分形几何学与黄金分割 共89页
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《数学文化》之黄金分割
黄金分割比例
在艺术中，黄金分割比例通常被表示为1:1.618（或约等于0.618:1），这一比 例被认为是最具美感的比例。
平衡与和谐
黄金分割原则在艺术中的应用旨在创造平衡、和谐和美感，通过将作品的不同 部分按照黄金分割比例进行布局，可以使作品更加吸引观众的目光。
黄金分割在建筑、绘画等领域的应用
建筑中的应用
自然界模拟
黄金分割也用于模拟自然界中的形态和结构，如植物分形、雪花等 自然物体的生成算法。
动画与游戏设计
在动画和游戏设计中，黄金分割可用于角色设计、场景布局以及游戏 界面的优化，提升用户体验。
黄金分割在优化问题中的应用
1 2 3
搜索算法
黄金分割搜索算法是一种用于求解单峰函数最优 解的方法，通过不断缩小搜索区间来逼近最优解。
03
黄金分割与自然界
自然界中的黄金分割现象
01
黄金分割比例
自然界中许多事物都呈现出黄金分割比例，即较长部分与较短部分之比
等于整体与较长部分之比，其比值约为1.618。
02
螺旋形态
许多自然物体的形态，如旋风、螺壳等，都呈现出与黄金分割相关的螺
旋形态。
03
植物的生长模式
植物的生长模式，如叶子的排列、枝条的分叉等，也常遵循黄金分割法
02
黄金分割与数学美
数学美的体现
01
02
03
简洁性
黄金分割作为一种数学概 念，其表达式简单明了， 体现了数学的简洁美。
对称性
黄金分割与对称性密切相 关，许多具有黄金分割特 征的图形都呈现出对称性， 展示了数学的对称美。
和谐性
黄金分割在自然界和艺术 作品中广泛存在，其比例 关系带给人一种和谐与平 衡的美感。
在艺术中，黄金分割比例通常被表示为1:1.618（或约等于0.618:1），这一比 例被认为是最具美感的比例。
平衡与和谐
黄金分割原则在艺术中的应用旨在创造平衡、和谐和美感，通过将作品的不同 部分按照黄金分割比例进行布局，可以使作品更加吸引观众的目光。
黄金分割在建筑、绘画等领域的应用
建筑中的应用
自然界模拟
黄金分割也用于模拟自然界中的形态和结构，如植物分形、雪花等 自然物体的生成算法。
动画与游戏设计
在动画和游戏设计中，黄金分割可用于角色设计、场景布局以及游戏 界面的优化，提升用户体验。
黄金分割在优化问题中的应用
1 2 3
搜索算法
黄金分割搜索算法是一种用于求解单峰函数最优 解的方法，通过不断缩小搜索区间来逼近最优解。
03
黄金分割与自然界
自然界中的黄金分割现象
01
黄金分割比例
自然界中许多事物都呈现出黄金分割比例，即较长部分与较短部分之比
等于整体与较长部分之比，其比值约为1.618。
02
螺旋形态
许多自然物体的形态，如旋风、螺壳等，都呈现出与黄金分割相关的螺
旋形态。
03
植物的生长模式
植物的生长模式，如叶子的排列、枝条的分叉等，也常遵循黄金分割法
02
黄金分割与数学美
数学美的体现
01
02
03
简洁性
黄金分割作为一种数学概 念，其表达式简单明了， 体现了数学的简洁美。
对称性
黄金分割与对称性密切相 关，许多具有黄金分割特 征的图形都呈现出对称性， 展示了数学的对称美。
和谐性
黄金分割在自然界和艺术 作品中广泛存在，其比例 关系带给人一种和谐与平 衡的美感。
《分形几何简介》课件
分形的类型
自相似分形
自相似分形是指在不同尺度下具有相似结构的 图形，如科赫曲线和谢尔宾斯基三角形。
原子分形
原子分形是由单一基本元素重复形成的图案， 类似于雪花和花纹图案。
组分形
组分形是由多个不同形状的图形组合而成，例 如分形树和分形花朵。
拓扑分形
拓扑分形通过改变图形的拓扑结构，如将平面 断开或折叠，创建具有分形性质的图像。
分形的应用
分形图像的生成
分形几何的特性使其成为生成艺 术和图像的强大工具。许多美丽 的分形艺术作品都是通过数学算 法生成的。
分形在自然界中的应用
分形在工程领杂结构和形态，如树叶的纹理、 山脉的形状和云朵的分布。
分形几何的优势在于能够设计更 高效的结构和表面，如天线、电 路板和隔音材料的优化设计。
分形几何的未来
• 分形几何将继续发展，为我们提供对自然界和复杂系统的更深入理解和建模能力。 • 在科学和工程领域，分形几何将继续发挥重要作用，帮助解决复杂问题。 • 分形几何的应用将在未来社会的许多领域中持续拓展，包括建筑设计、艺术创作和生物医学等。
结束语
分形几何的意义远超出了几何学的范畴，它让我们对世界的复杂性有了更深入的认识，启发着我们的思维和创 造力。未来，分形几何将为科学、艺术和工程等领域带来更多的突破和创新。
《分形几何简介》
通过探索分形几何的奇妙世界，我们将带您踏上一段迥异于传统几何学的旅 程。了解分形几何的基本概念和其在科学和工程等领域的应用。
什么是分形几何
分形几何是一门研究非整数维度空间中的几何形状和模式的学科。不同于传 统几何学，分形几何更加接近自然界中的复杂结构和形态。
几何图形与分形
传统的几何图形基于欧氏几何学，具有整数维度，并且具有平滑的结构。分形的定义则更加灵活和重复，能够 描述自相似和具有复杂结构的图形。
几何学的一大宝藏 --------黄金分割30页PPT
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
几何学的一大宝藏 --------黄金分割
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
(完整word版)黄金分割及其应用
AB AC 2
(完整 word 版)黄金分割及其应用
因为任何的无理数都可以用有理数逼近．现在我们试图找出一串分数
an n 1,2,3,
bn
，使得 lim an
b n n
,而且 an bn
是所有分母小于或等于 bn 的分数中最接近
的。
我们用一种近似方法-—迭代法来确定求解黄金分割数 的二次方程式
表1
n
1
2
2 0.666 3
3
4
5 0.625 8
xn 1 0.5 2
3 0.6 5
方程 x2 x 1 0 的根的近似值
n
xn
n
xn
5
8 0.618
9
55 0.6180
13
89
6
13 0.619 21
10
7
21 0.6176 89 0.6181
34
144
8
34 0.6181 55
料挤压入其间因量少而铆合不牢； 内齿数太少， 材料又难以压入填满其间而铆合
不牢. 故内齿数目有一个最佳值的问题。
（1）确定初始点及可行区间
原有一模具（冲头)， 冲出链轮内齿 40 牙/周, 所有组合件均发生转动, 转动
率 100％； 后来加工了一个 10 牙/周的冲头， 结果转动率仍为 60％之多.经分析,
例如，当下跌行情结束前，某股的最低价为 10 元, 那么, 股价反转上升时, 可
预先计算出不同反弹价位：
10＊（1+0.191）=11.9 元
10＊(1+0。382）=13.8 元
10＊(1+0.618)=16。2 元
10*(1+0。809)=18。1 元
(完整 word 版)黄金分割及其应用
因为任何的无理数都可以用有理数逼近．现在我们试图找出一串分数
an n 1,2,3,
bn
，使得 lim an
b n n
,而且 an bn
是所有分母小于或等于 bn 的分数中最接近
的。
我们用一种近似方法-—迭代法来确定求解黄金分割数 的二次方程式
表1
n
1
2
2 0.666 3
3
4
5 0.625 8
xn 1 0.5 2
3 0.6 5
方程 x2 x 1 0 的根的近似值
n
xn
n
xn
5
8 0.618
9
55 0.6180
13
89
6
13 0.619 21
10
7
21 0.6176 89 0.6181
34
144
8
34 0.6181 55
料挤压入其间因量少而铆合不牢； 内齿数太少， 材料又难以压入填满其间而铆合
不牢. 故内齿数目有一个最佳值的问题。
（1）确定初始点及可行区间
原有一模具（冲头)， 冲出链轮内齿 40 牙/周, 所有组合件均发生转动, 转动
率 100％； 后来加工了一个 10 牙/周的冲头， 结果转动率仍为 60％之多.经分析,
例如，当下跌行情结束前，某股的最低价为 10 元, 那么, 股价反转上升时, 可
预先计算出不同反弹价位：
10＊（1+0.191）=11.9 元
10＊(1+0。382）=13.8 元
10＊(1+0.618)=16。2 元
10*(1+0。809)=18。1 元
神秘的黄金分割美的奥秘黄金分割PPT课件
a1
1, a2
1 2
, a3
2 3
, a4
3 5
a5
5 8
, a6
8 13
, a7
13 , 21
这些数总在0.618左右，而且他们的分子、分母 都是相邻的斐波纳契数。
因此，往往我们在谈论“黄金分割”或“黄金 数”时，通常还包含“斐波纳契数列”或“斐波 纳契数”。
第13页/共39页
植物的神秘数字
