矢量与张量

序得到的取正，否則取負，所以有



( f g) ( f ) g ( g) f
矢量場的叉乘形式 2：特殊的叉叉形式！！！






( f g) (g ) f ( g) f ( f ) g ( f ) g



a2b1 e2 e1 a2b2 e2 e2 a2b3 e2 e3



a3b1 e3 e1 a3b2 e3 e2 a3b3 e3 e3
对于并矢，两个矢量之间不作任何运算。
并矢是一个物理量，它由 9 个分量构成。这 9 个分量分别为
a1b1
a2b1

a b a3b1
，遠交近攻原則+（括號內）換位擴充法則
矢量場的點乘形式：特殊的點點形式！！！







( f g) f ( g) ( f ) g g ( f ) (g ) f
利用遠交近攻法則，這個比較特殊，記憶一下：





f ( g) ( f g) ( f ) g
矢量與張量
算符及其運算公式：



ex
x


ey
y


ez
z

( x
,
y
,
)
z
称为梯度算符
由定义式可知，梯度算符是一个具有矢量性质的偏微分算符，在具体
运算中必须考虑这些特点。
球座標：


r

er
1 r


e

1 r sin


e

( r
存在的搭配轉換爲允許且合理的存在搭配。
2 2 2 2 2
x2 y2 z2
自己推導一下就能夠得到了。



( f ) ( f ) 2 f


利用遠交近攻原則，按照 a (b c ) (a c ) b (a b) c 拆開
能直接根據普通矢量在輪換對稱/遠交近攻法則下的變換照葫蘆畫
瓢，需要擴展。
拆分相加性質的幾個注意點：
（1）僅僅應用於乘積形式的作用場中僅存在一個矢量場、點叉形式
（點叉形式是存在輪換對稱原則的！！！）
（2）分別提出來相加性質，符號保留，原來有哪些符號，之後還是
具有這些符號，只是多了“+”或者是“-”
（3）僅表示允許的且合理的存在形式，不允許存在的或者是不合理


因爲( f ) 得到的是一個新的微分算符，是一個矢量，而 ( f )
得到的是一個標量（散度得到的是標量），性質上完全不一樣

(f
)


g

(
f
x
,
f
y
,
fz
)(
x
,
y
,
z
)( g
x
,
g
y
,
gz
)

(
fx
x

fy
y

fz
z )(gx , g y , gz )

a (b c ) b ( c a) c (a b) 很相似，但是很明顯的，由

於算符矢量與普通矢量作用效果存在差異，在此 既要作用於 f 又

要作用於 g ，所以有兩項，從而符合拆分相加性質，並使用輪換對


稱原則】， ( f g) 的順序是：、f 、g ，所以只有按照這個順
,
z
)

這就說明了對於標量場的乘積形式，▽運算具有拆分相加性質



標量場與矢量場的乘積形式 1： ( f ) ( ) f f
同上推導，仍然具有拆分相加性質：





( f ) () f ( f ) () f ( f )
之所以不等於後者，原因很簡單，僅表示允許的且合理的存在形式，
不允許存在的或者是不合理存在的搭配轉換爲允許且合理的存在搭

配。比如：( f ) 是標量，標量不能與矢量叉乘，這是不允許的，
也是不合理的。
但是根據拆分相加性質得到的式子與正確的結果不同，符號正負性出
現了問題，這裏可以應用輪換對稱原則【其實這個和
( f ) ( ) f f



( f ) () f f



( f g) ( f ) g f ( g)






( f g) (g ) f ( g) f ( f ) g ( f ) g
可是得到的結果還是與實際結果不相同，這是由於算符矢量與普通矢
量作用效果存在差異造成的，如同普通矢量具有交換律，但是算符矢

a b b a
量不具有交換律，如：

a a
正是因爲如此，所以要進行調整：
符號不變，（括號內）換位擴充法則





( f g) ( g) f (g ) f ( f ) g ( f ) g


叉叉形式與 a (b c ) (a c ) b (a b) c 遠交近攻原則
叉叉形式、點點形式得到的都是矢量，如同上式具有相互轉換性，而
點叉形式得到的是標量（當然是先叉再點，沒有先點後叉的）
利用遠交近攻原則，可以得到：



( f g) ( g) f ( f ) g
(
fx
g x x

fy
g x y

fz
g x z
,
fx
g y x

fy
g y y

fz
g y z
,
fx
g z x

fy
g z y

(


f)


g

( x
,
y
,
)(
z
fx
,
f
y
,
fz
)(gx ,
gy
,
gz
)

