材料力学-第8章 应力状态
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材料力学应力状态
材料力学应力状态关键词：单元体的取法，莫尔应力圆的前提有那么一个单元体后（单元体其中的一对截面上主应力=0（平面）或平衡（空间），也就是单元体的一对截面为主平面），才有这么一个隔离体，才有那么一个莫尔应力圆和表达式也就是：取的单元体不同，则单元体的应力特点不一样，从而用截面法求任意截面上的应力取隔离体列平衡方程时，隔离体的受力特点不同，从而球出来的表达式也不同，只有这种表达式才适合莫尔应力圆。
因此拿到一个单元体后，不要急着应用莫尔应力圆，要先看它的特点适合不适合莫尔应力圆，也就是σα和τα的表达式球出来以后还是不是下面的这个公式。
特别还要记住，这个公式里的夹角α是斜截面的外法线与σx作用平σy的形式。
比如，面的外法线之间的夹角，这样公式中才是σx—当α表示的是斜截面的外法线与σ1所在平面的夹角，那么公式就是σ1—σ2的形式；不论是谁减谁，应力圆的性状都不变；1.首先，先有主平面和主应力的概念，剪应力为0的平面为主平面，主平面上的正应力为主应力；2.然后，由于构件受力情况的不同，各点的应力状态也不一样，可以按三个主应力中有几个不等于零而将一点处的应力状态划分为三类：∙单向应力状态：只有一个主应力不等于零，如受轴向拉伸和压缩的直杆及纯弯曲的直杆内各点的应力状态。
∙二向应力状态(平面应力状态)：有两个主应力不等于零，如受扭的圆轴，低压容器器壁各点的应力状态。
∙三向应力状态：三个主应力都不等于零，如高压容器器壁内各点的应力状态。
3.然后，根据受力宏观判断是单轴应力状态还是平面应力状态还是三轴应力状态，取单元体关键，单元体取的不同，单元体上的应力也不同，做莫尔圆的繁简程度也不同，对于平面应力状态，当然要用主应力=0的那个截面参与单元体截取；4.单轴应力状态、平面应力状态、三轴应力状态是由主应力等于零的个数决定的，不受单元体取法的影响，也不是看单元体的三对截面上是否都存在正应力；比如单轴应力状态下，也可以取出一个单元体，让这个单元体的各平面上都有正应力和切应力，但是它仍然是单轴应力状态；同样，平面应力状态下，也可以取出一个单元体，让其各平面上都有正应力和剪应力，但它仍然是平面应力状态；5.按不同方位截取的单元体，尽管作用在这些单元体上的应力不同，但是在它们之间却存在着一定的关系：因为二者表示的是同一点的应力状态，因而可以从一个单元体上的应力求出另一个与其方向不同的单元体上的应力。
第8章 点的应力状态
第八章 点的应力状态
三. 平面应力状态中的正应力 极值和剪应力极值
第八章 点的应力状态
本节将对平面应力公式
2 σ xx＋σ yy σ xx－σ yy ＋ σ α＝ cos2α－τ xy sin2α xy α 2 2 进行讨论,主要内容有:
(1)平面应力状态中的正应力极值和极值面方位 以及正应力极值面上的剪应力; (2)平面应力状态中的剪应力极值和极值面方位 以及剪应力极值面上的正应力.
第八章 点的应力状态
(4) σmax× σmin可大于或小于零,也可等于零. 对于前两种情况, 称原 单元体为平面应力或二 单元体为 向应力状态;对后一种情 况,称原单元体为单向应 力状态. 若构件上某点是平面 应力状态,则描述该点应 力状态的单元体有无数 多个,但该点的主单元体 表述却是唯一的,这是一 种既简单且又能反映一 点应力状态本质内涵的 表述. 只要知道某点应力的 一个单元体表述，就能 找到它的主单元体表述.