大自然里一些花草长出的枝条 也会出现斐波那契数，有一种 叫着“喷嚏麦”（Sneezewort 的直译，可能会像鲁迅指出的 闹“牛奶路”Mikyway的笑话， 希望懂植物学的读者赐以正确 的中文名）的花草，新的一枝 从叶腋长出，而另外的新枝又 从旧枝长出来，老枝条和新枝 条的数目的和就像那兔子问题 一样。
生命的黄金分割
最有意味的是，在人的生命程 序DNA 分子中，也包含着“黄金 分割比”。它的每个双螺旋结构 中都是由长 34个埃与宽21个埃 之比组成的，当然34和21是斐波 那契系列中的数字，它们的比率 为1.6190476，非常接近黄金分 割的1.6180339。这是否说明黄 金分割律是比DNA中的遗传密码 更基本的东西？因为承载DNA的 结构——双螺旋结构——也遵循 黄金分割律。黄金分割律也许是 我们的宇宙的DNA中的遗传密 码？
什么是“斐波纳契数列”
• 斐波纳契是在解一道关于兔子繁殖的问题时，得出了 这个数列。假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它 们在长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时， 雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁 殖，如此这般持续下去。每只雌兔在开始繁殖时每月 都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共 会有多少对兔子？
第14页/共39页
黄金分割
黄金分割（黄金比例）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。
这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。
据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。
他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来。
[2]外文名golden section提出者毕达哥拉斯提出时间公元前5世纪应用学科数学建筑绘图记载著作《几何原本》数学定义把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割。
其比值是（√5-1）：2，近似值为0.618，通常用希腊字母Ф表示这个值。
[1]附：黄金分割数前面的32位为：0.6180339887 4989484820 458683436565特殊的数列设一个数列，它的最前面两个数是1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。
例如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144·····这个数列为“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。
经计算发现相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐逼近黄金分割比。
由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，而黄金分割是无理数，所以只是不断逼近黄金分割。
[5]黄金三角形所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值，正是因为其腰与边的比为(√5-1)/2而被称为黄金三角形。
黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。
由五角形的顶角是36度可得出黄金分割的数值为2sin18度（即2*sin(π/10)）。
将一个正五边形的所有对角线连接起来，在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。
黄金分割法的数学理论
ＡＢ ｂｂａ-ｂ ａ 黄金分割法的数学理论０．６１８０３３９８８……一个极为迷人而神秘的数字，它有着一个很动听的名字——黄金分割率。
黄金分割由２５００多年前古希腊的数学家、哲学家毕达哥拉斯提出，并由数学家欧几里德第一次用几何的方法给出了计算。
古往今来，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律。
这个数值不但在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面都发挥着不可忽视的作用。
（一） 黄金分割点的计算设一条线段ＡＢ的长度为ａ，Ｃ点在靠近Ｂ点的黄金分割点上且ＡＣ为ｂ，则： ＡＣ/ＡＢ=ＢＣ/ＡＣ ｂ^２=ａ×(ａ-ｂ)ｂ^２=ａ^２-ａｂａ^２-ａｂ+(１/４)ｂ^２=(５/４)×ｂ^２(ａ-ｂ/２)^２=(５/４)ｂ^２ ａ-ｂ/２=（√５/２）×ｂａ-ｂ/２=(√５)ｂ/２ａ=ｂ/２+(√５)ｂ/２ａ=ｂ(√５+１）/２ ｂ/ａ=(√５-１）/２人们常用希腊字母表示黄金比值。
根据定义，如果假设ａ是单位长度，那么，即有:黄金分割奇妙之处，在于其倒数为自身减１。
例如：１．６１８的倒数是０．６１８，恰为１．６１８-１。
因为：归纳一下，黄金分割存在以下特点：（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。
（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即０．６１８。
（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于１．６１８。
（4）１．６１８与０．６１８互为倒数，其乘积则约等于１。
（5）任一数字如与后两数字相比，其值趋近于２．６１８；如与前两数字相比，其值则趋近于０．３８２。
（二）黄金分割中的数学思想●『斐波那契数列』说起黄金分割，就不得不提起大名鼎鼎的斐波那契数列。
斐波那契数列指的是这样一个数列：１，１，２，３，５，８，１３，２１……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
它的通项公式为：(１/√５)×{[(１+√５)/２]^ｎ - [(１-√５)/２]^ｎ}斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？实际上，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
黄金分割课件2
科技领域
在科技领域中，黄金分割也被应用 于图像处理、计算机图形学等方面 ，以提高视觉效果和用户体验。
CHAPTER
02
黄金分割的数学原理
黄金分割的几何解释
01
黄金分割定义
黄金分割是一种比例关系，即将一条线段分为两段，使得较长线段与整
条线段的比等于较短线段与较长线段的比，其比值为1.61803。
02
THANKS
感谢观看
数学特性
黄金分割是满足一定数学关系的比例 ，具有严谨的数学基础，是数学领域 的一个重要概念。
黄金分割的应用范围
艺术领域
在建筑、绘画、雕塑等艺术领域 中，黄金分割被广泛应用于构图 和设计，以提高作品的美感和和
谐性。
音乐领域
在音乐领域中，黄金分割被用于分 析音符和和弦的比例关系，以创作 出更加和谐的音乐作品。
CHAPTER
05
黄金分割的心理学意义
黄金分割与审美心理
总结词
黄金分割在审美心理中具有重要地位，能够 引发人们的审美愉悦和视觉舒适感。
详细描述
黄金分割是一种比例关系，它将整体一分为 二，较大部分与较小部分之比等于整体与较 大部分之比。这种比例关系在自然界和人造 物中广泛存在，被认为是美和和谐的象征。 在视觉艺术中，黄金分割被广泛应用于构图 、画面布局和排版设计，能够创造出具有美 感和平衡感的作品，引发人们的审美愉悦。
04
黄金分割在日常生活中的应用
黄金分割在摄影中的应用
总结词
突出主题，增强视觉美感
详细描述
在摄影中，黄金分割是一种常用的构图技巧，通过将画面分为9个等分，将主体 放置在4个交叉点或线上，以突出主题，增强视觉美感。这种构图方式能够引导 观众的视线，使画面更加平衡和协调。
在科技领域中，黄金分割也被应用 于图像处理、计算机图形学等方面 ，以提高视觉效果和用户体验。
CHAPTER
02
黄金分割的数学原理
黄金分割的几何解释
01
黄金分割定义
黄金分割是一种比例关系，即将一条线段分为两段，使得较长线段与整
条线段的比等于较短线段与较长线段的比，其比值为1.61803。
02
THANKS
感谢观看
数学特性
黄金分割是满足一定数学关系的比例 ，具有严谨的数学基础，是数学领域 的一个重要概念。
黄金分割的应用范围
艺术领域
在建筑、绘画、雕塑等艺术领域 中，黄金分割被广泛应用于构图 和设计，以提高作品的美感和和
谐性。
音乐领域
