水动力学基本微分方程
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当水处于平衡状态时， 当从含水层中抽水、水头下降△h时，
图
42020/10/22
（1）H下降△h，水体积膨胀，从而释放出一定 体积的水；
（2）σ保持不变，骨架所受压力增加，因为固 体颗粒接近于刚性体不可压缩，所以压力增加 引起含水层压缩，使含水层空隙中的部分地下 水被挤出。 这两点就是弹性释水的机理。
注意：
a.Ｈ为整个含水层厚度上的平均值； b.Ｈ、h均为未知，所以该方程为二阶非线性偏微分方程； c.该方程不适于水力梯度较大地段；不能计算任一点的Ｈ。
52020/10/22
2.方程讨论
a.二维情况：
b.均质含水层，Ｋ＝Constant
c.当隔水层底板水平时，H＝h；
62d02.0/1若0/22需计算渗流区内任一点水位，如土坝渗流等，则需采 用下式计算：
等的；或者说，水头不随深度而变化，同一铅直面上各点 的水力坡度和渗透速度都相等，渗透速度可表示为：
在此条件下，通过宽度为B的铅直平面沿x方向的流量 Ｑx为：
h-含水层厚度，当隔水底板水平时，h = H
12020/10/22
（二）潜水含水层中渗流基本微分方程
1.方程的建立
在Dupuit假定下，考虑一维问题，取平行于xoz平 面的单位宽度进行研究。
表示；
②上部潜水面下降部分引起的重力疏干排水，这部 分给水能力用给水度 （Specific yield）表示；
给水度的物理意义：当含水层中水头下降一个单 位时，在单位体积含水层中，由重力疏干所排出的 水量。
92020/10/22
4.贮水率与给水度的区别
① 弹性释水由减压引起， 为压力变化所给出的水量 ， 为重力疏干排出的水量；
62020/10/22
（三）越流因素和越流系数 １.越流因素（Leakage factor）
上式中，若介质为均质各向同性介质， T＝Constant
式中：Ｔ为主含水层的导水系数 Ｋi，mi分别为弱透水层的渗透系数和厚度
72020/10/22
Ｂ1、Ｂ2分别称为上、下两弱透水层的越流因素
越流因素Ｂ是反映弱透水层隔水性能的参数。Ｂ越 大，越流量Ｑ越小，对于隔水层Ｂ无穷大，越流量 为零。
（一）方程的建立
设：
① 地下水、含水层均为弹性体；
② 弹性释水瞬时完成； ③ 为常数（constant）；
均衡区
在渗流场中取一无限小的平行六面体，作为均衡单元
，如图示，六面体边长分别为dx、dy、dz，下面分析dt
时段内，均衡单元中的质量守恒问题。
均衡期
12020/10/22
依据质量守恒和能 量守恒定律，建立承 压含水层中渗流基本 微分方程。
其中潜水面要用边界条件考虑，不包括在方程之内。 e.无蒸发、无入渗时，潜水位H变化很小，则
为稳定流。
72020/10/22
82020/10/22
承压含水层
潜水 面的 单位 降低
潜水含水层
重力疏干的滞后效应 给水度随时间的变化图
首先取一微分柱 体（其长度为∆x，宽 为１，高为整个含水 层厚度）作为均衡单 元，下面分析在dt时 段内，微分柱体的水 均衡问题。
22020/10/22
从上游断面流入：
从下游断面流出：
在∆t时间内，垂直方向的 补给量为：
由于潜水面的上升而 引起的均衡区内的水的增 量为：
32020/10/22
根据连续性原理，上面两个增量应相等，即
② 贮水率与整个含水层厚度上的岩性、液体性质有关 ，给水度仅与水位波动带的岩性、液体性质有关；
③ 弹性释放瞬时完成；重力疏干具明显的滞后效应； ④ 数量级： 约10-5～10-3； 约0.1～0.3； ∵ ＞＞ ∴在潜水含水层中，通常只考虑重力疏干，忽略弹性
释水。
02二020/1、0/22承压含水层中渗流基本微分方程
22020/10/22
P(x，y）
32020/10/22
沿x方向流入单元体的水量： 流出：
沿y方向流入单元体的水量： 流出：
沿z方向流入单元体的水量： 流出：
42020/10/22
流入量－流出量＝：
单元体内贮存量的变化为： 根据水均衡原理得：
52020/10/22
代入上式 得：
