线性代数n维向量空间小结

“向量组的秩”即为“矩阵的秩”.
对于非齐次线性方程组,首先有没有解，
有唯一解 1, ,n线性无关，R( A) n.
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三、最大无关组，向量组的秩
最大无关组的两个等价命题： 命题1：(1)线性无关；
(2) 向量组中任何一个可由它们线性表出； 命题2：有r 个线性无关，任意r+1个则相关； 和矩阵的秩类似：有r阶子式≠0，任意r+1阶子式＝0.
A 0
9
证：1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
又1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
向量组等价，秩相等。
1. 1＋2，2＋3， ，n1＋n ,n＋1相关性？
(1)n为偶数：必相关。
(2)n为奇数：线性无关
1，
，
2
，
n线性无关。
10
例如n 3时，
1 0 1
1＋
2
, 2＋ 3
,3
1
1,
2
,3
判断是最大无关组：任意“n个” “线性无关”的“n维 向量”都是 n 的最大无关组。
6
例：1, ,n n无关 任一n维向量可由1, ,n线性表出；
证：) : 是最大无关组，显然。
)
: 1，
,
可由其表出；
n
1，
, n可由1，
,
表出；
n
等价。所以秩相等。
结论:设向量组T的秩为r，则T中任意r个线性无关
第四章 n维向量空间小结
n维向量空间 线性方程组
主要内容：
一．两个重要概念：
线性相关性：
本质上考察 x11 x22
xnn 0
是否“只有”x1＝ ＝xn＝0 时成立；
线性表出：
× 例如:任意向量组，0 1+ +0 n 0 1, ,n线性无关。
Hale Waihona Puke Baidu
2
二、 (1) 向量组1,2,
,
线性相关
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例１ 研究下列向量组的线性相关性
1 0 1
1 2, 2 2 , 3 0 .
3
5
2
解一
令 k1 1 k2 2 k3 3 0,即
1 0 1 0 k1 2 k2 2 k3 0 0
3 5 2 0
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整理得到
1, ,m (m 2)相关 至少有一个向量可由
其余m 1个线性表出
可由1,
,
线性表出，则表达式唯一
n
1,
,
线性无关。
n
4
(2) 线性表出：
x11 x22 xnn“, 有数”就行
可由1,
,
线性表出
n
AX 有解，A (1, ,n )
R( A) R( A)
秩(1, ,n ) 秩(1, ,n, )
若线性方程组()只有唯一零解,则 1 , 2 , , m 线性无关.
若线性方程组()有非零解,则 1 , 2 ,, m
线性相关.
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方法２ 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 系判定
给出一组n维向量1, 2 ,, m ,就得到一个 相应的矩阵A (1, 2 ,, m),首先求出R( A).
若R( A) m,则 1, 2 ,, m 线性无关, 若R( A) m,则 1, 2 ,, m 线性相关.
1 0
1 1
0 1
P
当 P 0，
1,2,3 1＋2,2＋3,3 1 P1
所以向量组1＋2,2＋3,3 1与1，2，3等价。 当 P＝0时，R(1 2,2 3,3 1)
min R1,2,3 , R(P) 3
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此方法对很多问题都有效：
3. 1,2,3线性无关，问l, m满足什么条件时， l2 1, m3 2,1 3线性无关。
矩阵A
(
1 ,
2
,
3)
1 2
0 2
1 0 ,
3 5 2
20
1 0 1 初等行变换 1 0 1
A 2 2 0 ~ 0 2 2
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1. b Rn, Ann X b有解 A 0
任意向量b都可以由A的列向量组线性表出,
1， ,n Rn 线性无关 任一n维向量均可由
其线性表出.
a11x1 a12x2 a1n xn 0
2.
ai1x1
ai2 x2
ainxn 1 对i 1, 2, n都有解
an1x1 an2x2 ann xn 0
k1
k3 0,
2 k1 2 k2 0,
()
3 k1 5 k2 2 k3 0.
线性方程组()的系数行列式
1 0 1 2 2 0 0, 3 5 2
线性方程组()必有非零解,从而 1, 2 , 3
线性相关.
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解二
1
1 2
,
2
0 2
1
, 3 0 ,
3
5
2
a11
a21
am1 0
k1
a12
k2
a22
km
am2
0
a1n
a2n
amn 0
整理得线性方程组
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a11k1 a21k2 am1 km 0,
a12 k1 a22 k2 am2 km 0,
()
a1n k1 a2n k2 amn km 0,
方法类似：
1 0 1
l 2
1, m3
2,1
3
＝1
,
2
,
3
l 0
1 m
01
P
当 P lm 1 0，可逆时，两向量组等价，无关。
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4. 1 2 3 m,2 1 3 m, ,
m 1 2 m1，判定两向量组秩的关系。
0 1 1 1
解: 1, 2,
, m 1,2,
n
AX 0有非零解，A (1, ,n )
R(A) n
n : 未知量个数，向量个数。 矩阵的秩就是向量组的秩。 向量组线性相关 向量组的秩 < 向量个数
3
相关结论：
一个向量线性无关 非零向量 两个向量线性无关 不成比例 向量个数 > 向量维数 相关 部分相关 整体相关，整体无关 部分无关
,
m
1 1
0 1
1 0
1
1
1
1
1
0
1,2, ,m P
P 0，等价，秩相等。
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典型例题
一、向量组线性关系的判定 二、求向量组的秩 三、向量空间的判定 四、基础解系的证法 五、解向量的证法
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一、向量组线性关系的判定
研究这类问题一般有两个方法
方法1 从定义出发
令 k1 1 k2 2 km m 0,
的向量均为T的最大无关组。
关于向量空间和子空间: 基，维数。
组(I)无关，组(I)可由(II)表出， 则组(I)的个数<组(II)的个数。
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四、 X AX 0解空间，维数：n - R(A)
任n R(A)个线性无关的AX 0的解向量均为 AX 0的基解系。
x k11 k22 krt
其中k1, k2 , , kt是任意常数.