第八章 点的应力状态
由四个主平面围成的单元体称为原单元体的主 单元体，在主单元体上剪应力为零。若围绕研 究点取出的是它的主单元体，则称该点的应力 表述为主单元体表述或主应力表述。 2τ xy kπ 1 − arctan ; k = 0,±1,±2 主方向角 α p = σ x −σ y 2 2
⎛ 2 τ xy ⎞ ⎛ 2 τ xy ⎞ tan 2 2α p 1 2 (3) 主应力: 将 tan 22α pp＝⎜⎜ cos 2α p = ± ; sin 2α p = ± ⎟ tan 2α ＝⎜ ⎟ 2 ⎜ σ x − σ y ⎟代入 ⎟ 1 + tan 2α p 1 + tan 2 2α p ⎝ σ x −σ y ⎠ ⎝ ⎠
第八章 点的应力状态
材料力学第8章应力状态分析
点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同 一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而 图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横 截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b） 中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体， 根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应 力。
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的 一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件， 可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为 主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称 为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正
材料力学：第八章-应力应变状态分析
斜截面: // z 轴； 方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
材料力学 第八章：应力状态分析
2 )2
材料力学
整理可得：
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
x2
(3)
(3)式为以 、为变量的圆方程。
圆心坐标
(
x
y
,0)
横坐标为平均应力
2
半径
(
x
2
y
)2
2 x
为最大剪应力
材料力学
x x
y
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
材料力学
方法一：
27.5
x
2
y
x
y
2
cos(2 27.5) x
sin(2 27.5)
70 70 cos55 50sin 55 22
96MPa
96MPa
27.5
70MPa
62.5 50MPa 26MPa
117.5
x
上的应力对应-坐标系中的Dy点。Dy
点的横坐标
OF
、纵坐标
y
FDy
y
;连接
Dx、Dy与轴的交点C为圆心 , CDx 或
CDy 为半径画一圆，这个圆是该单元
体所对应的应力圆。
材料力学
n
y
x
y
x
x
y
F o
Dy
(y,y)
Dx(x,x) CK
材料力学
证明：
DxCK DyCF (对顶角) Dy FC DxKC (直角)
材料力学作业(8-11)
第八章 应力应变状态分析一、选择或填空题1、过受力构件内任一点，取截面的不同方位，各个面上的（ ）。
A 、正应力相同，切应力不同；B 、正应力不同，切应力相同；C 、正应力相同，切应力相同；D 、正应力不同，切应力不同。
2、在单元体的主平面上（ ）。
A 、正应力一定最大；B 、正应力一定为零；C 、切应力一定最小；D 、切应力一定为零。
3、图示矩形截面悬臂梁，A-A 为任意横截面，1点位于截面上边缘，3点位于中性层，则1、2、3点的应力状态单元体分别为（ ）。
A-AA B C4、图示单元体，其最大主应力为（ ）A 、σ；B 、2σ；C 、3σ；D 、4σ。
5、下面 单元体表示构件A 点的应力状态。
6、图示单元体，如果MPa 30=ασ，则βσ=（ ） A 、100Mpa ； B 、50Mpa ； C 、20MPa ； D 、0MPa 。
(C)7、图示单元体应力状态，沿x 方向的线应变εx 可表示为（ ）A 、Eyσ； B 、)(1y x E μσσ−；C 、)(1x y E μσσ− ；D 、Gτ。
8、图示应力圆对应于单元体( )。
9、已知单元体及应力圆如图所示，σ1所在主平面的法线方向为( )。
A 、n 1；B 、 n 2；C 、n 3；D 、n4。
二、计算题1、已知应力状态如图所示，试用解析法计算图中指定截面上的正应力和切应力。
2、试画图示应力状态的三向应力圆，并求主应力、最大正应力和最大切应力。
3、边长为20mm的钢立方块置于刚性模中，在顶面受力F=14kN作用。
已知材料的泊松比为0.3，求立方体各个面上的正应力。
4、图示矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为M=10 kN.m，Q=120 kN。
试绘出截面上1、2、3、4各点的应力状态单元体，并求其主应力。
第九章 强度理论一、选择题或填空题 1、在冬天严寒天气下，水管中的水会受冻而结冰。
根据低温下水管和冰所受力情况可知（ ）。
A 、冰先破裂而水管完好；B 、水管先破裂而冰完好；C 、冰与水管同时破裂；D 、不一定何者先破裂。
材料力学-第8章应力状态与强度理论
