第十三章 函数项级数习题课

第十三章 函数项级数习题课 一 概念叙述

1．{}n f 在D 上一致收敛于0,,,f N n N x D ε⇔∀>∃∀>∀∈有ε<-)()(x f x f n ． 2．{}n f 在D 上不一致收敛于0000,,,f N n N x D ε⇔∃>∀∃>∃∈使得0

000()()n f x f x ε-≥．

3．{}n f 在数集D 上一致收敛⇔柯西准则

0,,,,N m n N x D ε∀>∃∀>∀∈，有()()n m f x f x ε-<．

⇔柯西准则

0,,,,0N n N x D p ε∀>∃∀>∀∈∀>，有()()n p n f x f x ε+-<．

4．{}n f 在数集D 上不一致收敛⇔柯西准则

00000,,,,N m n N x D ε∃>∀∃>∃∈使得0

000()()n m f x f x ε-≥．

⇔柯西准则

00000,,,,0N n N x D p ε∃>∀∃>∃∈∃>使得0

000()()n p n f x f x ε+-≥．

5．

1

()n

n u x ∞

=∑在D 上一致收敛于函数()S x ⇔部分和函数列{}()n

S x 在数集D 上一致收敛于函

数()S x ．

二 疑难解析与注意事项

1．为何要讨论函数列与函数项级数的一致收敛性？

答：函数列理论中重要问题是(){}

n f x 的性质（连续性，可积性，可导性）在极限过程中是否依旧保持？比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性．又如极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限．对这些问题的讨论，只要求函数列在数集D 上的收敛是不够的，必须对它在D 上的收敛性提出更高的要求才行，这就是所要讨论的一致收敛性问题．由于函数项级数

1

()n n u x ∞

=∑的收敛性可以转化为相应部分和函

数列{}()n S x 的问题来讨论，因此研究函数项级数逐项求极限，逐项求导，逐项求积分时，要讨论函数项级数的一致收敛性．

2．判断函数列{}n f 在D 上一致收敛有哪些方法？

答：1）定义：{}n f 在D 上一致收敛于0,,,f N n N x D ε⇔∀>∃∀>∀∈有ε<-)()(x f x f n ；

2）柯西准则：0,,,,N m n N x D ε∀>∃∀>∀∈，有()()n m f x f x ε-<，用于抽象的函数列的一致收敛性的判断；

3）确界（最大值方法）：0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n D

x n ；

4）估计方法（放大法）：|()()|0n n f x f x a -≤→；

5）

1

()n

n f

x ∞

=∑在D 上一致收敛()n f x ⇒在D 上一致收敛于0．

6）Dini-定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性．

设函数列{()}n f x 和函数()f x 都定义于闭区间[,]a b 上，{()}n f x 在[,]a b 上点态收敛于()f x ，如果

（1）{()}n f x 在[,]a b 连续； （2）()f x 在[,]a b 连续；

（3）{()}n f x 关于n 单调，即对任意固定的[,]x a b ∈，{()}n f x 是单调数列，则{()}

n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x ．

注 除柯西准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用

点态收敛性计算出极限函数．

注 定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断．

注 Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的[,]x a b ∈，{()}n f x 作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n N >时”条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n N >时，对所有任意固定的[,]x a b ∈，{()}n f x 关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立．

3．判断函数列{}n f 在D 上不一致收敛有哪些方法？

答：1）定义：0000,,,N n N x D ε∃>∀∃>∃∈，使得0

000()()n f x f x ε-≥；

2）柯西准则：00000,,,,N m n N x D ε∃>∀∃>∃∈使得0

000()()n m f x f x ε-≥；

3）limsup ()()0;n n x D

f x f x →∞∈-≠

4）{}n f 在D 上连续，但极限函数()f x 在D 上不连续则{}n f 在D 上不一致收敛． 4．判断

1

()n n u x ∞

=∑在D 上一致收敛于函数()S x 有哪些方法？

答：1）定义：部分和函数列{}()n S x 在数集D 上一致收敛于函数()S x ；

2）柯西准则：0>∀ε，N ∃，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有ε<-+)()(x S x S n p n ，即ε<++++++)()()(21x u x u x u p n n n ；

3）0)()(sup lim )(sup lim =-=∈∞→∈∞→x S x S x R n D

x n n D

x n ；

4）放大法：()()()0n n n R x S x S x a =-<→； 5）M 判别法； 6）阿贝耳判别法； 7）狄利克雷判别法． 5．判断

1

()n n u x ∞

=∑在D 上不一致收敛于函数()S x 有哪些方法？

答：1）定义：部分和函数列{}()n S x 在数集D 上不一致收敛于函数()S x ；

2）柯西准则：00000,,,,0N n N x D p ε∃>∀∃>∃∈∃>，使得0

102000()()()n n n p u x u x u x ε++++++≥；

3）limsup ()limsup ()()0n n n n x D

x D

R x S x S x →∞→∞∈∈=-≠；

4）()n u x 在D 上连续，但()S x 在D 上不连续； 5）

1

()n

n u x ∞=∑在(),D a b =的端点处发散，则1

()n

n u x ∞

=∑在D 上不一致收敛．即：

设

)(x u

n

∑在(),a b 内收敛，每个()n u x 在x b =做左连续，若()n u b ∑发散，则

)(x u

n

∑在(),a b 内非一致收敛；

应用：

1x n ∑在()1,+∞内不一致收敛，n n

x ∑当1x >时不一致收敛．

6）()n u x 在D 上不一致收敛于0，则1

()n n u x ∞

=∑在D 上不一致收敛．

三 典型例题

1． 讨论下列函数序列在所示区域内的一致收敛性． （1） ()22,011n x f x x n x =

≤≤+； （2）()22

,011n

nx

f x x n x =≤≤+； （3）()1

,01n

n n f x x x

x +=-≤≤； （4）()(1)n n f x nx x =-，01x ≤≤．

解：（1）当0x =，()0n f x =，()lim ()0n n f x f x →∞

==；