这就是不考虑弱透水层 弹性释水条件下，非均 质各向异性越流含水层 系统地下水非稳定运动 的基本微分方程。
水动力学基本微分方程
22020/10/22
2-1 地下水动力学基本微分方程
一、含水层的弹性理论 32020/10/22
1.含水层的弹性释水（以承压水为例）
从承压含水层中抽出的水，由两部分组成 含水层所贮存水的弹性释放 侧向补给（来自远方） 现取一处于平衡状态的承压含水层柱体。设含水层
上覆岩层对含水层中的固体颗粒和地下水产生的应力为 σ，骨架上的反压强为 ，水的顶托力为P。
52020/10/22
上述分析表明：H降低，承压含水层释 放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部 分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和 结构有关，为了表征含水层弹性释水（储 水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮 水系数的概念。
62020/10/22
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 表示 当含水层中的水头降低（或升高）一
个单位时，单位时间内在单位体积含水层 中，由于水的弹性膨胀（或压缩）及含水 层的弹性压缩（或膨胀）释放（或贮存） 的水量，称为贮水率,也称单位贮存量， 量纲为［L-1］。
72020/10/22
２.贮水系数（ storage coefficient ）
W为单位时间从垂直方向单位面积含水层中流入 或流出的水量(补给强度或蒸发强度)
72020/10/22
82020/10/22
可得到三维、二维相应的稳定状态下的渗流基本微分 方程。 对于均质各向同性的三维流来说：
5.若化为柱坐标（三维各向同性介质）
92020/10/22
三、越流含水层中渗流基本微分方程
３.当含水层有垂直水量交换时，其量常用Ｗ表示，称 为源（汇）项，含水层的源（汇）项可是t和位置的 函数 W=W(x,y,z,t)。
当从含水层中抽水或从垂直方向有水流出含水层时 ，Ｗ为负，称为汇；
当给含水层中注水或从垂直方向有水流入含水层时， Ｗ为正，称为源；
62020/10/22
三维：
W为单位时间从单位体积含水层中流入或流出的水量 二维：
代入上式 得到
上式为非均质各向异性潜水含水层中一维地下水非稳 定运动的基本微分方程，也称为Ｊ.Boussinesq方程。
42020/10/22
对于均质含水层，Ｋ＝Constant
式中： ：水位下降时称为给水度，水位上升时称为饱和差；
W：降雨入渗强度（+）或蒸发强度（—）； h：含水层厚度； H：含水层的水位（平均值）； K：含水层渗透系数；
02020/10/22
12020/10/22
（二）越流含水层中渗流基本微分方程 1.假定
a.忽略弱透水层的弹性释水； b.水流在弱透水层中是垂向运动，而在主含水层中
折射为水平运动；
2.方程的建立
在主含水层中取一微分柱体（其长宽分别为dx 、dy，高为含水层厚度m）作为均衡单元。下面分析 在dt时段内，微分柱体的水均衡问题。
Ｑx为单位时间内通过abcd断面流入的水量。在dt内 ，沿x方向通过abcd断面流入均衡单元的水量 ,通 过a＇b＇c＇d＇断面从均衡单元流出的水量为
22020/10/22
dt时段内分别沿oy、 oz进入单元的水量为
而流出的水量为
在dt内，均衡单元贮存量的变化量为: 据水均衡原理得：
32020/10/22
（一）什么是越流？
1.半承压含水层：一个主含水层的上层和（或）下层为弱透 水层，主含水层通过弱透水层与相邻含水层发生水力联系 ，但它本身具有承压性，主含水层称为半承压含水层。
2.越流：当半承压含水层与相邻含水层间存在水头差时，地 下水便通过弱透水层从高水头含水层向低水头含水层产生 垂向流动，这种现象称为越流。 简言之，相邻含水层在水头差的作用下，通过弱透水 层与主含水层发生水力联系的现象称为越流。 越流的方向：由两相邻含水层的水位决定。