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
强度理论概述
关于脆性断裂的强度理论
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
关于脆性断裂的强度理论
零件或构件在载荷作用下，没有明显的破坏 前兆（例如明显的塑性变形）而发生突然破坏的 现 象 ， 称 为 断 裂 失 效 （ failure by fracture or rupture）。
Mechanics of materials
材料力学
材料力学
第 8章
基础篇之八
应力状态与强度理论 及其工程应用(B)
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
什么是“失效”；怎样从众多的失效现象中寻找失效 规律；假设失效的共同原因，从而利用简单拉伸实验结果， 建立一般应力状态的失效判据，以及相应的设计准则，以 保证所设计的工程构件或工程结构不发生失效，并且具有 一定的安全裕度。这些就是本章将要涉及的主要问题。
2 1 3
max 1 ( 1 0)
= b
o max b
失效判据 强度条件
1 b
1
b
nb
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
关于脆性断裂
第二强度理论又称为最大拉应变准则（maximum tensile strain criterion），它也是关于无裂纹脆性材 料构件的断裂失效的理论。
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
关于脆性断裂的强度理论
根据第二强度理论，无论材料处于什么应力状态， 只要发生脆性断裂，其共同原因都是由于微元的最大 拉应变达到了某个共同的极限值。
max
o max
(1 0)
第8章 应力状态与强度理论及其工程应用
材料力学第08章 动载荷与交变应力
x
r Ag r Aa
x
FNd FNst d Kd K d st A A
st为静荷载下绳索中的静应力
强度条件为 d K d st [ ]
P
P P a g
△d表示动变形 △st表示静变形
当材料中的应力不超过比 例极限时荷载与变形成正比
m
FNst
m
FNd
rAg
x
rAg rAa
2 st 42st 8h st 2h d st (1 1 ) 2 st 2h d st ( 1 1 ) K d st
2
st
2h 为动荷因数 其中 K d 1 1
st
Fd d Kd P st
Fd K d P
第八章
动载荷与交变应力
中北大学理学院力学系
第一节 第二节 第三节 第四节
概述 构件受加速度作用时的动应力 构件受冲击时的动应力计算 疲劳破坏及其特点
第五节
第六节 第七节
材料的持久极限
影响构件持久极限的因素 构件疲劳强度计算
总结与讨论
第一节 概述
一、基本概念
1、静荷载:荷载由零缓慢增长至最终值,然后保持不变.构件内各 质点加速度很小,可略去不计. 2、动荷载: 荷载作用过程中随时间快速变化,或其本身不稳定 （包括大小、方向）,构件内各质点加速度较大. 3、交变应力：构件内的应力随时间作交替变化。 4、疲劳失效：构件长期在交变应力作用下，虽然最大工作应力 远低于材料的屈服极限，且无明显的塑性变形，却往往发生突 然断裂。
（The point changes his location periodically with time under an unchangeable load）
材料力学-应力状态与应变状态分析
s2 引起 1 s 2 E 2 s 2 E 3 s 2 E
s3 引起 1 s 3 E 2 s 3 E 3 s 3 E
小变形 i i i i i 1,2,3
1
1 E
s1
(s 2
s 3 )
广
2
1 E
s 2
(s 3
s1 )
义 虎 克 定
3
1 E
s 3
(s 1
s 2)
t T ＝ 1 πD3 (1－a4) 16
1
＝
1 E
[s1－
(s2＋s3)]
＝
1＋
E
t
T＝8.38 kN·m
二、体积应变
单元体边长：dx、dy、dz
体积：V0 = dx·dy·dz
dy
dx → dx +△dx = dx + 1dx = (1 + 1) dx
dy → dy +△dy = dy + 2dy = (1 + 2) dy
体积的绝对增量：△V = V－V0 = V0 (1+ 2+ 3)
单位体积增量：
V V0
1 2
3
体积应变 体积的相对增量
1 2
E
(s1
s2
s
3)
讨论：
V V0
1 2
E
(s1 s 2
s 3)
⒈ 若 s1 + s2 + s3＞0，
则 ＞0 →△V ＞0，即体积增大；
若 s1 + s2 + s3＜0，
s2
s3 dsz 1
dx
dz → dz +△dz = dz + 3dz = (1 + 3) dz
【精品课件】材料力学课件第八章应力状态与强度理论
单向受力状态
x
x
纯剪切受力状态
y x
双向等拉
R=x/2
o
x/2
R=x
o
o
➢ 一般受力状态的应力圆
y y
y
x
x
x
x
y
B
A
(A, A)
B
A
o
(0, )
o
(B, B)
(0, ) 2(-)
例：分别用解析法和图解法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。
80 60
(-40,60)
C
O
60
10M 2 Pa, 22MPa max10M 5 Pa,min65MPa 0 22.5, max85MPa
主平面： 剪应力为零的平面
3
主应力： 主平面上的正应力 主方向： 主平面的法线方向
2
1
1
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。
三个主应力用1、 2 、 3表示，按代数值大小顺序 排列，即1 ≥ 2 ≥ 3 。
应力状态的分类
