北京人大附中八年级上学期数学期中考试试卷(附答案)

x3 − 10x2 − x + 2，直接写出 (4p − 2q − 1) (2m − n − 1) 的值
．
27. 已知：△ABC 中，AB = AC，点 D 是 BC 的中点，若 O 在 AD 上，连接 BO 并延长交 AC 于点 E．
(1) 如图 1，若 ∠BAC = 60◦，且 BE 是 △ABC 的高，用等式表示 OA 与 OD 的数量关
北京人大附中八年级上学期数学期中考试试卷
1. 在中国有很多吉祥的图案深受大家喜爱，人们会用这些图案装饰生活，祈求平安，比如下列图案分别表示 “福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中不是轴对称图形的是 ( )
A
B
C
D
2. 分式 x − 1 的值为 0 时，x 的值是 ( ) x+2
A. 0
B. −2
C. 1
A. 0
B. 3
C. −3
D. −2
6. 将代数式 x2 + 4x − 1 化成 (x + 2)2 + a 的形式，则 a 的值为 ( )
A. 3
B. −4
C. −5
D. 4
7. 如图，小孙家有一块等边三角形的空地 △ABC，已知点 E，F 分别是边 AB，AC 的
中点，量得 EF = 5 米，他想把四边形 BCF E 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆
的长是 ( )
A. 25 米
B. 20 米
C. 15 米
D. 30 米
8. 有若干张面积分别为 a2，b2，ab 的正方形和长方形纸片，坤坤从中抽取了 1 张面积为 a2 的正方形纸片，4 张
面积为 ab 的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为 b2 的正方形纸片 ( )
A. 2 张
∵ AB = AC，点 D 是 BC 的中点， ∴ AD ⊥ BC， ∴ ∠BOD + ∠EBC = 90◦， ∵ ∠ABE + 3∠EBC = 90◦， ∴ ∠BOD = ∠ABE + 2∠EBC， ∵ ∠BOD = ∠ABE + ∠BAD， ∴ ∠BAD = 2∠EBC， ∵ AD ⊥ BC，DF = OD， ∴ BO = BF， ∴ ∠BOD = ∠F ，∠EBC = ∠CBF ， ∵ ∠ABF = ∠ABE + ∠EBF ， ∴ ∠ABF = ∠ABE + 2∠EBC， ∴ ∠ABF = ∠F ， ∴ AB = AF ， ∵ AF = AO + OF ， ∴ AB = AO + 2OD， ∴ AC = AO + 2 (AD − AO)， ∴ AC + AO = 2AD． 28. 原式 = x2 − 1 + x3 − x2 = x3 − 1． 当 x = −2 时，原式 = −9．
；
(2) 如图 2，点 E 在 AC 上，BE，CD 相交于点 O，且 OB = OC，求证：∠BDC = ∠BEC．
26. 给出如下定义：我们把有序实数对 (a, b, c) 叫做关于 x 的二次多项式 ax2 + bx + c 的特征系数对，把关于 x
的二次多项式 ax2 + bx + c 叫做有序实数对 (a, b, c) 的特征多项式．
A. 12
B. 10
C. 8
D. 6
11. 点 M (2, 1) 关于 x 轴的对称点 N 的坐标是
．
12. 计算 (2 − π)0 =
．
13. 若分式 1 有意义，则 x 的取值范围是
．
3−x
14. 若 m − n = 2，m + n = 5，则 m2 − n2 的值为
．
15. 如图，已知射线 OM ．以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OM 交于点 A，再以点 A
D. −1
3. 计算 2x3 · x2 的结果是 ( )
A. 2x
B. x5
C. 2x6
D. 2x5
4. 若一个等腰三角形的两边长分别是 5 和 6，则此三角形的周长是 (
A. 15
B. 16
C. 17
) D. 16 或 17
5. 计算 (x − k) (x + 3) 的结果中不含 x 的一次项，则 k 的值是 ( )
系是
；
(2) 如图 2，若 ∠BAC = 90◦，且 BE 是 △ABC 的角平分线，用等式表示 OA，AD，AC 的数量关系并证明；
(3) 如图 3，若 ∠ABE + 3∠EBC = 90◦，用等式表示 OA，AD，AC 的数量关系并证明．
28. 先化简，再求值：(x + 1) (x − 1) + x2 (x − 1)，其中 x = −2．
25.
(1) 80◦ (2) ∵ AB = AC， ∴ ∠ACB = ∠ABC， ∵ OB = OC， ∴ ∠OCB = ∠OBC， ∴ ∠ACB − ∠OCB = ∠ABC − ∠OBC， ∴ ∠ABE = ∠ACD， ∵ ∠BDC = ∠A + ∠ACD，∠BEC = ∠A + ∠ABE， ∴ ∠BDC = ∠BEC．
20.
原式
=a
( a2
−
) 9
(1)
=a (a + 3) (a − 3) .
原式
=2x
(a2
+
2a
+
) 1
(2) =2x (a + 1)2 .
21. 原式 = m2 − 2m + 1 + m2 + 2m
(1) = 2m2 + 1.
