单自由度体系的自由振动
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自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。
自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
静平衡位置
m获得初位移y
m获得初速度 y
研究方法及要解决的问题包括： 1、建立振动方程 2、求解振动方程 3、计算自振频率、周期
1
一、运动微分方程的建立
原理：达朗伯原理 刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。
l
H
1
6 EI h2
1 m H
V
24EI h3
1 m V
由截面平衡
6 EI h2
12 EI h3
k
12 EI h3
k
k 24EI m m h3
6 EI h2
m h3 T 2 7 2 EI
例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 m m m
l/2
解：1）求δ
l3 1 48EI
l/2
3 l/ 16
l/2
l/2
P=1
l/2
l/2
7 l 3 5 l/ 2 32 768EI P=1 l/ 2
l3 3 192EI
1
1 m 1
48EI ml3
3 1l 768 EI 1 192EI 1 l 3 l l 5 l 7 l 2 2 (2 3 3 ) 1 3 ml 2 32 768 m EI 62 2 7 16 EI ml m 3
据此可得：ω1 ׃ω2 ׃ω3= 1 ׃1.512 ׃2
结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。
8
四、简谐自由振动的特性
由式 可得，加速度为： 惯性力为：
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y (t ) mA 2 sin(t ) I (t ) m y
y(t ) Asin( t )......... .(d )
v
A cos
它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定
v 2 A y 振幅 1 y 相位角 tg v
2
.......... .........( e) .......... 4
在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律 变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值， 而且惯性力的方向与位移的方向一致。
它们的幅值产生于
sin(t ) 1 时，其值分别为：
y A
A 2 y
I mA 2
既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于 是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方
2
2
它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：
y(t ) C1 sin t C2 cost
C2 y v C1
.......... .....(b)
积分常数C1，C2由初始条件确定 设 t=0 时
y ( 0 ) y (0) v y
y (t ) y cos t
v
sin t.......... ......(c)
3
y (t ) y cos t
v
sin t (c)
由式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦运
动的合成，为了便于研究合成运动,
令
c式改写成
y A sin ,
1 2 2
I1
建立力矩平衡方程 M B 0
kl I 2
I1
l 3 I2 l kl l 0 2 2
1 l 1 3 2 2 m l m l l kl l 0 2 2 2 2 k 2 化简后得 m k m
10
m ky m
.
y
k
m
y( t )
m
y
k
单自由度体系自由 振动的微分方程
m y
ky 0 m y
2
二、自由振动微分方程的解
改写为
ky 0 m y k y 0 y m
.......... .......... .......... ......(a)
k y 0 其中 y m
0
t
v
sin t
T t
0
A sin t
5
-A
三、结构的自振周期和频率
由式
y(t ) Asin( t )
y A
及图可见位移方程是一个周期函数。
T t
0
-A
周期－T
2
,
工程频率－ f
1 ( Hz ), T 2
园频率－ 2f
y (t ) y cos t
y y
y(t ) Asin( t )......... .......... .....( f )
T
v
sin t.......... ......(e)
0 -y y T
t
y cos t
v v
y A
2 T
计算频率和周期的几种形式
k 1 g g m m W st
m st T 2 2 k g
频率 1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； 和周 2.Ｔ与m的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期； 期的 6 讨论 3.是结构动力特性的重要数量标志。
程转化为代数方程了，使计算得以简化。
9
例5. 计算图示体系的自振频率。
m1 m
A l /2 l EI=
解：单自由度体系，
以表示位移参数的幅值,
B C k
1 m2 m 3
D l /2
各质点上所受的力为：
A1
. .