单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零 二向应力状态：三个主应力中有二个不等于零 三向应力状态：三个主应力均不等于零
第8章 应力状态分析与强度理论
※ 应力状态概述 ※ 二向应力状态分析 ※ 广义虎克定律 ※ 复杂应力状态下的变形比能 ※ 强度理论概述 ※ 四种常用强度理论
§8-1 应力状态的概念
低碳钢和铸铁的拉伸实验
铸铁
低碳钢
断口与轴线垂直
低碳钢和铸铁的扭转实验
低碳钢
铸铁
螺旋桨轴:
[材料力学]材料力学试题库精选题解精选题8_应力状态_强度理论.docx
![[材料力学]材料力学试题库精选题解精选题8_应力状态_强度理论.docx](https://img.taocdn.com/s3/m/9169fcbc5f0e7cd185253626.png)
应力状态强度理论1.图示单元体，试求 (1) 指定斜截而丄的应力；(2) 主应力大小及主平而位置，并将主平而标在单元体上。
F<T r — CT V解：(1) (y (/ = — ----- + ---------- cos 2a 一 g sin 2& = 76.6 MPar r/ = ----- sin + r v cos2a =-32.7 MPaCc£X-50 ± 加 +(—129.9)2 = _50 ±1506=100 MPa, (r 2 = 0 , 6=-200 MPa解：b 、=150 MPa,「=—120 MPayx由 r = ----------- sin 2Q +「cos 2a = —~~— = -804522得 6 =-10 MPa3.—点处两个互成45°平面上的应力如图所示,其屮<7未知，求该点主应力。
max bmin81.98 MPa-121.98a = 81.98 MPa, <r 2 = 0 , cr 3 = -121.98 MPa^0=larctan(^^) = l arctan2 CT X -cr v 2402.某点应力状态如图示。
试求该点的主应力。
解：取合适坐标轴令6=25 MPa, r x =-129.9 MPa120"-- ----- sin 2a + T cos 2a = 0 得 = -125 MPa 2 -100MPa-200150 MPacr cr + cr所以max= __ ±2214.22MPa一74.226=214.22 MPa, cr2 = 0, <r3 = -74.22 MPa4.图示封闭薄壁圆筒，内径d=100 mm,壁厚f = 2 mm,承受内床“ =4 MPa, 外力偶矩M“=0・192 kN-mo求靠圆筒内壁任一点处的主应力。
解・・r常九严停32a=^- = 5Q MPax 4t<r v二四= 100 MPa、2tmax bmin 100.7MPa 49.356=100.7 MPa, 6=49.35 MPa, (r3 = -4 MPa5.受力体某点平面JL的应力如图示，求其主应力大小。
材料力学课件 第八章应力状态与强度理论
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x B x
zx
xz
x
x
A
§8–2 平面应力状态下的应力分析
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
Ox
一、解析法
30
x
y
2
sin 2
x cos2
80 (40) sin(2 30 ) 60 cos(2 30 ) 2
21.96MPa
确定主平面方位，将单元体已知应力代入 8.3，得
20 45
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 (40)
1
0 22.5
0 即为最大主应力1 与 x 轴的夹角。主应力为
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
解：由于主应力1 ，2 ，3 与主应变1 ，2 ，3 一一对应，故由已知数据可知，
已知点处于平面应力状态且 2 0 。由广义胡克定律
1
1 E
(1
3 )
3
1 E
( 3
1)
联立上式
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x B x
zx
xz
x
x
A
§8–2 平面应力状态下的应力分析
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
Ox
一、解析法
30
x
y
2
sin 2
x cos2
80 (40) sin(2 30 ) 60 cos(2 30 ) 2
21.96MPa
确定主平面方位，将单元体已知应力代入 8.3，得
20 45
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 (40)
1
0 22.5
0 即为最大主应力1 与 x 轴的夹角。主应力为
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
解：由于主应力1 ，2 ，3 与主应变1 ，2 ，3 一一对应，故由已知数据可知，
已知点处于平面应力状态且 2 0 。由广义胡克定律
1
1 E
(1
3 )
3
1 E
( 3
1)
联立上式
北航 材料力学 第八章 应力状态分析
应力应变状态分析
y
y x
§8-2
y
dx dy
平面应力状态应力分析
什么是平面应力状态？
x
dz
x
•微体有一对平行表面不受力的应力状态。 由此推断
x
微体仅有四个面作用有应力； 应力作用线均平行于不受力表面； 平面应力状态的应力分析 问题：已知x , y, x , y, 求任 意平行于z轴的斜截面上的应力。
Page 2
第八章
应力应变状态分析
关于微体：
围绕杆件内某点所截取的一个边长无限小的长方体； 每个面上的应力分布差异可忽略，认为其均匀分布；
