单自由度体系的自由振动
结构力学课件之单自由度体系的振动
2.2 单自由度体系的强迫振动
单自由度体系的强迫振动的微分方程： y m ky P(t) y k P(t) 2 P(t) y 可写成： y m y 2. 当荷载为简谐荷载时： P(t) F sin t 2 m P(t) ky y F sin t y m 3. 微分方程的解为： m y m受力图 y F 2 1 2 (sint sin t) yst (sint sin t) m 1 2 1 2 为动力系数。 F yst 2 为静荷载F作用下的振幅。 1 2 m 时，振幅会趋近于无穷大，这种现象叫共振。
tg
1
y0 0 v
2.1 单自由度体系的自由振动
三、结构的自振周期 y 从微分方程的解： (t) a sin(t ) 知位移是周期函数； 自振周期T：振动一周需要的时间； T 2 2 m 2 m k 自振频率f：单位时间的振动次数； f 1 T 2 圆频率或角频率：2 时间内的振动次数； 2 2 2f k 1 T m m 自振周期的性质：
2 k EI 2 2 4 3 4 48EI 2 1 48EIg k 1 3 m m m Ql
11 5
EI
0.5l
1 EI
0.5l
0.25l 2n 2 500 52.36 / s 2. 荷载频率： 60 60 M 1 1 2 2 5.93 3. 动力系数： 为动力位移和动力应 52.36
1. 自振周期仅与结构的质量和刚度有关；与外界的干扰力无关。 2. 质量越大，周期越大； 刚度越大，周期越小。 3. 自振周期是结构动力性能的一个重要指标。
例1：图示等截面竖直悬臂杆，长度为l，截面面积为A，惯性矩 为I，弹性模量为E。杆顶重物的质量为m。杆的质量忽略不 计，试分别计算水平振动和竖向振动的自振周期。 解：解题的依据 T 2 2 m 2 m m k
12.3 单自由度体系的自由振动
各杆EI＝ 。 【例12-5】试求图示结构的ω。各杆 ＝C。 】
3l 4 B C D m B y A l l l 4 A l C D l
1
M1 图
解：
δ 11
7l 3 = 12 EI
1 12 EI EI = = 1.309 ω= 3 mδ11 7ml ml 3
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
【注二】惯性力 FI = −m&& = maω 2 sin(ωt + α ) = mω 2 y ， 注二】 y FI 永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例， 永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例，其比例系 数为 mω 2 。
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院®
12.3.4 自振周期与自振频率
1.自振周期 自振周期 因
y = a sin (ωt + α ) = a sin (ωt + α + 2 π ) 2π = a sin ω t + + α = a sin[ω (t + T ) + α ] ω
所以自振周期
T =
2π
ω
表示体系振动一次所需要的时间，其单位为 （ 表示体系振动一次所需要的时间，其单位为s（秒） 。
式中， 为重力加速度 为重力加速度； 式中，g为重力加速度；W=mg为质点 为质点 的重力； 表示将重力W=mg 的重力；∆st=Wk11，表示将重力 施加于振动方向所产生的静位移。 施加于振动方向所产生的静位移。
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
T = 2π ∆st g
All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院®
结构力学-单自由度体系的自由振动
mh3 T 2 24 EI
Vibration Characteristic
y(t ) Asin( t )
Acceleration： Inertia Force：
(t ) A 2 sin(t ) y (t ) mA 2 sin(t ) I (t ) m y
这是一个齐次方程，其通解为
y(t ) C1 cost C2 sin t
C1 和 C2 可由初始条件确定，设初始位移和初始速度分别为
y(0) y0 C1 y0
(0) v0 y
C2
v0
v0
,
y (t ) y0 cos t
sin t
y (t ) y0 cos t
在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律
变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，
