二次函数测试题及答案

11
二次函数
一、选择题：
1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ）
A. 直线3-=x
B. 直线3=x
C. 直线=x
D. 直线
2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点)
,(a
c
b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数
c bx ax y ++=2，且0<a ，0>+-c b a ，
则一定有（ ） A. 042>-ac b
B. 042=-ac b
C. 042<-ac b
D. ac b 42-≤0
4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是
532+-=x x y ，则有（ ）
A. 3=b ，7=c
B. 9-=b ，15-=c
C. 3=b ，3=c
D. 9-=b ，21=c
5. 已知反比例函数x
k
y =
的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）
O
x
y
O x
y
O x
y
O
x
y
6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数
c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）
O x
y
O
x
y
22
O
x
y
O x
y
B
O x
y
O
x
y
D
7. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ）
A. 2-=x
B. 2=x
C. 1-=x
D. 1=x 8. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ）
A. 2-
B. 2
C. 1-
D. 1
9. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若
c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0<M ，0>N ，0>P C. 0>M ，0<N ，0>P D. 0<M ，0>N ，0<P 二、填空题：
10. 将二次函数322+-=x x y 配方成k h x y +-=2)(的形式，则y =______________________. 11. 已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，那么一元二次方程02=++c bx ax 的根的
情况是______________________.
12. 已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-，则c a +=_________. 13. 请你写出函数2)1(+=x y 与12+=x y 具有的一个共同性质：_______________.
14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：
甲：对称轴是直线4=x ；
乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15. 已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函
数的解析式：_____________________.
2 1 -1 O x
y
33
16. 如图，抛物线的对称轴是1=x ，与x 轴交于A 、B 两点，若B 点坐标是)0,3(，则A 点
的坐标是________________.
O
x
y
A B
1 1
三、解答题：
1. 已知函数12-+=bx x y 的图象经过点（3，2）.
（1）求这个函数的解析式；
（2）当0>x 时，求使y ≥2的x 的取值范围.
2. 如右图，抛物线n x x y ++-=52
经过点)0,1(A ，与y
轴交于点B .
（1）求抛物线的解析式；
（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△P AB 是以AB 为腰
的等腰三角形，试求点P 的坐标.
3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，
下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系）. （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s （万元）与销
售时间t （月）之间的函数关系式； O
x
y
1
-1 B
A
44
（2）求截止到几月累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
提高题
1. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 时，
水面CD 的宽是10m.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥
280km （桥长忽略不计）. 货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行）. 试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？
2. 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套. 经过一段时间的经营发现：当每套机械设
备的月租金为270元时，恰好全部租出. 在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x （元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y （元）.
（1）用含x 的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用； （2）求y 与x 之间的二次函数关系式； （3）当月租金分别为4300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该租
出多少套机械设备？请你简要说明理由；
（4）请把（2）中所求的二次函数配方成a
b a
c a b x y 44)2(2
2-+
+=的形式，并据此说明：
当x 为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？
55
参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案
D
D
A
A
D
D
D
B
D
二、填空题： 1. 2)1(2
+-=x y
2. 有两个不相等的实数根
3. 1
4. （1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）
5. 358512+-=
x x y 或358512-+-=x x y 或178712+-=x x y 或17
8
712-+-=x x y 6. 122
++-=x x y 等（只须0<a ，0>c ） 7. )0,32(-
8. 3=x ，51<<x ，1，4 三、解答题：
1. 解：（1）∵函数12
-+=bx x y 的图象经过点（3，2），∴2139=-+b . 解得2-=b . ∴函数解析式为122
--=x x y .
（2）当3=x 时，2=y . 根据图象知当x ≥3时，y ≥2.
∴当0>x 时，使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3.
2. 解：（1）由题意得051=++-n . ∴4-=n . ∴抛物线的解析式为452
-+-=x x y .
（2）∵点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为)4,0(-. ∴OA =1，OB =4. 在Rt △OAB 中，1722=+=
OB OA AB ，且点P 在y 轴正半轴上.
①当PB =P A 时，17=PB . ∴417-=-=OB PB OP .
66
此时点P 的坐标为)417,
0(-.