在音乐领域中，黄金分割被用于分 析音符和和弦的比例关系，以创作 出更加和谐的音乐作品。
CHAPTER
05
黄金分割的心理学意义
黄金分割与审美心理
总结词
黄金分割在审美心理中具有重要地位，能够 引发人们的审美愉悦和视觉舒适感。
详细描述
黄金分割是一种比例关系，它将整体一分为 二，较大部分与较小部分之比等于整体与较 大部分之比。这种比例关系在自然界和人造 物中广泛存在，被认为是美和和谐的象征。 在视觉艺术中，黄金分割被广泛应用于构图 、画面布局和排版设计，能够创造出具有美 感和平衡感的作品，引发人们的审美愉悦。
04
黄金分割在日常生活中的应用
黄金分割在摄影中的应用
总结词
突出主题，增强视觉美感
详细描述
在摄影中，黄金分割是一种常用的构图技巧，通过将画面分为9个等分，将主体 放置在4个交叉点或线上，以突出主题，增强视觉美感。这种构图方式能够引导 观众的视线，使画面更加平衡和协调。
分形几何学.ppt
维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概 念。
当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无 穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它， 其结果是 0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量 它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才 会得到有限值，而这里直线的维数为 1。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象 想象成一个个规那么的形体，而我们生活的世界竟如此不规 那么和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同 层次的复杂性。分形几何那么提供了一种描述这种不规那么 复杂现象中的秩序和结构的新方法。
普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比方，零维 的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。但是 现实生活中象弯弯曲曲的海岸线这些对象就不能用传统欧几里德几 何学的整数维描述或者说测量了。要描述这一大类复杂无规的几何 对象，就引入了分形理论，把维数视为分数维数。这是几何学的新 突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。
Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。 如果计算机的精度是不受限制的话，可以无限地放大它的边界。 图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大 某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如 “蜿蜒曲折的一段海岸线〞，无论怎样放大它的局部，它总是曲 折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我 们的生活中是很少见的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几 何学的挑战。
分形几何表达了复杂与简单的统一： 分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供
了一种可能性。分形最显著的性质是：本来看来十分复杂的事物， 事实上大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述。其实简单 并不简单，它蕴含着复杂。分形几何中的迭代法为我们提供了认 识简单与复杂的辩证关系的生动例子。分形高度复杂，又特别简 单。无穷精致的细节和独特的数学特征〔没有两个分形是一样的〕 是分形的复杂性一面。连续不断的，从大尺度到小尺度的自我复 制及迭代操作生成，又是分形简单的一面.
当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无 穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它， 其结果是 0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量 它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才 会得到有限值，而这里直线的维数为 1。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象 想象成一个个规那么的形体，而我们生活的世界竟如此不规 那么和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同 层次的复杂性。分形几何那么提供了一种描述这种不规那么 复杂现象中的秩序和结构的新方法。
普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比方，零维 的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。但是 现实生活中象弯弯曲曲的海岸线这些对象就不能用传统欧几里德几 何学的整数维描述或者说测量了。要描述这一大类复杂无规的几何 对象，就引入了分形理论，把维数视为分数维数。这是几何学的新 突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。
Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。 如果计算机的精度是不受限制的话，可以无限地放大它的边界。 图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大 某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如 “蜿蜒曲折的一段海岸线〞，无论怎样放大它的局部，它总是曲 折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我 们的生活中是很少见的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几 何学的挑战。
分形几何表达了复杂与简单的统一： 分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供
了一种可能性。分形最显著的性质是：本来看来十分复杂的事物， 事实上大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述。其实简单 并不简单，它蕴含着复杂。分形几何中的迭代法为我们提供了认 识简单与复杂的辩证关系的生动例子。分形高度复杂，又特别简 单。无穷精致的细节和独特的数学特征〔没有两个分形是一样的〕 是分形的复杂性一面。连续不断的，从大尺度到小尺度的自我复 制及迭代操作生成，又是分形简单的一面.
黄金分割及比例线段
例2．若一个矩形的短边与长边的比值为 （黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形。
（1）操作：请你在图2所示的黄金矩形ABCD（AB>AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）。
④ 3个“黄金三角”（如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等）．
此外，健美的人体（如古希腊雕塑《米罗的维纳斯》看上去健美漂亮就是典型的例子，19世纪以来，世界各国的选美标准大部分都依据《米罗的维纳斯》身材各部分的尺寸．她的体形符合希腊人关于美的理想与规范，身长比例接近利西普斯所追求的人体美标准，即身与头之比为8∶1．由于8为3加5之和，这就可以分割成1∶3∶5，这就是“黄金分割律”，这个比例成为后代艺术家创造人体美的准则．）亦有多组比例符合黄金分割比．如人的脐部到头顶的距离与脐部高度之比、头顶到举手指端的距离与脐部到头顶距离之比、膝盖到肚脐同膝盖到脚底之比，都符合黄金分割．
5、美妙的黄金分割和黄金数
任取一条线段AB,在AB上找一点C,使得 ，点C就叫做线段AB的黄金分割点.每条线段都有两个黄金分割点,若点C把线段AB分成AC，BC，如果 ，则点C是线段AB的黄金分割点，同样，若点D把线段AB分成AD，BD，如果 ，则点D也是线段AB的黄金分割点.那么黄金分割点到底在什么位置呢？让我们来算一算.
