初一升初二暑假衔接班数学教程

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七升八数学暑假衔接之欧阳道创编

D B A 七升八数学暑假讲义目录第一讲相交线与平行线的相关概念第二讲直线相交时有关角的求法第三讲相交线与平行线中的拐角问题第四讲相交线与平行线中的折叠问题第五讲平面直角坐标系中的相关结论第六讲图形的平移及点的坐标的变化第七讲实数中分类讨论的数学思想第八讲实数中数形结合的数学思想第九讲实数中整体代入的数学思想第十讲方程组的解法（代入、加减）第十一讲用二元一次方程组解应用题第十二讲不等式的解及不等式的解集第十三讲实际问题与一元一次不等式组第十四讲抽样调查与频数分布直方图第一讲：相交线与平行线的相关概念一、知识框架二、典型例题1.下列说法正确的有( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;F E DC B A ④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示,下列说法不正确的是( )A.点B 到AC 的垂线段是线段AB;B.点C 到AB 的垂线段是线段ACC.线段AD 是点D 到BC 的垂线段;D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段3.下列说法正确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30°B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130°C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130°D. 第一次l 3l 2l 1O 34l 3l 2l 112向左拐50°第二次向左拐130°5．6．如图,已知AB ∥CD,直线EF 分别交AB,CD 于E,F,EG•平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=_________.7．如图,AB ∥EF ∥CD,EG ∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )•A.6个 B.5个 C.4个 D.3个8．如图，直线l 1、l 2、l 3交于O 点，图中出现了几对对顶角，若n 条直线相交呢？ 10. 如图所示,L 1,L 2,L 3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.( 方程思想)11．如图所示,已知AB ∥CD,分别探索下列四个图形中∠P 与∠A,∠C 的关系,•请你证明所得的四个关系.(1) (2) (3) (4)12．如图，若AB//EF ，∠C= 90°，求x+y-z 度数. 分析：如图，添加辅助线证出：x+y-z=90°13．已知：如图，∠+∠=∠=∠BAP APD 18012 ，求证：∠=∠E F第二讲：平面直角坐标系一、知识要点：1、特殊位置的点的特征（1）各个象限的点的横、纵坐标符号（2）坐标轴上的点的坐标：x 轴上的点的坐标为)0,(x ,即纵坐标为0;y 轴上的点的坐标为),0(y ，即横坐标为0;2、具有特殊位置的点的坐标特征设),(111y x P 、),(222y x P1P 、2P 两点关于x 轴对称⇔21x x =，且21y y -=;1P 、2P 两点关于y 轴对称⇔21x x -=，且21y y =;1P 、2P 两点关于原点轴对称⇔21x x -=，且21y y -=。

七升八暑假衔接学习讲义

七升八暑假衔接学习讲义公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]一、图形的全等1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形.观察右面两组图形，它们是不是全等图形为什么2. 由全等图形类比得出：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。

其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，它们是对应边；A∠重合，它们是对应角.∠与D△ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等三角形的对应边，对应角。

全等三角形的对应边上的中线，对应边上的高，对应角的角平分线；全等三角形的周长，面积。

几何语言：（）∠A= , ∠C= ，∠B= .（）练习：1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°, ∠ACB=55°,求出△AEC各内角的度数。

解：A2．如图7，△ABD ≌△EBC ，AB=3 cm ，AC=8 cm ，求DE解： 3.判断：○1全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（）○2全等三角形的周长相等.（） ○3周长相等的两个三角形是全等三角形.（） ○4全等三角形的面积相等.（）○5面积相等的两个三角形是全等三角形.（） 4.填空：如图所示，已知△AOB ≌△COD ，∠C =∠A ,AB =CD ,则另外两组对应边为________________，另外两组对应角为________________。

5.如图3，已知CD ⊥AB 于D ， BE ⊥AC 于E,△ABE ≌△ACD ，∠C=20°,AB=10，AD=4，G 为AB 延长线上的一点，求∠ABE 的度数和简记为"边角边"，符号表示："SAS" 例1. 下列哪组三角形能完全重合（全等）例2.如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′．这两个三角形全等吗例3. 在△ABC 和△A ′B ′C ′中（自己画图）(1)⎪⎩⎪⎨⎧''='∠=∠''=C B BC B B B A AB (2) ⎪⎩⎪⎨⎧='∠=∠''=______A A B A ABA BC(图ADB GACDBOA D CB FEAD ∴C B A ABC '''∆≅∆( SAS ) ∴C B A ABC '''∆≅∆( )(3) ⎪⎩⎪⎨⎧''=∠=∠''=C B BC C A AC ____∴C B A ABC '''∆≅∆( ) 练习1：1．根据题目条件，判断下面的三角形是否全等（1） AC ＝DF ， ∠C ＝∠F ， BC ＝EF ；（2） BC ＝BD ， ∠ABC ＝∠ABD ． 2．如图2，△AOB 和△COD 全等吗为什么 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， AD 平分∠BAC ，求证：△ABD ≌△ACD ．4. 如图3，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，证明：△ABC ≌△CDA.5.如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2，证明：△ABD ≌ACE.6. 如图，已知AB=AC ，AE=AD ，那么图中哪两个三角形全等并进行证明.7.已知： AD ∥BC ，AD ＝ CB(如图)．现有条件能证明△ADC ≌△CBA 吗如果能请写出证明过程，若不能，那么还需添加怎样的条件才能证明练习21.已知：如图，AC=AD ，∠CAB=∠DAB ，求证：△ACB ≌△ADB 2.已知：AD ∥BC ，AD=CB 求证：△ADC ≌△CBA3.已知：AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF求证：△AFD ≌△CEB4.已知：EA=EC ，ED=EB ，A DC B FEA DCBE12求证：△AED ≌△CEB5.已知：AC=DB ，AE=DF ，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，求证：△EAB ≌△FDC6.已知：AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2求证：∠B=∠C三、三角形的判定定理：角边角定理定理：两个三角形的两组对应角相等且它们的夹边也相等，那么这两个三角形全等，简记为"角边角"，符号表示："ASA"例1. 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去例2.如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，试说明：△ADF ≌△CBE .例3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于与BE 交于F ，若BF ＝AC ，试说明：△ADC ≌△BDF .例4.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E .试说明：(1)△BDA ≌△AEC ； (2)DE ＝BD ＋CE . 练习：1. 如图，已知AO =DO ，∠AOB 与∠DOC 是对顶角，还需补充条件_________=___________，就可根据“ASA ”说明△AOB ≌△DOC ；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“SAS ”，说明△AOB ≌△D OCABoAB CDEF2. 已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB=AC ，∠B=∠C 。

暑假初一升初二数学提高班教材(16讲)

汇世纪教育（包含集团旗下高端个性化教育品牌——学远教育）创办于2004年，专业从事中小学生课外文化辅导教育，企业以“促进区域教育公平，共享优质教育资源”为使命，致力于将优质教育资源、先进教学模式、专业教学服务提供到中小县城，帮助三四线城市的中小学生获得更好的教育和发展机会。

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初一升初二,你准备好了吗?做好衔接，快人一步!假如用一句话概括初中：那就是初一是希望，是习惯养成的关键期；初二是分化期，是同学们差距出现的时候；初三是拼搏，是同学们实现人生理想的第一次真正的奋斗。

初二是初中的一个重要时段，这一阶段你对知识的掌握程度，直接影响着你的中考成绩，学习上并没有初一那样绝对的“轻松”，面对初二的最大问题就是分化，简单概括为好的更好，差的更差。