m为含水层厚度，用于二维流计算。 无量纲，大部分含水层 介于10-5～10-3之间 物理意义：在单位面积、厚度为m的含水层柱 体中，当水头降低（或升高）一个单位时，单位 时间内从含水层中释放（或贮存）的水量。
82020/10/22
3.给水度
对潜水含水层而言，当水头下降时，引起两部分 排水：
①含水层下部饱水部分的弹性释水，其释水能力用
（一）Dupuit假定
潜水面通常不是水平面，潜水含水层中存在着流速的 垂直分量，潜水面本身又是渗流区边界，随时间而变化。 为了建立潜水含水层中渗流基本微分方程，引出了Dupuit 假定： 假设潜水面比较平缓，潜水面上任意一点P有：
02020/10/22
相当于忽略了渗透速度的垂直分量 ， 代替，在铅垂面上各点的水头都是相
wk.baidu.com化简为： 根据达西定律：
42020/10/22
上式就是非均质各向异性承压含水层中地下水三 维非稳定运动的基本微分方程。对各向异性介质，取 坐标轴方向与主渗透方向一致。
（二）方程的化简和讨论
１.对于均质各向同性含水层，Ｋ为常数，这时 简化为：
52020/10/22
２.对于二维的情况，常用 和T表示( 各项均乘以m）
82020/10/22
２.越流系数（Coefficient of leakage）
因为
物理意义： 当主含水层和相邻含水层间的水头差等于一个
长度单位时，通过单位面积含水层上的越流量。 越流系数反映越流量的大小， 越大，相同水
头下的越流量也越大。
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四、潜水含水层中渗流基本微分方程
图
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（1）H下降△h，水体积膨胀，从而释放出一定 体积的水；
（2）σ保持不变，骨架所受压力增加，因为固 体颗粒接近于刚性体不可压缩，所以压力增加 引起含水层压缩，使含水层空隙中的部分地下 水被挤出。 这两点就是弹性释水的机理。
注意：
a.Ｈ为整个含水层厚度上的平均值； b.Ｈ、h均为未知，所以该方程为二阶非线性偏微分方程； c.该方程不适于水力梯度较大地段；不能计算任一点的Ｈ。
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2.方程讨论
a.二维情况：
b.均质含水层，Ｋ＝Constant
c.当隔水层底板水平时，H＝h；
62d02.0/1若0/22需计算渗流区内任一点水位，如土坝渗流等，则需采 用下式计算：
等的；或者说，水头不随深度而变化，同一铅直面上各点 的水力坡度和渗透速度都相等，渗透速度可表示为：
在此条件下，通过宽度为B的铅直平面沿x方向的流量 Ｑx为：
h-含水层厚度，当隔水底板水平时，h = H
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（二）潜水含水层中渗流基本微分方程
1.方程的建立
在Dupuit假定下，考虑一维问题，取平行于xoz平 面的单位宽度进行研究。
表示；
②上部潜水面下降部分引起的重力疏干排水，这部 分给水能力用给水度 （Specific yield）表示；
给水度的物理意义：当含水层中水头下降一个单 位时，在单位体积含水层中，由重力疏干所排出的 水量。
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4.贮水率与给水度的区别
① 弹性释水由减压引起， 为压力变化所给出的水量 ， 为重力疏干排出的水量；
62020/10/22
（三）越流因素和越流系数 １.越流因素（Leakage factor）
上式中，若介质为均质各向同性介质， T＝Constant
式中：Ｔ为主含水层的导水系数 Ｋi，mi分别为弱透水层的渗透系数和厚度
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Ｂ1、Ｂ2分别称为上、下两弱透水层的越流因素
越流因素Ｂ是反映弱透水层隔水性能的参数。Ｂ越 大，越流量Ｑ越小，对于隔水层Ｂ无穷大，越流量 为零。
（一）方程的建立
设：
① 地下水、含水层均为弹性体；
