最新常数项级数的审敛法

合集下载

常数项级数的审敛法112

1
p1

1 4p

( p 0) 的收敛性
]

1 np
而调和级数 n11n 发散
1 xp

dx
其部分和
3
1
p1
]
p11[

(n
[
n
n1

1 1)
1
p1
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

常数项级数的审敛法

23
证明
假设级数
1
收敛，
n1 n
且
lim
n
Sn
S
1 n
则
lim
n
S2n
S
于是
lnim(S2n Sn ) S S 0
例1 证明调和级数 1 1 1 1 1
是发散的。
n1 n
23
n
另一方面
S2n
Sn
1 n 1
n
1
2
111 2n 2n 2n
1 1 2n 2
故
lnim(S2n Sn ) 0
一、正项级数的审敛法
如果级数
un u1 u2 un
n1
的每一项都是非负数，即un ≥0(n=1, 2, …) ，则称此级数为正项级数。
1.比较审敛法
设级数
un
n1
和
n1
vn
都是正项级数，且un
≤vn
(n=1,
2,
…)。
（1）若级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
（2）若级数
例5 级数 (1)n sin 1 收敛吗？若收敛，是条件收敛还是绝
对收敛？ n1
n
再考虑每项取绝对值，得级数 sin 1
n1 n
由比较审敛法的极限形式，可知级数 sin 1 发散。
n1 n
所以级数 sin 1 是条件收敛。
n1 n
高等数学
1
2n 2n
1
1 2
1
由比较审敛法知，该级数收敛。
例3 判断下列级数的敛散性：
2n 1
(1)
n1
2n
(2) nxn1
n1
(x 0)

高数课件-常数项级数的审敛法

證明 S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
21
由前一式知{S2n}單調增加，由後一式知S2n <u1。由數列判斂的單調有界準則知:
lim
n
S 2n 存在，记为S , 则S
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
1
lim
n
a
2n
, 6
3
lim
n
a
2n1
, 2
lim un1 n un
lim
n
an
不存在.
13
例4 判斷下列各級數的斂散性
n3
(1)
,
n1 2n
e n
(2)
,
n1 n!
n!
(3) n1 nn
ln n
(4)
,
n2
n2
解（1）
)~ 3 n2
而
1
3
收
敛,
所給級數收斂。
n n1 2
9
定理 10.2.4(比值審斂法,達朗貝爾D’Alember審斂法)
设 un
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1 时失效.
證明当为有限数时, 对 0,
N,
当n N时,
有 un1 ,
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
注意 un單調減少不是交錯級數 (1)n1un (un 0) n1 收斂的必要條件。
23
例8 判斷 sin n2 1的收敛性。

高数第十二章(2)常数项级数的审敛法

因此 lim u n u N 0 , 所以级数发散.
u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
机动目录上页下页返回结束
例5. 讨论级数
的敛散性 .
u n 1 (n 1) x n lim 解: lim x n 1 n u n n n x
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数目录
上页
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
机动目录
单调递增,
也收敛.
上页下页返回结束
定理2 (比较审敛法) 设
且存在对一切有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数收敛 , 则弱级数
也收敛 ;
也发散 .
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
n
n
n
机动
目录

常数项级数审敛法

4
1 例1 判别级数 n2 n 的敛散性 n 1 1 1 un n n 解: n2 2 1 1 而级数 2n 收敛级数 n2n 收敛 n 1 n 1 1 例 2 证明级数是发散的. n 1 n( n 1)

例 3 讨论 P-级数
根据定理4可知:
当 0 x 1 时 , 级数收敛 ;
当 x 1 时 , 而当级数发散 ;

x 1 时 , 级数 n 发散 .
n 1
21
2. 根值审敛法
定理5 设

n 1

n 为正项级数 , 且 lim un , 则 un n
(1) 当 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 1 时 , 级数发散 .
6
1 例4 判别级数 (n 1)(n 2)的敛散性 n 1