那么为什么有的同学进入新的学年后，成绩突飞猛进，原本的差生摇身一变上了全班前几名，这到底是为什么呢?那些新学期的优等生是如何炼成的呢?其实优等生的秘密就在暑假里!新学年衔接辅导让很多差生或中等生在暑假里突飞猛进，进入陌生却早已熟悉的新学期后，他们自然早已快人一步，学习倍轻松!在初二，数学、语文、英语、物理要作为重点来安排学习，除了上课认真听讲，课后70%的精力要花在这些主课上。

初二时，每门主科都要做到出现问题立刻解决掉，因为到了初三，未解决的知识漏洞不但会影响新知识的学习，更重要的是没时间来补回前面出现的问题（初三的新知识集中在上学期学完，下学期进入复习，学习任务很繁重）。

七升八暑期衔接班数学讲义(word版)

七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1. 第一讲：与三角形有关的线段；2. 第二讲：与三角形有关的角；3. 第三讲：与三角形有关的角度求和；4. 第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5. 第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6. 第六讲：全等三角形；7. 第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8. 第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9. 第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11. 第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12. 第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13. 第十三讲：轴对称；14. 第十四讲：等腰三角形；15. 第十五讲：等腰直角三角形；16. 第十六讲：等边三角形（一）；17. 第十七讲：等边三角形（二）;18. 第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19. 第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第一讲与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1. 概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连. A2. 几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.3. 三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.B C二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）不等边三角形三角形等腰三角形腰底不相等的等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形三、三角形的三边关系( 教具)引例：已知平面上有A、B、C 三点. 根据下列线段的长度判断A、B、C 存在的位置情况：(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A、B、C 存在的位置情况是：(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A、B、C 存在的位置情况是：(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A、B、C 存在的位置情况是：(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A、B、C 存在的位置情况是：(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A、B、C 存在的位置情况是：总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.1．已知BC=a，AC=b，AB=c.（1）A、B、C 三点在同一条直线上，则a，b，c 满足：；（2）若构成△ABC，则a，b，c 满足：；2．已知BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c.（1）A、B、C 三点在同一条直线上，则a，b，c 满足：；（2）若构成△ABC，则a，b，c 满足：；【新知讲授】例一、如图，在△ABC中.①AD为△ABC的中线，则线段= = 1；A 2②AE为△ABC的角平分线，则= = 1；2③AF为△ABC的高线，则= =90 °；④以AD为边的三角形有；B F E D C⑤∠AEC是的一个内角；是的一个外角.例二、已知，如图，BD⊥AC，AE⊥CG，AF⊥AC，AG⊥AB，则△ABC的BC边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF (D) AG例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ).(A)7cm ，5cm，12cm (B)6cm ，8cm，15cm(C)4cm ，6cm，5cm (D)8cm ，4cm，3cm GFEBA D C（2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是. （a、b、c 均为正数）①a=5，b=9，c=7；②a∶b∶c=2 ∶3∶5；③1，a，b，其中1+a＞b；④a，b，c，其中a+b＞c；⑤a+2，a+6，5；⑥a＜b＜c，其中a+b＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x 的取值范围是.发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1 ，则x 的取值范围是.②已知三角形的三边长分别为2，5，2 4 x，则x 的取值范围是.3③已知三角形三边长分别为2，x，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( ).(A)2 (B)3 (C)5 (D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长l 的取值范围是.⑤已知一个三角形中两边长分别为a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长l 的取值范围是.(A)3b ＜l ＜3a (B)2a ＜l ＜2a+2b (C)a+2b ＜l ＜2a+b (D)a+2b ＜l ＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是；（2）则它的周长l 的取值范围是；（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是.发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1 ，则x 的取值范围是.②已知三角形两边的长分别为 3 和7，则第三边 a 的取值范围是；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为.③已知等腰三角形腰长为2，则三角形底边 a 的取值范围是；周长l 的取值范围是.④已知三角形三边的长a、b、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值范围是. 若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有个.⑤若 a 、b、c 是△ABC的三边长，化简| a b c | +| a b c | 的结果为( ).(A) 2b (B)0 (C) 2a (D) 2a 2c⑥已知在△ABC中，AB=7，BC∶AC=4∶3，则△ABC的周长l 的取值范围为.【题型训练】1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm，5cm (B)5cm ，6cm，10cm (C)1cm ，1cm，3cm (D)3cm ，4cm，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6. 其中能组成三角形的有( ).(A)1 组(B)2 组(C)3 组(D)4 组3. 三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）(A) 中线(B) 角平分线(C) 高线(D) 角平分线或中线4. 已知三角形的三边长分别为6，7，x，则x 的取值范围是( ).(A)2 ＜x＜12 (B)1 ＜x＜13 (C)6 ＜x＜7 (D)1 ＜x＜75．已知三角形的两边长分别为 3 和5，则周长l 的取值范围是( ).（A）6＜l ＜15 （B）6＜l ＜16 （C）11＜l ＜13 （D）10＜l ＜166．已知等腰三角形的两边长分别为 5 和11，则周长是( ).（A）21 （B）27 （C）32 （D）21 或277．等腰三角形的底边长为8，则腰长 a 的范围为.8. 等腰三角形的腰长为8，则底边长 a 的范围为.9. 等腰三角形的周长为8，则腰长 a 的范围为；底边长 b 的范围为.10. 三角形的两边长分别为6，8，则周长l 的范围为.11. 三角形的两边长分别为6，8，则最长边 a 的范围为.12. 等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为.13. 若a、b、c 分别为△ABC的三边长，则｜a+b-c ｜- ｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14. 已知在ΔABC中，AB=AC，它的周长为16 厘米，AC边上的中线BD把ABC分成周长之差为 4 厘米的两个三角形，求ABC各边的长. ADB C15. 等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的中线）把它的周长分为15 厘米和 6 厘米两部分，求该三角形各边长. ADB C综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1.如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2.如图，在△ABC中，∠A B C、∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3.如图，在△ABC中，∠ABC的外角∠CBD、∠ACB的外角∠BCE的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.A A AII B CB C B C D D EI例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠A B D、∠ACD的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.A A I ADIID B CB C B C D发散探索二：如图，∠ABD的平分线与∠ACD的邻补角∠ACE的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.AIBB DCEIAA IDEC B CE D发散探索三：如图，∠ABD的邻补角∠DBE平分线与∠ACD的邻补角∠DCF的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D之间的数量关系.A A AD【知识要点】第二讲与三角形有关的角一、三角形按角分类: ①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；A二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠ A+∠B+∠1=180°）；三、三角形的内角和定理的推论：1 2①直角三角形两锐角互余；B C②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、n 边形的内角和定理：（n-2 ）×180°；五、n 边形的外角和为360°.【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为；正五边形的每个内角的度数为；正六边形的每个内角的度数为；正八边形的每个内角的度数为；正十边形的每个内角的度数为；正十二边形的每个内角的度数为.②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的 5 倍，则它的边数是.③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是.④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的 2 倍°，则它的边数是.例二、如图，△ABC中，∠A=50°，两条高线B D、CE所在直线交于点H，求∠BHC的度数.A AEECH D BDHB C例三、如图，△ABC中，∠A=50°，两条角平分线B D、CE交于点I ，求∠BIC 的度数.AEIB C例四、如图，四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：AB∥CD，AD∥BC.A D例五、如图，AB∥C D，AD∥BC，AE⊥BC，AF⊥CD，求证：∠BBAD+∠EAF=180°.CA DFD例六、如图，六边形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=∠D，∠B=∠E，求证：BC∥EF.A FEBC D例七、如图，在凸六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E，求证：BC∥EF.DECFA B【题型训练】1.如图，△ABC中，BD、CE为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠ A.AEDB C2.如图，△ABC中，BD、CE为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC，求∠A 的度数.AEDB C3.如图，在△ABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC的度数.EADB C M4.如图，在△ABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若∠BDC与∠E 互补，求∠BAC的度数.EADB C M第二讲作业1.如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A) 等腰三角形(B) 直角三角形(C) 锐角三角形(D) 钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A) ∠A＞∠1＞∠2 (B) ∠2＞∠1＞∠A(C) ∠A＞∠2＞∠1 (D) ∠2＞∠A＞∠13.下面四个图形中，能判断∠1＞∠2 的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A．75°B．90°C．105°D．120°5. 在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=( ).(A) 30°(B) 45°(C) 60°(D) 75°6. 如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120 °(B)180 °(C)240 °(D)300 °7．如图，在△ABC中，∠C＝70o，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2=( ).