是你人生中一个重要的里程碑.好羡慕你,你简直是上帝的宠儿!_.有人说:〝人人都可以成为自己的幸运的建筑师.〞愿我们在走向生活的道路上,用自己的双手建造幸运的大厦.快乐需要分享,快快行动吧._.一个暑假月吧长,疲惫身躯换新样,_大学新篇章,友情重聚欢乐堂.为梦想,相互付出,为明天,一起努力,为目标,不再懈怠,为前方,莫在犹豫,冲刺吧!让我们在大学冲出一片全新模样.23.有理想就有了动力,有理想就有了灵魂,有理想就有了活力,有理想就有了羽翼.大学,理想的天堂,愿你进入大学,酝酿理想,振翅飞翔,创造奇迹.24.欣喜你考上了心目中理想的大学,我很高兴,并衷心的祝福你在以后的求学之路上奋发图强以优异的成绩来回报父母,回报社会!25.朝晖不会落进昏睡者的瞳仁.追求美,才能得到美!——愿我们永远做一个醒着的追求者.26.祝人多年一卧龙,初时华节漕江东,维扬大将金城固,恒人无官可赏功,生子笔力能巧妙,日用大学心中庸,快意长江都是酒,乐山雅望意雍容.27.春天是绿色的舞台;夏天是烈日的舞台;秋天是收获的舞台;冬天是白雪的舞台.愿大学,是你绚烂人生的舞台,激情四射,奋发图强,储备能量,毕业庆功时你便是硕果累累金黄的骄阳!28.同窗几年,一直都很佩服你的毅力,学习中,你总是那么优秀.出色,想必只有你最了解自己的付出,否则也不会有今天学业上的成功,真诚地祝贺你!29.听说你即将启程,步入大学生活.朋友莫忘联系,短信送来提醒:出门在外不易,多多保重身体;真诚对待他人,多多结交好友;保持乐观心境,凡事莫要着急.愿你如意,幸福满溢.30.事业成于坚韧,毁于急躁.在沙漠中,匆忙的旅人往往落在从容者的后边;疾驰的骏马在后头,缓步的骆驼继续向前.31.高考高考,心态要好,保持冷静,基础打好,莫要烦躁,开开心心,早睡早起,精神十足,考上大学,实现梦想,相信自己,一定最好.32.今日同窗分手,说一声:珍重!明朝校友相逢,贺一句:成功!33.在大学这块沃土上,找到一块属于你的土地,然后深深的扎根,为了头顶的那片阳光,为了那晶莹的雨露,努力的向上生长吧!34.劝君莫醉金缕衣,劝君惜取青年时.大学风光无限好,满地繁华不尽飘.若是醉了金缕衣,日后受苦悔恨复何益?不如争取青年时,将来赚尽金缕衣!希望你好好珍惜大学的时光吧35.寒窗苦读_载,如今走进大学的校园,又期待又紧张,新的起点,寻求新的目标,愿你们早日适应新的生活,学业更上一层楼.36.踏上新的征程,扬起梦想风帆,遨游大学殿堂,汲取丰富知识,增强自身能力,一路勇敢前行,不畏困难艰辛,开创辉煌人生!37.盼望着,盼来了大学通知书;雀跃着,再多的艰辛也值得;期待着,开学之日倒计时;传递着,朋友叮嘱记心中:新环境新的希望,困惑诱惑要抵挡;坚持自我莫放松,愿你成功在翘首.祝大学顺利圆满!38.理想还未实现,同学仍须努力;在追求梦想的大学校园里,望你继续划起追求的小船,扬起拼搏的风帆,坚持人生的航向,努力驶向理想的港湾;用毅力推翻暗礁,用勇气平息风浪,努力不懈勇往直前!39.你理想中的那所大学给你发了录取通知书,真诚地祝贺你!最终实现了你的奋斗目标.在接下来这段日子里,让自己彻底放开心.轻松一下吧!40.新生活新起点,祝即将要踏入大学这座象牙塔的学子们:有欣欣向荣的学业,心心相惜的友情,心心相印的爱情,星星闪耀的心情.愿快乐健康永远与你们相伴.41.曾经,你彻夜未眠,埋头如山的试卷;昨天,你如愿以偿,金榜题名填报志愿;今天,你要踏上征程,沐浴大学的蓝天;从此,人生路上将充满激情喜悦,大学的生活会将更加光辉灿烂.42.小学六年千挑万选,中学六年千锤百炼,而今终得一柄宝剑,大学四年千磨百练,努力定能四方惊羡,准备好了么,开始你的大学生活吧!43.