微体相对的两个面上的应力视为过该点的、法向相反的两 个平面在该点的应力，等值、反向 ； 微体三个相邻表面上的应力分别代表了过该点的、互相垂 直的三个平面在该点的应力状况； 微体的任意截面上的应力均匀，并且代表了同法向平面在 该点的应力
第八章
应力应变状态分析
第八章
§8-1 §8-2
应力应变状态分析
引言 平面应力状态应力分析
§8-3
§8-4 §8-5 §8-6 §8-7 §8-8
应力圆
平面应力状态的极值应力与主应力 复杂应力状态的最大应力 平面应变状态应变分析 各向同性材料的应力、应变关系 复杂应力状态下的应变能与畸变能
§8-9
复合材料的应力、应变关系
纯剪切受力状态
y
应力应变状态分析
单向受力状态
x x
双向等拉
x
R=x
R=x/2 o
C
C
o
o
x/2
Page16
第八章
材料力学08应力状态理论
1.公式推导：
Fin 0 ,
sa dA s xdA cos2 a t xydA cosa sina
s ydAsin2 a t yxdAsina cosa 0
sa
同理， Fit 0, ta
2.任意a斜截面上的应力公式
sa
sx
sy
2
sx
s y
2
cos2a
1 2
s11
等于所示阴影部分面积
切应力的极值作用面与正应力
的极值作用面互成 45o的夹角
t max
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 xy
s max
s min
2
min
极值切应力作用面上的正应力：
s0
s0900
sx
sy
2
5.平面应力状态分析的特征 1）斜截面应力、主应力及最大切应力均是指 xy 平面内的应 力，即其作用面均垂宜于 xy 平面。 2)任意两相互垂直截面上的正应力之和为常量
sa0 及sa0900的方向是相互垂直的。其中，a0由sin2a0和cos2a0的
正负号唯一地确定。
3.正应力极值——主应力
sa0
a0 900
s max
min
sx
sy
2
sx
s
2
y
2
t
2 xy
又，ta0 0 极值正应力就是主应力！
a0 900
smax的指向是介于仅由单
2.纯剪切平面应力状态
V
1
2
E
(s
1
材料力学应力分析PPT课件
y yx
D
xy
A
x
d
(y ,yx)
(
x
-
y
)2
+
2 xy
2
R
a (x ,xy)
c
x + y
2
在 -坐标系中，标定与单元体A、D面上
应力对应的点a和d
连ad交 轴于c点，c即为圆心，cd为应 力圆半径。
第40页/共123页
§2 平面应力状态分析
yy
yx
DB
A
xx
xxyy
O
C
d(y ,yx)
正应力与切应力
第15页/共123页
§2 平面应力状态分析
1、正应力正负号约定
x
应力状态
x
x
拉为正
第16页/共123页
x
压为负
§2 平面应力状态分析
切应力正负号约定
xy
yx
应力状态
使单元体 或其局部顺时 针方向转动为 正；反之为负。
第17页/共123页
§2 平面应力状态分析
角正负号约定
由x正向逆 时针转到n正 向者为正；反 之为负。
yx
a (x ,xy)
A
x
p xy
2
tg 2
p
-
x
-
xy x
+
2
y
o 2
1
d
2p
c g 1
负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向
第48页/共123页
§2 平面应力状态分析
主应力与主方向的对应关系
应力状态
小（主应力中小的）偏小（σx和σy中 小的）、大（主应力中大的）偏大（σx和 σy中大的） ，夹角不比450大。
材料力学：ch8 应力应变状态分析
泊松比 = 0.33。试求板厚的改变量 与板件的体积改变量 V 。
题 8-16 图
6
解：此为平面应力状态问题。设板厚度方向的正应变为 εz ，则有
εz
μ E
(σ x
σ
y
)
板厚的改变量为
Δδ
z
E
(σ x
σy
0.33 0.010 70 109
(80
40) 106 m
1.886 106 m 0.001886mm
σ1 69.7MPa， σ2 9.9MPa 由于是平面应力状态，故知
σ3 0 从该应力圆上还可以量得 σ1 的方位角为
α0 23.7 式中负号表示从 AB 面的外法线沿顺时针方向旋转。
8-9 图示悬臂梁，承受载荷F = 20kN作用，试绘微体A，B与C的应力图，并确定主应
力的大小及方位。
题 8-9 图 解：由题图可知，指定截面的剪力与弯矩分别为
)
51.7
MPa
7
60
100 80 2
100 2
80
cos(120
)
50
sin(120
)(
MPa
)
128.3
MPa
根据广义胡克定律，得 30°的正应变为
30
1 E
( 30
60 )
200
1 109
Pa
(51.7
106
Pa
0.3128.3106
Pa
)
0.66
10
4
8-18 构件表层一点处的应力如图a所示，为了测量应力，在该点沿 0°，45°与 90°
根据平面应力状态的广义胡克定律，有
x
E 1 2
工程力学基础第8章 应力、应变和应力应变关系
新编工程力学基础
第8章 应力、应变和应力-应变关系
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
一点处的应力状态 平面应力状态分析 应变状态分析 广义胡克定律 材料失效和失效判据
第一节 一点处的应力状态
一、引言 在本章中，将应用微元体法，从力、变形、力与变形的关系三 方面研究变形固体内一点处的性态。本章的内容覆盖了固体力 学的三大理论基础：应力理论、应变理论和本构关系(主要是对 理想弹性体)。在此基础上建立复杂受载条件下，材料的失效判 据和构件的强度设计准则，从而为解决杆件在复杂受载条件下 的强度、刚度和稳定性问题创造条件。
（1）一点处的应变状态由六个应变分量εx、εy、εz、γxy、γyz、 γzx完全决定，即由它们可以确定该点处任一方向的线应变和任
第三节 应变状态分析