(A)360 o (B)250 o (C)180 o (D)140 o8.如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D、E 分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠，A 与A′重合，若∠ A=75°，则∠1+∠2= ( ).(A) 150°(B) 210°(C) 105°(D) 75°9.如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD 的度数为（）(A)40 °(B)45 °(C)50 °(D)55 °10.已知ΔABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形( ).(A) 一定有一个内角为45 (B) 一定有一个内角为60(C) 一定是直角三角形(D) 一定是钝角三角形11.将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为( ). OB(A) 75°(B) 95°(C) 105°(D) 120°12.若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ). A(A) 正十六形(B) 正十七形(C) 正十八边形(D) 正十九边形13.一个多边形的内角和比它的外角和的 2 倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014.已知：在△ABC 中，∠B是∠A的 2 倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( ).(A)40 °(B)60 °(C)80 °(D)90 °15.如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是.16.如图，在△ABC中，D、E 分别是边AB、AC上的两点，BE、CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC的度数.AD E17.如图，已知直线DE分别交△ABC 的边AB、AC于D、E 两点，交边BC的延长线于点F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1. 与三角形有关的四个基本图及其演变；2. 星形图形的角度求和.【新知讲授】例一、如图，直接写出∠ D 与∠A、∠B、∠C 之间的数量关系.A A ADDB CB C B C D箭形：；蝶形：；四边形：.请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系A1.如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；IB C2.如图，在△ABC中，∠A B C、∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A的关系；AIB C DE3. 如图，在△ ABC 中，∠ ABC 的外角∠ C B D 、∠ ACB 的外角∠ BCE 的平分线交于点 I ，探求∠ I 与∠ A 的关系 .ABC例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间D的关系E发散探索一：如图，∠ A B D 、∠ ACD 的平分线交于点 I ，探索∠ I 与∠ A 、∠ D 之间的数量关系 .IAAIADIIDBCBCBCD发散探索二：如图，∠ ABD 的平分线与∠ ACD 的邻补角∠ ACE 的平分线所在的直线交于点 I ，探索∠ I 与∠ A 、∠ D 之间的数量关系.A IBBDCEIAA IDECBCED发散探索三：如图，∠ ABD 的邻补角∠ DBE 平分线与∠ ACD 的邻补角∠ DCF 的平分线交于点 I ，探索∠ I 与∠ A 、∠ D 之间的数量关系 .AAADDBC B C B DC FEFEIIFI例四、如图，在△ ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ ABC ， CP 、CQ 三等分∠ ACB.（ 1）若∠ A=60°，直接写出：∠ BPC 的度数为，∠ BQC 的度数为；（ 2）连接 PQ 并延长交 BC 于点 D ，若∠ BQD=63°，∠ CQD=80°，求△ ABC 三个内角的度数 .A例五、如图，B D、CE交于点M，OB平分∠ ABD，OC平分∠ ACE，OD平分∠ ADB，OE平分∠ AEC，求证：∠BOE=∠COD；AE ODM【题型训练】BC1.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和. AD CB EA2.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.EFBC 3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑦如图，BC⊥EF，求∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.D第三讲作业1.如图，B 岛在 A 岛的南偏西30°，A 岛在C岛的北偏西35°，B 岛在 C 岛的北偏西78°，则从B岛看A、C两岛的视角∠ABC的度数为( ).(A)65 °(B)72 °(C)75 °(D)78 °2.如图，D、E 分别是AB、AC 上一点，BE、CD 相交于点F，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠ A 等于( ).(A)50 °(B)85 °(C)70 °(D)60 °3.一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是( ).(A)75 °(B)60 °(C)65 °(D)55 °ADEFB C4.如图，在△ABC中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD平分∠ABC交AC于点D，AF∥BC，交BD的延长线于点F，AE 平分∠CAF交DF 于E 点. 我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8 个(B)7 个(C)6 个(D)5 个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D的度数是( ).(A)35 °(B)45 °(C)55 °(D)65 °6.如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，则∠BOD=( ).(A)40 °(B)60 °(C)70 °(D)80 °7.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC中，∠A=80°，点D为边BC延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9.将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠ 1 的度数为.10.一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M ．若∠ADF=100，°则∠BMD为．1.如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= .12.如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD 的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，，如此下去，∠A n﹣1BC的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点A n ．设∠A=θ．则∠A1= ；A n = ．13.已知：如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则1 11 BOC 90 A21802 2A ；如图 2 ，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点O1 、O2 ，则BO1C 21801A ，BO C11802A ；；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有2n 1 个交点，你以猜想3 3 3 3 BO n 1 C =( ).(A) 2 1180 AA A A n nO n-1(B) 1 2 O2180 A On n O1 O2O1 n 1(C) (C)n180 A1 n 1 C B C B C(D) 1180图1n 1A图2 图3 n n14.在△ ABC中，∠ C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，BE 平分∠ ABC，求∠ DBE度数.B第四讲专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF 分别平分∠ABC、∠ADC，请你判断BE、DF 的位置关系并证明你的结A论.DEFB C例二、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC的外角平分线与∠ADC的平分线交于点E，请你判断BE、DE的位置关系并证明你的结论.ADEM B C例三、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC的外角，请你判断BE、DF的位置关系并证明你的结论. ADNBCFME例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E，请你判断B E、DE的位置关系并证明你的结论.DBCEA例五、如图，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF 平分∠ADC的的外角，请你判断BE、DE的位置关系并证明你的结论.MDF例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E，请你判断BE、DE的位置关系并证明你的结论.NEDMCBA例七、如图，△ABC中，P 为BC边上任一点，PD∥AB，PE∥AC.（1）若∠ A=60°，求∠ DPE的度数；（2）若EM平分∠BEP，DN平分∠CDP，试判断EM与DN之间的位置关系，写出你的结论并证明.ADEB P CM N例八、如图，△ABC中，D、E、F 分别在三边上，∠BDE＝∠BED，∠CDF＝∠CFD.（1）若∠ A=70°，求∠ EDF的度数；（2）EM平分∠BED，FN平分∠CFD，若EM∥FN，求∠A 的度数. AEFB M D N C例九、如图，△ABC中，D、E、F 分别在三边上，∠DBE＝∠DEB，∠DCF＝∠DFC. A（1）若∠A=70°，求∠EDF的度数；E（2）EM平分∠ BED，FN平分∠ CFD，若EM∥FN，求∠ A 的度数.F【题型训练】 B M D N C1. 如图1、图 2 是由10 把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的 5 个锐角的度数均为( ).(A) 36 °(B) 42 °(C) 45 °(D) 48 °2. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC上一点，DE⊥BC交AC于点E，DF⊥A B，垂足为F，若∠AED=160°，则∠EDF等于( ).(A)50 °(B)60 °(C)70 °(D)80 °3. 如图，△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED，则∠CDE= .AE4. 已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC于E，∠BAC的外角的平分线交BC的延长线于F，则△AEF 的形状是.5. 如图，AB∥CD，∠A=∠C，AE⊥DE，∠D=130°，则∠B的度数为.6．如图：点D、E、F 为△A BC三边上的点，则∠1+∠2 +∠3+∠4+∠5+∠6= ．DA D CEB EC FA Bc 60 ，∠P=110°，则de 的7. 若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若值为，x的值.B M CA D，则∠BAD= ，8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点M，连接MD，且MD恰好平分∠AMC，若∠MDC=4°5∠ABC= .第四讲作业1. 如图，已知△ABC的三个顶点分别在直线a、b 上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3 的度数是( ).(A)40 °(B)60 °(C)80 °(D)120 °2. 如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( ).(A)60 °(B)75 °(C)90 °(D)105 °3. 如图，已知D、E 在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100 °(B)90 °(C)80 °(D)70 °4. 已知，直线l 1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A) 30°(B) 35°(C) 40°(D) 45°5. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线 a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A) 50°(B) 60°(C) 70°(D) 80°6. 小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线m，n 上，测得=120°，则的度数是( ).(A)45 °(B)55 °(C)65 °(D)75 °7. 如图，在Rt △ABC中，∠C=90°．D 为边CA延长线上的一点，DE‖AB, ∠ADE=42°，则∠ B 的大小为( ).(A) 42 °(B) 45 °(C) 48 °(D)58 °8. 如图，B 处在 A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在 B 处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65 °(B)72 °(C)75 °(D)78 °9. 如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63 °(B)83 °(C)73 °(D)53 °10. 如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线 b 上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11. 如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠ A=60°.（1）求∠ EDC的度数；（2）求∠ BDC度数.12．如图，∠ DAB+∠D=180°，AC平分∠ DAB，且∠ CAD=25°，∠ B=95°.(1)求∠ DCA的度数；(2)求∠ FEA的度数.13．如图，B 处在A处的南偏西57°的方向， C 处在 A 处的南偏东15°方向，C 处在 B 处的北偏东82°方向，求∠C的度数.A北南CB第五讲专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知Δ ABC的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。