我的生活融入了你,你的生活中也蕴涵着我;当我们再次相见的时刻,你我仍然是一个整体.44.那些不分昼夜刻苦学习的日子过去了,那几天紧张激动的考试也过去了,得知你心中那所理想的学校录取你了,这简直是改变你命运的一件大好事!45.我们大学有第一级设备和最有经验的老师,也有最好的学生（笑）.我认为它是一种荣誉,我就有机会在这里学习,我真诚的希望我们能有美好的生活在我们的校园!46.面对通过刻苦的学习,考取自己理想的学校,()有些人顺利跨过,而更多人则望辰莫及.然而,你通过自己的努力圆了自己学业之梦,特向你表示祝贺!47.十二载时光也匆匆,一切辛劳都有功;今年暑假好轻松,马上腾飞化作龙;进入高校亦努力,愿你求学再成功! 寒窗苦读十二年,金榜提名笑开颜;火红的九月金色的天,进入大学嘴乐翻;风雨后的彩虹,就在你打开手机看短信的瞬间出现.祝愿大学生活丰富多彩,再创新篇!48.时光飞逝,三年一瞬间,就这样欢歌.纵笑,就这样相识.相聚,甚至都来不及好好地话别,马上就要各奔东西……49.恭贺你即将进入梦寐以求的大学,你是那雏鹰终于展开了雄翅,翱翔于蓝天,你是那花朵终于绽放了花瓣,散发出香味,你是那果树终于结出了果实,在秋天收获!祝你新的大学生活,有新的目标,新的成果!50.脚踏实地,志存高远.为梦想来,共聚一堂.大学舞台,拉开帷幕.放飞新的希望,接受思想的洗礼.在开学之际,祝你鲲鹏展翅正此时,扶摇直上九万里.51.你一定想不到当我得知你考上大学的那一刻是多么的兴奋,你的刻苦努力得到了回报,你是你们全家人的骄傲和自豪,真诚地祝贺你!52.〝大风大浪〞闯过来,〝大沟大坎〞迈过来,大学大门大大开,希望大才大勇的你〝大刀阔斧〞继续努力,愿大智大慧的你成就一番大事业!53.出色,想必只有你最了解自己的付出,否则也不会有今天学业上的成功,真诚地祝贺你!54.祝贺你考取了自己理想的大学,那段艰苦奋斗.刻苦学习的日子可以暂画一个句号了,这段日子,让自己干自愿事,吃顺口饭,听轻松话,睡安心觉吧!55.在我印象中,你一直都很珍惜时间勤奋好学,我想上帝是公平的,是你在学习中奋斗不息的精神,让你在学业上有如此的成功.祝贺你,朋友!56.大学是人生的一个里程碑,毕业意味着我们不得不选择另一条路继续前行.感谢一路上有你们的陪伴,祝福大家能找到自己的幸福!珍重!57.祝贺你考取了自己理想的大学,那段艰苦奋斗刻苦学习的日子可以暂画一个句号了,这段日子,让自己干自愿事,吃顺口饭,听轻松话,睡安心觉吧!鼓励备战高考加油句子说说【热门篇】1. 寒窗苦读数十载,秉读诗书千万册,日夜奋进辛劳悴,只为今朝提名时.高考,稳的是心,用的是技巧,冷静的`是思想,沉着的是头脑,高考时就像平常一样的对待,不要考虑太多,希望你能够调节自我,好好作答.祝你最后有个好成绩,金榜题名,衣锦还乡!2. 试纸浸墨香,金笔下千言.思虑心平定,谨慎落笔闲.且喜平常度,切忌神慌乱.畅游题海后,金榜题君名.六月高考,祝你成功.3. 一天天积累,一点点努力,一步步前进,一滴滴汇聚,终于到了高考这一天.放松心情,面带微笑,保持信心,你必将拥有灿烂的人生.祝高考顺利!4. 积一时之跬步,臻千里之遥程.高考第一天,祝福送到手.考前准备要做好,学习用品要带好,上了考场莫紧张,平常心对待莫要忘.相信我能行,相信我最棒,给自己一份鼓励,给自己创造一个良好的考试环境.祝你高考成功!5. 高考在即,紧张难免;适量放松,方位上策;书本暂放,好好休息;临阵磨枪,效果甚微;心态良好,至关重要;平常心待,万事皆宜,愿你高考,取得佳绩!6. 奋斗在高考一线,埋头在书本之间,实力在清华上限,底线在北大保研,只要你能坚定信念,金榜题名只在弹指之间,愿你马到成功梦想实现!7. 