几何与代数-二次型二次曲面
二次型与二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例5. 用配方法化f =x123x222x1x26x2x3+2x1x3 为标准形, 并求所用的可逆线性变换. 解: f = x123x222x1x26x2x3+2x1x3 = [x12 2x1(x2 x3) + (x2 x3)2] (x2 x3)2 3x22 6x2x3 = (x1 x2 + x3)2 (2x2 + x3)2 = y12 y22
§6.1 二次型
二. 化二次型为标准形 1. 矩阵的合同 A与B相合或合同 (记为 A B): 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 注: (1) A B A B. (2) 反身性: A A. ETAE = A
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
二. 化二次型为标准形 1. 矩阵的合同 A与B相合或合同 (记为 A B): 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 注: (1) A B A B. (2) 反身性: A A. (3) 对称性: A B B A. PTAP = B (P 1)TBP 1 = A
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
回忆
定理5.7. AT = A Mn(R) 正交矩阵Q使得 Q1AQ = QTAQ是对角矩阵.
|EA| = 0 特征值 正交化 (EA)x = 特征向量
Q
单位化
定理6.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
最大值为4, 最小值为2.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
3. 用配方法化二次型为标准形
第六章 二次型与二次曲面(2)
代 入 f 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3 ,
得 f 2y122y224y1y38y2y3
2y124y1y32y322y322y228y2y3
2(y1y3)22(y224y2y34y32)6y32
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32.
证:
f X T AX 为负定的
f 为 正 定 的 X T ( A)X 为 正 定 的 A的 各 阶 顺 序 主 子 式
a11 a12 a21 a22
a1k
a2k ( 1) k k 0 (1 k n )
ak1 ak2
akk
判 断 二 次 型 为 正 定 (负 定 )的 方 法 ： 1 . 通 过 A的 特 征 值 2 . 通 过 A的 顺 序 主 子 式 3 . 定 义
p1 p1
d
pq
y
2 pq
其中： p q R( A) r， d j 0 ( j 1, 2, , p q)
再令
yj
1 dj zj
( j 1, 2, , p q)
得二次型 f 惟一的的规范形 ：
f z1 z p z p1 z pq
定义2.1 二次型 f (x1, x2, , xn ) X T AX，
x2 ( a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn ( an1 x1 an 2 x2 ann xn )
( x1, x2 ,
a11x1 a12 x2
,
xn
)
a 21x1
a 22 x2
a n1x1 a n2 x2
a1n xn
a 2n xn
ann xn
a11 a12
( x1, x2 ,
二次型与二次曲面
第七章 二次型与二次曲面二次型的定义定义：n 个变量n ,x ,,x x 21的二次齐次多项式()ji ij n i nj j i ij n a a ,x x a ,x ,,x x Q ==∑∑==1121称为n 元二次型或二次形式。
当系数ij a 取实数时，称为实二次型；ij a 取复数时，称为复二次型。
例：()3221213213x x x x x ,x ,x x Q +-=例：()233221213212x x x x x x x ,x ,x x Q ++-=()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++++++++===∑∑==n nn n n n n n nnn n n n n nn n n ji ij n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a ,x ,,x x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a ,x x a ,x ,,x x Q 212122221112112122211222222122111211221111121令()()TijTn A A a ,A ,x ,,x x x ===则,21 ，且二次型可表示为 ()Ax x ,x ,,x x Q Tn = 21，称A 为二次型的矩阵。
()x x x x x x x ,x ,x x Q T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=02302302102113322121321 例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A 为实对称矩阵，且r (A )=n .()∑∑===n i nj j i ij n x x |A|A ,x ,,x x Q 1121矩阵的相合设n n ,β,,ββ,,α,,αα 2121是n 维线性空间V 的两组基，这两组基的过渡矩阵为P ，即()()P ,α,,αα,β,,ββn n 2121= 设向量V ∈α在两组基下的坐标分别为()()Tn Tn ,y ,,y y ,y ,x ,,x x x 2121==则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）：x P y Py x 1-==或。
几何与代数二次型(微改2)
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
命题1 命题1.二次型 f =d1y12+d2y22+…+dnyn2是正定的 +…+d 全大于零. 当且仅当 d1, d2, …, dn全大于零. 命题1’. diag{d 命题1’. diag{d1, …, dn}正定⇔ ∀ i, di > 0. 正定⇔ 0 d1
1 3 2
1 2 9 3 8 2 3 3
8 3
2 3
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
y1 = x1 y2 = x2 + 1 x3 3 y = x 3 3
1 0 0 y = 0 1 1/3 x. 0 0 1
P
1 x= 0 0
0 0 1 -1/3 y. 0 1
第六章 二次型与二次曲面
B= PTAP
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
定理6.1. 定理6.1. 设n阶实对称矩阵A与对角阵合同. 阶实对称矩阵A与对角阵合同.