（2）在任一点处都存在三个互相垂直的方向，它们在变形过 程中保持垂直，即切应变为零，这三个方向称为应变主方向， 沿应变主方向的线应变称为主应变，记为ε1≥ε2≥ε3。主应变ε1 和ε3 试验证明，对于各向同性的线弹性材料的小变形问题，应变主 方向与应力主方向重合，即一对切应力为零的正交截面在变形 过程中保持垂直。应变和应力由材料的力学性能相联系。在工 程中除接触应力等少数情形外，直接测量应力是很困难的，而 变形则比较容易测量。通常是从测得的应变来确定应力。应变 分析的实际意义在于：通过测得的应变确定主方向和主应变，
第一节 一点处的应力状态 三、主应力和主方向 如果微元体某对截面上的切应力等于零，该对截面就称为主平 面，主平面的法向称为主方向，主平面上的正应力称为主应力。 按不等于零的主应力的个数分类，可以把一点处的应力状态分
（1）单向(单轴)应力状态，也称为简单应力状态，只有一个主 应力不为零，如受轴向拉压的直杆和纯弯曲直梁中各点处的应
第8章 应力、应变和应力-应变关系
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
一点处的应力状态 平面应力状态分析 应变状态分析 广义胡克定律 材料失效和失效判据
第一节 一点处的应力状态
一、引言 在本章中，将应用微元体法，从力、变形、力与变形的关系三 方面研究变形固体内一点处的性态。本章的内容覆盖了固体力 学的三大理论基础：应力理论、应变理论和本构关系(主要是对 理想弹性体)。在此基础上建立复杂受载条件下，材料的失效判 据和构件的强度设计准则，从而为解决杆件在复杂受载条件下 的强度、刚度和稳定性问题创造条件。
（1）一点处的应变状态由六个应变分量εx、εy、εz、γxy、γyz、 γzx完全决定，即由它们可以确定该点处任一方向的线应变和任
第三节 应变状态分析
（2）在任一点处都存在三个互相垂直的方向，它们在变形过 程中保持垂直，即切应变为零，这三个方向称为应变主方向， 沿应变主方向的线应变称为主应变，记为ε1≥ε2≥ε3。主应变ε1 和ε3 试验证明，对于各向同性的线弹性材料的小变形问题，应变主 方向与应力主方向重合，即一对切应力为零的正交截面在变形 过程中保持垂直。应变和应力由材料的力学性能相联系。在工 程中除接触应力等少数情形外，直接测量应力是很困难的，而 变形则比较容易测量。通常是从测得的应变来确定应力。应变 分析的实际意义在于：通过测得的应变确定主方向和主应变，
第一节 一点处的应力状态 三、主应力和主方向 如果微元体某对截面上的切应力等于零，该对截面就称为主平 面，主平面的法向称为主方向，主平面上的正应力称为主应力。 按不等于零的主应力的个数分类，可以把一点处的应力状态分
（1）单向(单轴)应力状态，也称为简单应力状态，只有一个主 应力不为零，如受轴向拉压的直杆和纯弯曲直梁中各点处的应
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不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。
不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的 应力
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
描述一点应力状态的基本方法
微元（Element）
dz
dy
dx
微元及其各面上一点应 力状态的描述
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
应力状态的概念——过一点、在不同方向面 上应力的集合，称之为这一点的应力状态 （State of the Stresses of a Given Point）。
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
为什么要研究应力状态
请看下列实验现象： 低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验
三向（空间）应力状态 ( Three-Dimensional State of Stresses )
x x
z
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y y
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
描述一点应力状态的基本方法
平面（二向）应力状态 ( Plane State of Stresses )
Mx Mx
根据微元的局部平衡
y
yx
x
xy
xy
x
xy
yx
剪中有拉
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面 上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。
应力
指明
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
例2：画出图示螺旋桨轴杆表面一点的应力状态
M F
M F
1. 螺旋桨带动轴杆向前，产生拉力 2. 轴杆带动螺旋桨旋转，有扭转作用
材料力学－第8章 应力应变状态分析
§8-2 平面应力状态分析
材料力学－第8章 应力应变状态分析
§8-2 平面应力状态分析
方向角与应力分量的正负号约定 微元的局部平衡 平面应力状态中任意方向面上的
应力状态的基本概念
描述一点应力状态的基本方法
三
平
向
面
单向应力状态
应
应
力
力
状 特例 状 特例
态
态
纯剪应力状态
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
例：画出图示矩形梁在滑动铰支座右侧横截面内不同点的应力状态
F
y
1
1
Q
2
2
z
M
3
3
4
4
5
5
