03轴向拉伸与压缩2-拉压变形胡克定律

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§2-3 应力。拉（压）杆内的应力
• 1.应力的概念 • 2.横截面的应力 • 3.圣文南原理
横截面上的应力
F σ = A
N
该式为横截面上的正应 力σ计算公式。正应力σ和 轴力FN同号。即拉应力为正， 压应力为负。
目录
§2-3 应力。拉（压）杆内的应力
A 1
45°
例题2-2
C
2
FN 1
FN 2 = −20kN
目录
=0
FN 1 = 28.3kN
§2-3 应力。拉（压）杆内的应力
A 1
45°
FN 1 = 28.3kN
FN 2 = −20kN
2、计算各杆件的应力。
B
C
2
FN 1
FN 2 45°
y
B F
F
FN 1 28.3 ×103 σ1 = = = A1 π × 20 2 ×10 −6 4 90 ×106 Pa = 90MPa
1
2
αα
A1
即
由变形图即确定结点A 的位移。由几何关系得
A' A 2 A''
A A1 A A2 A A′ = = cos α cos α
∆l1 ∆l2 2 Fl = ∆A = = cosα cosα Eπd 2 cos 2 α
3 3
代入数值得
2(100 × 10 N)(2 × 10 mm) ∆A = (210 × 103 MPa )[ π × (25mm) 2 ] cos 2 30o = 1.293mm(↓)
∆L = ∆LAB + ∆LBC 2PL PL =+ EA EA PL =EA
§2-4 拉压杆的变形
三、 横向变形 横向变形
∆b = b1 − b
胡克定律
其中：b为原有截面尺寸 b1为拉压变形后的截面尺寸
ε'
横向线应变
的关系为：
ε′ =
轴向线应变 ε 和横向线应变 ε
∆b b
'
ε′ 泊松比 ν = ε
解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水 平杆为2杆）取节点A为研究对象 ∑ Fx = 0 FN1 cos α + FN 2 = 0
FN 1
FN 2
300
y
A
x
FN 1 sin α − F = 0 =0 FN 1 = F / sin α = 2 F = 20kN FN 2 = − FN 1 cos α = − 3F = −17.32kN
由
A
L B
C
(a)
Σx = 0
NBC = P
P – NBC = 0
P – 3P + NAB = 0 NAB = 2P (受压）
NBC = P NAB = 2P (受压）
2)求变形 AB段受压缩 BC段受拉伸 杆件的总变形
∆LAB =
∆LBC
N AB L − 2 PL = EA EA
N BC L PL = = EA EA
B
1
C
解：1、求两杆的轴力。
α α
A F
2
y FN1
αα
A F
FN2 x
∑F = 0 ∑F = 0
x y
FN1 = FN 2
2 FN1 cos α = F
得
FN1 = FN 2
F = 2 cos α
B
1
C
2、由胡克定律得两杆的伸 长：
α α
A F
2
FN1l FN 2l ∆l1 = ∆l2 = = EA EA
τα = 0 τα = 0
（横截面） （纵截面）
§2-4 拉压杆的变形 胡克定律
一、 纵向变形
设杆件的原长为L,拉伸变形后 的长度为L1 杆件的纵向变形为
∆l = l1 − l
F
L L1
F
线应变：每单位长度的伸长（缩短）量 纵向线应变
∆l ε= l
§2-4 拉压杆的变形 胡克定律
二、胡克定律： 拉（压） ∆l ∝ Fl A 杆变形量与受力的关系
y
∑F
2、根据胡克定律计算杆的变形。
20 × 103 × 2 = = 1× 10 −3 m = 1mm 斜杆伸长 ∆l1 = E1 A1 200 × 109 × 200 × 10 −6 FN 2l2 17.32 ×103 × 1.732 = = 0.6 × 10 −3 m = 0.6mm 水平杆缩短 ∆l2 = E2 A2 200 × 109 × 250 × 10 −6
FN 2 45°
y
B F
图示结构，试求杆件AB、CB的 应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直 径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。 B 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆） F 用截面法取节点B为研究对象
x
∑ Fx = 0 ∑F
y
FN 1 cos 45o + FN 2 = 0 FN 1 sin 45o − F = 0
F FN 1l1
目录
§2-4 拉压杆的变形
胡克定律
∆l1 =
FN 1l1 = 1mm E1 A1 F l ∆l2 = N 2 2 = 0.6mm E2 A2
3、节点A的位移（以切代弧）
FN 1 300 FN 2 A
A′
y
A F
A2
A
AA1 = ∆l1 = 1mm AA2 = ∆l2 = 0.6mm A1 δ x = ∆l2 = 0.6mm ∆l1 ∆l2 δ y = AA3 + A3 A4 = + sin 30o tan 30o = 2 + 1.039 = 3.039mm
引入比例常数E 或写为 即 σ = Eε
FN A
FN l ∆l = EA
∆l =E l
E为弹性摸量,EA为抗拉刚度
例题：
例1：试求图（a)所示均匀直杆的总变形，已知P=20kN, L=600mm, 横截面面积A=200mm2,材料的弹性模量E=210GPa.