② 弹性释水瞬时完成； ③ 为常数（constant）；
均衡区
在渗流场中取一无限小的平行六面体，作为均衡单元
，如图示，六面体边长分别为dx、dy、dz，下面分析dt
时段内，均衡单元中的质量守恒问题。
均衡期
12020/10/22
依据质量守恒和能 量守恒定律，建立承 压含水层中渗流基本 微分方程。
其中潜水面要用边界条件考虑，不包括在方程之内。 e.无蒸发、无入渗时，潜水位H变化很小，则
为稳定流。
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承压含水层
潜水 面的 单位 降低
潜水含水层
重力疏干的滞后效应 给水度随时间的变化图
首先取一微分柱 体（其长度为∆x，宽 为１，高为整个含水 层厚度）作为均衡单 元，下面分析在dt时 段内，微分柱体的水 均衡问题。
22020/10/22
从上游断面流入：
从下游断面流出：
在∆t时间内，垂直方向的 补给量为：
由于潜水面的上升而 引起的均衡区内的水的增 量为：
32020/10/22
根据连续性原理，上面两个增量应相等，即
② 贮水率与整个含水层厚度上的岩性、液体性质有关 ，给水度仅与水位波动带的岩性、液体性质有关；
③ 弹性释放瞬时完成；重力疏干具明显的滞后效应； ④ 数量级： 约10-5～10-3； 约0.1～0.3； ∵ ＞＞ ∴在潜水含水层中，通常只考虑重力疏干，忽略弹性
释水。
02二020/1、0/22承压含水层中渗流基本微分方程
22020/10/22
P(x，y）
32020/10/22
沿x方向流入单元体的水量： 流出：
沿y方向流入单元体的水量： 流出：
沿z方向流入单元体的水量： 流出：
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流入量－流出量＝：
单元体内贮存量的变化为： 根据水均衡原理得：
52020/10/22
代入上式 得：
这就是不考虑弱透水层 弹性释水条件下，非均 质各向异性越流含水层 系统地下水非稳定运动 的基本微分方程。
水动力学基本微分方程
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2-1 地下水动力学基本微分方程
一、含水层的弹性理论 32020/10/22
1.含水层的弹性释水（以承压水为例）
从承压含水层中抽出的水，由两部分组成 含水层所贮存水的弹性释放 侧向补给（来自远方） 现取一处于平衡状态的承压含水层柱体。设含水层
上覆岩层对含水层中的固体颗粒和地下水产生的应力为 σ，骨架上的反压强为 ，水的顶托力为P。
52020/10/22
上述分析表明：H降低，承压含水层释 放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部 分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和 结构有关，为了表征含水层弹性释水（储 水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮 水系数的概念。
62020/10/22
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 表示 当含水层中的水头降低（或升高）一
个单位时，单位时间内在单位体积含水层 中，由于水的弹性膨胀（或压缩）及含水 层的弹性压缩（或膨胀）释放（或贮存） 的水量，称为贮水率,也称单位贮存量， 量纲为［L-1］。
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２.贮水系数（ storage coefficient ）
W为单位时间从垂直方向单位面积含水层中流入 或流出的水量(补给强度或蒸发强度)
72020/10/22
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可得到三维、二维相应的稳定状态下的渗流基本微分 方程。 对于均质各向同性的三维流来说：
5.若化为柱坐标（三维各向同性介质）