Q为正交阵， 为正交阵，
λ1
QT = Q-1
Q-1AQ=
λn
进一步， 推论 可得 阶实对称矩阵A 可得n 进一步，由推论6.2可得n阶实对称矩阵A与 下列对角阵合同 Ep ( p,q分别为 的 分别为A的 分别为 −Eq 正负惯性指数 ) O
2 2 2 =4x1 +3( x2 + 2 x2 x3 + x3 ) 3
=4x +3[( x + x2 x3 + x )− x ]+3x
2 1 2 2 2 3 1 9 2 3 1 9 2 3
2 3
=4x +3( x + x2 x3 + x )+ x
第六章 二次型与二次曲面
从而得特征值： 1 9, 2 3 18. 2．求特征向量 将1 9代入 E A X 0, 得基础解系
X1 (1, 2, 2) .
T
将2 3 18代入 E A X 0, 得基础解系
X 2 (2,1,0) ,
T
X 3 (2,0,1) .
i 1 j 1
n
n
矩阵表示： f ( x1 , x2 , , xn ) x1 (a11 x1 a12 x2
a1n xn ) a2 n xn ) ann xn )
a1n xn a2 n xn ann xn
x2 (a21 x1 a22 x2 xn (an1 x1 an 2 x2
X T AX
a11 a12 a a22 21 , xn ) an1 an 2
a1n x1 a2 n x2 ann xn
对称矩阵A : 二次型 f 的矩阵 二次型 f : 对称矩阵 A 的二次型
例 写出二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x2 3x3 4 x1 x2 6 x2 x3
证：
f ( x1 , x2 , , xn )的矩阵A为实对称矩阵， 由第五章的定理3.6知，存在正交矩阵C , 使得 C 1 AC C T AC diag (1 , 2 , , n )
其中，1 , 2 ,
, n 为实对称矩阵 A的 n个特征值； ,n
C的 n个列向量是A 的对应于特征值 1 , 2 , 的 n个单位正交特征向量。
2 a22 x2 +2a23 x2 x3
2a1n x1xn 2a2 n x2 xn
二次型与二次曲面的关系
二次型与二次曲面的关系1. 引言1.1 概述二次型与二次曲面是数学中重要的概念，它们在代数和几何中发挥着重要的作用。
二次型是一类与二次多项式相关的函数形式，而二次曲面则是由二次方程定义的特定类型的曲线。
本文将探讨二次型与二次曲面之间的关系，并研究它们的特征和性质。
1.2 研究背景随着代数学和几何学的发展，人们对于函数和曲线的研究越来越深入。
而对于二次型和二次曲面的分析更是成为了这个领域中不可忽视的一部分。
通过研究二次型与二次曲面之间的联系，我们可以深入理解它们各自所具有的特征，并且可以推广到更为复杂和抽象的情况。
1.3 目的与意义本文旨在介绍并探讨二次型和二次曲面之间存在的联系，以及它们各自所具有的特征和性质。
通过对这两个概念进行详细阐述和比较分析，读者将能够更加全面地理解它们在数学中的重要性和实际应用。
此外，文章还将对可能未涉及到的研究方向进行简要展望，以期激发更多的学者和研究者对该领域问题的兴趣和探索。
2. 二次型的基本概念:2.1 二次型的定义:在线性代数中，二次型是指包含平方项和交叉乘积项的多元变量的多项式。
具体而言，对于$n$个变量$x_1, x_2, \ldots, x_n$，一个二次型可以表示为如下形式的多项式：$$Q(x)=a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3+\ldots+ 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$$其中，$a_{ij}$是实数系数$(i,j=1, 2, ..., n)$。
二次型可以看作是一个与欧几里得空间中的点对应的实值函数。
它在数学和工程领域中具有广泛的应用，在统计学、物理学、经济学等学科中也有重要意义。
2.2 二次型矩阵表示:每个二次型都可以通过一个对称矩阵来表示。
对于给定的$n$维向量$\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$，可以将其与一个对称矩阵$\mathbf{A}$相乘得到相应的二次型：$$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \cdot \mathbf{A} \cdot \mathbf{x} $$其中，$\mathbf{A}$的元素$a_{ij}$表示二次型中$x_i$和$x_j$的系数。
线性代数二次型与二次曲面4