②当P A =AB 时，OP =OB =4 此时点P 的坐标为（0，4）.
3. 解：（1）设s 与t 的函数关系式为c bt at s ++=2
，
由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++；5.2525,224,5.1c b a c b a c b a 或⎪⎩⎪
⎨⎧=-=++-=++.0,224,5.1c c b a c b a 解得⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-==.
0,2,21c b a ∴t t s 2212-=.
（2）把s =30代入t t s 2212-=
，得.22
1
302t t -= 解得101=t ，62-=t （舍去） 答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元. （3）把7=t 代入，得.5.107272
1
2=⨯-⨯=s 把8=t 代入，得.168282
1
2=⨯-⨯=
s 5.55.1016=-. 答：第8个月获利润万元.
4. 解：（1）由于顶点在y 轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为10
9
2+=ax y . 因为点)0,25(-
A 或)0,2
5
(B 在抛物线上，所以109)25(·02+-=a ，得12518-
=a . 因此所求函数解析式为10
9125182+-
=x y （25-≤x ≤25
）.
（2）因为点D 、E 的纵坐标为209，所以10912518209+-=，得245
±=x .
所以点D 的坐标为)209,245(-，点E 的坐标为)20
9
,245(.
所以22
5
)245(245=--=DE .
因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.0110022
5
≈=⨯⨯（米）.
5. 解：（1）∵AB =3，21x x <，∴312=-x x . 由根与系数的关系有121=+x x .
∴11-=x ，22=x .
77
∴OA =1，OB =2，2·21-==
a
m
x x . ∵1tan tan =∠=∠ABC BAC ，∴1==OB
OC
OA OC . ∴OC =2. ∴2-=m ,1=a .
∴此二次函数的解析式为22
--=x x y .
（2）在第一象限，抛物线上存在一点P ，使S △P AC =6.
解法一：过点P 作直线MN ∥AC ，交x 轴于点M ，交y 轴于N ，连结P A 、PC 、MC 、NA . ∵MN ∥AC ，∴S △MAC =S △NAC = S △P AC =6. 由（1）有OA =1，OC =2. ∴
612
1
221=⨯⨯=⨯⨯CN AM . ∴AM =6，CN =12. ∴M （5，0），N （0，10）.
∴直线MN 的解析式为102+-=x y .
由⎩
⎨⎧--=+-=,2,1022
x x y x y 得⎩⎨⎧==；4311y x ⎩⎨⎧=-=18,422y x （舍去） ∴在 第一象限，抛物线上存在点)4,3(P ，使S △P AC =6. 解法二：设AP 与y 轴交于点),0(m D （m >0） ∴直线AP 的解析式为m mx y +=.
⎩
⎨
⎧+=--=.,22m mx y x x y ∴02)1(2
=--+-m x m x . ∴1+=+m x x P A ，∴2+=m x P .
O A
B
M x
P
N
y C
88
又S △P AC = S △ADC + S △PDC =P x CD AO CD ·21·21+=)(2
1P x AO CD +. ∴
6)21)(2(2
1
=+++m m ，0652=-+m m ∴6=m （舍去）或1=m .
∴在 第一象限，抛物线上存在点)4,3(P ，使S △P AC =6.
提高题
1. 解：（1）∵抛物线c bx x y ++=2
与x 轴只有一个交点，
∴方程02
=++c bx x 有两个相等的实数根，即042
=-c b . ① 又点A 的坐标为（2，0），∴024=++c b . ② 由①②得4-=b ，4=a .
（2）由（1）得抛物线的解析式为442
+-=x x y . 当0=x 时，4=y . ∴点B 的坐标为（0，4）. 在Rt △OAB 中，OA =2，OB =4，得5222=+=
OB OA AB .
∴△OAB 的周长为5265241+=++.
2. 解：（1）76)34()10
710710(1022++-=--⨯++-⨯=x x x x x S .
当3)
1(26
=-⨯-=x 时，16)1(467)1(42=-⨯-⨯-⨯=
最大S . ∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元.
（2）用于投资的资金是13316=-万元.