在日常生活中，还存在着许多令人费解的“黄金分割”之谜.科学家们发现，当外界环境的温度约为人体体温的0.618倍时，人会感到最舒适.我们的书本和窗户，其形状大都基本符合黄金分割.黄金分割留给我们的是永远的美和未解的谜，它到底反映了一个什么样的普遍规律呢？但愿你能有所发现！
（1）操作：请你在图2所示的黄金矩形ABCD（AB>AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）。
④ 3个“黄金三角”（如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等）．
此外，健美的人体（如古希腊雕塑《米罗的维纳斯》看上去健美漂亮就是典型的例子，19世纪以来，世界各国的选美标准大部分都依据《米罗的维纳斯》身材各部分的尺寸．她的体形符合希腊人关于美的理想与规范，身长比例接近利西普斯所追求的人体美标准，即身与头之比为8∶1．由于8为3加5之和，这就可以分割成1∶3∶5，这就是“黄金分割律”，这个比例成为后代艺术家创造人体美的准则．）亦有多组比例符合黄金分割比．如人的脐部到头顶的距离与脐部高度之比、头顶到举手指端的距离与脐部到头顶距离之比、膝盖到肚脐同膝盖到脚底之比，都符合黄金分割．
5、美妙的黄金分割和黄金数
任取一条线段AB,在AB上找一点C,使得 ，点C就叫做线段AB的黄金分割点.每条线段都有两个黄金分割点,若点C把线段AB分成AC，BC，如果 ，则点C是线段AB的黄金分割点，同样，若点D把线段AB分成AD，BD，如果 ，则点D也是线段AB的黄金分割点.那么黄金分割点到底在什么位置呢？让我们来算一算.
在日常生活中，还存在着许多令人费解的“黄金分割”之谜.科学家们发现，当外界环境的温度约为人体体温的0.618倍时，人会感到最舒适.我们的书本和窗户，其形状大都基本符合黄金分割.黄金分割留给我们的是永远的美和未解的谜，它到底反映了一个什么样的普遍规律呢？但愿你能有所发现！
黄金分割与分形几何学
（图 9） 关于二维分形结构（即有限空间区域内无限面积的几何面），其分数维数位于整数 2 和 3 之间，可以同样利用以上两种计算方法来计算其维度。
三， “黄金分割”的分形解密
科学家们经过广泛计算，发现自然界的一维分形维度大多集中在 1.6—1.7 附近，这让 人很自然想起神秘的黄金分割率“1.618”。理论上讲，一维分形分数维度可以有无穷多个取 值，但自然却唯独偏爱这些近似黄金分割的这些取值，这跟黄金分割本身又有什么内在联系 呢？
“达·芬奇密码”——黄金分割与分形几何学
凤·舞·九维空间 随着电影《达·芬奇密码》全球热映，这本 2004 年风靡全世界的小说在两年后又一次 席卷全球，成为人们谈论的焦点。作者丹·布朗借用悬念叠生，跌宕起伏的情节，揭露了天 主教会为了稳固信仰根基，对历史真相和人类信仰进行无情的隐瞒和欺骗。小说借用伟人 达·芬奇的几幅传世巨作，将暗含其中的历史真相——耶稣妻子摸大拉以及耶稣血脉的故事 展示给读者，这些巨作隐含的惊天秘密，称之为“达·芬奇密码”。
=
log[ N (ε )] log(ε )
如下图，实心平面和立体无论如何分割，带入这个公式计算结果都是 2 和 3。而空心（即 没有填满整个平面）的分形结构会得到分数维。
（图 8） 二、取格法（盒子维度）
这种方法适用于各种复杂不规则的分形图形，但是一种近似的数值方法。其思想类似 于有限元分析，将分形所在的平面分割成众多的小格子，令整个大平面维单位平面，S 为小
旋分形维度为 DS
=
log 29 log 8
= 1.619327.... ，很接近黄金数 1.618。
生物界中螺旋形状大多为近似的黄金螺旋——如海螺壳，海马的尾巴，植物叶子，花 和果实表面排列等等。
《分形几何学》课件
分形风险管理：评 估和管理金融市场 的风险
分形投资策略：基 于分形理论的投资 策略，如分形交易 策略、分形投资组 合管理等
分形在物理学中的应用
分形几何学的未来 展望
分形几何学的发展趋势
应用领域：分形几何学在计算机图形学、图像处理、生物医学等领域的应用将越来越广泛
理论研究：分形几何学的理论研究将更加深入，包括分形维数的计算、分形几何的拓扑性质等
添加标题
添加标题
添加标题
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特点：具有自相似性，即无论放大 或缩小，其形状保持不变
性质：具有无限长度，但面积却为 零，是一种典型的分形图形
分形几何学的应用 实例
分形在图像压缩中的应用
分形压缩算法：基于分形几何学的图像压缩算法 压缩效果：提高压缩比，降低图像质量损失 应用场景：适用于图像传输、存储和显示等领域 技术挑战：如何平衡压缩比和图像质量损失，提高压缩算法的效率和稳定性
发展：1977年，数学家哈肯提出分形几何学的基本理论
应用：分形几何学在物理学、生物学、经济学等领域得到广泛应用 现状：分形几何学已成为现代数学的一个重要分支，对科学研究和实际应 用具有重要意义
分形几何学的应用领域
分形几何学的基本 概念
自相似性
定义：在任意 尺度下，具有 相同或相似的
结构或模式
特点：自相似 性是分形几何 学的核心概念
科赫曲线的生成过程： 将一条线段分为三等份， 去掉中间一段，然后将 剩下的两段分别替换为 两个新的科赫曲线
科赫曲线的应用：在计 算机图形学、动画制作 等领域有广泛应用
科赫曲线的性质：具有 自相似性、无限长度和 面积、分形维数等性质
皮亚诺曲线
定义：由意大利数学家皮亚诺提出 的一种分形图形
黄金分割理论私藏版ppt课件
36524．22寸，这个数字等于光年的一百倍！
精品课件
这组数字十分有趣。0．618的倒数是1．618。譬如14/89＝ 1．168、233/144＝1．168，而0．618×1．168＝就等于1。另 外有人研究过向日葵，发现向日葵花有89个花辫，55个朝一方， 34个朝向另一方。0．618，1．618就叫做黄金分割率（Golden
趋势理论
精品课件
趋势理论（一） ●趋势线的含义
趋势线是用划线的方法将低点或高点相连，利 用已经发生的事例，推测次日大致走向的一种图形分 析方法。 我们发现在各种股价图形中，若处于上升趋 势，股价波动必是向上发展，即使是出现回挡也不影 响其总体的涨势，如果把上升趋势中间回挡低点分别 用直线相连，这些低点大多在这根线上，称为上升趋
势线。 相反，若处于下降趋势，股价波动必定向下发展， 即使出现反弹也不影响其总体的跌势，把各个反弹的
高点相连，称为下降趋势线。 正确地划出趋势线，就可以大致了解股价的未来 发展方向，按所依据波动的时间长短不同，便出现三 种趋势线：短期趋势线（连接各短期波动点）、中期 趋势线（连接各中期波动点）、长期趋势线（连接各
精品课件
二、利用趋势轨道决定买卖点
1.无论是在上升或下跌趋势轨道中，当股价触 及上方的压力线时，就是卖出的时机；当股价触及
下方的支撑线时，就是买进的时机。
2、若在上升趋势轨道中，发现股价突破上方的 压力线时，证明新的上升趋势线即将产生。
3、同理，若在下跌趋势中，发现股价突破下方 的支撑线时，可能新的下跌趋势轨道即将产生。
黄金分割理论 趋势理论
艾略特波浪理论
精品课件
1．黄金分割率由来 数学家法布兰斯在13世纪写了一本书，关于一些奇异数字 的组合。这些奇异数字的组合是1、1、2、3、5、8、13、21、 34、55、89、144、 233┅┅ 任何一个数字都是前面两数字的 总和 2＝1＋1、3＝2＋1、5＝3＋2、8＝5＋3┅┅，如此类推。 有人说这些数字是他从研究金字塔所得出。金字塔和上列奇异 数字息息相关。金字塔的几何形状有五个面，八个边，总数为 十三个层面。由任何一边看入去，都可以看到三个层面。金字 塔的长度为5813寸（5-8-13），而高底和底面百分比率是 0.618，那即是上述神秘数字的任何两个连续的比率，譬如 55/89＝0．618，89/144＝0．618，144/233＝0．618。 另外，一个金字塔五角塔的任何一边长度都等于这个五角 型对角线（Diagonal）的0．618。还有，底部四个边的总数是