若二次曲面的方程不是标准方程，要通过 正交变换和平移变换把一般二次方程化为 标准方程，从而知道其图形。
第六章 二次型与二次曲面
一般三元二次方程的化简
§6.4 二次曲面
a1114x
244a224y
2
4
4a343
z43 422a412
z2 c2
=
1
z = 0,
x2 a2
+
y2 b2
=
1
双曲线 椭圆
b x aO y
z = h,
x2 a2
+
y2 b2 =
1+
h2 c2
第六章 二次型与二次曲面
双叶双曲面
§6.4 二次曲面
x2 a2
+
y2 b2
z2 c2
= 1 (a>0, b>0, c>0)
z
x = 0,
y2 b2
z2 c2
21 0 解: f(x, y, z)的矩阵A = 1 1 k/2 ,
0 k/2 1
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
上述方程表示一个椭球面A正定,
而P1 = 2 > 0,
P2 =
2 1
1 1
=
1
>
0,
P3 = |A| = 1k2/2.
由此可得, 2 < k < 2 时, 原方程表示一
个椭球面.
二次型
x4y4
24a143
x4z
4
24a2343yz
二次型与二次曲面
f = 4y12 +4y22 2y32.
x12+x22+x32 = 1 可化为y12+y22+y32 = 1, 此时 f = 4y12 +4y22 2y32
= 4(y12 +y22 +y32) 6y32 = 4 6y32 = 6(y12 +y22) 2(y12 +y22 +y32) = 6(y12 +y22) 2 最大值为4, 最小值为2.
§6.1 二次型
f(x1, x2, …, xn) = xTAx
x = Qy (Qy)TA(Qy) = yT(QTAQ)y
1 0 … 0 y1
= (y1, y2, …, yn)
0 …
2
…
…0 ……
y2 …
0 0 … n yn
= 1y12 + 2y22 + … + nyn2
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
]
3
x32
4
x12
3(
x22
2 3
x2
x3
1 9
x32
)
8 3
x32
4
x12
3(
x2
1 3
x3
)2
8 3
x32
令
y1 y2
x1 x2
1 3
x3
则 f =4y12+3y22+(8/3)y32.
y3 x3
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例4. 用配方法化f =x123x222x1x26x2x3+2x1x3
第六章 二次型与二次曲面
二、线性变换
在平面解析几何中，为了确定二次方程
ax 2bxy cy d
2 2
所表示的曲线的性态，通常利用转轴公式：
x x cos y sin y x sin y cos
选择适当的 ，消去交叉项,可使上面的方程化为
ax 2 by 2 d , 上述 x , y 由 x , y 的线性表达式给出，通常称为
a22 x 2a23 x2 x3 2a2 n x2 xn
2 2
f ( x1 , x2 , , xn ) 2 a11 x1 a12 x1 x2 a13 x1 x3 a1n x1 xn
2 a21 x2 x1 a22 x2 a23 x2 x3 a2 n x2 xn
n
n
记
a11 a 21 A a n1
a12 a1n a22 a 2 n , an 2 ann
T
x1 x2 X , x n
则上述二次型可以用矩阵形式表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX ,
2 a nn x n
2 an1 xn x1 an 2 xn x2 ann xn
2014-1-23 南京邮电大学 邱中华
a
i 1 j 1
n
n
ij
xi x j ,
4
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
i 1 j 1
例1 用正交变换将二次型 2 2 2 f 17 x1 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 化为标准形，并求所作的正交变换。 二次型的矩阵
几何与代数
1 0 0
0 1/2 1 1/2 0 0
对应于 = 2的一个特征向量：1 = (1, 1, 2)T，
1 1 2 4E–A = 1 1 2 2 2 4
初等 行变换
1 1 2 0 0 0 0 0 0
对应于 = 4的一个特征向量：2 = (0, 2, 1)T， 1 1 2 再解线性方程组 0 2 1