而且惯性力的方向与位移的方向一致。
幅值产生于
sin(t ) 1 时，其值分别为：
y A
A 2 y
I mA
2
由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时
l
1 m
EA ml
st Wl T 2 2 g EAg
例: 求图示结构自振频率 。（EI 为常数，杆件自身 质量不计） [分析] 图乘法求位移
A m C l h
1 1 2 2 1 2 h2 B ( h h hl h) (h l ) EI 2 3 2 3 3EI
y y
v0
sin t
T
0
t
y cos t
-y
y
第二章 单自由度系统的自由振动
k
I
在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作 为角位移的起点位置
由牛顿第二定律：
I&& k 0
&& 02 0
扭振固有频率
0
k I
第二章 单自由度系统的自由振动
由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述 完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹 簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质 量系统是广义的 。
对时间求导 取平衡位置为势能零点，根据自由振动的特点，系统在平衡位置时，系统的势能 为零，其动能的极大值就是全部机械能；而在振动系统的极端位置时，系统的动 能为零，其势能的极大值等于全部的机械能，即有：
例题讲解3 均匀悬臂梁长为 l， 弯曲刚度为EJ，重量不计， 自由端附有重为Ｐ＝ｍg的物体，如图所示。试 写出物体的振动微分方程，并求出频率。 梁的自由端将有静挠度： 物体的振动微分方程为：
8
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解3 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ m
h
第二章 单自由度系统的自由振动
2.1 简谐振动
由牛顿定律，有 设系统固有频率为 二阶常系数线性齐次常微分方程
通解形式为
1
第二章 单自由度系统的自由振动
根据三角关系式
改 写
由此可以知道：该系统以 固有频率作简谐振动。
振动周期：
振动频率：
2
第二章 单自由度系统的自由振动
设在初始时刻t=0，物体有初位移
弹簧原长位置
m&x& kx 0
单自由度系统自由振动
取物块的静平衡位置为坐标原点 O ， x 轴顺弹簧 变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置 时，由平衡条件，得到
mg k st
弹簧的静变形
当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微 分方程为
mx mg k ( st x)
mx kx
k 固有圆频率 令 ： 0 m 无阻尼自由振动微分方程 2018年9 月4日
周期 T 2
0
; 则
1 0 2 2f T
f 称为振动的频率，表示每秒钟振动的次数，单位为1/s或Hz
0 称为固有角（圆）频率（固有频率），表示每2秒内振动
2018年9月4日 《振动力学》
的次数，单位为rad/s，只与系统的质量m和刚度系数k有关。
8
1.单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
统固有的物理参数，称为固有频率，振幅取决 于初始扰动的大小。阻尼振动的固有频率小于 无阻尼情形。临界阻尼和大阻尼条件下的系统 作非往复的衰减运动。
2018年9月4日 《振动力学》
3
单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动
2018年9月4日 《振动力学》
c1 A sin ,
c2 A cos
x t A sin 0 t
2018年9月4日 《振动力学》
无阻尼自由振动是简谐振动.
7
1.单自由度系统自由振动－无阻尼自由振动
1.2 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动
0 ( t T ) 0t 2
振动不能维持等幅而趋于衰减，称为有阻尼自由
单自由度体系自由振动,速度相位与位移相位的关系
单自由度体系（Single Degree of Freedom System, SDOF）是工程动力学中的一个重要概念，它对于描述系统的振动特性有着重要的作用。
在自由振动过程中，速度相位与位移相位之间存在着密切的关系。
本文将从单自由度体系自由振动的基本原理入手，探讨速度相位与位移相位之间的关系，希望通过本文的介绍，读者能够对这一问题有更加清晰的认识。