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这组数字十分有趣。0．618的倒数是1．618。譬如14/89＝ 1．168、233/144＝1．168，而0．618×1．168＝就等于1。另 外有人研究过向日葵，发现向日葵花有89个花辫，55个朝一方， 34个朝向另一方。0．618，1．618就叫做黄金分割率（Golden
趋势理论
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趋势理论（一） ●趋势线的含义
趋势线是用划线的方法将低点或高点相连，利 用已经发生的事例，推测次日大致走向的一种图形分 析方法。 我们发现在各种股价图形中，若处于上升趋 势，股价波动必是向上发展，即使是出现回挡也不影 响其总体的涨势，如果把上升趋势中间回挡低点分别 用直线相连，这些低点大多在这根线上，称为上升趋
势线。 相反，若处于下降趋势，股价波动必定向下发展， 即使出现反弹也不影响其总体的跌势，把各个反弹的
高点相连，称为下降趋势线。 正确地划出趋势线，就可以大致了解股价的未来 发展方向，按所依据波动的时间长短不同，便出现三 种趋势线：短期趋势线（连接各短期波动点）、中期 趋势线（连接各中期波动点）、长期趋势线（连接各
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二、利用趋势轨道决定买卖点
1.无论是在上升或下跌趋势轨道中，当股价触 及上方的压力线时，就是卖出的时机；当股价触及
下方的支撑线时，就是买进的时机。
2、若在上升趋势轨道中，发现股价突破上方的 压力线时，证明新的上升趋势线即将产生。
3、同理，若在下跌趋势中，发现股价突破下方 的支撑线时，可能新的下跌趋势轨道即将产生。
黄金分割理论 趋势理论
艾略特波浪理论
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1．黄金分割率由来 数学家法布兰斯在13世纪写了一本书，关于一些奇异数字 的组合。这些奇异数字的组合是1、1、2、3、5、8、13、21、 34、55、89、144、 233┅┅ 任何一个数字都是前面两数字的 总和 2＝1＋1、3＝2＋1、5＝3＋2、8＝5＋3┅┅，如此类推。 有人说这些数字是他从研究金字塔所得出。金字塔和上列奇异 数字息息相关。金字塔的几何形状有五个面，八个边，总数为 十三个层面。由任何一边看入去，都可以看到三个层面。金字 塔的长度为5813寸（5-8-13），而高底和底面百分比率是 0.618，那即是上述神秘数字的任何两个连续的比率，譬如 55/89＝0．618，89/144＝0．618，144/233＝0．618。 另外，一个金字塔五角塔的任何一边长度都等于这个五角 型对角线（Diagonal）的0．618。还有，底部四个边的总数是
趣味数学初中ppt课件
优美曲线的定义与特点
优美曲线是指那些具有美感和良好性质的曲线，如圆、椭圆、双曲线等。这些曲线在数学上具有重要的地位 ，同时也被广泛应用于生活和艺术中。
图形变换的基本类型与性质
图形变换是指对图形进行某种操作而不改变其本质特征的过程。常见的图形变换包括平移、旋转、缩放等。 这些变换具有保持图形形状和大小不变的性质。
趣味数学初中ppt课件
• 数学之美 • 趣味算术与代数 • 几何图形奥秘 • 数学游戏与竞赛 • 数学在现实生活中的应用 • 拓展视野：数学与其他领域交叉点
01
数学之美
黄金分割与斐波那契数列
黄金分割的定义与性质
黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较 大部分的比值，其比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引起美感的比例 。
THANK YOU
数据分析
统计学方法可应用于收集 、整理和分析数据，从而 揭示数据背后的规律和趋 势。
风险评估
概率统计在风险评估领域 有广泛应用，如保险、金 融和投资等，用于量化潜 在风险和制定相应策略。
线性规划在资源分配中应用
资源优化
线性规划是一种数学方法 ，用于在给定约束条件下 最大化或最小化目标函数 ，实现资源的最优配置。
多种证明方法
介绍勾股定理的多种证明方法，如赵 爽弦图、面积法、向量法等，拓展学 生的数学视野和思维深度。
相似三角形性质及应用
1 2
相似三角形的定义和性质
介绍相似三角形的定义、性质和判定方法，引导 学生理解相似三角形的本质和特征。
相似三角形的应用
通过实例和练习题，展示相似三角形在解决实际 问题中的应用，如测量高度、计算面积等。
不等式应用
掌握不等式的性质和解法，了解不等 式在实际问题中的应用。
优美曲线是指那些具有美感和良好性质的曲线，如圆、椭圆、双曲线等。这些曲线在数学上具有重要的地位 ，同时也被广泛应用于生活和艺术中。
图形变换的基本类型与性质
图形变换是指对图形进行某种操作而不改变其本质特征的过程。常见的图形变换包括平移、旋转、缩放等。 这些变换具有保持图形形状和大小不变的性质。
趣味数学初中ppt课件
• 数学之美 • 趣味算术与代数 • 几何图形奥秘 • 数学游戏与竞赛 • 数学在现实生活中的应用 • 拓展视野：数学与其他领域交叉点
01
数学之美
黄金分割与斐波那契数列
黄金分割的定义与性质
黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较 大部分的比值，其比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引起美感的比例 。
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数据分析
统计学方法可应用于收集 、整理和分析数据，从而 揭示数据背后的规律和趋 势。
风险评估
概率统计在风险评估领域 有广泛应用，如保险、金 融和投资等，用于量化潜 在风险和制定相应策略。
线性规划在资源分配中应用
资源优化
线性规划是一种数学方法 ，用于在给定约束条件下 最大化或最小化目标函数 ，实现资源的最优配置。
多种证明方法
介绍勾股定理的多种证明方法，如赵 爽弦图、面积法、向量法等，拓展学 生的数学视野和思维深度。
相似三角形性质及应用
1 2
相似三角形的定义和性质
介绍相似三角形的定义、性质和判定方法，引导 学生理解相似三角形的本质和特征。
相似三角形的应用
通过实例和练习题，展示相似三角形在解决实际 问题中的应用，如测量高度、计算面积等。
不等式应用
掌握不等式的性质和解法，了解不等 式在实际问题中的应用。
《黄金分割与数学》课件
1.B 在代数中，黄金分割常被用于解决一些与
比例、分式和不等式相关的问题。
1.C 黄金分割还可以用于研究函数的性质和图像 ，以及解决一些代数方程和不等式的问题。
1.D 黄金分割在代数中的应用，有助于我们更好
地理解数学中的比例和分式问题，以及它们 在解决实际问题中的应用。
黄金分割在微积分中的应用
微积分是数学中的一门基础学 科，黄金分割在微积分中也具
有广泛的应用。
在微积分中，黄金分割被用于 研究函数的极值、曲线的长度
和面积等问题。
黄金分割还可以用于解决一些 与积分和微分相关的问题，以 及研究函数的性质和图像。
黄金分割在微积分中的应用， 有助于我们更好地理解数学中 的连续性和可微性问题，以及 它们在实际问题中的应用。
黄金分割的数学模型
03
黄金分割的几何模型
01
黄金分割的几何定义
黄金分割是一种比例关系，其中较长的线段是较短线段 与整个线段的比例等于较长线段与较长线段之和的比例 。
02
黄金分割的应用
黄金分割在自然界和艺术中广泛存在，如植物生长、建 筑设计、音乐和绘画等领域。
03
黄金分割的几何证明