1 1 解 : un 2 ( n 1)(n 2) n 1 1 而级数 n2 收敛级数 (n 1)(n 2)收敛 n 1 n 1 1!2! n！例5 判别级数 (2n)! 的敛散性 n 3 1!2! n! n n! ( n 1)! 解 : un ( 2n)! ( 2n)！ ( 2n)! 1 1 2 （n 2）n 3) 2n ( n
N 0,当n N时，有 un 1 0
2 当n N时，un un un un ,
2 而 un收敛， un收敛
n N
n 1

n N
2 即 un收敛 n1

8
(2)

un un1

1 ( un un1 ) 2

高数课件28无穷级数1常数项级数审敛法

应用举例
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值法或根值法求出收敛半径为1。然后通过对幂级数逐项积分或逐项求导等方法求出和函数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需要注意收敛域为$(-1,1)$。

高数同济12.2常数项级数的审敛法

当p 1时, 收敛 P 级数当p 1时, 发散
例3 判别如下级数的敛散性 : (1)

1 n1
1
n 1
; (2)

1 n ( n 2 1)
,
n 1
(1)
n1
n1

n 2

1 n
P—级数
p 1 2
1,发散
1 1 1 1 1 p p p p 2 3 4 n
n 1
1 1 ; (4) 2 ln n n n1 n 1 (ln n )
n 1
n 1
收敛发散
(3)u n

1 1 1 n 2 , 2 2 n( n 1) ( n 1) n n1
1 1 收敛. 收敛, 2 2 n1 n 2 ( n 1) n 1 n
n 1 n 1 n 1 n 1

例 2 证明级数

n 1

1 是发散的. n( n 1)
证明

1 而级数发散, n 1 n 1 1 发散. 级数 n( n 1) n 1
1 , n( n 1) n1

1
1 1 1 1 1 p p p p 2 3 4 n
一、正项级数及其审敛法比较判别法的极限形式:
un 设 u n 与 v n 都是正项级数 , 如果 lim l, n v n n 1 n1
则 (1) 当 0 l 时 , 二级数有相同的敛散性 (2) 当 l 0 时，若 (3) 当 l 时 ,

n
lim
1 1
1 n 3

11常数项级数的审敛法

收敛.
正项级数及
其
(因为p q 7 2 3 22
1
)
审敛法
18
常数项级数的审敛法
例如
n1
3n
tan
2n
发散.
因为 n ,
3n
tan
2n
而
n1
3 2
n
发散.
~
3n
2
正项级数及其审敛法
19
常数项级数的审敛法
例判定下列级数的敛散性
(1) sin 1
第二节常数项级数的审敛法
constant term infinite series
正项级数及其审敛法交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛
1
第十一章无穷级数
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
positive term series
1. 定义
un
n1
un 0
正项级数
2. 收敛的充要条件
un vn
正
n1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn
项级数及
其
即部分和数列有界. un 收敛
审敛
n1
法
5
常数项级数的审敛法
若0 un vn ,
un 发散 vn 发散
n1
n1
证设 sn (n ) 且 un vn
则 n sn
不是有界数列
n
1 cos
解 lim n
n
n
2
1
1
x
0 cos x～
x
2
2
2
p 2的p 级数
而级数

6.2 常数项级数审敛法

an 1 5 n1 n 5 n 5 lim lim n lim5 ( ) 51 5 n a n ( n 1) 5 n n 1 n
5n 所以, 级数 5 发散. n 1 n

二、交错级数的审敛法
形如
a1 a2 a3 a4 (1) an (an 0)
收敛级数，上述级数(6-4)是一个条件收敛级数.
也就是说正项级数(6-1)的每一项,都不超过
一个收敛的等比级数的对应项.根据比较审敛法
,可知级数(6-1)是收敛的.
类似地还可得到：
一个正项级数(6-1),如果对每一个n都有
an 1 g 1, an
那么这个正项级数是发散的.
a n1 如果在正项级数(6-1)中,比值 a 的极限存 n
在,那么根据以分析,可以得到下面的审敛法.
2 n