经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取A 、B 、E 各一股，投入资金为13625=++（万
元），收益为++=（万元）>（万元）；
另一种是取B 、D 、E 各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）<13（万元），收益为++=（万元）>
（万元）.
3. 解：（1）设抛物线的解析式为2
ax y =，桥拱最高点到水面CD 的距离为h 米，则),5(h D -，)3,10(--h B .
99
∴⎩⎨⎧--=-=.3100,25h a h a 解得⎪⎩⎪⎨⎧
=-=.
1,
251h a
∴抛物线的解析式为2
25
1x y -=.
（2）水位由CD 处涨到点O 的时间为1÷=4（小时）， 货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280， ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车的速度提高到x 千米/时， 当2801404=⨯+x 时，60=x .
∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时. 4. 解：（1）未出租的设备为
10
270
-x 套，所有未出租设备的支出为)5402(-x 元. （2）5406510
1
)5402()1027040(2++-=----=x x x x x y . ∴5406510
12
++-
=x x y .（说明：此处不要写出x 的取值范围） （3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为37套；当月租金为
350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为32套.
因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租32套；
如果考虑市场占有率，应选择出租37套.
（4）5.11102)325(10
1
5406510122+--=++-
=x x x y . ∴当325=x 时，y 有最大值. 但是，当月租金为325元时，租出设备套数为，而不是整数，
故租出设备应为34套或35套. 即当月租金为为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为
1010
二次函数测试题（B ）
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．抛物线y =－3x 2
＋2x －1的图象与坐标轴的交点情况是( ) (A)没有交点． (B)只有一个交点． (C)有且只有两个交点． (D)有且只有三个交点．
2．已知直线y =x 与二次函数y =ax 2
－2x －1图象的一个交点的横坐标为1，则a 的值为( )
(A)2． (B)1． (C)3． (D)4．
3．二次函数y =x 2
－4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为( ) (A)6． (B)4． (C)3． (D)1．
4．函数y =ax 2
＋bx ＋c 中，若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则这个函数图象与x 轴的交点情况是( ) (A)没有交点．
(B)有两个交点，都在x 轴的正半轴． (C)有两个交点，都在x 轴的负半轴．
(D)一个在x 轴的正半轴，另一个在x 轴的负半轴．
5．已知(2，5)、(4，5)是抛物线y =ax 2
＋bx ＋c 上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是( ) (A)x =a
b
． (B)x =2． (C)x =4． (D)x =3．
6．已知函数y=ax 2
＋bx ＋c 的图象如图1所示，那么能正确反映函数y=ax ＋b 图象的只可能是( )
x y
o y x
o
y
x
x
y o
二、填空题(每小题4分，共24分)
7．二次函数y =2x 2
－4x ＋5的最小值是______．
8．某二次函数的图象与x 轴交于点(－1，0)，(4，0)，且它的形状与y =－x 2
形状相同．则这个二次函数的解析式为______． 图1
x
y
o -4-3-2-113
1111
9．若函数y =－x 2
＋4的函数值y ＞0，则自变量x 的取值范围是______．
10．某品牌电饭锅成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下： 定价（元） 100 110 120 130 140 150 销量（个）
80
100
110
100
80
60
为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为 元．
11．函数y =ax 2
－(a －3)x ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么a 的值和交点坐标分别为______．
12．某涵洞是一抛物线形,它的截面如图3所示,现测得水面宽 1.6AB m ,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ,在图中的直角坐标系内,涵洞所在抛物线的解析式为________.