考前满信心,下笔如有神;休息多静心,养好精气神;思考必细心,身心都入神;答题要用心,聚精又会神,高考心态最重要,千叮万嘱为你好.祝你马到成功,金榜题名!8. 昨日撒下勤奋种,今朝一搏必成功.鲤鱼一跃便成龙,大鹏展翅震长空.前程似锦圆美梦,锦衣凯旋沐春风.寒窗不负苦心人,金榜有你祝高中.高考顺利,愿你成功!9. 高考答题歌:高考高分需技巧,速度规范不可少.遇到熟题看变化,避免生搬与硬套.碰到难题心不慌,答案要从基础找.不求题题都去做,舍卒保车很重要.不求题题都做对,掌握节奏取高分.检查修改要慎重,答案改错最糟糕.考试时间用充足,考完一科就放下._. 校园里寂静无声,教室里聚精会神.老师的脚步轻轻,学生的笔儿不停.十年辛苦此时博,只愿金榜题名慰双亲.全国高考日到了,愿你超常发挥创佳绩,成绩傲人开心笑!_. 全国高考日到了,愿你执才高八斗生辉笔,饮才思万千智慧水,带气定神闲满面笑,拥胸中成竹满怀志,书锦绣嫣然好答卷,定折取桂冠来题名._. 豪情满怀进考场,壮志凌云压群芳,雄鹰展翅任翱翔,骏马奋蹄勇敢闯.十载苦读在寒窗,一举成功题金榜,祝君高考获头彩,前程似锦宏图长!_. 此时此刻,有千言万语想对你说,你是最棒的,理想学府在等着你,向前冲吧!我会永远支持你!_. 少壮须努力,用功要趁早.十年磨一剑,备战为高考.天道自古酬勤,付出才有回报.压力释放心情好,考前放松最重要.预祝高考顺利,金榜题名!_. 决战高考巅峰时,信心百倍增能量.真才实学浑不怕,文思隽永倍潇洒.十年磨剑试锋芒,百花丛中显芬芳.纵横考场斩关将,马到成功幸福尝!祝高考顺利! _. 高考,是一场持久战,只有坚持到最后的人才能笑到最后;高考,是一场心理战的拼搏,谁心态好谁就是黑马;高考,是一场大师级的博弈,时刻保持清醒的头脑才能取得最后的胜利!_. 踏踏实实,努力备战;自信满满,迎接挑战;平心静气,对待高考;妙笔生花,金榜题名.相信自己,一定能行!_. 长风破浪会有时,直挂云帆济沧海,高考是人生的一个起点,相信自己,明天又是一和个艳阳天!_. 六月是奋斗的季节,六月是收获的季节.在经历了高考之后,捷报在焦急的等待中到来.愿你继续努力,在高等学府的知识海洋中畅游.祝前程似锦,宏图大展!_. 高考结束尘埃定,金榜题名遂心愿.多年苦读结硕果,梦想实现笑开颜.父母亲人齐祝贺,街坊邻居佳话传.山窝飞出金凤凰,学府深造出人才.祝你前程似锦绣,宏图大展创未来!_. 高考在即,希望所有的高考学子们:轻轻松松进场!仔仔细细答题!认认真真检查!潇潇洒洒交卷!请相信:只要付出了辛勤的劳动,总会有丰硕的收获!_. 整天笑眯眯,考试没难题;身体棒棒滴,高分在等你;心情放松弛,好运不停息.吃好睡好考试好,美好生活迎接你!祝高考顺利,金榜题名!23. 时光匆匆消减了岁月,换来了成功!并肩奋斗跨越了高考,升入了大学!为了梦想不断前行,定要闯下一片大好前程!兄弟,拼吧!24. 愿天下高考生:忧愁是可微的,快乐是可积的,在未来趋于正无穷的日子里,幸福是连续的,对你的祝福是可导的且大于零,祝你每天快乐的复合函数总是最大值.25. 十年寒窗苦读日,只盼金榜题名时,把你的实力全部发挥,所有关爱你的人,都会为你祈祷.祝福,愿你高考考出理想的成绩,进入向往的大学.26. 同时高考落榜人,相逢何必曾相识,我从去年失意后,刻苦复读到现在,学校地僻无网上,一年不闻流行乐,痛定思痛再来过,金榜题名终有时.27. 高考日到,顺利高考记牢四个〝好〞:一休息好,身体好才可精神好;二要心态好,压力减少发挥才好;三要心情好,远离烦躁成绩才高;四要吃得好,营养高高脑力好.祝你金榜题名,一举夺魁!28. 你只有经历过高考,才有资格说高考其实没什么;你只有读完大学,才有资格对大学学的东西一笑置之.29. 祝愿所有的学子们:金榜题名!相信自己,你们是最棒的!30. 