例 6-5 判别级数

2 2 因为级数是公比为的等比级数 , 是收敛的 , n 3 n 1 3 n 所以, 2 si n n 也收敛 . 3 n 1

n
1 例 6-6 讨论级数 p 的收敛性 , 其中 p 为正 n 1 n

常数.
此级数称为 p 级数. 解当 p =1 时，此时 p 级数就是调和级数

证利用比较审敛法. 注意到 n 1 1 n1 ( n 1 , 2 , 3 , ) , 2 n 2 5n 2 8n 8 n 1 因调和级数是发散的，根据级数性质1知道, n 1 n 1 调和级数各项乘以后仍发散,所以正项级数 8 n1 发散. 2 n 1 n 5n 2
n 1

112-第二节--常数项级数审敛法

第二节常数项级数审敛法（2-3大节）教学目标:1、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法, 会用根值审敛法.2.掌握p 级数的收敛与发散条件.3.掌握交错级数的莱布尼兹审敛法, 掌握绝对收敛与条件收敛的概念及性质. 课时安排: 6课时重点. 1.正项级数的2.交错级数的莱布尼茨判别法。

3.一般项级数的绝对收敛条件；收敛的判别法.难点: 常数项级数的审敛法教学法: 讲授法一.正项级数的审敛法:1.正项级数:2.正项级数的特点:①1{}n n n S S S +≤⇒单调增数列②n n n n n 1u limS {S }∞→∞=⇔∃⇔∑收敛有界（充要条件）③若n n n n 1u limS ∞→∞=⇔=+∞∑发散3.比较判别法（正项级数）①结论: （定理）大敛小敛, 小散大散即: : ⅰⅱ n n n 1n 1u v ∞∞==∑∑若发散，则发散②简证: ⅰ为例来证n n n n n n n n n 1v {}u v ,S {S }u σσ∞=⇒≤≤⇒⇒∑∑是收敛的有界又则有界收敛③比较判别法的极限形式: 0lim 0,n n n n n n n n n n n n l l u v u u v v u v v u u v ⎧<<+∞⇒⎪⎪=⇒⇒⇒⎨⎪+∞⇒⇒⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑，与敛散性相同发散发散，收敛收敛，发散发散，收敛收敛 ④使用比较判别法应注意的问题:ⅰ“同性相比”（敛的和敛的比, 散的和散的比）ⅱ 和标准去比.11.--:111.--ln 1p p a p b P n p p l P n n p ⎧⎪⎪⎪>⇒⎧⎪⎨⎨≤⇒⎩⎪⎪>⇒⎧⎪⎨⎪≤⇒⎩⎩∑∑与等比级数比收敛级数发散收敛准级数发散 ⅲ 、“敏锐”眼光, “先见之明”, “抓大头”, 熟记等价无穷小公式。

⑤例题分析:例1.讨论p n=11P--n ∞∑级数的敛散性： n p p p 111S 123n =+++⋅⋅⋅+对于K-1<X<K P p11K x ⇒<(p>1时) n n p k 21S 1k ==+∑=n k p k 1k 211dx k -=+∑⎰n k p k 1k 21<1dx x -=+∑⎰ 有界, 收敛当p 11p 1n n≤≥时，散；考察: （调和级数）用反证法:则2n n n lim(S S )0→∞-= 另一方面: 2n n n 1lim(S S )2→∞∴-> 例2.设n n n n nu u 0,v 0,lim 0,v →∞>>=且则正确的有： ⑴n n v u ⇒∑∑敛敛（对） ⑵n n u v ⇒∑∑散敛（错） ⑶n n v u ⇒∑∑散散（错） ⑷n n u v ⇒∑∑敛敛（错）例3.快速判断下列级数的敛散性:①n 1n n 11n ∞∞∞====∑②n n ∞∞== ③n 1n 111sin n n ∞∞==∑∑与相比 ④n 1n n 1∞=+∑ 解: ① 发散；②3n n 1232n(n+1)13lim 1P P-- 12n n ∞→∞==∑同敛散但为=的级数收敛 ∴原级数收敛③n n 1n 11sin 11n lim 1sin 1n n n∞∞→∞===∴∑∑同收敛，发散发散 ④由收敛的必要条件, 一般项极限为1, 发散。

