最新常数项级数的审敛法
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常数项级数的审敛法
§11-2常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
正项级数：«Skip Record If...»«Skip Record If...» (1)
显然，部分和数列«Skip Record If...»单调增加：«Skip Record If...»«Skip Record If...»
1.收敛准则
定理1正项级数«Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»部分数列
«Skip Record If...»有界.
例1判别正项级数«Skip Record If...»的收敛性
解«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»有上界级数收敛
2.比较审敛法
定理2设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是正项级数，且
«Skip Record If...»若«Skip Record If...»收敛,
则«Skip Record If...»收敛；反之，若«Skip Record If...»发散，则«Skip Record If...»发散．
分析：«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的部分和
«Skip Record If...»
即«Skip Record If...»有界,由TH1知«Skip Record If...»收敛。反之，设
«Skip Record If...»发散，则«Skip Record If...»必发散.因为若«Skip Record If...»收敛,由上面已证结论知«Skip Record If...»也收敛，与假设矛盾.
推论设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是正项级数,如果级数«Skip Record If...»收敛，且存在自然数N，使当«Skip Record If...»时有«Skip
Record If...»成立,则级数«Skip Record If...»收敛；如果级数«Skip Record If...»发散，且当«Skip Record If...»时有«Skip Record If...»成立, 则级数
«Skip Record If...»发散.
分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数k，以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性.
例2 讨论«Skip Record If...»—级数«Skip Record If...»的收敛性，其中常数«Skip Record If...»>0．
解设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»但调和级数发散，故级数(2)发散．
设«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
考虑级数«Skip Record If...»级数(3)的部分和
«Skip Record If...»=«Skip Record If...»
因«Skip Record If...»故级数(3)收敛．由推论1知，级数(3)当«Skip Record If...»>1时收敛.
总之：«Skip Record If...»—级数(2)当«Skip Record If...»1时发散，当«Skip Record If...»>1时收敛．
注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数，«Skip Record If...»—级数（调级数）
例3 判别下列级数的敛散性.
«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»发散, 原级数发散
«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛, 原级数收敛
练习«Skip Record If...»«Skip Record If...»
3.比较审敛法的极限形式
定理3 设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是正项级数,
(1)如果«Skip Record If...»且级数«Skip Record If...»收敛，则级数«Skip
Record If...»收敛；
(2)如果«Skip Record If...»或«Skip Record If...»，且级数«Skip Record
If...»发散，则级数«Skip Record If...»发散
例4判别下列级数的敛散性.
(1)«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»
发散原级数发散
«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛收
敛
4．比值审敛法
定理4设«Skip Record If...»为正项级数，如果«Skip Record If...»
则当«Skip Record If...»级数收敛; «Skip Record If...»(或«Skip Record If...»)时级数发散; «Skip Record If...»时级数可能收敛也可能发散．（证略，
可参考教材）
例5判别下列级数的敛散性：
(1)«Skip Record If...»«Skip Record If...»级数收敛