现在考生们即将步入考场,挑战自己,挑战人生了.31. 给你一份信心,送你一份决心,要对自己放心,面对考题平常心,要把自己关心,注意考前身心,考试保证全心全意!高考考试,祝你成功!32. 考试铃声刚落音,考场之内静无声.笔走龙蛇写不停,认真审题不粗心.考场之外父母立,分分秒秒心愿盼.父母子女皆同心,高考告捷笑颜开.祝高考取得好成绩!33. 送走了五月花丛的芬芳,迎来六月桃李的时光.高考在即,给你发条短信:你可以不用理我,但不能失去自我;你可以不看短信,但不能没有自信,预祝高考顺利!34. 我知道,高考的日子里,虽然清苦,却很充实.只希望你在记住课本的同时不要忘了我,我会在你背后默默的为你祝福,默默的等待你的佳音!35. 高考高考,心态要好,保持冷静,基础打好,莫要烦躁,开开心心,早睡早起,精神十足,考上大学,实现梦想,相信自己,一定最好.鼓励备战_高考加油句子说说汇总。
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高考数学144分考生：掌握节奏备战高考(吴秉亮上海交通大学大一德语系高考数学144分)
关于数学的学习，我觉得“掌握节奏”是很重要的，可能大家以前从没听到过这样的说法，这其实是我高中三年学习感触最深的事情。
我说的“节奏”，就是一种学数学或者是任何一门学科的状态。
如果你平时玩的时间比较多，当要月考了，说要拼一下，每天凌晨睡，专攻数学，我觉得这样的节奏就不好，正常的生理混乱不说，尤其需要清晰的数学概念也会在一次次的突击中慢慢变得混乱不堪。
高三的数学学习其实说容易也容易，第一轮复习的时候最要紧的就是跟紧老师的脚步，把课上每一道题都弄懂弄通，把相关的知识在有空的时候反复想想。
之后进入做题阶段后，很多同学都能做到认真做题，认真听讲订正，但是最后内化的那块却遗漏了。
“内化”是什么？简单地说就是南洋模范中学曾经的教育理念：考后一百分。
这张卷子做完了，订正完了，再给你做一遍你能保证全对吗？遇到感觉很好的题，我更会自己做在一本本子上，在考试前，什么都不看，就看这个。
高三的数学学习，我没有遇到大的阻碍，几次考试成绩不佳我也不担心，因为我的方法和节奏完全没有问题。
我有两条原则，那就是卷子再多也绝不抄题，讲过的题回家必复习。
最后证明这些做法还是非常有效的。
我还想谈点关于政治学习的建议。
相对于练，个人从题目和信息中的“悟”就比较重要了。
在这里介绍两个我高三保持的习惯。
一是电视常年锁定央视新闻。
在央视新闻改版以后，我欣喜地看到其中大幅增加了对于新闻的深度报道和评论，每天收看的话，面对时政题时，你都了解前因后果。
二是每周一份《南方周末》，最值得推荐的是其评论版面，从一些社会热点问题中试图学习评论者发现问题的新奇角度和犀利眼光，以及在论证时的思辨思想。
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
要求学生抽空抄录并且阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。
如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。
如果学生的脑海里有了众多的鲜活生
动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?政治学习离不开背。
但是我觉这种背不是苦背，只要像翻单词书那样保证每天认真翻一翻，时间久了，自然会觉得这些知识点都在你的脑海中。
说到底还是两个字：坚持。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。