§11.2常数项级数审敛法

证明: 因为

1 1 1 , 2 n( n 1) n1 ( n 1)
1 1 发散, 所以级数发散. 而级数 n1 n( n 1) n1 n 1
Hale Waihona Puke 比较审敛法是一基本方法, 虽然有用, 但应用起来却有许多不便. 因为它需要建立定理所要求的不等式, 而这种不等式常常不易建立, 为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法. 4. 比较审敛法的极限形式: un 设 un , vn 为两个正项级数, 如果 lim l , n v n1 n1 n 则: (1) 当 0 < l <+ 时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当 l = 0 时, 若 vn 收敛, 则 un 收敛;
故当 vn 发散时 un 发散.
n1 n1

5. 极限审敛法:
设 un 为正项级数,
n1

lim nun ), 则级数 un 发散; 如果 lim nun l 0 (或 n
n
p lim n 如果有 p>1, 使得 n un 存在, 则级数 un 收敛.

n1
极限审敛法是以p-级数为比较级数的审敛法. 例3: 判定下列级数的敛散性: 1 1 . (1) sin ; (2) n n1 3 n n n1 1 sin 1 n 1, 解(1): 由于 lim n sin lim n n n 1 1 n 所以级数 sin 发散. n n1
故原级数收敛. 当 >1时, 取 < –1, 使得 r = – > 1, 当n>N时, un+1> run > un, 故数列{ un }严格单调增加的, 所以有 lim un 0. 故原级数发散.

第十一章第2节常数项级数审敛法

.
例如
n un
p - 级数
1 n1 n p
:
lim un1 lim n un n
1 (n1) p 1 np
1
但
p 1 级数收敛 p 1 级数发散
18
例 11 判别下列级数的收敛性:
n!
(1) n1 nn ;
n! (2) n1 10n ;

由定理2可知 , 若级数
vn发散 , 则级数
un
也发散. 12
n 1
n1
总结:
un , vn 是两个正项级数 , lim un l ,
n1
n 1
n vn
(1) 当 0 l 时 , 两个级数同时收敛或发散 ;

(2) 当 l 0 且级数 vn 收敛时 , 级数 un 也收敛 ;
n 1
n vn
(1) 当 0 l 时 , 两个级数同时收敛或发散 ;

(2) 当 l 0 且级数 vn 收敛时 , 级数 un 也收敛 ;
n 1
n1

(3) 当 l 且级数 vn 发散时 , 级数 un 也发散 .
n 1
n1
证: 根据极限定义 , 对 0 ,存在 N Z,当 n N 时,
,
级数
n1
1 4n2
收敛,
故级数