原式 = a2 − b2 + b2 − 2ab (2)
= a2 − 2ab. 22. △A′BC′ 即为所求．
(1) 计算 3⋆ (−2) 的值是
；
(2) 若 x = 0⋆ (m2 + 2m + 1)，y = m⋆1，其中 m 为任意实数，比较 x，y 的大小．
25. 在 △ABC 中，AB = AC，点 D 在 AB 上．
(1) 如图 1，若 ∠ABC = 70◦，且 DA = DC，则 ∠BDC 的度数是
B. 4 张
C. 6 张
D. 8 张
9. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线 AB 按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片 沿虚线 CD 向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开 图是 ( )
A
B
C
D
10. 如图，在 △ABC 中，AB = AC，BC = 4，△ABC 的面积是 16，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于 E，F 点．若点 D 为 BC 边上的动点，点 M 为线段 EF 上的动点，则 △CDM 周长的最小值为 ( )
(1) 关于 x 的二次多项式 3x2 + 2x − 1 的特征系数对为
；
(2) 求有序实数对 (1, 4, 4) 的特征多项式与有序实数对 (1, −4, 4) 的特征多项式的乘积；
(3) 若有序实数对 (p, q, −1) 的特征多项式与有序实数对 (m, n, −2) 的特征多项式的乘积的结果为 2x4 +
答案: 2019-10-29 — 参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ACDDBCABD C 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. 9. 由题可知 C 点为矩形纸片中间的点，剪掉的三角形一条边在 CD 上，另外两条边中的短边靠近中心，
长边靠外，可知 D 符合题意．
10.
11.(2, −1)
为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点 B，画射线 OB，则 ∠AOB =
◦．
16. 如图，AB ∥ CD，EF 平分 ∠CEG，若 F G = 3，则线段 EG 的长为
．
17. 若 a2 + b2 = 7，ab = 2，则 (a + b)2 的值为
．
18. 如图，在 △ABC 中，∠B = 90◦，∠A = 50◦，点 D，E 分别在 BC，AC 的延长线上，且
12. 1
13. x ̸= 3
14. 10
15. 60
16. 3
17. 11 18. 70◦ 解析：由题可知 ∠DCE = ∠ACB = 40◦，
又因为 CD = CE， 所以 ∠D = ∠E = 70◦． 19. 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 解析：根据线段垂直平分线上的点到线段两 端点距离相等，可得 CD = DE， ∴ △ACD 的周长等于 AC + CD + DA = BE + DE + AD = AB．
∵ AB = AC，点 D 是 BC 的中点， ∴ AD ⊥ BC， ∵ ∠BAC = 90◦， ∴ ∠BAD = 1 ∠BAC = 45◦，
2 ∴ AF = OF ，BD = AD， ∵ BE 是 △ABC 的角平分线， ∴ OD = OF ， 在 Rt△OBD 和 Rt△OBF 中， OB = OB,
CD = CE，则 ∠CED 的度数是
．
19. 在数学课上，老师提出用尺规作图解决问题． 已知：线段 AB、线段 AC，AB > AC，在 AB 上求作点 D，使 △ACD 的周长等于线段 AB 的长． 小左同学的作法如下：
（1）在线段 AB 上截取 BE = AC； （2）连接 CE，作线段 CE 的垂直平分线交 AB 于点 D，则点 D 即 为所求的点．
老师说：“小左同学的作法正确．”
请回答：小左同学的作图依据是
．
20. 分解因式： (1) a3 − 9a；
(2) 2a2x + 4ax + 2x．
21. 计算： (1) (m − 1)2 + m (m + 2)；
(2) (a + b) (a − b) + (b3 − 2ab2) ÷ b．
22. 如图，正方形网格中，△ABC 的顶点在格点上，画出 △ABC 关于直线 n 的对称图形．
23. 如图，△ABC 中，AB = AC，点 E 在 BC 上，过点 E 作 ED ⊥ AB 于点 D，过点 C 作 AC 的垂线交 DE 的延长线于 F ，求证：F E = F C．
24. 用“⋆”定义一种新运算：对于任意实数 a 和 b，规定 a⋆b = a2b − 2ab + b． 如：−1⋆2 = (−1)2 × 2 − 2 × (−1) × 2 + 2 = 2 + 4 + 2 = 8．
26.
(1) (3,(2, −1)
)(
Байду номын сангаас
)
x2 + 4x + 4 x2 − 4x + 4
= (x + 2)2 (x − 2)2 (2) = (x2 − 4)2
=x4 − 8x2 + 16. (3) −6
27.
(1) OA = 2OD (2) AC + AO = 2AD． 证明：作 OF ⊥ AB 于 F ，
23. ∵AB = AC， ∴∠ACB = ∠B， ∵ED ⊥ AB， ∴∠DEB + ∠B = 90◦， ∵AC ⊥ CF ，
∴∠ACB + ∠ECF = 90◦， ∴∠DEB = ∠ECF ， ∵∠DEB = ∠CEF ， ∴∠CEF = ∠ECF ， ∴F E = F C．
24.
(1) −8 (2) 由题意，得 x = m2 + 2m + 1， y = m2 − 2m + 1， 所以 x − y = 4m， 所以当 m > 0 时，x − y > 0，则 x > y； 当 m = 0 时，x − y = 0，则 x = y； 当 m < 0 时，x − y < 0，则 x < y．
OD = OF,
∴ Rt△OBD ≌ Rt△OBF ，
∴ BD = BF， ∵ AB = BF + AF ， ∴ AB = AD + OD， ∴ AC = AD + AD − OA， ∴ AC + AO = 2AD， (3) AC + AO = 2AD． 证明：延长 AD 到 F ，使 DF = OD，连接 BF ，