通过构造相似三角形和利用相似三角形的性质，可以证 明黄金分割的正确性。
05 黄金分割的历史与发展
黄金分割的历史背景
1 2
古希腊数学家发现黄金分割
黄金分割的起源可以追溯到古希腊时期，数学家 们通过研究发现了黄金分割的美学原理。
中世纪欧洲的黄金分割研究
在中世纪欧洲，艺术家和数学家开始将黄金分割 应用于艺术和建筑中，创造出了许多经典作品。
3
文艺复兴时期的黄金分割
文艺复兴时期，艺术家们重新发掘了黄金分割的 价值，并将其广泛应用于绘画、雕塑和建筑等领 域。
数学中的美——黄金分割
数学中的美——黄金分割黄金分割点是分割线段时最能体现审美愉悦的美点，黄金分割比被视为最美丽的几何比率。
让我们走近黄金分割，来感知数学的美，寻找“美”的秘密。
一、 首先让我们从黄金分割比的由来中体会数学的美，我们会被源于历史的美所陶醉。
古希腊的数学家欧多克索斯（Eudoxus ，约公元前400至公元前347年）发现：如图，将一条线段AB 分割成长短两条线段PA 、PB ，若较短线段PB 与较长线段AP 的长度之比等于较长线段与全线段AB 的长度之比，即PB ：AP ＝AP ：AB ≈0.618（精确值为215-），P 为AB 的黄金分割点。
数学家把这个的数（0.618）叫做“黄金数”。
黄金数不是指用黄金筑就的数，而是指身价与黄金一样贵重的数。
古希腊人最早发现一个长方形，它的长和宽的比等于0.618时，看上去最协调、最好看；古希腊闻名于世的古建筑巴台农神庙，它的高和宽之比恰好是0.618；古希腊人认为，最优美的人体体型应该是肚脐把身长作黄金分割。
保存下来的古希腊雕塑作品“执矛者”、“宙斯”以及爱与美之神“维纳斯”，都是按黄金分割来制作的，无不表现出最美的人体造型。
文艺复兴时期的画家也十分重视黄金分割。
达·芬奇闻名于世的作品《蒙娜丽莎》就是按着黄金分割的比例来构图的。
神密的埃及金字塔的高和底座的边长之比也是0.618。
黄金分割是最完美的分割，这种美学观点长时间统治着西方的建筑界。
着名的巴黎圣母院就是杰出的代表。
它整个结构是按着黄金分割来建造的。
17世纪欧洲着名科学家开普靳曾说过：“几何学有两个宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金分割。
”二、 通过欣赏生活中含有黄金分割比的图形，我们会为这种直觉美惊喜不已。
1、黄金扇形：如图，把一个圆分成两部分，期中阴影部分的扇形的圆心角为135°,空白部分的扇形的圆心角为225°，而135与225的比值接近黄金比。
因此，阴影部分的扇形就是黄金扇形，如果以135°为圆心角做成的扇子，那它就是外形较美观的扇子。
(完整word版)黄金分割法
黄金分割法有一个在经济生活、科学研究中都很有用的数——0.618，由它决定了一种最优化方法。
使用它，人们节约了大量的时间、财力和物力，当人们探讨它的来历时才发现它竟是一种纯数学思考的产物！纯数学思考的产物怎么会那么符合实际?这就是这个数中所包含的一个美丽的谜语。
欧多克斯的“中外比”欧多克斯是公元前4世纪的希腊数学家，他曾研究过大量的比例问题,并创造了比例论。
在研究比例的过程中，有一次提出这样一个问题：能否将一条线段分为不相等的两部分，使较长部分为原线段和较短部分的比例中项？他通过研究发现,可以将一已知线段分为两段，使之满足长线段与短线段之比等于全线段与长线段之比,即长线段为全线段与短线段的比例中项.若设已知线段为ab，点c将ab分割成ac、bc,ac＞bc，且ac2=ab·cb，那么分点c的具体作法是：连结ad，以d为圆心、以bd为半径画弧，交ad于e,以a为圆心，以ae为半径画弧交ab于c，则c点就是所求分点。
于是,欧多克斯将这种比专称为“中外比"。
在数学史上，是欧多克斯首先提出的中外比，不过希腊人发现中外比要更早一些。
神秘的毕达哥拉斯学派曾以五角星形为其标志,五角星形的作图中就包含着中外比.雅典的巴特农神殿是古希腊的一大杰作，这座建造于公元前5世纪的神殿的宽与高之比就恰恰符合中外比。
中外比后来被世人通称为“黄金分割"，虽然最先系统研究黄金分割的是欧多克斯，但是，它究竟起源于何时、何故呢？黄金分割的起源人们认为,黄金分割作图与正五边形、正十边形和五角星形的作图有关—-特别是由五角星形作图的需要引起的。
五角星形是一种很耐人寻味的图案，世界许多国家国旗上的“星”都画成五角形。
现今有将近40个国家(如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等）的国旗上有五角星。
为什么是五角而不是其他数目的角?也许是古代留下来的习惯。
五角星形的起源甚早,现在发现最早的五角星形图案是在幼发拉底河下游马鲁克地方（现属伊拉克）发现的一块公元前3200年左右制成的泥板上。
黄金分割
将高跟鞋的高度设为x
最完美身材： ————————﹦0.618
头顶到脚底的距离＋x
肚脐到脚底的距离＋x
谢谢观赏！
数 学 奥 秘 ？
黄金分割
黄金分割是指将整体一分为二，较小部 分与较大部分之比等于较大部分与整体之比， 其比值为0.618：1 或1:1.618，即长段为全段 的 0.618 。 0.618 被公认为最具有审美意义的 比例数字。上述比例是最能引起人的美感的
国也有记载。 虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数 学家独立创造的，后来传入了印度。经考 证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印 度由阿拉伯人传入欧洲，而不是古希腊作用，在我们生活中 比比皆是。不仅仅体现在诸如绘画、 雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且 在管理、工程设计等方面也有着不可 忽视的作用。
发现历史
据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在 街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁 的声音非常好听，于是驻足倾听。他发 现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的 比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出 来。 古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研 究了这一问题，并建立起比例理论。 欧几里得撰写的《几何原本》进一步系统 论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分 割的论著。
黄金分割三角形
利用线段上的两个黄金分割点，可以作出黄金分割三角形、正五 角星、正五边形等。其中的三角形都是黄金分割三角形
黄金矩形
短边/长边≈0.618
我们身边的很多东西都符合这个规律，不信可以找找^_^
最完美的身材： ———————﹦0.618
头顶到脚底的距离
肚脐到脚底的距离
例“比尚傲凭艾 ”中例模人借尚 。国的特的超真 第超界身完， 一模公高美重 黄，认被的庆 金称为国体姑 比为黄际形娘 金时及，
黄金分割
• 17世纪的英国美学家夏里兹曾说：“凡是美的都 是合谐的和比例合度的；凡是和谐的和比例合度 的就是真的，凡是既美而又真的也就是在结果上 愉快和完善的”。 那么，在人们的眼中，什么样 的事物才算是美的？人们在探求美的规律的过程 中，有这样的发现：著名的维纳斯女神像，以及 太阳神阿波罗的塑像，从肚脐到脚底的高度与全 身高度之比为0．618。在达· 芬奇、提香等众多著 名艺术家的作品中，有许多比例关系，也都是 0．618。
B
A
D
C
数学美的魅力
为什么翩翩起舞的 芭蕾舞演员要掂起脚尖? 为什么身材苗条的时装 模特还要穿高跟鞋?为 什么她们会给人感到和 谐、平衡、舒适，美的 感觉?