n1
2n

(
1 2n

1)
收敛.
20

例12. 讨论级数 n xn1 ( x 0 ) 的敛散性 .
n1
解:
lim un1 lim n un n

常数项级数的审敛法112

§11. 2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数.定理1 正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件它的部分和数列{s n }有界.定理2(比较审敛法)设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且u n ≤v n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ). 若级数∑∞=1n n v 收敛,则级数∑∞=1n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 发散.定理2(比较审敛法)设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且u n ≤v n (k >0, ∀n ≥N ).若∑∞=1n n v 收敛, 则∑∞=1n n u 收敛; 若∑∞=1n n u 发散, 则∑∞=1n n v 发散.设∑u n 和∑v n 都是正项级数, 且u n ≤kv n (k >0, ∀n ≥N ). 若级数∑v n 收敛, 则级数∑u n 收敛; 反之, 若级数∑u n 发散, 则级数∑v n 发散.证设级数∑∞=1n n v 收敛于和σ, 则级数∑∞=1n n u 的部分和s n =u 1+u 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +u n ≤v 1+ v 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v n ≤σ (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 即部分和数列{s n }有界, 由定理1知级数∑∞=1n n u 收敛.反之, 设级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 必发散. 因为若级数∑∞=1n n v 收敛, 由上已证明的结论, 将有级数∑∞=1n n u 也收敛, 与假设矛盾.证仅就u n ≤v n (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ )情形证明. 设级数∑v n 收敛, 其和为σ, 则级数∑u n 的部分和s n =u 1+ u 2+ ⋅ ⋅ ⋅ + u n ≤v 1+v 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v n ≤σ (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 即部分和数列{s n }有界. 因此级数∑u n 收敛.反之, 设级数∑u n 发散, 则级数∑v n 必发散. 因为若级数 ∑v n 收敛, 由上已证明的结论, 级数∑u n 也收敛, 与假设矛盾.推论设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果级数∑∞=1n n v 收敛, 且存在自然数N , 使当n ≥N 时有u n ≤kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 如果级数∑∞=1n n v 发散, 且当n ≥N 时有u n ≥kv n (k >0)成立, 则级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论p -级数1413121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=∑∞=p p p p p n n n 的收敛性, 其中常数p >0. 例1 讨论p -级数)0( 11>∑∞=p np n 的收敛性. 解设p ≤1. 这时n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n 发散, 由比较审敛法知, 当p ≤1时级数p n n11∑∞=发散.设p >1. 此时有]1)1(1[111111111-------=≤=⎰⎰p p n n p n n pp n n p dx x dx n n (n =2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).对于级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n , 其部分和111111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s .因为1])1(11[lim lim 1=+-=-∞→∞→p n n n n s . 所以级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数p n n11∑∞=当p >1时收敛.综上所述, p -级数p n n11∑∞=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散. 解当p ≤1时, n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n发散, 由比较审敛法知,当p ≤1时级数pn n 11∑∞=发散. 当p >1时,]1)1(1[111111111-------=≤=⎰⎰p p n n pn n pp n n p dx x dx n n (n =2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).而级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 是收敛的, 根据比较审敛法的推论可知,级数pn n 11∑∞=当p >1时收敛.提示: 级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 的部分和为111111)1(11])1(11[ ]3121[]211[------+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=p p p p p p n n n n s . 因为1])1(11[lim lim 1=+-=-∞→∞→p n n n n s ,所以级数]1)1(1[112--∞=--∑p p n n n 收敛.p -级数的收敛性: p -级数pn n 11∑∞=当p >1时收敛, 当p ≤1时发散. 