初一升初二寒暑假培训班数学教材

第1讲平方根月日姓名：【学习目标】 1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。

【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做的算术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。

注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a 0≥（0≥a ）。

2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。

注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，是它本身；（3）负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。

其中a 叫做被开方数。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a观察二者的特征，注意他们的区别与联系。

【典型例题】例1、求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1（4）0 （5）94 （6）7例2、计算（1）81 （2）41 （3）-169例3、计算（1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（3）()22.7 （4）()22-（5+（6）例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？【经典练习】1、求下列各数的算术平方根和平方根（1）16 （2）225121 （3）12（4）0.01 （5）()25-2、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2）()25.0-（3+（4）41225.0+⨯3、判断（1）－52的平方根为－5 （）（2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数（）（3）0和负数没有平方根（）（4）4是2的算术平方根（）（5）9的平方根是±3 （）（6）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （） 4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（）A.a 2=±mB.a =±m 2C.a =±mD.±a =±m【课后作业】1、下列各数中没有平方根的数是（）A.－(－2)3 －3 C.a0 D.－（a 2+1） 2、2a 等于（）A.aB.－aC.±a3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a 4、当x ___________时，x 31-是二次根式． 5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________6、计算（1）- 16964 （2）2243+记一记100102= 121112= 144122= 169132=196142= 225152= 256162= 289172=324182= 361192= 400202= 625252=第2讲立方根月日姓名：【学习目标】1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。

七年级升八年级数学暑期衔接班讲义第十八讲第十九讲专题六全等、等腰三角形综合运用(拔高)(无

A E D CB AC B 第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（拔高）第一部分【能力提高】一、如图，BD ＝CD ，∠B ＝∠C ，求证：AD 平分∠BAC.二、如图，Rt △ABC ，∠C ＝90°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，连结BD ，BD 平分∠ABC.（1）求证：△ADE ≌△BDC ；（2）求∠A 的度数.三、如图，在△ABC 中，AB=2BC ，∠B=2∠A ，求证：△ABC 为直角三角形.四、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，F 为AC 上一点，DF=DB ，求证：CF=BE.D C B A F ED C B A第二部分【综合运用】五、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，D 是斜边AB 上任意一点，AE ⊥CD 于点E ，BF⊥CD 交CD 的延长线于点F ，CH ⊥AB 于点H ，交AE 于点G ，求证：BD=CG.六、如图，在△ABC 中， ∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线PQ 相交于点P ，过点P 分别作AB 、AC(或它们的延长线)的垂线，垂足分别为N 、M ，求证：BN=CM.七．如图，△ABC 中，∠A=50°，AB ＞AC ，D 、E 分别在AB 、AC 上，且BD=CE ，∠BCD=∠CBE ，若BE 、CD 相交于O 点，求∠BOC 的度数.H G F E D C B A Q P N M C B A A BC D E OB C E D A45 F B C H E D AF 八、如图，AB ⊥BC ，EC ⊥BC ，D 在BC 上，AD=DE ，AB=a ，CE=b ，∠ADB=75°，∠EDC=45°，求BD 的长.（用含a 、b 的代数式表示）九、如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上的两点，∠EAF=45°.（1）求证：BE+DF=EF ；（若正方形的连长为a ，则△CEF 的周长等于2a ）（2）求证：AE 平分∠BEF ；AF 平分∠DFE ；（3）作AH ⊥EF ，求证：AH=AB.十、如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，沿直线AE 折叠正方形ABCD ，使点B 落在形内的点H ，延长EH 交CD 于点F. （1）求证：∠EAF=45°；（2）求证：BE+DF=EF ；（3）求证：AF 平分∠DFE.AB C D EB C D E P A 图1图2A P E D C B图3A E十一、探索与猜想：（1）如图1，等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，∠ACB=∠ADE=90°，D 点在AB 上，E点在AC 上，P 为BE 的中点，则线段PD 、PC 是否存在某种确定的数量关系和位置关系？请写出你的结论（不需要证明）；（2）若将图1中的等腰Rt △ADE 绕A 点逆时针旋转45°得到图2（此时点E 在AB上），其它条件不变，试问：线段PD 、PC 是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；（3）若将图1中的等腰Rt △ADE 绕A 点顺时针任意旋转一个角度得到图3（此时点E在AC 的下方），其它条件不变，试问：线段PD 、PC 是否存在某种确定的数量关系和位置关系？请你完成图3，写出你的结论并证明；。

