2019年高考数学导数专题复习讲义(经典)

导数的定义、运算和运用（一）

考向一：定义（平均变化率瞬时变化率，适当补充极限定义） 【例】函数221y x =+在闭区间[1,1]x +∆内的平均变化率为 A.12x +∆ B. 2x +∆ C. 32x +∆ D. 42x +∆

【解析】∵f （1+△x ）=2（1+△x ）2+1=2（△x ）2+4△x+3，f （1）=2，∴该函数在区间[1，1+△x]上的平均变化率为

=∆∆+∆=∆-∆+=∆∆x

x x x f x f x y 42)1()1(242x +∆ 【例】若'0()3f x =-，则000

()(3)

lim

h f x h f x h h

→+--=（ ）

A ．3-

B ．6-

C ．9-

D ．12- 【解析】

0000000

00()(3)()(3)()(3)

lim

lim 44lim 44h h h f x h f x h f x h f x h f x h f x h h h h

→→→+--+--+--=⨯='04()12f x ==-。故选

D 。

【练1】若2)(0='x f ，则k

x f k x f k 2)

()(lim

000--→等于（ ）

A ．－1

B ．－2

C ．1

D ．2

1

【练2】若错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。（ ） A ．错误!未找到引用源。 B ．错误!未找到引用源。 C ．错误!未找到引用源。 D ．错误!未找到引用源。

【解析1】根据导数的定义知

k x f k x f k 2)()(lim

000

--→=000()()1lim 2k f x k f x k -→----=01

()2

f x '-=-1

【

解析2】

()()()()

()12-443lim 43lim

0000000

='=--+=--+→→x f h

h x f h x f h h x f h x f h h 考向二：导数几何意义（在/过某点切线） 【例】曲线31y x =+在点(1,0)-处的切线方程为

A ．330x y ++=

B ．330x y -+=

C ．30x y -=

D ．330x y --=

【解析】∵'23y x =，∴'1

3x k y

=-==，由点斜式知切线方程为：

()31y x =+，即330x y -+=.

【例】过点)1,1(-且与曲线x x y 23-=相切的直线方程为（ ） A ． 20x y --=或5410x y +-= B ．02=--y x C ．20x y --=或4510x y ++= D ．02=+-y x

【解析】设切点为3000(,2)x x x -，因为232y x '=-，所以切线的斜率为0

20|32x x k y x ='==-，所以切线方程为320000(2)(32)()y x x x x x --=--，

又因为切线过点(1,1)-，所以3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--即

32002310x x -+=，注意到(1,1)-是在曲线32y x x =-上的，故方程32002310x x -+=必有一根01x =，代入符合要求，进一步整理可得32002(1)3(1)0x x ---=即2000002(1)(1)3(1)(1)0x x x x x -++--+=，也就是2000(1)(21)0x x x ---=即200(1)(21)0x x -+=，所以01x =或01

2

x =-

，当

01x =时，20321k x =-=，切线方程为(1)1y x --=-即20x y --=；当

012x =-时，203532244k x =-=-=-，切线方程为5

(1)(1)4

y x --=--即

5410x y +-=

【例】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,

ln ,1,

x x x x -<<⎧⎨

>⎩图象上点P 1，

P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)

【练1】已知直线l 过点)1,0(-，且与曲线x x y ln =相切，则直线l 的方程为 .

【练2】曲线2)(3-+=x x x f 的一条切线平行于直线014=--y x ，则除切点外切线与曲线的另一交点坐标可以是（ ） A ．(1,0) B ．(2,10)-- C ．(1,4)-- D ．(2,8) 【练3】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线

ln(1)y x =+的切线，则b = ．

【解析1】将()ln f x x x =求导得()ln 1f x x '=+，设切点为00(,)x y ，l 的方程为000(ln 1)()y y x x x -=+-，因为直线l 过点

)

1,0(-，所以

0001(ln 1)(0)

y x x --=+-.又

000

ln y x x =，所

以

0000001ln (ln 1),1,0x x x x x y --=-+∴==.所以切线方程为1-=x y .

【解析2】设切点()00,y x P ，则()13'2+=x x f ，于是

()13|'2

00+===x x f K x x 切，因为切线平行于直线014=--y x ，所以41320=+x ，即10±=x .则()()4,10,1--或P ，切线方程为：()14-=x y 或

()144+=+x y 分别与曲线方程联立可解得另一交点坐标为()

12,2--或()8,2

【解析3】对函数ln 2y x =+求导得1y x

'=，对ln(1)y x =+求导得

1

1

y x '=

+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点

111(,)P x y 在切线上得()111

1

ln 2()y x x x x -+=

-，由点222(,)P x y 在切线上得2221

ln(1)()1

y x x x x -+=

-+，这两条直线表示同一条直线，所以122

21

2111

21ln(1)ln 1x

x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨+⎪+=+⎪+⎩

，解得1

1111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-. 考向三：常用函数导数与导数的四则运算 【例】函数1ln 1ln x

y x

-=+的导数是 （ ） A. 22(1ln )x -

+ B.2

)ln 1(2

x x + C.22(1ln )x x -+