92020/10/22
三、越流含水层中渗流基本微分方程
３.当含水层有垂直水量交换时，其量常用Ｗ表示，称 为源（汇）项，含水层的源（汇）项可是t和位置的 函数 W=W(x,y,z,t)。
当从含水层中抽水或从垂直方向有水流出含水层时 ，Ｗ为负，称为汇；
当给含水层中注水或从垂直方向有水流入含水层时， Ｗ为正，称为源；
62020/10/22
三维：
W为单位时间从单位体积含水层中流入或流出的水量 二维：
代入上式 得到
上式为非均质各向异性潜水含水层中一维地下水非稳 定运动的基本微分方程，也称为Ｊ.Boussinesq方程。
42020/10/22
对于均质含水层，Ｋ＝Constant
式中： ：水位下降时称为给水度，水位上升时称为饱和差；
W：降雨入渗强度（+）或蒸发强度（—）； h：含水层厚度； H：含水层的水位（平均值）； K：含水层渗透系数；
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12020/10/22
（二）越流含水层中渗流基本微分方程 1.假定
a.忽略弱透水层的弹性释水； b.水流在弱透水层中是垂向运动，而在主含水层中
折射为水平运动；
2.方程的建立
在主含水层中取一微分柱体（其长宽分别为dx 、dy，高为含水层厚度m）作为均衡单元。下面分析 在dt时段内，微分柱体的水均衡问题。
Ｑx为单位时间内通过abcd断面流入的水量。在dt内 ，沿x方向通过abcd断面流入均衡单元的水量 ,通 过a＇b＇c＇d＇断面从均衡单元流出的水量为
22020/10/22
dt时段内分别沿oy、 oz进入单元的水量为
而流出的水量为
在dt内，均衡单元贮存量的变化量为: 据水均衡原理得：
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（一）什么是越流？
1.半承压含水层：一个主含水层的上层和（或）下层为弱透 水层，主含水层通过弱透水层与相邻含水层发生水力联系 ，但它本身具有承压性，主含水层称为半承压含水层。
2.越流：当半承压含水层与相邻含水层间存在水头差时，地 下水便通过弱透水层从高水头含水层向低水头含水层产生 垂向流动，这种现象称为越流。 简言之，相邻含水层在水头差的作用下，通过弱透水 层与主含水层发生水力联系的现象称为越流。 越流的方向：由两相邻含水层的水位决定。
m为含水层厚度，用于二维流计算。 无量纲，大部分含水层 介于10-5～10-3之间 物理意义：在单位面积、厚度为m的含水层柱 体中，当水头降低（或升高）一个单位时，单位 时间内从含水层中释放（或贮存）的水量。
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3.给水度
对潜水含水层而言，当水头下降时，引起两部分 排水：
①含水层下部饱水部分的弹性释水，其释水能力用
（一）Dupuit假定
潜水面通常不是水平面，潜水含水层中存在着流速的 垂直分量，潜水面本身又是渗流区边界，随时间而变化。 为了建立潜水含水层中渗流基本微分方程，引出了Dupuit 假定： 假设潜水面比较平缓，潜水面上任意一点P有：
02020/10/22
相当于忽略了渗透速度的垂直分量 ， 代替，在铅垂面上各点的水头都是相
wk.baidu.com化简为： 根据达西定律：
42020/10/22
上式就是非均质各向异性承压含水层中地下水三 维非稳定运动的基本微分方程。对各向异性介质，取 坐标轴方向与主渗透方向一致。
（二）方程的化简和讨论
１.对于均质各向同性含水层，Ｋ为常数，这时 简化为：
52020/10/22
２.对于二维的情况，常用 和T表示( 各项均乘以m）
82020/10/22
２.越流系数（Coefficient of leakage）
因为
物理意义： 当主含水层和相邻含水层间的水头差等于一个
长度单位时，通过单位面积含水层上的越流量。 越流系数反映越流量的大小， 越大，相同水
头下的越流量也越大。
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四、潜水含水层中渗流基本微分方程