2
3Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
L
P
解：1)求轴力 分别去1截面和 2截面的右段为研究对象
σα
α
τα
pα
σ α = σ 0 cos 2 α σ0 τ α = sin 2α 2
（1） α = 0 讨论：
α = 90o o （2） α = 45 α = −45o α = 0o α = 90o
σ max = σ 0 （横截面） σα = 0 （纵截面） τ α = τ max = σ 0 / 2 τ α = τ min = −σ 0 / 2
变 截 面 杆 受 力 如 图 ， 已 知 P1 ＝ 20kN,P2=40kN,L1=300mm, L2=500mm, 横 截 面 面 积 A1=100mm2, A2=200mm2,弹性模 量E=200GPa。
作业题
P53 2-5 , 2-7 , 2-11
再见！
AA′′ = δ x2 + δ y2 = 0.6 2 + 3.039 2 = 3.1mm
目录
2
x
A1
A3
A′′
A′′
A4
§2-4 拉压杆的变形
胡克定律
c
目录
§2-4 拉压杆的变形
胡克定律
A
目录
思考题一
思 考 题 二
思考题三
变 截 面 杆 受 力 如 图 ， 已 知 P1 ＝ 20kN,P2=40kN,L1=300mm, L2=500mm, 横 截 面 面 积 A1=100mm2, A2=200mm2,弹性模 量E=200GPa。
Fl = 2EA cos α
2 Fl = Eπd 2 cos α
3、计算节点位移
根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点 A只有竖向位移。
关键步骤——如何确定杆系变形后结点A的位 置？ C B 1
α α
A A'
2 1 2
αα
A1 A' A 2 A''
此位置既应该符合两杆 间的约束条件，又满足 两杆的变形量要求。
FN 2 − 20 ×103 σ2 = = 2 = −6 A2 15 ×10 − 89 ×106 Pa = −89MPa
目录
x
四、拉（压）杆斜截面上的应力
F
k
F
k
α
F
k k
Fα
由静力平衡得斜截面上的 内力： F = F
α
F
k k
pα F α
pα = ?
F
F
变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉（压） 变形后仍相互平行。 推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长 变形相同。 即斜截面上各点处应力相等。
B
1
C
α α
A A'
2
此例可以进一步加深对变 形和位移两个概念的理 解。 变形 杆件几何尺寸的 改变，标量 结点位置的移动， 矢量
位移
二者间的函数关系
与各杆件间的约束有关，实 际是变形的几何相容条件。
§2-4 拉压杆的变形
胡克定律
例题2-6
AB长2m, 面积为200mm2。AC面积为250mm2。 E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。
τ α = pα sin α = σ 0 cosα sin α =
σ0
2
sin 2α
σα
α
τα
pα
σ α = σ 0 cos 2 α σ0 τ α = sin 2α 2
通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况， 成为该点处的应力状态。 对于拉（压）杆，一点处的应力状态由其横截面上 一点处正应力即可完全确定，这样的应力状态称为 单向应力状态。
F A F
k
Aα
k
F
α
k k
pα F α
F F Fα = = cos α pα = A / cos α A Aα
= σ 0 cos α
σ0 为拉(压)杆横截面上( α = 0 )的正应力。
总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力：
σα
α
pα
τα
2
σ α = pα cos α = σ 0 cos α
ε ′ = −νε
P19 常见材料的弹性 模量和泊松比
E 和ν
是材料的弹性常数。
目录
钢材的E约为200GPa，μ约为0.25—0.33
P20 例2-5 图示杆系，荷载 F=100kN, 求结点A的 位移∆A。已知两杆均为长度l =2m，直径d =25mm的 圆杆，α =30º，杆材(钢)的弹性模量E = 210GPa。