一、单自由度体系自由振动的基本原理1. 自由振动的基本概念自由振动是指在没有外界干扰的情况下，系统在一定的初位移或初速度作用下，由于其自身的惯性和弹性特性而产生的振动现象。
在工程领域中，自由振动是一种非常常见的振动形式，因此研究自由振动对于工程设计和分析有着重要的意义。
2. 单自由度体系的定义单自由度体系是指系统中只有一个自由度可以自由变化的体系。
在动力学领域中，单自由度体系被广泛应用于描述各种机械、土木和航空航天结构的振动特性。
它是一种简化模型，但对于许多实际工程问题的分析具有较高的适用性。
3. 自由振动的基本方程单自由度体系的自由振动可以通过一阶微分方程来描述。
其基本方程可以表示为：\[m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0\]其中，\(m\)为系统的质量，\(c\)为系统的阻尼系数，\(k\)为系统的刚度，\(x\)为系统的位移函数，\(t\)为时间。
二、速度相位与位移相位的定义1. 速度相位的定义在振动过程中，速度相位是指速度\(v\)相对于位移\(x\)的相位差。
通常用一个角度来表示，它可以用来描述振动的快慢和超前滞后关系。
2. 位移相位的定义位移相位是指位移\(x\)相对于某一固定参考点的相位差。
它也通常用一个角度来表示，可以用来描述振动的相对位置。
三、速度相位与位移相位的关系速度相位与位移相位之间存在着密切的关系。
在自由振动过程中，它们之间满足以下关系：\[tan(\phi_v-\phi_x)=\frac{2\zeta}{1-\omega^2}\]其中，\(\phi_v\)为速度相位，\(\phi_x\)为位移相位，\(\zeta\)为系统的阻尼比，\(\omega\)为系统的固有频率。
单自由度体系的自由振动
令
ω2 = k
m
y + ω 2 y = 0
运动方程的解 y + ω 2 y = 0 可由振动的初 2
始条件来确定
常系数的线性齐次微分方程，其通解为
y(t) = A1 cosωt + A2 sinωt
若当 t = 0 时 y = y0 初位移
y(0) = y0 = A1 cosω × 0 + A2 sin ω × 0
因此，自振周期（或频率）的计算十分重 要。
例 计算自振频率
14
EI=常数
如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚 结点都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架) 计算刚度系数方便。
两端刚结的杆的侧移刚度为：12EI
l3
一端铰结的杆的侧移刚度为：3EI
l3
例 计算自振频率
1
k11
EI=常数
12 EI l3
y = y0 初速度
y(0) = y0 = −ωA1 sinω × 0 + ωA2 cosω × 0
A1 = y0
A2
=
y0
ω
y(t)
=
y0
cosωt
+
y0
ω
sin ωt
位移的多项表达式
位移、速度的单项表达式
3
y(t)
=
y0
cosωt
+
y0
ω
sin ωt
若令
y(t) = a sinϕ cosωt + a cosϕ sin ωt
结构自振周期、频率
6
自振周期的倒数称为工程频率 f = 1
（或频率），记作 f
T
频率 f 表示单位时间内的振动次数，其常用单位
2-1结构动力学(单自由度)
O
t
这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
1, cr 2m
c 2m
c cr
阻尼比
（2）ξ> 1（强阻尼）情况
1,2 2 1 0
y t C1e1t C2e2t
t
y( t )
O
y (t ) e t C1 sinh 2 1 t C 2 cosh 2 1 t
g y st
y st m T 2 2 k g
频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素 无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率
（natural frequency）。
（3）简谐自由振动的特性
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y 加速度为： 惯性力为： FI (t ) m (t ) mA 2 sin(t ) y
特征根 一般解
2 2 2 0
1, 2 2 1
y(t ) C1e
1t
C2 e
2t
（1）ξ= 1（临界阻尼）情况
1,2
y C1 C2 t e t
y( t )
tan v
t
y y0 (1 t ) v0t e
d
阻尼对自振频率、周期的影响
,
d
Td T