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
铸铁拉伸实验
低碳钢拉伸实验
韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
低碳钢扭转实验
铸铁扭转实验
为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
为什么要研究应力状态
正应力与剪应力
材料力学－第8章 应力应变状态分析
§8-2 平面应力状态分析
方向角与应力分量的正负号约定
正应力：拉为正，压为负
x
x
x 拉为正
x 压为负
材料力学－第8章 应力应变状态分析
§8-2 平面应力状态分析
方向角与应力分量的正负号约定
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
应力的面的概念—过同一点不同方向面上的应力各不相同
x x x
拉杆的斜截面上存在剪应力。
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
应力的面的概念—过同一点不同方向面上的应力各不相同
受扭之前，圆轴表面为正圆。
Mx Mx
受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向 缩短。这是为什么？
如何分析材料危险受力情况以及极限荷载？
材料力学－第8章 应力应变状态分析
引言
1. 应力状态的基本概念 2. 平面应力状态应力分析 3. 极值应力与主应力 4. 应力圆 5. 复杂应力状态的最大应力 6. 平面应变状态应变分析 7. 各向同性材料的应力应变关系 8. 应变能计算
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
1. 什么是应力状态？ 2. 为什么要研究应力状态 3. 描述一点应力状态的方法
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
应力状态的概念——过一点、在不同方向面 上应力的集合，称之为这一点的应力状态 （State of the Stresses of a Given Point）。
应力的面的概念—过同一点不同方向面上的应力各不相同
受力之前,表面的正方形
FP
FP
受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
应力的面的概念—过同一点不同方向面上的应力各不相同
受力之前,表面斜置的正方形
FP
FP
受力之前,在其表面画一斜置的正方形；受拉 后，正方形变成了菱形。
材料力学
第八章 应力应变状态分析源自材料力学－第8章 应力应变状态分析
引言
在前面几章中，讨论了材料的拉伸、压缩、弯曲和扭转问题。 其共同特点是：
一是材料的危险截面危险点只承受正应力或剪应力 二是需要实验直接确定失效时的极限应力，并依此建立强度准则 但是，对于工程上的复杂结构 危险点同时受正应力和剪应力作用，很难用实验确定极限应力
这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
应力的面的概念—过同一点不同方向面上的应力各不相同
根据微元的局部平衡
y x
x
xy
x
x 拉中有剪 x
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
应力的面的概念—过同一点不同方向面上的应力各不相同
x
y
yx xy
x
y
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
描述一点应力状态的基本方法
y
x
x
y
yx
xy
x
单向应力状态
( One Dimensional State of
Stresses )
纯剪应力状态
( Shearing State of Stresses )
材料力学－第8章 应力应变状态分析
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
应力的点的概念 — 同一截面上不同点的应力各不相同
FQ FNx
Mz
横截面上的正应力分布
横截面上的剪应力分布
横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表明：同 一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的 应力
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
描述一点应力状态的基本方法
微元（Element）
dz
dy
dx
微元及其各面上一点应 力状态的描述
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
应力状态的概念——过一点、在不同方向面 上应力的集合，称之为这一点的应力状态 （State of the Stresses of a Given Point）。
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
为什么要研究应力状态
请看下列实验现象： 低碳钢和铸铁的拉伸实验 低碳钢和铸铁的扭转实验
三向（空间）应力状态 ( Three-Dimensional State of Stresses )
x x
z
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y y
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
描述一点应力状态的基本方法
平面（二向）应力状态 ( Plane State of Stresses )
Mx Mx
根据微元的局部平衡
y
yx
x
xy
xy
x
xy
yx
剪中有拉