4 x 3[( x2 x3 ) x ] 3 x
2 1 1 3 2 1 9 2 3
2 3
2 2 8 2 4 x1 3( x2 1 x ) 3 3 3 x3
y1 x1 2+3y 2+(8/3)y 2 则 f =4 y 1 2 3 1 令 y2 x 2 3 x 3 1y y 可逆线性变换为 x =P x 3 3
第六章二次型与二次曲面
§6.1 二次型
一. 二次型及其矩阵表示
n元实二次型 f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an1,nxn1xn 设 aij = aji f(x1, x2, …, xn) = aijxixj
… … … …
0 0 … kn
y1 T y = y y2 … yn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二次型 可逆线性变换
标准形
即寻求可逆的线性变换x = Py，使得
f(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y = yTy = g(y) 寻求可逆矩阵P，使得
k1 0 T P AP = = … AT = A 0 0 k2 … 0 … … … … 0 0 … kn
几何与代数-二次型
1 = [1, 1, 0]T, 为了求对应于 = 4 的另外一个与 1 正交
的特征向量, 再解方程组
1 1
1 1
2 0
x=
得2 = [1, 1, 1]T . (此处求法比较特别)
此外A的对应于特征值 = –2的一个特征
向量为3 = [1, 1, –2]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 4E–A = 1
2
1 1 2
2 2 4
初等 行变换
1 1 2 00 0 00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特
征向量: 1 = [1, 1, 0]T,
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
1 1 2 初等 1 1 2
4E–A = 1 1 2 行变换 0 0 0
2 2 4
00 0
由此可得A的对应于特征值 = 4的一个特征向量:
aij = aji
n
aijxixj
i, j =1
第六章 二次型与二次曲面
A的二次型
§6.1 二次型
f 的秩: r(Af))
n
f(x1, x2, …, xn) = aijxixj
i, j =1
a11 a12 … a1n
A=
a21 a22 … a2n …………
an1 an2 … ann
x1
x=
x2 …
§6.1 二次型
定义: 对于方阵A, B(未必是实对称), 若存在可
逆矩阵P, 使得PTAP = B, 则称A与B合同，
记为A ~B.
易见, 矩阵间的合同关系满足
(1) 反身性: A ~A; (2) 对称性: A ~B B ~A; (3) 传递性: A ~B, B ~C A ~C. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系.
线性代数之二次曲面PPT课件
的方向为z 轴的正向.取t 为参数,
t 0时, 点M位于A(a,0,0)处. 经过
时间t, 动点运动到Mt(x,y,z).
设M '为 M t在xoy面上的投影
M'(x, y,0)， AOM't
于是xyaacsoins((tt))
.
A
O。 M t
M'
x
y
27
xacos(t) 该曲线参数方程为:yasin(t)
8.4 空间中的曲面与曲线
曲面(曲线)方程: 1. 曲面(曲线)上的任一点的坐标都满足该
方程. 2. 坐标满足方程的点都在该曲面(曲线)上.
.
1
这一节我们主要研究： 1. 球面 2. 柱面 3. 旋转曲面
一 、 空 间 曲 线 的 一 般 方 程 4.空 间 曲 线 二 、 空 间 曲 线 的 参 数 方 程
zvt
称 此 曲 线 为 螺 旋 线
.
28
三、空间曲线在坐标面上的投影
投 影 曲 线设 C 是 一 条 空 间 曲 线 , 是 一 个 平 面 , 以 C 为 准 线 ,作 母 线 垂 直 与 的 柱 面 ,称 该 柱 面 与 平 面 的 交 线 为 C 在 平 面 上 的 投 影 曲 线 ,简 称 投 影 .
解：z不动，用 x2y2替代zky中的y得
z
zk x2 y2
即
x2 y2
z2 k2
0
o
圆锥面：直线L绕另一条与L相交的直
y
半 顶 角 ： 两 线直 旋线 转的 夹 一角 周 所（ 得0 的 旋转 面） x 2
.