在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1，可近似取:
d , Td T
y(t ) e t Asin ( d t )
阻尼对振幅的影响
yk Aetk Td e y k 1 Ae (tk Td )
第三节单自由度体系的自由振动
yk 1 e 2 (0.05) e0.周期后的振幅比前者约减少27%。
(4)阻尼比 值的测算
若用yk和yk+n表示相隔n个周期的两个振幅，它们的比值为
yk e nT e2n yk n
将上式两边取对数，得
ln yk 2n
yk n
则
1 ln yk
y(t) 2 y(t) 2 y(t) 0 y(t) Cert
代入运动方程，可得确定r的特征方程
r 2 2 r 2 0
其两个根为 于是一般解为
r1,2 ( 2 1)
(d)
y(t) C1e r1t C 2e r2t
方程的解取决于式(d)中根号内的数值。现分三种情况讨论。
1． ＜1(小阻尼情况)
kg
c 2m 2 81057 5 0.029 73848 kg/s
y0 e5T (eT )5 ( y0 )5
y5
y1
y5
y0 ( y0 )5
0.6 ( 0.6 )5
0.241cm
y1
0.5
y(0) v0
可求出 C1 y0 ,
C2
v0
代入上式，得到质点位移
y(t)
y0
cost
v0
sin t
由上式可知，自由振动由两部分 组成：一部分是由初始位移y0引 起的，质点按余弦规律振动，如 图 a所示；另一部分是由初始速 度v0引起的，质点按正弦规律振
动，如图b所示。两项均为简谐
函数，其合成运动仍为简谐运动,
得
C1 y0 ,
C2
v0
y0
故
y(t)
e t
(
y0
cost
v0
y0
sin
振动理论-第2章 单自由度系统的自由振动
c
l
解：梁重物处的静变形为
st
Wc2 (l c)2 3lEI
则：
3lEI k c2 (l c)2
1g f
2 st
例3. 已知：升降机吊笼，以等速 v0 下降，钢丝绳视为弹簧，
若A端突然停止，求钢绳所受到的最大应力。
W 10000lbf l 62 ft A 2.5in2 E 15106lbf / in2
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
例1 A suspension system of a freight truck with a parallel-spring arrangement. Find the equivalent spring constant of the suspension if each of the three helical springs is made of G 80109 N / m2
(boom) to deform by an amount x2 x cos 45 and the spring k1
Eat 3 4b3
kr
AE l
d2E
4l
1 keq
1 kb
1 kr
4b3 Eat 3
4l d2
E
keq
E 4
at3d 2
d 2b3 lat3
4 等效质量和等效刚度
斜拉弹簧在某个位移方向上的等效弹簧刚度
Fx F cos F 为弹簧的伸长量
单自由度体系自由振动
单自由度体系自由振动一、无阻尼振动单自由度体系自由振动可分为有阻尼和无阻尼振动两种。
在模型建立过程当中，可以直接进行建立。
在运行时，只需将c=0即可。
ω增加，单位时间内振动次数增加。
无阻尼振动是简谐振动，振幅和初相位仅取决于初位移和速度。
初始干扰反映了外部初始赋予体系能量的大小。
由于不考虑振动过程中体系能量的耗散，因而体系的总能量保持不变，这就表现为振幅Ａ保持不变，永不衰减。
于是振动一旦发生便永不停息，但这仅是一种理想状态。
二、对阻尼自由振动的讨论当阻尼系数ｃ不为０时，体系做阻尼运动。
由于有能量的耗散，体系的运动幅度会逐渐减小，最终停止振动。
有阻尼单自由度体系，自由振动的运动方程为ωξωm c m k t ky t y c t y m 2,0)()()(2===++∙∙∙， 则原式可变为022=++∙∙∙ωξωy y 。
解微分方程有如下结果：2.1 当1<ξ时，即小阻尼运动，方程的解为：)sin(A )sin cos ()(000ϕωωωξωωξωξω+=++=--t e t y v t y e t y d t d d d t 其中2200201)(ξωωωξω-=++=d d y v y A可画出小阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：是一条逐渐衰减的波动曲线2.2 当1>ξ时，即大阻尼的情况，方程的解为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--+=-t ch y t sh v y e t y o t ωξωξξξωωξ11)1()(20220 上式不含有简谐振动的因子，是因为体系受干扰后偏离平衡位置所积蓄起来的初始能量在恢复平衡位置的过程中全部消耗克服阻尼，由于阻尼很大，不足以引起振动。
