几何与代数-二次型二次曲面

交
-4 0 0 换
0
00
第 一
003 三
行
003
交 换
0
00
第 一
-4 0 0 三
列
300 000
0 0 -4
300 0 -4 0
000
300 P(2,3)P(1,3)AP(1,3) P(2,3) = 0 -4 0
000
1/ 3 0 0
1/ 3 0 0
0 1/2 0 P(2,3)P(1,3)AP(1,3) P(2,3) 0 1/2 0
二次型与二次曲面
第1节 二次型
第六章 二次型与二次曲面
四. 惯性定理与规范形 对于实二次型f(x) = xTAx
§6.1 二次型
主轴定理: 存在正交变换将其化为标准型
f = 1y12+ 2y22 + … + nyn2；
配方法: 存在可逆线性变换(可以非正交) 将其化为标准型
f = k1y12 + k2y22 +…+ kmym2
问：1 , 2 , … , n与 k1 , k2 , … , km有何
关系？
第六章 二次型与二次曲面
1. 惯性定理
§6.1 二次型
定理6.2. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn 中的可逆线性变换将其化为标准形
f = k1y12 + …+ knyn2 其中k1, …, kn中非零的个数r =秩(f), 且 正项的个数p与负项的个数q (p+q=r)都 是在可逆线性变换下的不变量.
A与单位矩阵E合同 可逆阵P使得A = PTP A正定
§6.1 二次型
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
定理6.4. 设A为n阶实对称阵, 则下列条件等价:
(1) Ann正定 (即x xTAx > 0)
(2) A的正惯性指数 = n
(3) A的特征值1, …, n > 0
(4) A与单位矩阵E合同 (5) 可逆阵P使得A = PTP
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
命题2. 可逆线性变换不改变二次型的正定性.
命题2’. A正定, P可逆 PTAP正定.
x Px (Px)TA(Px) > 0
xT(PTAP)x > 0
第六章 二次型与二次曲面
3. 判定 Ann正定
A的正惯性指数 = n
A的特征值1, …, n > 0
-4 0 0
100
例6. 设A= 0 0 0 ，N= 0 -1 0 ，
003
000
证明：存在可逆矩阵P使得 PT A P = N.
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
-4 0 0
100
例6. 设A= 0 0 0 ，N= 0 -1 0 ，
003
000
证明：存在可逆矩阵P使得 PT A P = N.
a,b 满足条件
。
第六章 二次型与二次曲面
§6.1二次型
五. 二次型的正定性
1. 定义: 设实二次型f(x) = xTAx 满足对Rn中任何
非零向量x, 有f(x) > 0, 则称之为正定二
次型, 称A为正定矩阵.
若对Rn中任何非零向量x, 有f(x) < 0, 则 称之为负定二次型, 称A为负定矩阵.
的可逆线性变换将其化为规范形
f
y12
y2p
y
2 p1
yr2
0 yr21 0 yn2
且规范形是唯一的(按正项,负项,零项排列).
推论6.2. 设n阶实对称矩阵A的秩为r, 则存在可 逆阵P, 使
Ep PTAP = Eq , 其中p+q = r.
O
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
注：如果从矩阵角度证明推论6.2时， 将A进行正交相似对角化后，对角阵的 对角元没有按照正、负、零的次序排列， 那么下述例题隐含着一些思路.
2. 性质
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
命题1.二次型 f =d1y12+d2y22+…+dnyn2是正定的 当且仅当 d1, d2, …, dn全大于零.
命题1’. diag{d1, …, dn}正定 di > 0 , i
…
(x1, …, xn) d1
x1 dn xn
= d1x12 + …+ dnxn2
可见 3=秩( f ), f 的正惯性指数p = 2, f的负惯性指数q = 1.
第六章 二次型与二次曲面
从矩阵角度来理解定理6.2 ：
§6.1 二次型
对于实对称阵A，存在可逆阵(正交阵)Q使得
1
QTAQ=
,
n
如果还存在某个可逆矩阵P使得
k1
PTAP =
.
kn
那么k1 kn与1 n 的非零元个数及正负数
001
100
001
= 0 -1 0
PT (此处不等于P-1 )
000
P
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
推论6.2说的是，n阶实对称矩阵A与下列对 角阵合同( 或者叫相合)
Ip Iq ( p,q分别为A的 O 正负惯性指数 )
思考： n阶实对称矩阵A还会与什么样的 对角阵合同？
k1
kn
第六章 二次型与二次曲面
f(或A)的正惯性指数 f(或A)的负惯性指数
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例如 f = 2x1x2 + 2x1x3 – 6x2x3 在不同的可 逆线性变换下可分别化为:
f
=3y12ຫໍສະໝຸດ 1 2(3+
17
)y22+
1 2
(
17
3)y32
f = 2z12 – 2z22 +6z32
f = z12 – z22 +z32
f(或A)的正惯性指数 f(或A)的负惯性指数
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
实对称阵A或二次型xTAx的正负惯性指数 = A的正负特征值的个数
正负惯性指数之和 = 正负特征值的个数之和 =秩
第六章 二次型与二次曲面
§6.1 二次型
推论6.1. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn中
§6.1 二次型
推论6.3 两个n阶实对称矩阵A和B合同 <=>它们具有相同的秩和正惯性指数.
注：由上述推论可得
n阶实对称矩阵A和B合同
A与B具有相同的秩和负惯性指数
A与B具有相同的正负惯性指数
注：一个实矩阵A与对角阵Λ合同，则A 一定是对称阵.
例.若矩阵
1 2
a b
,
2 0
0 1
合同，则参数
推论 6.4. 设 A 是正定矩阵, 则 |A|>0 .
个数是一样的,都等于A的秩和正负惯性指数.
第六章 二次型与二次曲面
所以惯性定理又可表述为
§6.1 二次型
定理6.2’. 对于实对称阵A, 总可以找到可逆阵 P使得
PTAP = diag{k1 ,…, kn} 其中k1, …, kn中非零的个数r =秩(f), 且 正项的个数p与负项的个数q (p+q=r)都 是在合同变换下的不变量.