七升八数学暑假衔接

七升【1 】八数学暑假课本目录第一讲订交线与平行线的相干概念第二讲直线订交时有关角的求法第三讲订交线与平行线中的拐角问题第四讲订交线与平行线中的折叠问题第五讲平面直角坐标系中的相干结论第六讲图形的平移及点的坐标的变更第七讲实数平分类评论辩论的数学思惟第八讲实数中数形联合的数学思惟第九讲实数中整体代入的数学思惟第十讲方程组的解法（代入.加减）第十一讲用二元一次方程组解应用题第十二讲不等式的解及不等式的解集第十三讲现实问题与一元一次不等式组第十四讲抽样查询拜访与频数散布直方图DCBA第一讲：订交线与平行线的相干概念一.常识框架二.典范例题1.下列说法精确的有( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角必定不是对顶角; ④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.2.如图所示,下列说法不精确的是( )3.下列说法精确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以随意率性画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.AB1 EF 2 CPDFEDCBAl 3l 2l 1 O 34l 3l 2l 1124．一学员驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的偏向与本来的偏向雷同, 这两次拐弯的角度可能是（）A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30°B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130°C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130°D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130° 5．6．如图,已知AB ∥CD,直线EF 分离交AB,CD 于E,F,EG•等分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=_________.7．如图,AB ∥EF ∥CD,EG ∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )8．如图,直线l 1.l 2.l 3交于O 点,图中消失了几对对顶角,若n 条直线订交呢？10. 如图所示,L 1,L 2,L 3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.( 方程思惟)11．如图所示,已知AB ∥CD,分离摸索下列四个图形中∠P 与∠A,∠C 的关系,•请你证实所得的四个关系.PDCBAP DCB A P DCB A PDCB A(1) (2) (3) (4)12．如图,若AB//EF,∠C= 90°,求x+y-z 度数. 剖析：如图,添加帮助线证出：x+y-z=90°13．已知：如图,∠+∠=∠=∠BAP APD 18012，求证：∠=∠E F第二讲：平面直角坐标系一.常识要点：1.特别地位的点的特点（1）各个象限的点的横.纵坐标符号（2）坐标轴上的点的坐标：x 轴上的点的坐标为)0,(x ,即纵坐标为0;y 轴上的点的坐标为),0(y ,即横坐标为0;2.具有特别地位的点的坐标特点设),(111y x P.),(222y x P 1P .2P 两点关于x 轴对称⇔21x x =,且21y y -=; 1P .2P 两点关于y 轴对称⇔21x x -=,且21y y =; 1P .2P 两点关于原点轴对称⇔21x x -=,且21y y -=.3.距离（1）点A ),(y x 到轴的距离：点A 到x 轴的距离为|y |;点A 到y 轴的距离为|x |; （2）统一坐标轴上两点之间的距离：A )0,(A x .B )0,(B x ,则||B A x x AB -=;A ),0(A y .B ),0(B y ,则||B A y y AB -=;二.典范例题1.已知点M 的坐标为（x,y ）,假如xy<0 , 则点M 的地位( ) A ．第二.第三象限 B ．第三.第四象限 C ．第二.第四象限 D ．第一.第四象限2．点P （m,1）在第二象限内,则点Q （-m,0）在（）A ．x 轴正半轴上B ．x 轴负半轴上C ．y 轴正半轴上D ．y 轴负半轴上 3．已知点A （a,b ）在第四象限,那么点B （b,a ）在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．点P （1,-2）关于y 轴的对称点的坐标是（）A ．（-1,-2）B ．（1,2）C ．（-1,2）D ．（-2,1）5．假如点M （1-x,1-y ）在第二象限,那么点N （1-x,y-1）在第_________象限, 点Q （x-1,1-y ）在第_________象限．6．如图是中国象棋的一盘残局,假如用(4,o)暗示帅的地位,用(3,9)暗示将的地位,那么炮的地位应暗示为（） A ．(8,7) B ．(7,8) C ．(8,9)D ．(8,8)7．在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD 的极点A.B.D 的坐标分离为（0,0）, （5,0）,（2,3）则极点C 的坐标为（） A ．（3,7） B ．（5,3） C ．（7,3） D ．（8,2）A 9A 10A 5A 4A 7A 6A 8A 3A 2A 1oyx8．已知点P （x ,x）,则点P 必定（）A ．在第一象限B ．在第一或第四象限C ．在x 轴上方D ．不在x 轴下方9．三角形ABC 三个极点的坐标分离是A （-4,-1）,B （1,1）,C （-1,4）,将三角形ABC 向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,则平移后三个极点的坐标是（） A ．（2,2）,（3,4）,（1,7） B ．（-2,2）,（4,3）,（1,7） C ．（-2,2）,（3,4）,（1,7） D ．（2,-2）,（3,3）,（1,7）11．“若点P.Q 的坐标是（x 1,y 1）.（x 2,y 2）,则线段PQ 中点的坐标为（122x x +122y y +,）．” 已知点A.B.C 的坐标分离为（-5,0）.（3,0）.（1,4）,应用上述结论求线段AC.BC 的中点D.E 的坐标,并断定DE 与AB 的地位关系．12．如图,在平面直角坐标系中,A 点坐标为(34)，,将OA 绕原点O 逆时针扭转90得到OA ',则点A '的坐标是（）Ａ．(43)-，Ｂ．(34)-，Ｃ．(34)-，Ｄ．(43)-，剖析：13．如图,三角形AOB 中,A.B 两点的坐标分离为（-4,-6）,（-6,-3）,求三角形AOB 的面积．解：做帮助线如图．14．如图,四边形ABCD 各个极点的坐标分离为（–2,8）,（–11,6）,（–14,0）,（0,0）．（1）肯定这个四边形的面积,你是怎么做的? （2）假如把本来ABCD 各个极点纵坐标保持不变,横坐标增长2,所得的四边形面积又是若干？15．如图,已知A 1(1,0). A 2（1,1）.A 3（-1,1）.A 4（-1,-1）. A 5（2,-1）,…,则点A 2007的坐标为______________________.第三讲：二元一次方程组一.相干常识点1、二元一次方程的界说：经由整顿今后,方程只有两个未知数,未知数的次数都是1,系数都不为0,如许的整式方程称为二元一次方程．2.二元一次方程的尺度式：()00,0ax by c a b ++=≠≠3、一元一次方程的解的概念：使二元一次方程阁下双方的值相等的一对x 和y 的值,叫做这个方程的一个解． 4、二元一次方程组的界说：方程组中共有两个未知数,每个方程都是一次方程,如许的方程组称为二元一次方程组． 5、二元一次方程组的解：使二元一次方程组的二个方程阁下双方的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解．二.典范例题1．下列方程组中,不是二元一次方程组的是（ C ）Ａ．123x y =⎧⎨+=⎩，．Ｂ．10x y x y +=⎧⎨-=⎩，．Ｃ．10x y xy +=⎧⎨=⎩，．Ｄ．21y x x y =⎧⎨-=⎩，．2．有如许一道标题：断定31x y =⎧⎨=⎩，是否是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解？小明的解答进程是：将3x =,1y =代入方程250x y +-=,等式成立．所所以31x y =⎧⎨=⎩，方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解．小颖的解答进程是：将3x =,1y =分离代入方程250x y +-=和2350x y +-=中,得250x y +-=,2350x y +-≠．所以31x y =⎧⎨=⎩，不是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解．你以为上面的解答进程哪个对？为什么？3．若下列三个二元一次方程：3x-y=7;2x+3y=1;y=kx-9有公共解,那么k 的取值应是（） A ．k=-4 B ．k=4 C ．k=-3 D ．k=34．解方程组()()63101321002m n m n -+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩办法一：（代入消元法）办法二：（加减消元法）办法三：（整体代入法）5．已知方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解是⎩⎨⎧==2.13.8b a ,则方程组()()()()⎩⎨⎧=-++=--+9.301523131322y x y x 的解是（）12A ．⎩⎨⎧==2.13.8y x B ．⎩⎨⎧==2.23.10y x C ．⎩⎨⎧==2.23.6y x D ．⎩⎨⎧==2.03.10y x 6．4513453x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩7．解方程组()():3:213532x y x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩8．解三元一次方程组(1)(2)(3)++=⎧⎪-=-⎨⎪+=+⎩x 2y z 8x y 1x 2z 2y 3方程段(下一个) 节 19（1）当a 为何值时,方程组2133ax y x y +=⎧⎨+=⎩有独一的解．（2）当m 为何值时,方程组2122x y x my +=⎧⎨+=⎩有无限多解．10．一副三角板按如图方法摆放,且1∠的度数比2∠的度数大50,若设1∠的度数为x,2∠的度数为y,则得到的方程组为A ．50180x y x y =-⎧⎨+=⎩，B ．50180x y x y =+⎧⎨+=⎩，C ．5090x y x y =-⎧⎨+=⎩，D ．5090x y x y =+⎧⎨+=⎩， 11．为了改良住房前提,小奥的怙恃考核了某小区的A.B 两套楼房,A 套楼房在第3层楼,B 套楼房在第5层楼,B 套楼房的面积比A 套楼房的面积大24平方米,两套楼房的房价雷同．第3层楼和第5层楼的房价分离是平均价的1.1倍和0.9倍．为了盘算两套楼房的面积,小奥设A 套楼房的面积为x 平方米,B 套楼房的面积为y 平方米,根据以上信息列出下列方程组,个中精确的是（）A ．⎩⎨⎧=-=241.19.0x y y xB ．⎩⎨⎧=-=249.01.1y x y xC ．⎩⎨⎧=-=241.19.0y x y xD ．⎩⎨⎧=-=249.01.1x y y x12．某生果批发市场喷鼻蕉的价钱如下表：若干千克？剖析：由题意知,第一次购置喷鼻蕉数小于25千克,则单价分为两种情形进行评论辩论. 解：设张强第一次购置喷鼻蕉x 千克,第二次购置喷鼻蕉y 千克,由题意0<x<25,（1）当0<x ≤20,y ≤40时,由题意可得：⎩⎨⎧=+=+2645650y x y x ,解得⎩⎨⎧==3614y x（2）当0<x ≤20,y>40时,由题意可得：⎩⎨⎧=+=+2644650y x y x ,解得⎩⎨⎧==1832y x (不合题意,舍去) （3）当20<x<25时,则25<y<30,由题意可得：⎩⎨⎧=+=+2645550y x y x ,方程组无解由（1）（2）（3）可知,张强第一次.第二次分离购置喷鼻蕉14千克.36千克.第四讲：一元一次不等式一.常识链接：1．不等式的基赋性质经由过程比较不等式和方程的性质,使学生学会用类比的办法看问题.性质1：不等式的双方同时加上（或减去）统一个数或统一个整式,不等号偏向不转变. 若a>b,则a+c>b+c （a-c>b-c ）.性质2：不等式的双方同时乘以（或除以）统一个正数,不等号偏向不变. 若a>b 且c>0,则ac>bc.性质3：不等式的双方同时乘以（或除以）统一个负数,不等号偏向转变. 若a>b 且c<0,则ac<bc. 2．同解不等式假如几个不等式的解集雷同,那么这几个不等式称为同解不等式. 3．一元一次不等式的界说：像276x x -<,39x ≤等只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1,系数不为0,如许的不等式叫做一元一次不等式. 4．一元一次不等式的尺度情势一元一次方程的尺度情势：0ax b +>（0a ≠）或0ax b +<（0a ≠）. 5．一元一次不等式组的解集肯定若a>b则（1）当⎩⎨⎧>>b x a x 时,则a x >,即“大大取大”（2）当⎩⎨⎧<<b x a x 时,则b x <,即“小小取小”（3）当⎩⎨⎧><b x a x 时,则a x b <<,即“大小小大取中央”（4）当⎩⎨⎧<>b x a x 时,则无解,即“大大小小取不了”二.典范例题：1．下列关系不精确的是（）A ．若b a >,则a b <B ．若b a >,c b >,则c a >C ．若b a >,d c >,则d b c a +>+D ．若b a >,d c >,则d b c a ->- 2．已知y x >且0<xy ,a 为随意率性有理数,下列式子中精确的是（）A ．y x >-B ．y a x a 22> C ．a y a x +-<+- D ．y x -> 3．下列断定不精确的是（）A ．若0>ab ,0<bc ,则0<acB ．若0>>b a ,则b a 11<C ．若0>a ,0<b ,则0<-b ba D ．若b a <,则b a 11> 4．若不等式ax ＞b 的解集是x ＞a b,则a 的规模是（）A.a≥0B.a≤0C.a ＞0D.a ＜05．解关于x 的不等式 ()2355mx m xm ->+≠解：()()()5325321550,3252550,325mx x m m x m m m m x m m m m x m ->+->+>->+>-<-<+<-当时，则当时，则6．解关于x 的不等式()21a x a -<+.解：2-a>0,即a<2时,a a x -+<212-a<0,即a>2时,a a x -+>212-a=0,即a=2时,不等式即 0x<3 ,不等式有随意率性解 7．若不等式()21350m x x x ->+-<和是同解不等式,求m 的值.解：()()()()()()350513211212121021513188x x m x x m x m m m m m m m -<<->+->+-<⎧⎪∴+⎨=⎪-⎩<⎧∴⎨=⎩∴=-由得由得、两不等式为同解不等式。