m1
B
k
C
m2
Baidu Nhomakorabea. .A
2
l I m1 A1 m 2 1 2 2 3 I 2 m2 A2 m l 3 2 1 m 2 l 2
例1. 计算图示结构的频率和周期。 例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。 H 1 m EI m 1
V
l /2 1
l /2 A,E,I
E,I
E,A
l3 48EI m l3 T 2 3 48EI ml 48EI
例3.计算图示刚架的频率和周期。
m EI1= I I h
6 EI h2
自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
静平衡位置
m获得初位移y
m获得初速度 y
研究方法及要解决的问题包括： 1、建立振动方程 2、求解振动方程 3、计算自振频率、周期
1
一、运动微分方程的建立
原理：达朗伯原理 刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。
l
H
1
6 EI h2
1 m H
V
24EI h3
1 m V
由截面平衡
6 EI h2
12 EI h3
k
12 EI h3
k
k 24EI m m h3
6 EI h2
m h3 T 2 7 2 EI
例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 m m m
l/2
解：1）求δ
l3 1 48EI
l/2
3 l/ 16
l/2
l/2
P=1
l/2
l/2
7 l 3 5 l/ 2 32 768EI P=1 l/ 2
l3 3 192EI
1
1 m 1
48EI ml3
3 1l 768 EI 1 192EI 1 l 3 l l 5 l 7 l 2 2 (2 3 3 ) 1 3 ml 2 32 768 m EI 62 2 7 16 EI ml m 3
据此可得：ω1 ׃ω2 ׃ω3= 1 ׃1.512 ׃2
结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。
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四、简谐自由振动的特性
由式 可得，加速度为： 惯性力为：
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y (t ) mA 2 sin(t ) I (t ) m y
y(t ) Asin( t )......... .(d )
v
A cos
它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定
v 2 A y 振幅 1 y 相位角 tg v
2
.......... .........( e) .......... 4
在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律 变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值， 而且惯性力的方向与位移的方向一致。
它们的幅值产生于
sin(t ) 1 时，其值分别为：
y A
A 2 y
I mA 2
既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于 是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方
2
2
它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：
y(t ) C1 sin t C2 cost
C2 y v C1
.......... .....(b)
积分常数C1，C2由初始条件确定 设 t=0 时
y ( 0 ) y (0) v y
y (t ) y cos t
v
sin t.......... ......(c)
3
y (t ) y cos t
v
sin t (c)
由式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦运
动的合成，为了便于研究合成运动,
令
c式改写成
y A sin ,
1 2 2
I1
建立力矩平衡方程 M B 0
kl I 2
I1
l 3 I2 l kl l 0 2 2
1 l 1 3 2 2 m l m l l kl l 0 2 2 2 2 k 2 化简后得 m k m
10
m ky m
.
y
k
m
y( t )
m
y
k
单自由度体系自由 振动的微分方程
m y
ky 0 m y
2
二、自由振动微分方程的解
改写为
ky 0 m y k y 0 y m
.......... .......... .......... ......(a)
k y 0 其中 y m
0
t
v
sin t
T t
0
A sin t
5
-A
三、结构的自振周期和频率
由式
y(t ) Asin( t )
y A
及图可见位移方程是一个周期函数。
T t
0
-A
周期－T
2
,
工程频率－ f
1 ( Hz ), T 2
园频率－ 2f
y (t ) y cos t
y y
y(t ) Asin( t )......... .......... .....( f )
T
v
sin t.......... ......(e)
0 -y y T
t
y cos t
v v
y A
2 T
计算频率和周期的几种形式
k 1 g g m m W st
m st T 2 2 k g
频率 1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； 和周 2.Ｔ与m的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期； 期的 6 讨论 3.是结构动力特性的重要数量标志。
程转化为代数方程了，使计算得以简化。
9
例5. 计算图示体系的自振频率。
m1 m
A l /2 l EI=
解：单自由度体系，
以表示位移参数的幅值,
B C k
1 m2 m 3
D l /2
各质点上所受的力为：
A1
. .
m1
B
k
C
m2
Baidu Nhomakorabea. .A
2
l I m1 A1 m 2 1 2 2 3 I 2 m2 A2 m l 3 2 1 m 2 l 2
例1. 计算图示结构的频率和周期。 例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。 H 1 m EI m 1
V
l /2 1
l /2 A,E,I
E,I
E,A
l3 48EI m l3 T 2 3 48EI ml 48EI
例3.计算图示刚架的频率和周期。
m EI1= I I h
6 EI h2