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面 上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。
不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。
应力
指明
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
例2：画出图示螺旋桨轴杆表面一点的应力状态
M F
M F
1. 螺旋桨带动轴杆向前，产生拉力 2. 轴杆带动螺旋桨旋转，有扭转作用
材料力学－第8章 应力应变状态分析
§8-2 平面应力状态分析
材料力学－第8章 应力应变状态分析
§8-2 平面应力状态分析
方向角与应力分量的正负号约定 微元的局部平衡 平面应力状态中任意方向面上的
应力状态的基本概念
描述一点应力状态的基本方法
三
平
向
面
单向应力状态
应
应
力
力
状 特例 状 特例
态
态
纯剪应力状态
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
例：画出图示矩形梁在滑动铰支座右侧横截面内不同点的应力状态
F
y
1
1
Q
2
2
z
M
3
3
4
4
5
5
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
铸铁拉伸实验
低碳钢拉伸实验
韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
低碳钢扭转实验
铸铁扭转实验
为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
为什么要研究应力状态
正应力与剪应力
材料力学－第8章 应力应变状态分析
§8-2 平面应力状态分析
方向角与应力分量的正负号约定
正应力：拉为正，压为负
x
x
x 拉为正
x 压为负
材料力学－第8章 应力应变状态分析
§8-2 平面应力状态分析
方向角与应力分量的正负号约定
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
应力的面的概念—过同一点不同方向面上的应力各不相同
x x x
拉杆的斜截面上存在剪应力。
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
应力的面的概念—过同一点不同方向面上的应力各不相同
受扭之前，圆轴表面为正圆。
Mx Mx
受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向 缩短。这是为什么？
如何分析材料危险受力情况以及极限荷载？
材料力学－第8章 应力应变状态分析
引言
1. 应力状态的基本概念 2. 平面应力状态应力分析 3. 极值应力与主应力 4. 应力圆 5. 复杂应力状态的最大应力 6. 平面应变状态应变分析 7. 各向同性材料的应力应变关系 8. 应变能计算
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
1. 什么是应力状态？ 2. 为什么要研究应力状态 3. 描述一点应力状态的方法
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
应力状态的概念——过一点、在不同方向面 上应力的集合，称之为这一点的应力状态 （State of the Stresses of a Given Point）。
应力的面的概念—过同一点不同方向面上的应力各不相同
受力之前,表面的正方形
FP
FP
受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
应力的面的概念—过同一点不同方向面上的应力各不相同
受力之前,表面斜置的正方形
FP
FP
受力之前,在其表面画一斜置的正方形；受拉 后，正方形变成了菱形。
材料力学
第八章 应力应变状态分析源自材料力学－第8章 应力应变状态分析
引言
在前面几章中，讨论了材料的拉伸、压缩、弯曲和扭转问题。 其共同特点是：
一是材料的危险截面危险点只承受正应力或剪应力 二是需要实验直接确定失效时的极限应力，并依此建立强度准则 但是，对于工程上的复杂结构 危险点同时受正应力和剪应力作用，很难用实验确定极限应力
这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
应力的面的概念—过同一点不同方向面上的应力各不相同
根据微元的局部平衡
y x
x
xy
x
x 拉中有剪 x
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
应力的面的概念—过同一点不同方向面上的应力各不相同
x
y
yx xy
x
y
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
描述一点应力状态的基本方法
y
x
x
y
yx
xy
x
单向应力状态
( One Dimensional State of
Stresses )
纯剪应力状态
( Shearing State of Stresses )
材料力学－第8章 应力应变状态分析
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念
应力的点的概念 — 同一截面上不同点的应力各不相同
FQ FNx
Mz
横截面上的正应力分布
横截面上的剪应力分布
横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表明：同 一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。
材料力学－第8章 应力应变状态分析
应力状态的基本概念