当初始速度，初始位移都大于０时，可画出大阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：2.3 当1=ξ时，即临界阻尼的情况，方程的解为：[]t v t y e t y t 00)1)(++=-ωω（当初始速度，初始位移都大于０时，可画出临界阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如下图所示；当体系在临界阻尼时，其运动衰减的最快，即他能在最短时间内无振动的回到平衡位置。
第2章 单自由度系统的自由振动
25第2章 单自由度系统的自由振动2.1 无阻尼系统的自由振动设有质量为m 的物块(可视为质点)挂在弹簧的下端，弹簧的自然长度为l 0,弹簧刚度为k ，如不计弹簧的质量，这就构成典型的单自由度系统，称之为弹簧质量系统如图2-1所示。
工程中许多振动问题都可简化成这种力学模型。
例如，梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，梁和电机组成一个振动系统，如不计梁的质量，则它在该系统中的作用相当于一根无重弹簧，而电机可视为集中质量。
于是这个系统可简化成如图2-1所示的弹簧质量系统。
2.1.1自由振动方程以图2-1所示的弹簧质量系统为研究对象。
取物块的静平衡位置为坐标原点O ，x 轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。
当物块在静平衡位置时，由平衡条件∑F x = 0，得到st δk mg = （A ）st δ称为弹簧的静变形。
当物块偏离平衡位置为x 距离时，物块的运动微分方程为mxkx &&=− （2-1） 将式（2-1）两边除以m ，并令mkp =n （2-2） 则式（2-1）可写成02n =+x p x && （2-3）这就是弹簧质量系统置之只在线弹性力－kx 的作用下所具有的振动微分方程，称之为无阻尼自由振动的微分方程，是二阶常系数线性齐次方程。
由微分方程理论可知，式（2-3）的通解为t p C t p C x n 2n 1sin cos +=其中C 1和C 2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。
设0=t 时，x x xx ==00，&&。
可解得 C x 10= n02p xC &=t p p xt p x x n n0n 0sin cos &+= （2-4） 式（2-4）亦可写成下述形式)sin(n α+=t p A x （2-5）26 其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=)arctan()(00n 2n020x x p p x x A &&α （2-6） 式（2-4）、（2-5）是物块振动方程的两种形式，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。
课件：单自由度体系的自由振动
刚度系数 取决于结构的
柔度系数
谁较容易求得。
静定结构，图乘法求δ
顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！
三、自由振动微分方程的解
方程： my ky 0
改写为 y k y 0 m
令： 2 k
m
则方程为 y 2 y 0
1.一般解
（二阶线性齐次微分方程）
m y(t)
y
I(t)
惯性力
（1）规定位移（速度、加速度）的正向（定坐标）
（2）考察质点受力
① 结构（弹簧）对质点的弹力（回复力——恒指向原点方向 S(t) ky(t)） ② 沿正向标注质点的惯性力（惯性力——恒与加速度反向 I (t) my(t) ）
（3）列动平衡方程 （动静法——将惯性力作为静力考虑）
Y 0
y A
（位移幅值）
y A2
（加速度幅值）
I mA2
（惯性力幅值）
在运动的任一瞬时质体m都处于平衡状态，在幅值出现时刻也
一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，
结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。
正弦表达的通解：
y(t) Asin( t )
2.初位移（t=0 ） y Asin
3.初速度（t=0 ）
v yt0 A cos
4.振幅
A
y2
பைடு நூலகம்
v
2
5.初相角（t=0 ） tg 1 y
v
四、结构的自振周期和频率