七升八暑假衔接学习讲义

七升八暑假衔接学习讲义TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】一、图形的1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形.观察右面两组图形，它们是不是全等图形为什么2.由全等图形类比得出：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。

其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，它们是对应边；A∠与D∠重合，它们是对应角.△ ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等三角形的对应边，对应角。

全等三角形的对应边上的中线，对应边上的高，对应角的角平分线；全等三角形的周长，面积。

几何语言：∠A= ,∠C= ，∠B= .（）练习：1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°,∠ACB=55°,求出△AEC各内角的度数。

解：2．如图7，△ABD≌△EBC，AB=3 cm，AC=8 cm，求DE解： 3.判断：○1全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（） ○2全等三角形的周长相等.（）○3周长相等的两个三角形是全等三角形.（） ○4全等三角形的面积相等.（）○5面积相等的两个三角形是全等三角形.（）4.填空：如图所示，已知△AOB ≌△COD ，∠C =∠A ,AB =CD ,则另外两组对应边为________________，另外两组对应角为________________。

5.如图3，已知CD ⊥AB 于D ， BE ⊥AC 于E ,△ABE ≌△ACD ，∠C=20°,AB=10，AD=4，G 为AB 延长线上的一点，求∠ABE例1. 下列哪组三角形能完全重合（全等）例2.如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′．这两个三角形全等吗?例3. 在△ABC 和△A ′B ′C ′中（自己画图）(1)⎪⎩⎪⎨⎧''='∠=∠''=C B BC B B B A AB (2) ⎪⎩⎪⎨⎧='∠=∠''=______A A B A ABACDBOAD E∴C B A ABC '''∆≅∆( SAS ) ∴C B A ABC '''∆≅∆( )(3) ⎪⎩⎪⎨⎧''=∠=∠''=C B BC C A AC ____∴C B A ABC '''∆≅∆( ) 练习1：1．根据题目条件，判断下面的三角形是否全等（1） AC ＝DF ， ∠C ＝∠F ， BC ＝EF ；（2） BC ＝BD ， ∠ABC ＝∠ABD ． 2．如图2，△AOB 和△COD 全等吗为什么3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， AD 平分∠BAC ，求证：△ABD ≌△ACD ．4. 如图3，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，证明：△ABC ≌△CDA.5.如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2，证明：△ABD ≌ACE.6. 如图，已知AB=AC ，AE=AD ，那么图中哪两个三角形全等？并进行证明.7.已知： AD ∥BC ，AD ＝ CB(如图)．现有条件能证明△ADC ≌△CBA 吗如果能请写出证明过程，若不能，那么还需添加怎样的条件才能证明练习21.已知：如图，AC=AD ，∠CAB=∠DAB ，求证：△ACB ≌△ADB2.已知：AD ∥BC ，AD=CB 求证：△ADC ≌△CBA3.已知：AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CFADCB EADC B FE ADCBE12求证：△AFD ≌△CEB4.已知：EA=EC ，ED=EB ，求证：△AED ≌△CEB5.已知：AC=DB ，AE=DF ，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，求证：△EAB ≌△FDC6.已知：AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2 求证：∠B=∠C三、三角形的判定定理：角边角定理定理：两个三角形的两组对应角相等且它们的夹边也相等，那么这两个三角形全等，简记为"角边角"，符号表示："ASA" 例1. 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？例2.如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，试说明：△ADF ≌△CBE .例3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于与BE 交于F ，若BF ＝AC ，试说明：△ADC ≌△BDF .例4.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E .试说明：(1)△BDA ≌△AEC ； (2)DE ＝BD ＋CE . 练习：1. 如图，已知AO =DO ，∠AOB 与∠DOC 是对顶角，还需补充条件_________=___________，就可根据“ASA ”说明△AOB ≌△DOC ；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“SAS ”，说ABoABCDEF明△AOB ≌△D OC2. 已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB=AC ，∠B=∠C 。