16
.
17
例 求 双 曲 线 a x2 2b z2 2 1绕 x轴 旋 转 一 周 所 得 曲 面 的 方 程 y0
二次型与二次曲面
于是上述二次型可以写成如下求和形式
2020/10/14
南京邮电大学 邱中华
3
f ( x1 , x2 ,, xn )
a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
a22 x22 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn
f ( x1 , x2 ,, xn )
2020/10/14
南京邮电大学 邱中华
6
例1 设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 x22 x32 2 x1 x2 4 x1 x3 6 x2 x3
求二次型的矩阵A和二次型的秩。
解
2 1 2
A 1 1 3 ,
2 3 1
2 1 2 1 1 3 1 1 3 A 1 1 3 0 1 4 0 1 4 ,
a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
a22 x22 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn
ann xn2
由于 xi x j x j xi ，具有对称性，若令a ji aij ，i j ，则
2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ，i j ，
2 3 1 0 1 7 0 0 1
所以r(A) = 3，即二次型的秩等于3。
2020/10/14
南京邮电大学 邱中华
7
例2 求二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) (a1 x1 a2 x2 a3 x3 )2
的矩阵A和二次型的秩，其中 a1, a2 , a3 不全为零。
解 f ( x1 , x2 , x3 ) (a1 x1 a2 x2 a3 x3 )2
a1 2
七章二次型与二次曲面
其中 B CT AC ，即 A 与 B 合同，B 仍是对称阵. 所以经可逆线性变换后，二次型的对应矩阵是合同的. 也可以说：合同的矩阵是同一二次型关于不同变量的矩阵 [我们教材是将变量看成 Rn 个基下的坐标，C 是一个基到 另一个基的过渡矩阵，合同阵是不同基下的矩阵].
4
A 的特征值是 0, 3, 4，与 A 既相似又合同的矩阵是
3
，所以应选（D）.
0
7.2 化实二次型为标准 1．标准二次型：只含有平方项的二次型 α1y12 α2 y22
称为 n 元二次型的一个标准型. 不惟一. 线性变换为
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn
f
X T AX
(
x1,x2,x3)
1
0
1
x2
x12
2x1x2
2x2 x3
x32
0 1 1 x3
7.1.2 合同矩阵
1．定义7.2（合同）二个 阶方阵 和 ， 可逆阵
，使
，则称 与 合同（Congruent）记成 .
矩阵合同的定义与矩阵相似的定义很相似，也是 阶方
an1xn x1 an2 xn x2 ann xn2 a11x12 2a12 x1x2 2a1n x1xn
a22 x22 2a23x2 x3 2a2n x2 xn ann xn2
称为 n 元二次型，简称二次型.
当aij 为实数时，称 f为实二次型，aij 为复数时 f 为复二次 型，本书只讨论实二次型．
8.二次型与二次曲面解读
.
z
得旋转锥面
y
y2 z2 k 2 x2
.
L (母线) 3.柱面: 沿一条定曲线C(准线)平行移动的直线 z
扫过的曲面叫做柱面.
M (x,y,z)
母线
S
0
y
f ( x,y )=0 z=0
x 准线
N (x, y, 0)
M(x,y,z) S
f (x,y)=0 (母线∥ z轴)
x
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S M(x,y,z) S f (y1, z1)=0
P
N (0, y1 , z1 )
S
M (x,y,z)
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S C
o
y
2.旋转曲面: 平面曲线C(母线)绕同平面定直线L (准线)
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.
z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕 z 轴旋转一周得 旋转曲面 S
.
C
o
y
o
y
x
(3).抛物柱面
z y
y 2 2 px
o
x
球面、旋转曲面、柱面
A( x2+y2+z2) +B x +Cy +Dz +F =0 x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b b x2 y2 z2 + 2 - 2 =1 2 a a b x2 + y2 = 2pz x2 y2 + 2 =1 2 a b y2 = 2px
线性代数与解析几何——二次型与二次曲面
x2
c21 y1
c22
y2
xn cn1 y1 cm2 y2
简记为 x = C y ，
c1n yn , c2n yn ,
于是
f = xTAx = (C y)T A (C y)
cnn yn .