( f x x

f y y

f z z



( f g) (g f ) ( f g)
g
f






( f g) f ( g) g ( f ) ( f ) g (g ) f
總結：
普通矢量的運算方式與算符矢量的運算方式不同，不能相互等同，不
來就行了。
张量与并矢
并矢
两个矢量
a b

a1 b1

e1

e1


a2 e2 a3 e3


b2 e2 b3 e3
之间，除进行标乘和矢乘外，还
存在一种关系——并矢，即




T a b a1b1 e1 e1 a1b2 e1 e2 a1b3 e1 e3
当各分量满足
TT1112
T22 T23
T33 T31
1 T21

T32

T13

0

时，张量称为单位张量，用 I 表示。

I e1 e1 e2 e2 e3 e3
二阶张量不一定能表示成两个矢量的并矢形式，二阶张量表示成两个
矢量的并矢形式的条件是：各个基矢的系数均对应相等且存在该系
数。对于单位张量，系数对应相等得到：





f ( g) ( f g) ( f ) g
g





g ( f ) (g f ) (g ) f
f
通過這兩個式子得到：


( f g) (g f )
g
f






f ( g) g ( f ) ( f ) g (g ) f



矢量場的叉乘形式 1： ( f g) ( f ) g f ( g)
若同樣採取拆分相加性質，則得到：



( f g) ( f ) g ( g) f


( f ) g ( g) f
僅表示允許的且合理的存在形式，不允許存在的或者是不合理存在的
搭配轉換爲允許且合理的存在搭配
由此可知，只要乘積形式的作用場中僅存在一個矢量場，則直接利用
拆分相加性質：把其中一個提出來，另一個保留，然後反過來，之後
兩者相加【拆分相加性質==分別提出來相加性質，符號保留，原來有
哪些符號，之後還是具有這些符號，只是多了“+”】
(
)

( x
,
y
,
z
)

(
x


x
,
y


y
,
z

z
)

(
x
,
y
,
z
)

(
x
,
y
,
z
)


( x
,
y
,
z
)


( x
,
y
)(gx , g y , gz )

(
g
x
(
f x x

f y y

f z z
),
g
y
(
f x x

f y y

f z z
),
g
z
(
f x x

f y y

f z z
))
從上面兩個式子的結果來看，兩個確實是不相等的
記憶▽算符的运算公式
標量場的乘積形式：( )
a1b2 a2b2 a3b2
a1b3
a2b3
a3b3
一般地，有
b1a1
b2a1

a b b a b3a1
b1a2 b2a2 b3a2
b1a3
b2a3
b3a3
相当于行列式中的转置（但是要注意其不是行列式）
张量
类似并矢这种具有 9 个分量的物理量，称为三维的二阶张量。
二阶张量的 9 个分量可以用矩阵表示为





g ( f ) (g f ) (g ) f


進行更改，首先，( f g) 、(g f ) 是不合理的，叉乘的叉
乘得到的是矢量，而不是矢量算符，所以修改，修改爲：





f ( g) ( f g) ( f ) g





g ( f ) (g f ) (g ) f


爲什麼不是 ( f g)、 (g f ) ，是因爲哈密頓算符點乘標量
是不允許的，要麼直接接標量，要麼是點乘矢量。
但是這樣依舊不合理，是因爲哈密頓算符只是分別作用於矢量場


f 、g ，而不是同時作用於 f g ，所以必須標註，即得到：
T11 T12 T13
T21
T22
T23பைடு நூலகம்

T31 T32 T33
或简写成
Tij (i, j 1,2,3)
三维二阶张量的一般定义为
3 3


T
Tij ei e j Tij ei e j
i1 j1
ij

式中，并矢 ei e j 是张量的 9 个基矢，Tij 称为张量在这些基上的分量。


注意：、 f 存在， 、 f 不存在，僅表示存在形式



標量場與矢量場的乘積形式 2： ( f ) () f f
利用拆分相加性質可得：





( f ) () f ( f ) () f ( f )
,1 r

,
r
1 sin

)



f

1 r2
r
(r 2
fr
)

1 r sin

(sin f
)

r
1 sin
f
▽算符的运算公式
设以φ、ψ代表标量场，f、g 代表矢量场，则根据矢量代数和算符
的性质可以证明下列公式：
( )



從上面兩個矢量場的叉乘形式可以知道，都是在原有基礎上增加了一



步： ( f g) ( f ) g ( g) f ，拆分相加性質+
輪換對稱性質；





( f g) ( g) f (g ) f ( f ) g ( f ) g







( f g) f ( g) ( f ) g g ( f ) (g ) f
2



( f ) ( f ) 2 f



需要注意的是：( f ) g ( f ) g