圆的参数方程与椭圆的参数方程精编版

（x+1）2+（y-3）2=1，
∴参数方程为
x 1 cos

y

3

sin
(θ为参数)
练习：
1.填空：已知圆O的参数方程是
x 5 cos

y

5
sin

(0≤ ＜2 )

5 2
,
5
3 2

⑴如果圆上点P所对应的参数 5 ，则点P的坐标是
3

2
(为参数）
2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:
x

y

a b

r r
cos sin
(为参数）
0,2
例1. 如图,已知点P是圆x2+y2=4上的一个动点,
点A是x轴上的定点,坐标为(6,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
y
解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=4
(A) 2 2;
(B) 3; (C) 5 3 ; 3
(D) 7
2
练2:
设椭圆
x2 a2

y2 b2
1
和x的正半轴的交点为A，
和y的正半轴的交点为B，P为第一象限内椭圆上的点，
则四边形OAPB面积的最大值为（ C ）y
(A) 2ab (B) 2ab
B
b
(C) 2 ab 2
(D) 1 ab 2
圆O与x轴的正半轴的交点是P0 .
r
p0
点在圆O上从点P0开始按
o
x 逆时针方向运动到达点
P，P0OP
设点P的坐标是（x,y）
即 xy

r r
cos sin
①
则把该方程组叫做圆心为原点、半径为r的
圆的参数方程，θ是参数,也叫旋转角。 0,2
圆的参数方程
x2 y2 r2
求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。
解：设M（x,y), 是以Ox为始边，OA为终边的正角，
取为参数，则
x ON OA cos,
y NM OB sin,
也就是
：

x y

a b
cos , sin .

这就是所求的点的轨迹的参数方程。
消参有：x2
1
联系： cos2 sin2 1
不妨有：



x
a y

cos sin
b
参数 的意义
x a cos

y

b
sin
椭圆的参数方程
例、 如图,以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半
径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过A
作AN⊥Ox,垂足为N，过点B作BM ⊥ AN，垂足为M，
P(x,y) y
r
p0
o
x
(x a)2 ( y b)2 r2
y
O1(a,b)
or
x
x r cos

y

r
sin

x a r cos

y

b

r
sin


0,2

圆的参数方程
1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:
x

y

r r
cos sin
y

2

2
sin

4.把圆的参数方程化成普通方程：
（1）xy
1 3
2 cos
2sin

（2）xy

2 2

cos sin
圆的参数方程
例3：若实数x、y满足x2+y2-2x+4y=0, 求x-y的最大值。
分析：化为标准方程 : (x-1)2+(y+2)2=5
o
P a Ax
思考：（05重庆9）
若动点 P(x,y) 在曲线
x2 4
y2 b2
1 (b 0) 上运动，
则 x2+2y 的最大值为（ A ）
(A)
b2 4
4,
b (0,4)
2b; b 4,)
(B)
b2 4
4,
b (0,2)
2b; b 2,)
P
的参数方程为 x =2cosθ y =2sinθ
M
O
Ax
∴可设点P坐标为(2cosθ,2sinθ)
由中点公式得:点M的轨迹方程为
x =3+cosθ y =sinθ
∴点M的轨迹是以(3,0)为圆心、1为半径的圆。
例2、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
圆的参数方程
圆的方程
(1) 圆的标准方程; (x a)2 ( y b)2 r2
(2) 圆的一般方程; x2 y2 Dx Ey F 0
(3)圆的参数方程.
y
点P的位置与旋转角θ有 密切的关系。
P

O
x
圆的参数方程
求圆心在原点， 半径为r的圆的参数方程。
P(x,y) y
47
8 13
最短距离是 13 .
练习：已知椭圆的参数方程为
x 2cos

y sin
(
是
参数) ，则此椭圆的长轴长为（4 ），短轴长
为（ 2 ）,焦点坐标是（ 3,0）,准线方程是
（ x 4 3），离心率是（ 3 ）。
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3
2
练1：(05福建高考)
设 a,b R, a2 2b2 6 , 则 a b 的最小值为（ B ）
如果圆上点Q所对应的坐标是
2


5 2
,
5
3 2

,
则点Q对应
的参数等于 3
2.选择题：参数方程

x y

2 cos 2 sin
(
为参数)表示的曲线是
A
A.圆心在原点, 半径为2的圆
B.圆心不在原点, 但半径为2的圆
C.不是圆
D.以上都有可能
3、填空题:
a2

y2 b2
1
为椭圆
2.参数 的意义
y
——离心角 R
A
一般地：
B
M
0,2

o
x
思考：
xoM 对吗？
xoM
椭圆的参数方程
x a cos

y

b
sin

（ 为参数 ） 0,2
练习
x 2 3 cos
P是椭圆

y 2sin
(是
参
数)
的
交
点
个
数.
2.若

0,

2
, 求 椭 圆x 2

2
y2

4x
cos

8
y
sin

4 s in2


2

0
的 中 心 的 轨 迹 方 程.
由线段中点坐标公式得点M的 x 6 2cos
轨迹的参数方程为：

y 2sin
所以线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆 心、2为半径的圆。
作业:
1.判
断
曲
线C1
:

y
x
2
cos2
sin2

(是
参
数)与
曲
线C2
:

x y

2 cos 2 sin
利用圆的参数方程：x 1 5 cos
y 2 5 sin
则： x y 5 cos 5 sin 3
10 cos( ) 3
4
(x y)max 10 3
练 习1 :
求函数f ( ) sin 1 的最大值和最小值. cos 2
练习2 : 实数x,y满足y 9 - x2 ,求x＋y的取值范围.
练习3 :已知P( x, y)是圆x2 y2 2 y上的动点, (1)求 2x y 的取值范围; (2)若 x y c 0 恒成立,求实数c的取值范围.
椭圆的参数方程：
椭圆的标准方程：
x2 a2

y2 b2
(C) 2b
(D) b2 4
例4：如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个
动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）
当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨
迹是什么？
y
解 一: 设M ( x, y),则P(2x 12,2 y). 有(2x 12)2 (2 y)2 16; 即 : ( x 6)2 y2 4.
P M
O
Ax
例:如图，已知点P是圆x²+y²=16上的一个动点，点A 是x轴上的定点，坐标是（12，0）。当点P在圆上运 动时，线段PA的中点M的轨迹是什么y ？
解二：设点M的坐标是（ x，y）。 P
M

圆x²+y²=16的参数方程为：
O
Ax
x 4cos

y

4
s in
设点P的坐标为（4cosθ，4sinθ）。
例2 把下列普通方程化为参数方程
（3）x2 y2 1 49
（4）x 2

y2
16

1
例3
已知椭圆
x2 100

y2 64
1
有一内接矩形ABCD，
求矩形ABCD的最大面积
D
y B2 A
A1 F1
O F2 A2 X
C
B
B1
例4 在椭圆 x2 y2 1 上, 到直线 l : 3x 2y 16 0
（ 为参数）上一点，
OP的倾斜角为 4 ，则点P的坐标为（ (BA) ）
(A) ( 6, 2)
(B) ( 3, 3)
(C) (2 3, 3)
(D) (4,3)
例题与练习
例1、把下列参数方程化为普通方程
（1）xy

3cos, 5 sin .
（2）xy

8cos, 6sin.
(1)参数方程xy

2 cos 2 sin
表示圆心为（2，-2）
半径为 1 的圆，化为标准方程为 x 22 y 22 1
( 2 ) 把圆方程 x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 化为参数方程为
x 1 2 cos