= yT (CTAC) y
使二次型只含平方项，即
f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2
如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值,
即
f = k1 y12 + … + kp yp2 − kp+1 yp+12 − … − kr yr2
则上式称为二次型的规范形．
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P −1AP = B ，
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2
n
aij xi x j i, j1
ann xn2
f ( x1, x2 ,
, xn ) ax111(xa1211x1a12 ax12xx22 aa1n1nxx1nx)n ax221(xa22x1 x1 1aa222x2 x22 2 aa2n2xn x2 xn )n
2(z1 z3 )2 2(z2 2z3 )2 6z32 ,
将线性变换 代入上式得到
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
f ( x1, x2 , x3 ) 2 y12 2 y22 6 y32 .
将上面的两个线性变换复合起来:
x1 x2
z1 z1
z2 z2
,
第六章 二次型与二次曲面2
x 1 y 与对角阵相合, 则(x, 1 2 0
y) = (1, 2)
等价关系汇总
相合的实对称阵的最简形: PTAP = Eq 不变量: 秩;正负惯性指数 O 实对称阵相合 正负惯性指数相同 规范形相同 相似的不变量: 秩; 特征值, 迹, 行列式 四种等价关系之间的相互关系 相抵 相 似 正交 相似 相 合
例10. 设A是正定的n阶实对称矩阵, 证明A+E的 n 迹大于n. A 2E 2 证明2: 因为A是正定的n阶实对称矩阵, 所以A的n个特征值1, …, n均大于零. 设QTAQ = Q1AQ = =
1
n
n
,
则Q1(A+E)Q = +E, tr A E i 1 n
2 t 4 t 2 0 1 2 0, 2 t 2 2 3 A (2 2t )(2 t ) 0 2 4 t 0, 即 2 t 2, 当 -2< t <1 t 1, 时A正定. 2 2t 0,
例13 设ARmn, 证明ATA正定 r(A)=n. 证 若ATA正定,则 |ATA| > 0, n = r(ATA) r(A) n, r(A)=n. 由(ATA)T=ATA知ATA是n阶实对称阵,
三. 用配方法化实二次型为标准形 仿射变换时几何 形状可能改变
n
可逆线性变换下的不变量： r(f), p(f),q(f) 标准形不唯一，但规范形唯一. 2 2 f y1 y 2 y 21 yr2 0 yr21 0 yn p p
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
可逆线性变换 标准形 AT = A 实二次型
二次型与二次曲面的关系知乎
二次型与二次曲面的关系知乎二次型与二次曲面是数学中重要的概念，在代数学和几何学中都有广泛的应用。
二次型是一个关于n个变量的二次齐次多项式，它在代数学中有着重要的作用，而二次曲面则是由一个二次方程定义的曲面，在几何学中有着重要的应用。
本文将从二次型和二次曲面的定义、性质和应用等方面进行介绍。
1.二次型的定义和性质1.1二次型的定义二次型是一个关于n个变量的二次齐次多项式，一般可以表示为：f(x1, x2, ..., xn) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 +2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ... + 2ann-1x(n-1)xn其中，a11, a22, ..., ann是系数，称为二次型的系数，x1,x2, ..., xn是变量。
二次型可以用矩阵的形式表示为：f(x) = x^TAx其中，x是一个列向量，A是一个对称矩阵，它的元素aij就是二次型中xixj的系数。
二次型的系数矩阵A是对称矩阵，这是因为交换变量的顺序不会改变二次型的值，即f(x) = f(σ(x))，其中σ是一个置换。
1.2二次型的性质二次型具有一些重要的性质：（1）对称性：二次型的系数矩阵A是对称矩阵，即aij=aji。
（2）正定性：如果对任意非零向量x，都有x^TAx>0，那么称二次型f(x)是正定的。
正定二次型在优化问题和矩阵理论中有着重要的应用。
（3）负定性：如果对任意非零向量x，都有x^TAx<0，那么称二次型f(x)是负定的。
负定二次型在研究极值问题和矩阵理论中也有着重要的应用。