∵y(t)为周期函数 sin( t) sin( t 2 ) sin[(t 2 )]
y(t) C1 sint C2 cost
I(t)
（积分常数C1，C2由初始条件确定）
第二章-(第1节)单自由度系统的自由振动
tan 1
ωn x0 x 0
(2.1-11)
2.1 简谐振动
弹簧悬挂的物体沿铅锤方向的振动
当振动系统为静平衡时弹簧在 重力mg的作用下将有静伸长
s
mg k
(2.1-12)
在重力与弹簧力的作用下，
物体的运动微分方程为
mx mg k(s x) (2.1-13)
因为mg=ks，上式仍可简化为
mx kx
波变化。
2.1 简谐振动
振动周期
振动重复一次所需要的时间间隔，称之为振
动周期。 在简谐振动的情况下，每经过一个周期，相
位就增加2，因此
[n(t+T)+]-(nt+)=2
故有
T 2 n
(2.1-9)
实际上T代表发生一次完整运动所需要的时间
，周期通常以秒(s)计。
2.1 简谐振动
振动频率
在单位秒时间内振动重复的次数，称为振动 频率，一般用f 表示。
解：取偏角为坐标。从平衡位
置出发，以逆时针方向为正，锤的
切向加速度为 ，l故 有运动微分方
程为
ml2 mgl sin
假定角不大，可令sin，则
上式简化为 g 0
l
图 2.1-5
2.1 简谐振动
例题：列写振动微分方程求系统的周期（例2.1-2）
故
n2
g l
则振动周期为
T 2 2 l
n
g
2.1 简谐振动
或
② x(t) Asin(nt )
(2.1-7)
式中常数A和(=/2-)分别称为振幅和相角。方程(2.1-
7)说明该系统以固有频率n作简谐振动。
2.1 简谐振动 简谐振动的定义及矢量表示
单自由度体系的自由振动
【例10.1】 等截面简支梁［图10.9（a）］的跨长为l， 弯曲刚度EI 为常数，在距梁端A点处有一集中质量m，若 不计梁本身的质量，试求梁的自振频率和自振周期。
图10.9
【解】 该结构为单自由度体系。由式（10.12）求自振频
率ω时，须先求出体系的柔度系数 11 ，即求出在单位力
作用下体系所产生的位移。利用图乘法，由图10.9（b）， 算得
结构力学
单自由度体系的自由振动
一、自由振动的微分方程
建立运动微分方程通常有两种方法，一种方法是根据达朗贝尔 原理，利用刚度系数列出平衡方程，这种方法称为刚度法；另 一种方法是根据位移条件，利用柔度系数列出位移方程，这种 方法称为柔度法。
1. 刚度法
图10.7
2. 柔度法
FI ＋Fe= 0
my(t) k11y(t) 0
y(t) Asin(t )
v0 A cos
y0 Asin
t an1 y0
v0
A
y02
(
v0
)2
图10.8
简谐振动 振幅 相位角 初相角
三、结构的自振周期与频率
T 就是结构的自振周期
T 2π
自振周期的倒数表示每秒钟内的振动次数，称为工程频率， 以f 表示
f 1
T 2π
ω称为圆频率
图10.10
【解】 由于横梁各质点的水平位移相同［图10.10（b）］， 故结构为单自由度体系。
在本例中，体系的刚度系数较易计算。取横梁为研究 对象［图10.10（c）］，由平衡方程，得
k11
3
3EI1 h3
9EI1 h3
结构的自振频率为
k11 gk11 3 gEI1
mW
《振动力学》2单自由度系统自由振动
单位：弧度/秒（rad/s）
则有 ： &x& + ω02 x = 0
通解 ： x(t) = c1 cos(ω0t) + c2 sin(ω0t) = Asin(ω0t + ϕ)
c1, c2： 任意常数，由初始条件决定
振幅 ： A = c12 + c22
初相位 ： ϕ = tg −1 c1
c2
4
单自由度系统自由振动
解法2：
平衡位置2
动能 T = 1 Iθ&2 = 1 ml2θ&2
最大位移位置，系统动 能为零，势能达到最大
ω0 = k / m
T +V = const
Tmax = Vmax
Tmax = 0
Vmax
=
1 2
kxm2 ax
m
k
最大位移位置
0
xmax
静平衡位置
x
x&max = ω0 xmax
x 是广义的 对于转动： θ&max = ω0θmax
x(t) = Asin(ω0t + ϕ) 30
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 ω0 为频率的简谐振动，并且永无休止。
x
T = 2π / ω 0
初始条件的说明：
初始条件是外界能量输入的一 x0
A
种方式，有初始位移即输入了 弹性势能，有初始速度即输入 了动能。
ϕ0
ω0
t
9
单自由度系统自由振动
零初始条件下的自由振动：
x(t)
=
x0
&x& + ω02 x = 0
ω0 =
k m
无阻尼单自由度体系的自由振动方程
无阻尼单自由度体系的自由振动方程无阻尼单自由度体系是指只有一个自由度的物理系统，在没有阻尼的情况下进行自由振动。