黄金身材比例
人 体肚 脐 不 但是 黄 金 点美 化身型，有时还是医疗效果黄 人与黄金分割 金点，许多民间名医在肚脐上 贴药治好了某些疾病。人体最 感舒适的温度是23℃(体温)， 也是正常人体温（37℃）的黄 金点（23=37×0.618）。这说 明医学与0.618有千丝万缕联系, 尚待开拓研究。人体还有几个 黄金点：肚脐上部分的黄金点 在咽喉，肚脐以下部分的黄金 点在膝盖，上肢的黄金点在肘 关节。上肢与下肢长度之比均 近似0.618.
如下方法也可以得到黄金分割点：如图， 设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD； 取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使 EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH。点H 就是AB的黄金分割点。 任意作一条线段，用上述方法作出这条 线段的黄金分割点．你能说说这种方法的道 理吗？
理由如下 : 设AB 2, 那么在RtBAE中, BE AB 2 AE 2 2 2 12 5. 于是EF BE 5 , AH AF BE AE 5 1, BH AB AH 3 5.因此 AH BH , 点H是AB的黄金分割点. AB AH
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• 分形几何学 • 黄金分割
自然界的绝大多数分形
• 我们生活在一个具有长度、宽度和 深度的三维世界里
• 一个点是零维. • 一条直线是一维的， • 一个平面是二维的， • 现实世界分形人眼可见范围是三维
叶中管脉络面分布
• 叶脉与输送系统设计是城市管 网或农田灌溉系统的一个很自 然的样本
F4.树根树枝
• 零步驟：畫出實心的正三角形
• 第一步驟：將三角形每一邊的中點連 線，會分割成四個小正三角形，把中 央的正三角形拿掉，會剩下其餘的三 個正三角形，
• 第二步驟：將每一個實心的小角形都 重複第一步驟，
• 重複第二步驟接下來的步驟，即重複 地疊代下去…
Mondelbrot集
• Mandelbrot集是Julia集的延伸和 扩展. Mandelbrot集有非常复杂的 结构,其特征是由一个主要的心脏形
分形的功能
• 1.事物的外形，存在着整体和局部相似的 特点。局部放大后与整体形状类似
• 2.事物的发展，也可以从局部的发展，看 出事物整体发展的状况
• 3.事物的功能，事物局部的功能，也存在 着与整体功能相似的情况
•
黄金分割及运用
• 人体有14个“黄金点”（物体短段与长段之比 值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比 值为 0.618的长方形）和２个“黄金指数” （两物体间的比例关系为 0.618）。
• 分形层次-支
D4.花菜
E4.蕨类
Koch雪花图像曲线
• Koch 雪花图形
Von Koch (1870-1924)
随机Koch曲线 ——对海 B. Mandelbrot）“分形几何之父”，出生 于波兰，童年时随家人移居法国，后来在 美国担任耶鲁大学名誉教授。
• 电化学的吸附过 程，其生长方式 与一种电磁导向 及随机概率有关 ，所以呈现如图 示的成长方式
Sierpinski三角和方毯
• 波蘭著名數學家 Waclaw Sierpinski 1916 年提出 Sierpinski Gasket 圖形
• 產生 Sierpinski Gasket 方法如下：
• 1967年Mandelbrot提出“英国的海岸线有多长？”的问题
。
• 长度与测量单位有关，以1km为单位测量海岸线，就会将 短于1km的迂回曲折长度忽略掉；若以1m为单位测量，则 能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大；若测量单位进 一步地变小，测得的长度就会愈来愈大，这些愈来愈大的 长度将趋近于一个确定值，这就是海岸线的长度。
如何利用分形规律
• 1. 了解分形 • 2. 了解我们的问题及根源 • 3. 调动广泛的联系和影响
分形的应用
• 数学中的动力系统等; • 物理中的布朗运动,流体力学中的湍流等; • 化学中酶的构造等; • 生物中细胞的生长等; • 地质学中的地质构造等; • 天文学中土星光环的模拟等; • 其它:计算机,经济学,社会学,艺术等
图示
• Mandelbrot突破了这一点，长 度也许已不能正确概括海岸线 这类不规则图形的特征。海岸 线虽然很复杂，却有一个重要 的性质——自相似性。
• 从不同比例尺的地形图上，可 以看出海岸线的形状大体相同 ，其曲折、复杂程度是相似的 。海岸线的任一小部分都包含 有与整体相同的相似细节。
电解吸附分布
Newton/Nova 分形
花草树木(L 系统）的一个例子
Pythagorean Trees
分形
自然界中的分形
山
星云
星云
天空中的云朵
植物的叶子
毛细血管分布
视乳头旁毛细血管瘤
视网膜中央动脉颞上支阻塞
河流分布图
• Mandelbrot集
Newton/Nova 分形
• Newton奠定了经典力学、光 学和微积分学的基础。但是除 了创造这些自然科学的基础学 科外，他还建立了一些数学方 法。例如，牛顿建议用一个逼 近方法求解一个方程的根。
• 如方程 Z^6 + 1 = 0有六个根， 用牛顿的方法"猜测"复平面上 各点最后趋向方程的那一个根 ，就可以得到一个怪异的分形 图形。和Julia分形一样，能永 远放大下去，并有自相似性。
• 黄金点：(1)肚脐：头顶－足底之分割点；(2) 咽喉：头顶－肚脐之分割点；(3)、(4)膝关节： 肚脐－足底之分割点；(5)、(6)肘关节：肩关 节－中指尖之分割点；(7)、(8)乳头：躯干乳 头纵轴上分割点；(9)眉间点：发际－颏底间距 上1/3与中下2/3之分割点；(10)鼻下点：发际 －颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(11)唇 珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割 点；(12)颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3 与上中2/3之分割点；(13)、(14) 口角点：口 裂水平线右1/3与左2/3之分割点。
曼德尔布罗20世纪70年代提出“分形几何”概念，所撰 写《大自然的分形几何》一书1982年出版。曼德尔布罗所作 开创性研究有助于人们测量一些先前难以测量的物体，例如 云团或海岸线。他的研究成果应用于物理、生物、金融等各 项领域，而不规则图形设计理念甚至影响流行文化。
2019年10月14日，伯努瓦·曼德尔布罗在美国马萨诸塞 州剑桥辞世，享年85岁。
• Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限 增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一 定意义上海岸线是无限长的。这就是因为海岸线是极不规 则和极不光滑的。
• 我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一 次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，分形几 何却有助于自然界大量存在的不规则形体处理。
结构和一系列圆盘形的“芽苞”突 起连接在一起,每个“芽苞”又被更 细小的“芽苞”所环绕,依此类推. 此外,还有更为精细的“发状”似的 分枝从“芽苞”向外长出.这些细发 在它的每一段上都带有与整个M集 相似的微型样本.M集的每个“芽苞 ”上的每一点,都分别对应著一个参 数C的值.如果取一点并显微该点尽 可能小的邻域, 放大后便得到一个 分形图.