（4）半正定性和半负定性：如果对任意非零向量x，都有x^TAx≥0或x^TAx≤0，那么称二次型f(x)是半正定的或半负定的。
（5）非负定性：如果对任意向量x，都有x^TAx≥0，那么称二次型f(x)是非负定的。
二次型的正定性、负定性、半正定性和半负定性都与它的系数矩阵A的特征值有关，因此研究二次型的特征值是十分重要的。
二次型与二次曲面的关系知乎
二次型与二次曲面的关系知乎二次型与二次曲面是线性代数和几何学中重要的概念，它们之间有着密切的关系。
在本文中，我们将讨论二次型和二次曲面的定义、基本性质以及它们之间的关系。
我们将从二次型和二次曲面的定义开始，然后讨论它们之间的关系，最后总结全文的内容。
**一、二次型的定义和基本性质**在线性代数中，二次型是一个定义在n维向量空间V上的二次齐次函数，通常记作Q(x)，其中x是V中的一个向量。
二次型通常表示为Q(x)=x^TAX，其中A是一个对称矩阵。
二次型的基本性质包括对称性、正定性和二次型矩阵的特征值。
1.对称性：由于A是对称矩阵，所以二次型Q(x)具有对称性，即Q(x)=Q(x^T)。
2.正定性：如果二次型Q(x)对于V中的任意非零向量x都有Q(x)>0，则称其为正定的二次型。
同样地，如果Q(x)对于任意非零向量x都有Q(x)<0，则称其为负定的二次型。
3.二次型矩阵的特征值：二次型的矩阵A的特征值提供了有关二次型行为的重要信息。
特征值为正的情况对应正定二次型，特征值为负的情况对应负定二次型，特征值为零的情况对应半正定或半负定的情况。
**二、二次曲面的定义和基本性质**在几何学中，二次曲面是一个定义在三维空间中的曲面，通常表示为F(x,y,z)=0。
二次曲面的基本性质包括轴、实轴、非退化性和标准化等。
1.轴：二次曲面的轴是通过曲面的中心且与曲面的任意切线垂直的直线。
轴可以是实轴或虚轴。
2.实轴和虚轴：如果二次曲面的轴是实轴，那么它是一个实二次曲面；如果二次曲面的轴是虚轴，那么它是一个虚二次曲面。
3.非退化性：二次曲面是非退化的，如果对于曲面上的每一点，存在一个领域使得在这个领域内，曲面能通过一个关于x、y和z的方程F(x,y,z)=0唯一确定。
4.标准化：二次曲面可以通过线性变换变换为标准形式，使得它的方程变得简单。
常见的标准形式包括椭球面、双曲面和抛物面等。
**三、二次型与二次曲面的关系**二次型和二次曲面之间的关系体现在它们的数学性质和几何性质上。
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003 三
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003
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第 一
-4 0 0 三
列
300 000
0 0 -4
300 0 -4 0
000
300 P(2,3)P(1,3)AP(1,3) P(2,3) = 0 -4 0
000
1/ 3 0 0
1/ 3 0 0
0 1/2 0 P(2,3)P(1,3)AP(1,3) P(2,3) 0 1/2 0
二次型与二次曲面
第1节 二次型
第六章 二次型与二次曲面
四. 惯性定理与规范形 对于实二次型f(x) = xTAx
§6.1 二次型
主轴定理: 存在正交变换将其化为标准型
f = 1y12+ 2y22 + … + nyn2；
配方法: 存在可逆线性变换(可以非正交) 将其化为标准型
f = k1y12 + k2y22 +…+ kmym2
问：1 , 2 , … , n与 k1 , k2 , … , km有何
关系？
第六章 二次型与二次曲面
1. 惯性定理
§6.1 二次型
定理6.2. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn 中的可逆线性变换将其化为标准形
f = k1y12 + …+ knyn2 其中k1, …, kn中非零的个数r =秩(f), 且 正项的个数p与负项的个数q (p+q=r)都 是在可逆线性变换下的不变量.
A与单位矩阵E合同 可逆阵P使得A = PTP A正定
§6.1 二次型
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
定理6.4. 设A为n阶实对称阵, 则下列条件等价:
(1) Ann正定 (即x xTAx > 0)
(2) A的正惯性指数 = n
(3) A的特征值1, …, n > 0
(4) A与单位矩阵E合同 (5) 可逆阵P使得A = PTP
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
命题2. 可逆线性变换不改变二次型的正定性.