七升八数学暑假衔接教材可打印人教版

七升八数学暑假衔接教材可打印人教版
以下是可以打印的人教版的七年级到八年级数学暑假衔接教材：
七年级上册数学暑假衔接教材：
1. 整式与简单整式的加减
2. 一元一次方程
3. 基本图形的认识
4. 二次根式
5. 比例和比例直线
6. 两个变量的线性方程
七年级下册数学暑假衔接教材：
1. 整数的加减法
2. 一元一次方程的应用
3. 三角形的面积和周长
4. 有理数的加减法
5. 几何体的认识
6. 相交线与平行线的性质
八年级上册数学暑假衔接教材：
1. 实数的认识和运算
2. 一元一次方程与实数
3. 圆的性质和圆相关的计算
4. 一元一次不等式与实数的关系
5. 平方根与立方根
6. 长方体和正方体的表面积和体积
八年级下册数学暑假衔接教材：
1. 平行线的性质和判定
2. 一元二次方程的解
3. 直角三角形和勾股定理
4. 投影定理和欧几里得几何
5. 三角比的意义与计算
6. 统计图和统计量的理解与应用
以上是人教版数学七年级和八年级的暑假衔接教材，你可以选择需要的部分打印。

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七年级升八年级暑期衔接班数学讲义第六讲全等三角形

第五讲全等三角形【知识要点】1全等三角形的定义:（1）操作方式：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；（2 ）几何描述：大小、形状完全相同的两个三角形叫全等三角形；（几何中就是借助于边、角以及其它可度量的几何量来描述几何图形的大小和形状）2. 全等三角形的几何表示：如图，△ AB3A DEF （注意对应点、对应边、对应角）3•全等的性质：（求证线段相等、求证角相等的常规思维方法）性质1 :全等三角形对应边相等；性质2 :全等三角形对应角相等；几何语言•/△ AB3A DEF••• AB=DE AC=DF BC=EF/ A=Z D,Z B=Z E,Z C=Z F.性质3:全等三角形的对应边上的高、对应角平分线、对应边上的中线相等性质4 :全等三角形的周长、面积相等4.三角形全等的常见基本图形【新知讲授】例1.如图，△ OAB^A OCD AB// EF,求证：CD// EF.巩固练习：已知厶ABC^A DEF且/ B= 70 0，/ F-Z D= 60°，求△ DEF各内角的度数。

例2.如图，在厶ABC中，ADL BC于点D , BE± AC于点E, AD BE交于点F, △ AD3A BDF.(1)/ C=50°,求/ ABE的度数.(2)若去掉原题条件“ AD L BC于点D , BE L AC于点E”，仅保持“△ ADC^^ BDF不变，试问：你能证明：“ AD L BC于点D, BE L AC吗？巩固练习：1 .如图，△ ABC^^ ADE延长边BC交DA于点F,交DE于点G.(1 )求证：/ DGB M CAE(2)若/ ACB=105，/ CAD=10，/ ABC=25，求/ DGB的度数.2. 如图，把△ ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE内部的点F处.(1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；(2)设/ AED的度数为x，/ ADE的度数为y，那么/ 1，/ 2的度数分别是多少？(用含有x或y的代数式表示)(3) / A与/ 1+Z 2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律.3. 如图，将△ AOB绕点0按逆时针方向旋转45°后得到△ A' OB(1 )图中有全等三角形吗？请写出来；(2 )图中有等腰三角形吗？请写出来；(3)延长 A A'、BB'交于点P,求证：/ P=Z AOB.例3.如图，△ ABC 中，D E 分别为 AG BC 上的一点，若△ ABD^A EBD AB=8, AC=6 BC=10. (1)求CE 的长； (2 )求厶DEG 勺周长.巩固练习：1.如图，将△ ABC 沿直线I 向右平移得到△ DEF.（1 ）图中有全等三角形吗？请写出来；口 17 （2）图中有平行线吗？请写出来；（3）请补充一个条件，使得 AF=3CD 并你的理由./ / A D C jr Rt △ ABC 中, Z C=90°,将 Rt △ ABC 沿DE 折叠, 图中有全等三角形吗？请写出来；若Z A=35°,求Z CB 啲度数；若AC=4, BC=3 AB=5求厶BC 啲周长.3. 如图，在△ ABC 中, △ BDF ^A ADC.(1)求证：BE 丄AC;(2 )若BD=5, CD=2求厶ABF 勺面积.2.如图, (1) (2) (3) .4例4.如图，△ ABF^A CDE.(1)求证：AB// CD AF// CE(2)若厶AEF^A CFE 求证：/ BAE玄DCF(3)在(2)的条件下，若/ B=35°,Z CED=30，/ DCF=20，求/ EAF的度数.【课后练习】-、选择题小明去照相复印社，用一张A4的底稿复印了两张A4和两张B4的复印件，下列说法：① A4的底稿和A4的复印件是全等形；② A4的底稿和B4的复印件是全等形；③两张A4的复印件之间是全等形；④两张B4的复印件之间是全等形，其中正确结论的个数是().(A) 1 个(B) 2 个下面结论是错误的是( ).全等三角形对应角所对的边是对应边全等三角形两条对应边所夹的角是对应角全等三角形是一个特殊的三角形如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形全等().1.2.3.4.5.(C) 3 个(D) 4 个(A)(B)(C)(D)如图，△ ABC^A AEF,则下列结论中不一定成立的是(A) AC=AF ( B)Z EABh FAC如图，已知△ ABC^A DEF, AB=DE AC=DF/ DEF;④BE=CF其中正确结论的个数是((A) 1 个(B) 2 个(C) EF=BC则下列结论：①BC=EF).(C) 3 个(D) EF平分/ AFB②/ A=Z D; ③/ ACB=如图,△ ABD^A EFC AB=EF / A=Z E, AD=EC 若BD=52.8 ( C)3.4(D) 4 个DF=2.2 贝UCD=((D) 4(第4题图)(第3题图)6.如图，已知△ ABD^A ACD下列结论:(第5题图)①厶ABC为等腰三角形；②AD平分/ BAC ③AD丄BC; ④AD=BC.其中正确结论的个数是( ).(A)1 个(B)2 (C)3 个(D)4、填空题7.已知：如图，△ ACD^A AEB其中CD=EB AB=AD则/ ADC!的对边是_____________ ,AC的对应边是 _________ ，/ C的对应角是&如图，已知△ ABD^A DCA AB的对应边是DC, AD的对应边是_____________ ，/ BAD的对应角是，AB与CD的位置关系是9. 如图，若△ OAD^A OBC10. 将一个无盖正方体纸盒展开用得到的5张纸片（其中拼成一个正方形（如图②）的与较长的直角边的比是三、解答题（第8题图）（如图①），沿虚线剪开，4张是全等的直角三角形纸片）。

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初一升初二,你准备好了吗做好衔接，快人一步!假如用一句话概括初中：那就是初一是希望，是习惯养成的关键期；初二是分化期，是同学们差距出现的时候；初三是拼搏，是同学们实现人生理想的第一次真正的奋斗。