自然界的绝大多数分形
• 我们生活在一个具有长度、宽度和 深度的三维世界里
• 一个点是零维. • 一条直线是一维的， • 一个平面是二维的， • 现实世界分形人眼可见范围是三维
叶中管脉络面分布
• 叶脉与输送系统设计是城市管 网或农田灌溉系统的一个很自 然的样本
F4.树根树枝
• 零步驟：畫出實心的正三角形
• 第一步驟：將三角形每一邊的中點連 線，會分割成四個小正三角形，把中 央的正三角形拿掉，會剩下其餘的三 個正三角形，
• 第二步驟：將每一個實心的小角形都 重複第一步驟，
• 重複第二步驟接下來的步驟，即重複 地疊代下去…
Mondelbrot集
• Mandelbrot集是Julia集的延伸和 扩展. Mandelbrot集有非常复杂的 结构,其特征是由一个主要的心脏形
分形的功能
• 1.事物的外形，存在着整体和局部相似的 特点。局部放大后与整体形状类似
• 2.事物的发展，也可以从局部的发展，看 出事物整体发展的状况
• 3.事物的功能，事物局部的功能，也存在 着与整体功能相似的情况
•
黄金分割及运用
• 人体有14个“黄金点”（物体短段与长段之比 值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比 值为 0.618的长方形）和２个“黄金指数” （两物体间的比例关系为 0.618）。
• 分形层次-支
D4.花菜
E4.蕨类
Koch雪花图像曲线
• Koch 雪花图形
Von Koch (1870-1924)
随机Koch曲线 ——对海 B. Mandelbrot）“分形几何之父”，出生 于波兰，童年时随家人移居法国，后来在 美国担任耶鲁大学名誉教授。
• 电化学的吸附过 程，其生长方式 与一种电磁导向 及随机概率有关 ，所以呈现如图 示的成长方式
Sierpinski三角和方毯
• 波蘭著名數學家 Waclaw Sierpinski 1916 年提出 Sierpinski Gasket 圖形
• 產生 Sierpinski Gasket 方法如下：
• 1967年Mandelbrot提出“英国的海岸线有多长？”的问题
。
• 长度与测量单位有关，以1km为单位测量海岸线，就会将 短于1km的迂回曲折长度忽略掉；若以1m为单位测量，则 能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大；若测量单位进 一步地变小，测得的长度就会愈来愈大，这些愈来愈大的 长度将趋近于一个确定值，这就是海岸线的长度。
如何利用分形规律
• 1. 了解分形 • 2. 了解我们的问题及根源 • 3. 调动广泛的联系和影响
分形的应用
• 数学中的动力系统等; • 物理中的布朗运动,流体力学中的湍流等; • 化学中酶的构造等; • 生物中细胞的生长等; • 地质学中的地质构造等; • 天文学中土星光环的模拟等; • 其它:计算机,经济学,社会学,艺术等
图示
• Mandelbrot突破了这一点，长 度也许已不能正确概括海岸线 这类不规则图形的特征。海岸 线虽然很复杂，却有一个重要 的性质——自相似性。
• 从不同比例尺的地形图上，可 以看出海岸线的形状大体相同 ，其曲折、复杂程度是相似的 。海岸线的任一小部分都包含 有与整体相同的相似细节。
电解吸附分布
Newton/Nova 分形
花草树木(L 系统）的一个例子
Pythagorean Trees
分形
自然界中的分形
山
星云
星云
天空中的云朵
植物的叶子
毛细血管分布
视乳头旁毛细血管瘤
视网膜中央动脉颞上支阻塞
河流分布图
• Mandelbrot集
Newton/Nova 分形
• Newton奠定了经典力学、光 学和微积分学的基础。但是除 了创造这些自然科学的基础学 科外，他还建立了一些数学方 法。例如，牛顿建议用一个逼 近方法求解一个方程的根。
• 如方程 Z^6 + 1 = 0有六个根， 用牛顿的方法"猜测"复平面上 各点最后趋向方程的那一个根 ，就可以得到一个怪异的分形 图形。和Julia分形一样，能永 远放大下去，并有自相似性。
• 黄金点：(1)肚脐：头顶－足底之分割点；(2) 咽喉：头顶－肚脐之分割点；(3)、(4)膝关节： 肚脐－足底之分割点；(5)、(6)肘关节：肩关 节－中指尖之分割点；(7)、(8)乳头：躯干乳 头纵轴上分割点；(9)眉间点：发际－颏底间距 上1/3与中下2/3之分割点；(10)鼻下点：发际 －颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(11)唇 珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割 点；(12)颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3 与上中2/3之分割点；(13)、(14) 口角点：口 裂水平线右1/3与左2/3之分割点。
曼德尔布罗20世纪70年代提出“分形几何”概念，所撰 写《大自然的分形几何》一书1982年出版。曼德尔布罗所作 开创性研究有助于人们测量一些先前难以测量的物体，例如 云团或海岸线。他的研究成果应用于物理、生物、金融等各 项领域，而不规则图形设计理念甚至影响流行文化。
2019年10月14日，伯努瓦·曼德尔布罗在美国马萨诸塞 州剑桥辞世，享年85岁。
• Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限 增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一 定意义上海岸线是无限长的。这就是因为海岸线是极不规 则和极不光滑的。
• 我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一 次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，分形几 何却有助于自然界大量存在的不规则形体处理。
结构和一系列圆盘形的“芽苞”突 起连接在一起,每个“芽苞”又被更 细小的“芽苞”所环绕,依此类推. 此外,还有更为精细的“发状”似的 分枝从“芽苞”向外长出.这些细发 在它的每一段上都带有与整个M集 相似的微型样本.M集的每个“芽苞 ”上的每一点,都分别对应著一个参 数C的值.如果取一点并显微该点尽 可能小的邻域, 放大后便得到一个 分形图.