命题2’. A正定, P可逆 PTAP正定.
x Px (Px)TA(Px) > 0
xT(PTAP)x > 0
第六章 二次型与二次曲面
3. 判定 Ann正定
A的正惯性指数 = n
A的特征值1, …, n > 0
-4 0 0
100
例6. 设A= 0 0 0 ，N= 0 -1 0 ，
003
000
证明：存在可逆矩阵P使得 PT A P = N.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
-4 0 0
100
例6. 设A= 0 0 0 ，N= 0 -1 0 ，
003
000
证明：存在可逆矩阵P使得 PT A P = N.
a,b 满足条件
。
第六章 二次型与二次曲面
§6.1二次型
五. 二次型的正定性
1. 定义: 设实二次型f(x) = xTAx 满足对Rn中任何
非零向量x, 有f(x) > 0, 则称之为正定二
次型, 称A为正定矩阵.
若对Rn中任何非零向量x, 有f(x) < 0, 则 称之为负定二次型, 称A为负定矩阵.
的可逆线性变换将其化为规范形
f
y12
y2p
y
2 p1
yr2
0 yr21 0 yn2
且规范形是唯一的(按正项,负项,零项排列).
推论6.2. 设n阶实对称矩阵A的秩为r, 则存在可 逆阵P, 使
Ep PTAP = Eq , 其中p+q = r.
O
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
注：如果从矩阵角度证明推论6.2时， 将A进行正交相似对角化后，对角阵的 对角元没有按照正、负、零的次序排列， 那么下述例题隐含着一些思路.
2. 性质
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
命题1.二次型 f =d1y12+d2y22+…+dnyn2是正定的 当且仅当 d1, d2, …, dn全大于零.
命题1’. diag{d1, …, dn}正定 di > 0 , i
…
(x1, …, xn) d1
x1 dn xn
= d1x12 + …+ dnxn2
可见 3=秩( f ), f 的正惯性指数p = 2, f的负惯性指数q = 1.
第六章 二次型与二次曲面
从矩阵角度来理解定理6.2 ：
§6.1 二次型
对于实对称阵A，存在可逆阵(正交阵)Q使得
1
QTAQ=
,
n
如果还存在某个可逆矩阵P使得
k1
PTAP =
.
kn
那么k1 kn与1 n 的非零元个数及正负数
001
100
001
= 0 -1 0
PT (此处不等于P-1 )
000
P
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
推论6.2说的是，n阶实对称矩阵A与下列对 角阵合同( 或者叫相合)
Ip Iq ( p,q分别为A的 O 正负惯性指数 )
思考： n阶实对称矩阵A还会与什么样的 对角阵合同？
k1
kn
第六章 二次型与二次曲面
f(或A)的正惯性指数 f(或A)的负惯性指数
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例如 f = 2x1x2 + 2x1x3 – 6x2x3 在不同的可 逆线性变换下可分别化为:
f
=3y12ຫໍສະໝຸດ 1 2(3+
17
)y22+
1 2
(
17
3)y32
f = 2z12 – 2z22 +6z32
f = z12 – z22 +z32
f(或A)的正惯性指数 f(或A)的负惯性指数
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
实对称阵A或二次型xTAx的正负惯性指数 = A的正负特征值的个数
正负惯性指数之和 = 正负特征值的个数之和 =秩
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
推论6.1. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn中
§6.1 二次型
推论6.3 两个n阶实对称矩阵A和B合同 <=>它们具有相同的秩和正惯性指数.
注：由上述推论可得
n阶实对称矩阵A和B合同
A与B具有相同的秩和负惯性指数
A与B具有相同的正负惯性指数
注：一个实矩阵A与对角阵Λ合同，则A 一定是对称阵.
例.若矩阵
1 2
a b
,
2 0
0 1
合同，则参数
推论 6.4. 设 A 是正定矩阵, 则 |A|>0 .
个数是一样的,都等于A的秩和正负惯性指数.
第六章 二次型与二次曲面
所以惯性定理又可表述为
§6.1 二次型
定理6.2’. 对于实对称阵A, 总可以找到可逆阵 P使得
PTAP = diag{k1 ,…, kn} 其中k1, …, kn中非零的个数r =秩(f), 且 正项的个数p与负项的个数q (p+q=r)都 是在合同变换下的不变量.