这种体系的自由振动方程可以用简单的数学公式来描述。
假设一个质量为m的物体通过一根弹簧与一个固定的支撑点相连。
当物体受到外力作用时，它会沿着弹簧的方向发生振动。
这种振动可以用一个自由度来描述，即物体相对于平衡位置的位移。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在它上面的力成正比。
在这种情况下，物体的加速度可以表示为：a = -kx/m其中，k是弹簧的劲度系数，x是物体相对于平衡位置的位移，m是物体的质量。
负号表示力的方向与位移方向相反。
根据运动学公式，物体的加速度可以表示为位移的二阶导数。
因此，上述方程可以改写为：d²x/dt² + (k/m)x = 0这就是无阻尼单自由度体系的自由振动方程。
它描述了物体在没有阻尼的情况下沿着弹簧方向进行自由振动的过程。
这个方程可以通过解微分方程来得到物体的振动解。
假设物体的初始位移为x0，初始速度为v0，则物体的振动解可以表示为：x = x0cos(ωt) + (v0/ω)sin(ωt)其中，ω是振动的角频率，可以表示为：ω = sqrt(k/m)这个公式告诉我们，角频率与弹簧的劲度系数和物体的质量有关。
当劲度系数越大或质量越小时，角频率越大，振动的周期越短。
无阻尼单自由度体系的自由振动方程是物理学中的基本方程之一。
它不仅可以用来描述弹簧振子的振动，还可以应用于其他物理系统的振动分析。
通过深入理解这个方程，我们可以更好地理解物理学中的振动现象，并为实际问题的解决提供有力的数学工具。
单自由度系统的自由振动
频率：ω； 幅值：A； 初始相位：t=0时矢量与坐 标轴的夹角。 y Asin(t )
1．两个（或两个以上）同频 率简谐振动的合成。
2．直观表示简谐振动位
x Acos(t )
移．速度．及加速度之间的 相对关系。
旋转矢量表示法—旋转矢量投影法
y
1．两个（或两个以上）同频
率简谐振动的合成。
A
A2
2
ω
φ A1
1
O
x
2．直观表示简谐振动位 移．速度．及加速度之 间的相对关系。
y
x
ωA
Ax
ω O
x ω A2
φ
x
复数表示法
长度为A的矢量以匀角速度ω在复平面上绕定点O逆时 针旋转，该矢量在实轴及虚轴上的投影与矢量端点处 复数z的实部和虚部相对应。
单自由度系统自由振动方程
x
2 0
x
0
0 k / m
单自由度系统自由振动方程的解 说明什么？
x C1 cos0t C2 sin 0t x Asin(0t )
无阻尼自由振动是以平衡位置为中心的简谐振动
振动角频率ω0是系统的固有特性，与初始条件无关
固有频率及 固有周期
f 0 1 2 2
k m
T0
1 f
2
m k
固有频率
x C1 cos0t C2 sin 0t
x Asin(0t )
ω0称作无阻尼系统的固有（角）频率，单位为 rad/s
0 k / m
固有频率及 固有周期
结构振动理论2-单自由度系统自由振动
由 dE 0 1、求出运动方程： mx kx 0
dt
有常力作用的机械能： E 1 mx&2 1 k( x)2 Fx
2
2
dE mx&&x& k( x)x& Fx& x&(m&x& kx) 0
dt
由 Ek max E p max E 2、求固有频率
假设 x Asin( pt ) 则 x Apcos(pt )
2
l 0
/
2
y02{3(
x l
)
4(
x l
)3}2
dx
1 2
0.486
ly02
Ek
1 2
me
y02
me 0.486 l
n
ke me
00:03
单自由度系统自由振动
例 铰接式直升机旋翼挥舞振动分析
取微元做受力分析，微元
cos
R
L
2(R cos)d 离心力对铰链轴o的力矩为
θ
ξ
(2 (R cos )d )( sin )
则系统的自由振动方程为: me ke 0
固有频率为:
n
ke me
需要注意的是，me不是梁的总质量，它可以通过梁上各 点位移关系和动能等效的原则求得。
00:03
单自由度系统自由振动
y( x, t )
y0
(t
)[3x l
4(
x )3 ] l
(x 1) l2
Ek
1 2
l y2dm 1 2
0
由此可见，弹性元件并联将提高总刚度，串联将降低总刚
度。这与电学中电阻的并联、串联结论是相反的。阻尼器串联
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 T
计算频率和周期的几种形式
k 1 g g m m W st
m st T 2 2 k g
频率 1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； 和周 2.Ｔ与m的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期； 期的 6 讨论 3.是结构动力特性的重要数量标志。
m ky m
.