那么为什么有的同学进入新的学年后，成绩突飞猛进，原本的差生摇身一变上了全班前几名，这到底是为什么呢那些新学期的优等生是如何炼成的呢其实优等生的秘密就在暑假里!新学年衔接辅导让很多差生或中等生在暑假里突飞猛进，进入陌生却早已熟悉的新学期后，他们自然早已快人一步，学习倍轻松!在初二，数学、语文、英语、物理要作为重点来安排学习，除了上课认真听讲，课后70%的精力要花在这些主课上。

七升八数学暑期衔接班讲义

暑期七升八衔接班讲义第一讲与三角形有关的线段知识点1、三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

☑ 三角形的表示方法三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C 的三角形，记作“△ABC ”三角形ABC 用符号表示为△ABC 。

三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC可用a 表示.知识点2、三角形的三边关系【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？☑ 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b拓展：a+b ＞c ，根据不等式的性质得c-b ＜a ，即两边之差小于第三边。

即a-b ＜c ＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差）【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是（） A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm 【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a 、b 、c ，a+b ＞c ，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？【小结】三角形的两边之和是指任意两边之和【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？知识点3 三角形的三条重要线段abc(1)CBA☑ 三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高） (2)高的叙述方法 AD 是△ABC 的高 AD ⊥BC ，垂足为D点D 在BC 上，且∠BDA=∠CDA=90度 [练习]画出①、②、③三个△ABC 各边的高,并说明是哪条边的高.① ② ③AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________[辨析] 高与垂线有区别吗？_____________________________________________ [探究] 画出图1中三角形ABC 三条边上的高，看看有什么发现？如果△ABC 是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画【结论】________________________________________ ☑ 三角形的中线（1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 [练习]画出①、②、③三个△ABC 各边的中线,并说明是哪条边的中线.① ② ③AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是________ AC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是_________图中有相等关系的线段：___________________________________________________[探究1]观察△ABC 的三条边上的中线，看看有什么发现？如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？【结论】_________________________________[探究2]如图，AD 为三角形ABC 的中线，△ABD 和△ACD 的面积相比有何关系？【结论】__________________________________________【例2】如图，已知△ABC 的周长为16厘米，AD 是BC 边上的中线，AD=45AB ，AD=4厘米，△ABD 的周长是12厘米，求△ABC 各边的长。

七年级升八年级数学暑期衔接班讲义第十三讲轴对称(无答案) 新人教版

E D CA B M NF CAPQB M第十三讲：轴对称第一部分【能力提高】一、上图中的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的对称轴．二、如图，△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点F 在直线MN 上．• ①指出两个三角形中的对称点；②图中还有对称的三角形吗？三、如已知等腰三角形ABC ，AB 边的垂直平分线交AC 于D ，AB=AC=8，BC=6，求△BDC 周长．四、三角形三边垂直平分线的必交于一点.如图，在△ABC 中，边AB 和AC 的垂直平分线MP 、MQ 交于点M ，求证：M 必在线段BC 的垂直平分线上.五、如下图小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A 村与B 村供水，•要符合条件：（1）若要使厂部到A 、B 的距离相等，则应选在哪儿？（2）若要使厂部到A 村、B 村的水管最省料，应建在什么地方？AHPCQBCAP QD BM第二部分【综合运用】六、（1）在图中所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y 轴对称的两个三角形的编号为；关于x 轴对称的两个三角形的编号为；（2）在图4中，画出与△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1七、如图，AM 平分∠PAQ ，B 为AM 上任一点，BC ⊥AP 于点C ，BD ⊥AQ 于点Q ，求证：AB 垂直平分线段CD.八、如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线交边BC 的垂直平分线PQ 于点P.（1）求证：AB-AC=2BH ；（2）求AB ACAH的值.AFECB第 13 讲作业一．选择题1．国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是( ). (A)加拿大、哥斯达黎加、乌拉圭 (B)加拿大、瑞典、澳大利亚 (C)加拿大、瑞典、瑞士 (D)乌拉圭、瑞典、瑞士加拿大哥斯达黎加澳大利亚乌拉圭瑞典瑞士2．对称现象无处不在，请你观察下面的四个图形，它们体现了中华民族的传统文化，其中，可以看作是轴对称图形的有( ). (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3．下列图形中，不是轴对称图形的是( ).(A)一条线段 (B)两条相交的直线(C)有公共端点的两条相等的线段 (D)有公共端点的两条不相等的线段 4．下列图形中，不是轴对称图形的是( ).(A)平行四边形 (B)长方形 (C)正方形 (D)圆 5．下列说法错误的是（）(A)关于某条直线对称的两个三角形一定全等 (B)轴对称图形至少有一条对称轴 (C)全等三角形一定能关于某条直线对称 (D)角是关于它的平分线对称的图形 6. 下列命题中，不正确的是( ). (A)关于直线对称的两个三角形一定全等.(B)两个大小一样的圆形纸片随意平放在水平桌面上构成轴对称图形. (C)若两图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线. (D)等腰三角形一边上的高、中线及这边对角平分线重台. 7．图中是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是( ). (A)1 号袋 (B)2 号袋 (A)3 号袋 (D)4 号袋 8.在平面直角坐标系中，点(3，4)关于x 轴对称点的坐标是( ).(A)(4，3) (B)(3，-4) (C)(-3， 4) (D)(-3，-4)9．如图,六边形ABCDEF 是轴对称图形,CF 所在的直线是它的对称轴，若∠AFC+∠BCF=150°，则∠AFE+∠BCD 的大小是( ). (A)150° (B)300°(C)210°(D)330°41E D C B A 1E 2F D C B A10．下列图形中，△A ’B ’C ’与△ABC 关于直线MN 成轴对称的是( ).11．在平面直角坐标系中，将点A （1，2）的横坐标乘以-1，纵坐标不变，得到点A '，则点A 与点A '的关系是( ).(A)关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C)关于原点对称 (D)将点A 向x 轴负方向平移一个单位得点A ' 12．如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，AC=5，将△ABC 折叠，使点C 与A 重合，得折痕DE ，则△ABE 的周长等于( ).(A)9cm (B)8cm (C)7cm (D)1213．如图，是用平行四边形纸条沿对边AB 、CD 的中点E 、F 所在直线折成的V 字形图案，已知图中∠1=68°，则∠2的度数为( ).(A)56° (B)44° (C)68° (D)52°14．如图，是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠AEB=140°，AC ⊥AE ，∠C=60°，则∠CFD 的度数为( ).(A)140° (B)150° (C)160° (D)170° 15．如图，把矩形ABCD 沿EF 对折，若∠1=50°，则∠AEF 等于( ).(A)115°(B)130°(C)120°(D)65°16如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，若∠BAD ′=20°，则∠C ED′等于( ).(A)40°(B)50° (C)60°(D)70°17．图，将五边形ABCDE 按如图方式折叠，折痕为AF ，点E 、D 分别落在点E '、D '.已知∠AFC=76°，则∠CFD '等于（）.(A)31° (B)28° (C)24° (D)22°FE D C BA F E'D'EDC BACD E BA18．把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．．．．．．．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换．．．．．．过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是( ). (A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴平分 (C)对应点连线被对称轴垂直平分 (D)对应点连线互相平行二．填空题19.把一个图形沿某一条直线_________，如果它能够与另一个图形________，•那么就说这两个图形关于这条直线____________．20. 角的对称轴是 .线段是轴对称图形，有条对称轴，对称轴是 .21.如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做__________． 22.如图，在△ABC 中，AC ＝8cm ，ED 垂直平分AB ，若△EBC 的周长是14cm ，那么BC 的长度为。

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