三、解答题(本大题共52分)
13．（本题8分）已知抛物线y =x 2
－2x －2的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，求过A 、B 两点的直线的解析式．
14．（本题8分）抛物线y =ax 2
＋2ax ＋a 2
＋2的一部分如图3所示，求该抛物线在y 轴左侧与x 轴的交点坐标．
1212
15．（本题8分）如图4，已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ＞0)的顶点是C (0，1)，直线l ：y ＝－ax ＋3与这条抛物线交于P 、Q 两点，且点P 到x 轴的距离为2．(1)求抛物线和直线l 的解析式；(2)求点Q 的坐标．
16．（本题8分）工艺商场以每件155元购进一批工艺品．若按每件200元销售，工艺商场每天可售出该工艺品100件；若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？
17．(本题10分)) 杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第1个
月到第x 个月的维修保养费用累计为y (万元)，且y =ax 2
＋bx ；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g (万元)，g 也是关于x 的二次函数．
(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元．求y 关于x 的解析式； (2)求纯收益g 关于x 的解析式；
(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？ 图4
P Q
y
x
O
图3
y
x
O
1
1313
18（本题10分）如图所示，图4-①是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱A 3B 3=50m ，5根支柱A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3、A 4B 4、A 5B 5之间的距离均为15m ，B 1B 5∥A 1A 5，将抛物线放在图4-②所示的直角坐标系中． (1)直接写出图4-②中点B 1、B 3、B 5的坐标； (2)求图4-②中抛物线的函数表达式； (3)求图4-①中支柱A 2B 2、A 4B 4的长度．
四、附加题（本题为探究题20分，不计入总分）
19、 (湘西自治州附加题，有改动)如图5，已知A (2，2)，B (3，0)．动点P (m ，0)在线段OB 上移动，过点P 作直线l 与x 轴垂直．
(1)设△OAB 中位于直线l 左侧部分的面积为S ，写出S 与m 之间的函数关系式；
(2)试问是否存在点P ，使直线l 平分△OAB 的面积？若有，求出点P 的坐标；若无，请说明理由．
图5 P
y
x
O A
B 图4-②
B 1
B 3
B 5y
x
O
图4-①
B 5
B 4
3
B 2
B A 5
A 4
A 31
A 230m
1414
参考答案
一、1．B 2．D 3．C 4．D 5．D 6．B
二、7．3 8．y =－x 2
＋3x ＋4 9．－2＜x ＜2 10．130 11．a =0，(13-，0)；a =1，(－1，0)；a =9，(1
3
，0) 12．2
154
y x =-
三、
13．抛物线的顶点为(1，－3)，点B 的坐标为(0，－2)．直线AB 的解析式为y =－x －2
14．依题意可知抛物线经过点(1，0)．于是a ＋2a ＋a 2
＋2=0，解得a 1=－1，a 2=－2．当a =－1或a =－2时，求得抛物线与x 轴的另一交点坐标均为(－3，0)
15．(1)依题意可知b =0，c =1，且当y =2时，ax 2
＋1=2①，－ax ＋3=2②．由①、②解得a =1，x =1．故抛物线与直线的解析式分别为：y =x 2＋1，y =－x ＋3；(2)Q (－2，5)
16．设降价x 元时，获得的利润为y 元．则依意可得y =(45－x )(100＋4x )=－4x 2
＋80x ＋
4500，即y =－4(x －10)2
＋4900．故当x =10时，y 最大=4900(元)
17．(1)将(1，2)和(2，6)代入y =ax 2＋bx ，求得a =b =1．故y =x 2
＋x ；(2)g =33x －150－y ，
即g =－x 2＋32x －150；(3)因y =－(x －16)2
＋106，所以设施开放后第16个月，纯收益最大．令g =0，得－x 2
＋32x －150=0．解得x =16106x ≈16－=(舍去．当x =5时，g ＜
0， 当x =6时，g ＞0，故6个月后，能收回投资
18．（1）1(30)B -，0，3(030)B ，
，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，
把3(030)B ，
代入得(030)(030)30y a =-+=． 1
30
a =-
∴． ∵所求抛物线的表达式为：1
(30)(30)30
y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145
(1530)(1530)302
y =--+=
．
1515
3350A B =∵，拱高为30，
∴立柱444585
20(m)22
A B =+=． 由对称性知：224485
(m)2
A B A B ==．
四、
19．(1)当0≤m ≤2时，S =
212m ；当2＜m ≤3时，S =12×3×2－1
2
(3－m )(－2m ＋6)=－m 2
＋6m －6．(2)若有这样的P 点，使直线l 平分△OAB 的面积，很显然0＜m ＜2．由于△OAB 的面积等于3，故当l 平分△OAB 面积时，S =
32．213
22
m =∴．解得m 3P 点，使l 平分△OAB 的面积．且点P 的坐标为30)．。