y
k
m
y( t )
m
y
k
单自由度体系自由 振动的微分方程
m y
ky 0 m y
2
二、自由振动微分方程的解
改写为
ky 0 m y k y 0 y m
.......... .......... .......... ......(a)
k y 0 其中 y m
例1. 计算图示结构的频率和周期。 例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。 H 1 m EI m 1
V
l /2 1
l /2 A,E,I
E,I
E,A
l3 48EI m l3 T 2 3 48EI ml 48EI
例3.计算图示刚架的频率和周期。
m EI1= I I h
6 EI h2
l/2
解：1）求δ
l3 1 48EI
l/2
3 l/ 16
l/2
l/2
P=1
l/2
l/2
7 l 3 5 l/ 2 32 768EI P=1 l/ 2
l3 3 192EI
1
1 m 1
48EI ml3
3 1l 768 EI 1 192EI 1 l 3 l l 5 l 7 l 2 2 (2 3 3 ) 1 3 ml 2 32 768 m EI 62 2 7 16 EI ml m 3
y(t ) Asin( t )......... .(d )
v
A cos
它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定
v 2 A y 振幅 1 y 相位角 tg v
2
.......... .........( e) .......... 4
据此可得：ω1 ׃ω2 ׃ω3= 1 ׃1.512 ׃2
结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。
8
四、简谐自由振动的特性
由式 可得，加速度为： 惯性力为：
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y (t ) mA 2 sin(t ) I (t ) m y
1 2 2
I1
建立力矩平衡方程 M B 0
kl I 2
I1
l 3 I2 l kl l 0 2 2
1 l 1 3 2 2 m l m l l kl l 0 2 2 2 2 k 2 化简后得 m k m
10
v
sin t.......... ......(c)
3
y (t ) y cos t
v
sin t (c)
由式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦运
动的合成，为了便于研究合成运动,
令
c式改写成
y A sin ,
l
H
1
6 EI h2
1 m H
V
24EI h3
1 m V
由截面平衡
6 EI h2
12 EI h3
k
12 EI h3
k
k 24ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱI m m h3
6 EI h2
m h3 T 2 7 2 EI
例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 m m m
自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。
自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
静平衡位置
m获得初位移y
m获得初速度 y
研究方法及要解决的问题包括： 1、建立振动方程 2、求解振动方程 3、计算自振频率、周期
1
一、运动微分方程的建立
原理：达朗伯原理 刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。
0
t
v
sin t
T t
0
A sin t
5
-A
三、结构的自振周期和频率
由式
y(t ) Asin( t )
y A
及图可见位移方程是一个周期函数。
T t
0
-A
周期－T
2
,
工程频率－ f
1 ( Hz ), T 2
园频率－ 2f
2
2
它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：
y(t ) C1 sin t C2 cost
C2 y v C1
.......... .....(b)
积分常数C1，C2由初始条件确定 设 t=0 时
y ( 0 ) y (0) v y
y (t ) y cos t
y (t ) y cos t
y y
y(t ) Asin( t )......... .......... .....( f )
T
v
sin t.......... ......(e)
0 -y y T
t
y cos t
v v
y A
在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律 变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值， 而且惯性力的方向与位移的方向一致。
它们的幅值产生于
sin(t ) 1 时，其值分别为：
y A
A 2 y
I mA 2
既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于 是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方
程转化为代数方程了，使计算得以简化。
9
例5. 计算图示体系的自振频率。
m1 m
A l /2 l EI=
解：单自由度体系，
以表示位移参数的幅值,
B C k
1 m2 m 3
D l /2
各质点上所受的力为：
A1
. .
m1
B
k
C
m2
. .A
2
l I m1 A1 m 2 1 2 2 3 I 2 m2 A2 m l 3 2 1 m 2 l 2