例2 证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的. 证因为11)1(1)1(12+=+>+n n n n , 而级数 11 3121111⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=+∑∞=n n n 是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果l v u nnn =∞→lim(0<l <+∞),则级数∑∞=1n n u 和级数∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散.定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数,(1)如果l v u n nn =∞→lim (0≤l <+∞), 且级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛; (2)如果+∞=>=∞→∞→n nn n n n v u l v u lim 0lim 或, 且级数∑∞=1n n v 发散, 则级数∑∞=1n n u 发散. 定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑u n 和∑v n 都是正项级数,(1)如果lim(u n /v n )=l (0≤l <+∞), 且∑v n 收敛, 则∑u n 收敛; (2)如果lim(u n /v n )=l (0<l ≤+∞), 且∑v n 发散, 则∑u n 发散.证明由极限的定义可知, 对l 21=ε, 存在自然数N , 当n >N 时, 有不等式l l v u l l n n2121+<<-, 即n n n lv u lv 2321<<, 再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论. 例3 判别级数∑∞=11sinn n的收敛性.解因为111sin lim =∞→nn n , 而级数∑∞=11n n发散,根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=11sinn n发散. 例4 判别级数∑∞=+12)11ln(n n 的收敛性. 解因为11)11ln(lim22=+∞→nn n , 而级数211n n ∑∞=收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=+12)11ln(n n 收敛. 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)若正项级数∑∞=1n n u 的后项与前项之比值的极限等于ρ:ρ=+∞→nn n u u 1lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim)时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 若正项级数∑∞=1n n u 满足ρ=+∞→nn n u u 1lim, 则当ρ<1时级数收敛;当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim)时级数发散. 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)设∑∞=1n n u 为正项级数, 如果ρ=+∞→n n n u u 1lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或∞=+∞→nn n u u 1lim )时级数发散; 当ρ =1时级数可能收敛也可能发散.例5 证明级数 )1( 3211 3211211111⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅++n 是收敛的. 解因为101lim 321)1( 321lim lim1<==⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=∞→∞→+∞→nn n u u n n n n n ,根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例6 判别级数10! 10321102110132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+nn 的收敛性.解因为∞=+=⋅+=∞→+∞→+∞→101lim ! 1010)!1(lim lim11n n n u u n nn n n n n , 根据比值审敛法可知所给级数发散. 例7 判别级数∑∞∞→⋅-n n n 2)12(1的收敛性.解 1)22()12(2)12(lim lim1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n nn u u n n n n .这时ρ=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性.因为212)12(1n n n <⋅-, 而级数211n n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 解因为212)12(1n n n <⋅-, 而级数211nn ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.提示: 1)22()12(2)12(lim lim1=+⋅+⋅-=∞→+∞→n n nn u u n n n n , 比值审敛法失效.因为212)12(1nn n <⋅-, 而级数211n n ∑∞=收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛.定理5(根值审敛法, 柯西判别法)设∑∞=1n n u 是正项级数, 如果它的一般项u n 的n 次根的极限等于ρ:ρ=∞→nn n u lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞→n n n u lim)时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 若正项级数∑∞=1n n u 满足ρ=∞→nn n u lim, 则当ρ<1时级数收敛;当ρ>1(或+∞=∞→nn n u lim)时级数发散. 