弹性力学-第八章 平面问题的极坐标解答

(2) 只有环向变形，无径向变形。 O
径向线段PA的相对伸长：
r2
PA PA PA
dr dr 0 dr （f）
径向线段PA的转角：
2
u
u dr r
dr
u
y
u r
d
B
B
rP
2
P
dr
u
2 A
x
A
u
（g） u
u
d
u r
dr
环向线段PB的相对伸长：
2
PB PB PB
BB PP PB
u
u d rd
O
r
d r r
rd B
Pr x
(r dr)d
dr
fr f
A
r
r
r
dr
BC面
d
r
r
d
y
d
应力正向规定：
C
r
r
r
d
r
r
dr
AC面
r
r
r
dr
正应力 —— 拉为正，压为负；
剪应力 —— r、θ的正面上，与坐标方向一致
r
r
r
dr
时为正；
r、θ的负面上，与坐标方向相反
时为正。
第八章 平面问题的极坐标解答 §8-1 基本方程
1 r
)
e2 (sin
r
cos
1 r
)
(e1
cos
e2
sin
)
r
(e1
sin
e2
cos )
1 r
er
r
e
1 r
即
er
r
e
1 r
(8.1)
Laplace算子
2
2
r 2
1 r
r
1 r2
2
2
(8.2)
B.极坐标下的几何方程
极坐标中的位移
u urer ue
(8.3)
ur 径向位移
u
环向位移
第八章 平面问题的极坐标解答 §8-1 基本方程
2. 平衡微分方程
O
考虑微元体平衡（取厚度为1）：
Fr 0, rrd
( r
sin d d
22 rdr (r
dr
ur
dr
ur r
（a） ur
ur
d
(r ur )d
径向线段PA的转角： 1 0
线段PB的相对伸长： 1
（b）
PB PB (r ur )d rd
PB
rd
ur （c） r
环向线段PB的转角：
tan 1 1
BB PP PB
(ur
ur
d )
ur
rd
1 ur （d）
r
第八章 平面问题的极坐标解答 §8-1 基本方程
求导
(e) (f)
e de
百度文库
er der e
er
e
,
e
er
,
er 0 , r
e 0 r
(g)
e2 O
d r
e1
er
利用式(d)和式(f),则二维梯度算子
x (Hamilton算子)在极坐标中的表达式
图8.1
第八章 平面问题的极坐标解答 §8-1 基本方程
e1
x
e2
y
e1(cos
r
sin
径向线段PA的相对伸长：
ur
r1
r （a）
径向线段PA的转角：
1 0
（b）
环向线段PB的相对伸长：
1
ur r
（c）
O
d
r
P
ur
dr P
x
A
ur
ur r
A
B
1
y
B
ur
ur
d
(r ur )d
环向线段PB的转角：
1
1 ur
r
（d）
剪应变为：
r1 1 1
1 ur
r
（e）
第八章 平面问题的极坐标解答 §8-1 基本方程
u
1 u
r
（h）
环向线段PB的转角：
剪应变为： r 2
2 2
2
u
r
u
u
r r
（i）
（j）
第八章 平面问题的极坐标解答 §8-1 基本方程
(3) 总应变
r r1 r2
ur r
0
ur r
1
2
ur r
1 r
u
r r1 r 2
1 r
ur
u r
u r
整理得：
r
ur r
位移的左梯度
u
(er
r
e
1 r
) (urer
u e
)
ur r
er
er
u r
er
e
(1 r
ur
u r
)e
er
(1r
u
ur r
)e
e
(h)
应变张量
ε
1 2
利用
(u u) rer
u (u)T
er rer e
r
ur r
re
er
e e
(8.4)
从式(h)和式(8.4)得几何关系
σ
f
(r
r
1 r
r
r
r
fr )er
( r
r
1 r
2 r
r
f )e
0
r
r
1 r
r
r
r
fr
0
r
r
1 r
2 r
r
f
0
(8.8)
第八章 平面问题的极坐标解答 §8-1 基本方程
直接推导极坐标的平衡方程
1. 极坐标中的微元体
体力： fr , f
应力：
PA面 ,r
PB面 r , r
1 r
u
ur r
r
1 ( u 2 r
1 r
ur
u r
)
(8.5)
第八章 平面问题的极坐标解答 §8-1 基本方程
直接推导 几何方程
O
(1) 只有径向变形，无环向变形。
径向线段PA的相对伸长：
r1
PA PA AA PP
PA
PA
y
d
r
P
ur
dr P
x
A
ur
ur r
dr
A
B
1
B
ur
ur r
ur r
1 r
u
r
1 r
ur
u r
u r
（8.5）
—— 极坐标下的几何方程
r
1 2
r
第八章 平面问题的极坐标解答 §8-1 基本方程
C.极坐标下的平衡方程
体积力矢量
f frer fe
(8.6)
σ rer er + rer e +re er + e e (8.7) 剪应力互等定理 r r 极坐标下的平衡方程
r
sin
1 r
x
y
r y
r
y
sin
r
cos
1 r
图8.1
(d)
第八章 平面问题的极坐标解答 §8-1 基本方程
2
y2
y
( y
)
(sin
r
cos
1 r
)(sin
r
cos
1 r
)
sin2
2
r 2
sin
2
1 r
2
r
cos2
1 r
r
又
y
sin 2
1 r2
cos2
1 r2
2
2
er e1 cos e2 sin , e e1 sin e2 cos
主 要内容
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6 §8-7 §8-8 §8-9
基本方程 平面轴对称应力问题 内外壁受均布压力作用的圆筒或圆环板 匀速转动的圆盘 曲梁的纯弯曲 曲梁一端受径向集中力作用 圆孔对应力分布的影响 集中力作用于全平面 在顶端受集中力或集中力偶作用的楔形体
第八章 平面问题的极坐标解答 §8-1 基本方程
§8-1 基本方程
A.直接坐标与极坐标间的关系
如图8.1 x r cos , y r sin
(a)
r x2 y2 , arctg y
x
(b)
y
r x
cos
,
r sin
y
e de er der
sin
,
x
r
cos
y r
(c)
e2 O
d r
e1
e
er
x
r x
r
x
cos
弹性力学 主讲 邹祖军 第八章 平面问题的极坐标解答
第八章 平面问题的极坐标解答
要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程： —— 平衡方程、几何方程、物理方程、
相容方程、边界条件。
（2）极坐标中平面问题的求解方法 及应用
应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半 无限平面体等的应力与变形分析。
弹性力学 主讲 邹祖军 第八章 平面问题的极坐标解答