专题2三角函数与平面向量

专题2 三角函数与平面向量

计算题

1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝4

3

π，sin A ＝55．

(Ⅰ)求sin B 的值；

(Ⅱ)若c －a ＝5－10，求△ABC 的面积．

2．设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋2π－2

1

．

(Ⅰ)求f (x )的最小正周期；

(Ⅱ)当x ∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2

π0，时，求函数f (x )的最大值和最小值．

3．已知函数f (x )＝sin (ω x ＋ϕ)(ω＞0，|ϕ |＜π)的图象如图所示.

(Ⅰ)求ω，ϕ 的值；

(Ⅱ)设g (x )＝f (x )f ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

4π－x ，求函数g (x )

的单调递增区间.

4．已知函数f (x )=a sin x ＋b cos x 的图象经过点⎪⎭

⎫ ⎝⎛06

π，和⎪⎭

⎫ ⎝⎛13

π，

． (Ⅰ)求实数a ，b 的值；

(Ⅱ)若x ∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2

π0，，求函数f (x )的最大值及此时x 的值．

5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin 2

A ＝55，且△ABC

的面积为2．

(Ⅰ)求bc 的值；

(Ⅱ)若b ＋c ＝6，求a 的值． 6．已知向量m ＝(cos

3x ，3cos 3x )，n ＝(sin 3x ，cos 3

x

)，函数f (x )=m •n ． (Ⅰ)求f (x )的解析式； (Ⅱ)求f (x )的单调递增区间；

(Ⅲ)如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此

时函数f (x )的值域．

7．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，向量m ＝(sin B ，1－cos B )与向量n ＝ (2，0)夹角的余弦值为

2

1． (Ⅰ) 求角B 的大小；

(Ⅱ) 求sin A ＋sin C 的取值范围．

8．已知x ∈R ，向量＝(a cos 2 x ，1)，＝(2，3a sin 2x －a )，f (x )＝·OB ，a ≠0．

(Ⅰ)求函数f (x )解析式，并求当a ＞0时，f (x )的单调递增区间； (Ⅱ)当x ∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2

π0，时，f (x )的最大值为5，求a 的值．

参考答案

计算题

1．解：(Ⅰ)∵ C ＝

4

3

π，sin A ＝55，

∴ cos A ＝A 2sin 1-＝5

52． 由已知得B ＝

4

π

－A ． ∴ sin B ＝sin ⎪⎭

⎫

⎝⎛-A 4π＝sin 4πcos A －cos 4πsin A

＝

22·552－22·55

＝1010．

(Ⅱ)∵ sin A ＝55

，C ＝4

3π，∴ sin C ＝22． 由正弦定理得

c a ＝C

A sin sin ＝510．

又∵ c －a ＝5－10， ∴ c ＝5，a ＝10． 由(Ⅰ)知 sin B ＝10

10． ∴ S △ABC ＝

21ac sin B ＝2110·5·

1010＝2

5

． 2．解：(Ⅰ)f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋2π－2

1

＝23·2 sin x cos x －cos 2 x －21

＝

23sin 2x ―21cos 2x ―1＝sin ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

6π－2x －1．

T ＝

2

2π

＝π，故f (x )的最小正周期为 π． (Ⅱ)∵ 0≤x ≤2

π

， ∴ －

6π≤2x －6π≤6

5π． 当2x －6π＝2π，即x ＝3

π

时，f (x )有最大值0， 当2x －

6π＝－6π，即x ＝0时，f (x )有最小值－2

3

． 3．解：(Ⅰ) 由图可知T ＝4⎪⎭

⎫

⎝⎛4π2π－＝π，ω＝T 2π＝2．

又f (0)＝－1，得 sin ϕ＝－1，

∵ |ϕ |＜π ∴ ϕ＝－

2

π． (Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛

2π2x －＝－cos 2x ．

∵ g (x )＝(－cos 2x )⎥⎦⎤⎢

⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛

2π2cos x －－＝cos 2x sin 2x ＝21sin 4x ， ∴ 当2k π－

2π≤4x ≤2k π＋2π，即2πk －8π≤x ≤2

πk ＋8π

(k ∈Z )时，g (x )递增． 故函数g (x )的单调增区间为⎥⎦⎤

⎢

⎣

⎡8π＋2π 8π2πk k ，－ (k ∈Z )． 4．解：(Ⅰ)∵ 函数f (x )＝a sin x ＋b cos x 的图象经过点⎪⎭

⎫ ⎝⎛06

π

，和⎪⎭

⎫ ⎝⎛13

π，，

∴ ⎩⎨⎧12

1＋23

023＋21==b a b a

解得a ＝3，b ＝－1．

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

6πx －．

∵ x ∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2π0，，∴ x －6π

∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡3

π6π，－． ∴ 当x －

6π＝3π，即x ＝2

π

时，f (x )取得最大值3． 5．解：(Ⅰ)∵ sin 2

A

＝55，0＜A ＜π，

∴ cos

2

A

＝552．

∴ sin A ＝2sin 2A cos 2A

＝5

4．

∵ S △ABC ＝

2

1

bc sin A ＝2， ∴ bc ＝5．

(Ⅱ) ∵ sin

2

A ＝55，

∴ cos A ＝1－2sin 22

A ＝53

．