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 设∑∞=1n n u 为正项级数, 如果ρ=∞→nn n u lim,则当ρ<1时级数收敛; 当ρ>1(或+∞=∞→nn n u lim )时级数发散; 当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.例8 证明级数 1 3121132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nn 是收敛的. 并估计以级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差. 解因为01lim 1lim lim ===∞→∞→∞→nn u n nn n n n n ,所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.以这级数的部分和s n 近似代替和s 所产生的误差为)3(1)2(1)1(1||321⋅⋅⋅++++++=+++n n n n n n n r )1(1)1(1)1(1321⋅⋅⋅++++++<+++n n n n n n + nn n )1(1+=. 例6判定级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性. 解因为21)1(221limlim =-+=∞→∞→n n n n n n u ,所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛. 定理6(极限审敛法) 设∑∞=1n n u 为正项级数,(1)如果)lim (0lim +∞=>=∞→∞→n n n n nu l nu 或, 则级数∑∞=1n n u 发散;(2)如果p >1, 而)0( lim +∞<≤=∞→l l u n n p n , 则级数∑∞=1n n u 收敛.例7 判定级数∑∞=+12)11ln(n n 的收敛性.解因为)(1~)11ln(22∞→+n n n , 故11lim )11ln(lim lim 22222=⋅=+=∞→∞→∞→n n n n u n n n n n , 根据极限审敛法, 知所给级数收敛.例8 判定级数)cos 1(11nn n π-+∑∞=的收敛性.解因为 222232321)(211lim )cos 1(1limlimπππ=⋅+=-+=∞→∞→∞→n n n n n n n u n n n nn ,根据极限审敛法, 知所给级数收敛.二、交错级数及其审敛法交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为∑∞=--11)1(n n n u , 其中0>n u .例如,1)1(11∑∞=--n n n 是交错级数, 但 cos 1)1(11∑∞=---n n n n π不是交错级数.定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足条件:(1)u n ≥u n +1 (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅); (2)0lim =∞→n n u ,则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1. 定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足: (1)1+≥n n u u ; (2)0lim =∞→n n u ,则级数收敛, 且其和s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值|r n |≤u n +1.简要证明: 设前n 项部分和为s n .由s 2n =(u 1-u 2)+(u 3-u 4)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n 1-u 2n ), 及 s 2n =u 1-(u 2-u 3)+(u 4-u 5)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(u 2n -2-u 2n -1)-u 2n 看出数列{s 2n }单调增加且有界(s 2n <u 1), 所以收敛.设s 2n →s (n →∞), 则也有s 2n +1=s 2n +u 2n +1→s (n →∞), 所以s n →s (n →∞). 从而级数是收敛的, 且s n <u 1.因为 |r n |=u n +1-u n +2+⋅ ⋅ ⋅也是收敛的交错级数, 所以|r n |≤u n +1. 例9 证明级数 1)1(11∑∞=--n n n收敛, 并估计和及余项.证这是一个交错级数. 因为此级数满足 (1)1111+=+>=n n u n n u (n =1, 2,⋅ ⋅ ⋅), (2)01lim lim ==∞→∞→nu n nn ,由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s <u 1=1, 余项11||1+=≤+n u r n n .三、绝对收敛与条件收敛: 绝对收敛与条件收敛:若级数∑∞=1||n n u 收敛, 则称级数∑∞=1n n u 绝对收敛; 若级数∑∞=1n n u收敛, 而级数∑∞=1||n n u 发散, 则称级∑∞=1n n u 条件收敛.例10 级数∑∞=--1211)1(n n n 是绝对收敛的, 而级数∑∞=--111)1(n n n 是条件收敛的.定理7 如果级数∑∞=1n n u 绝对收敛, 则级数∑∞=1n n u 必定收敛.值得注意的问题:如果级数∑∞=1||n n u 发散, 我们不能断定级数∑∞=1n n u 也发散.§11．1 常数项级数的概念和性质11 但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数∑∞=1||n n u 发散,则我们可以断定级数∑∞=1n n u 必定发散.这是因为, 此时|u n |不趋向于零, 从而u n 也不趋向于零, 因此级数∑∞=1n n u 也是发散的.例11 判别级数∑∞=12sin n nna 的收敛性. 解因为|221|sin n n na ≤, 而级数211nn ∑∞=是收敛的, 所以级数∑∞=12|sin |n n na 也收敛, 从而级数∑∞=12sin n n na 绝对收敛. 例12 判别级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 的收敛性. 解: 由2)11(21||n nn n u +=, 有121)11(lim 21||lim >=+=∞→∞→e n u n n n n n , 可知0lim ≠∞→n n u , 因此级数∑∞=+-12)11(21)1(n n nnn 发散.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

