直线、平面、简单几何体

第八专题 直线、平面、简单几何体

一、考情分析：

立体几何是中学数学的重要内容之一，由于立体几何内容具有相对的独立性，高考命题突出空间图形的特点，考查的重点与热点主要有两大类型，一是线线、线面、面面的平行与垂直的判断、推理，主要是数学语言、图形语言、符号语言的密切结合及相互转化，根据概念、性质、公理、定理进行逻辑推理和论证；二是空间的角和距离的概念及其计算.

选择题、填空题注重符号语言、文字语言、图形语言在推理中的运用，更重视概念明确、关系清楚、基本运算熟练等.

解答题形成了一些规律，一般将几何元素集中于一个几何体中，即以一个多面体或旋转体为依托（以多面体的时候较多）设置几个小问题，设问形式以证明或计算为主，也有时设置一些开放性的问题，每个小题之间有一定的联系，在突出考查逻辑思维能力的前提下，将空间想象能力和运算、推理能力相结合进行考查.

二、考点整合

1、空间两直线、直线与平面、 平面与平面：特别注意线与面平行、线与面垂直、面与面平行、面与面垂直的判定与性质运用的条件；

2、空间角：（1）类型有异面直线所成角]

2

,0(π、直线与平面所成角]2

,0[π、平面与平面所

成角],0[π.

（2）计算空间角的一般步骤：①作：作出平面角；②证：证明所作角即为所求角；③算：将该角归结到三角形中算出.

注：作异面直线所成角的平面角的常用方法：（1）平移法：（2）补形法：

作直线与平面所成角的平面：需作线面垂直，常从面面垂直处寻找作辅助线，常用方法：（1）定义法：（2）公式法：

作二面角的平面角的方法：①定义法：②用三垂线定理（或逆定理）作二面角的平面角：从二面角的一个面内选一个特殊点A ，由A 向另一个平面作垂线（常从面面垂直处作交线的垂线），垂足为B ，再由B 向棱作垂线交于点C ，则ACB ∠即为二面角的平面角.③作棱的垂面：作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面，则该垂面与二面角的两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角.④面积法：如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ，则

斜多边形

射影多边形

S S =

θcos .⑤对于未给棱的二面角的求法，一般情况下首先作棱或在有利条件下利用射影公式求更方便. 3、空间的距离

（1）立体几何中距离有八种类型：两点间距离、点到直线距离、点平面距离、两平行线间距离、异面直线间距离、与平面平行的直线到平面的距离、两平行平面间的距离以及求球面上两点间距离.这八种距离都归结到求点到点、点到线、点到面这三种距离. （2）求空间距离的步骤：①作：找到或作出表示该距离的线段；②证：证明该线段合题意；③算：将该线段归结到三角形算出.简单地表述为：一作，二证，三计算.

注：求异面直线间距离：（1）作出两条异面直线的公垂线段然后求之；（2）将异面直线间距离转化为线面之间的距离；（3）将异面直线间距离转化为面面之间的距离；（4）运用“两条异面直线间距离，是分别在两条异面直线上的两点间的距离的最小值”这一

概念求之；（5）利用体积法（主要是指三棱锥的体积）求之.

点到平面的距离：求解的关键是正确作出图形，其中确定垂足位置最重要，应充

分利用图形性质，注意各种距离之间的相互转化，等积求法及：“平行移动”的思想方法.若要作出需从面面垂直处寻找.

线与面的距离、面与面的距离最后需转化为点到面的距离.

注意间接法在求空间距离中的运用：包括等积法和转化法，转化法即不断地进行点面、线面、面面距离之间的转化，直到求出为止.

4、简单几何体：棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正多面体、棱锥、正棱锥、球：

三、典例精讲：

例1 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，在正方体表面上与点A 距离为

3

3

2的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为___________________. 例2 已知四棱锥ABCD P -的底面为直角梯形，ABCD PA DAB DC AB 底面⊥=∠,90,// ， 且M AB DC AD PA ,12

1====是PB 的中点.

（Ⅰ）证明面PCD PAD 面⊥； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；

（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小.

例3 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 侧棱ABCD PD 底面⊥，E DC PD ,=是PC 的中点. （Ⅰ）证明EDB PA 平面//；

（Ⅱ）求EB 与底面ABCD 所成角的正切值.

例4 如图，在底面是菱形的四棱锥ABCD P -中，

∠a PD 2==，点E 在PD 上，且1:2:=ED PE .

（Ⅰ）证明ABCD PA 平面⊥；

（Ⅱ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面 角θ的大小；

（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使AEC BF 平面//证明你的结论.

四、提高训练：

姓名___________

（一）选择题：

1．已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，则下列四个命题中，正确的两个命题是（ ） ①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l . A 、①② B 、③④ C 、②④ D 、①③

2．设γβα、、为平面，、l 、n m 为直线，则β⊥m 的一个充分条件是（ ） A 、l m l ⊥=⊥,,βαβα B 、γβγαγα⊥⊥=,,l C 、αγβγα⊥⊥⊥m ,, D 、αβα⊥⊥⊥m n n ,, 3．若、b a 是两条异面直线，且分别在平面βα、内，若l =βα ，则直线l 必定（ ）

A 、分别与、b a 相交

B 、至少与、b a 之一相交

C 、与、b a 都不相交

D 、至多与、b a 之一相交

4．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ） A 、βα、都垂直一于平面γ

B 、α内存在不共线三点到β的距离相等

C 、、m l 是α内两条直线，且ββ//,//m l

D 、、m l 是两条异面直线，且ββαα//,//,//,//m l m l

5．正方体1111D C B A ABCD -中，、F E 分别是1AA 、AB 的中点，则EF 与对角面

CA C A 11所成角的大小（ ）

A 、 60

B 、 45

C 、

150 D 、30 6．如右图，长方形中，BC AB 32=，把它折成正三棱柱的侧面，使AD 与BC 重合，长方形的对角线AC 与折痕线 、GH EF 分别交于、N M 两点，则截面MNA 与棱柱的

底面DFH 所成的角等于（ ） A 、 30 B 、 45 C 、

60 D 、除、C 、B A 7．如下图左所示，在正方体1111D C B A ABCD -侧面1AB 内有一动点P ，

P 到直线11B A P 所在曲线的形状大致为（ ）

8．正四棱锥ABCD S -的底边长为2，高为2，则异面直线AB 与SC 所成的角是___. 9．如图，在直三棱柱ABC C B A -111中，BC AB ,2=

=分别为1AA 、11B C 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 短路径的长度为________. （三）解答题：

10．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC ∆ 是直角三角形，

90=∠ABC ，a BB BC AB ===12，且E C B BC D AC C A ==1111, ，. （Ⅰ）求证：C C BB B A 1111平面⊥；