常数项级数的审敛法§11-2常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：«Skip Record If...»«Skip Record If...» (1)显然，部分和数列«Skip Record If...»单调增加：«Skip Record If...»«Skip Record If...»1.收敛准则定理1正项级数«Skip Record If...»收敛«Skip Record If...»部分数列«Skip Record If...»有界.例1判别正项级数«Skip Record If...»的收敛性解«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»有上界级数收敛2.比较审敛法定理2设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是正项级数，且«Skip Record If...»若«Skip Record If...»收敛,则«Skip Record If...»收敛；反之，若«Skip Record If...»发散，则«Skip Record If...»发散．分析：«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的部分和«Skip Record If...»即«Skip Record If...»有界,由TH1知«Skip Record If...»收敛。

反之，设«Skip Record If...»发散，则«Skip Record If...»必发散.因为若«Skip Record If...»收敛,由上面已证结论知«Skip Record If...»也收敛，与假设矛盾.推论设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是正项级数,如果级数«Skip Record If...»收敛，且存在自然数N，使当«Skip Record If...»时有«SkipRecord If...»成立,则级数«Skip Record If...»收敛；如果级数«Skip Record If...»发散，且当«Skip Record If...»时有«Skip Record If...»成立, 则级数«Skip Record If...»发散.分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数k，以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性.例2 讨论«Skip Record If...»—级数«Skip Record If...»的收敛性，其中常数«Skip Record If...»>0．解设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»但调和级数发散，故级数(2)发散．设«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»考虑级数«Skip Record If...»级数(3)的部分和«Skip Record If...»=«Skip Record If...»因«Skip Record If...»故级数(3)收敛．由推论1知，级数(3)当«Skip Record If...»>1时收敛.总之：«Skip Record If...»—级数(2)当«Skip Record If...»1时发散，当«Skip Record If...»>1时收敛．注：比较审敛法的：必须有参考级数。

常用：几何级数，«Skip Record If...»—级数（调级数）例3 判别下列级数的敛散性.«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»发散, 原级数发散«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛, 原级数收敛练习«Skip Record If...»«Skip Record If...»3.比较审敛法的极限形式定理3 设«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是正项级数,(1)如果«Skip Record If...»且级数«Skip Record If...»收敛，则级数«SkipRecord If...»收敛；(2)如果«Skip Record If...»或«Skip Record If...»，且级数«Skip RecordIf...»发散，则级数«Skip Record If...»发散例4判别下列级数的敛散性.(1)«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»发散原级数发散«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛收敛4．比值审敛法定理4设«Skip Record If...»为正项级数，如果«Skip Record If...»则当«Skip Record If...»级数收敛; «Skip Record If...»(或«Skip Record If...»)时级数发散; «Skip Record If...»时级数可能收敛也可能发散．（证略，可参考教材）例5判别下列级数的敛散性：(1)«Skip Record If...»«Skip Record If...»级数收敛(2)«Skip Record If...»«Skip Record If...»级数发散(3)«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛, «Skip Record If...»发散«Skip Record If...»发散5. 根值审敛法----柯西判别法定理5设«Skip Record If...»为正项级数，如果«Skip Record If...»则当«Skip Record If...»时级数收敛，«Skip Record If...»(或«Skip Record If...»)时级数发散，«Skip Record If...»时级数可能收敛也可能发散. （证略，可参考教材）例6判别下列级数的敛散性(1)«Skip Record If...»«Skip Record If...»级数收敛«Skip Record If...»«Skip Record If...»级数发散6 根限审敛法（与«Skip Record If...»—级数作比较）定理6设«Skip Record If...»为正项级数，(1)如果«Skip Record If...»则«Skip Record If...»发散；(3)如果«Skip Record If...»，而«Skip Record If...»则级数«Skip RecordIf...»收敛。

例7判别下列级数的敛散性（1）«Skip Record If...»«Skip Record If...»发散.（2）«Skip Record If...»«Skip Record If...»收敛二、交错级数及其审敛法交错级数：«Skip Record If...»或«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»都是正数．定理7 (莱布尼兹定理) 如累交错级数«Skip Record If...»满足条件:«Skip Record If...»则级数收敛，且其和«Skip Record If...»,其余项«Skip Record If...»的绝对值«Skip Record If...»分析：先证明S2n的极限存在,为此把S2n写成两种形式:«Skip Record If...»及«Skip Record If...»根据条件(1)知所有括弧中的差非负的.由第一种形式可见«Skip Record If...»单调增，由第二种形式可见«Skip Record If...»，因单调有界数列必有极限，当«Skip Record If...», «Skip Record If...»趋于一个极限s，且«Skip Record If...»再证明前«Skip Record If...»项的和s2n+1的极限也是s,事实上，«Skip Record If...»由条件(2)知«Skip Record If...»因此«Skip Record If...»由于«Skip Record If...»故«Skip Record If...»收敛于和s ,且«Skip Record If...»最后«Skip Record If...» , «Skip Record If...»上式右端是一个交错级数，它满足收敛的两个条件，所以«Skip Record If...»证毕．例8判别级数«Skip Record If...»的敛散性。