线性代数n维向量空间小结
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结1.a j：向量α的第j个分量。
2.n维实向量空间：全体n维实列向量构成的集合及其上定义的向量。
的加法和数乘运算的合称。
Ps：1.全体n维行向量构成的集合记为R1*n；2.R2即2维空间。
3.R n的子集：多个n维实向量构成的一个集合。
4.V是R n的子空间：V具有下列性质的R n的子集。
设V?R n是一个非空集合，V满足：（1）若α、β∈V，则α+β∈V;（2）若γ∈V，k∈R，则kγ∈V；5.齐次线性方程组的解空间：齐次线性方程组的全部解向量构成的合。
6.向量组：多个相同维数的向量组成的集合。
7.线性组合：给定R n中向量组A：α1，α2，…，αm，以及数k1，k2，…，k m，称向量β=k1α1+k2α2+…+k mαm（k∈R）为向量组A的一个线性组合。
8.张成：给定R n中向量组A：α1，α2，…，αm，由A的全体线性组合构成的集合。
Ps；（1）记为Span（α1，α2，…，αm）={k1α1+k2α2+…+k mαm}；（2）张成是一R n的一个子空间；9.向量β能由向量组A线性表示：给定n维向量组A：α1，α2，…，αm和n维向量β，若存在m个数k1，k2，…，k m，使β=k1α1+k2α2+…+k mαm（k∈R）10.线性方程的三中表示：（1）矩阵方程Ax=b；（2）向量方程x1α1+x2α2+…+x nαn=β；（3）一般式方程；11.线性相关；k1α1+k2α2+…+k nαn=0（k不全为0）；线性无关；k1α1+k2α2+…+k nαn=0（k全为0）；12.线性相关的几何解释；（1）若向量组A：α1，α2线性相关，则它们共线：（2）若向量组A：α1，α2α3线性相关，则它们共面。
，13.向量组A线性相关的充要条件为R（A）＜n（即齐次线性方程组有非零解）；向量组A线性无关的充要条件为R（A）=n（……只有零解）。
Ps：秩：R（A）为系数矩阵的行阶梯形的非零行个数。
4.1 n 维向量空间
ai bi , i 1,2,, n
零向量 负向量
0 (0,0,,0)
(a1 ,a2 ,,an )
三维向量的线性运算满足八条运算规律
1. 2.( ) ( ) 3. 0 4. 0
是否是 R2 的子空间？
x1 , x2 , x1 x2 0,
y1 , y2 V1
y1 y2 0,
x1 y1 , x2 y2 ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) 0
V1
x1 , x2 , R, x1 x2 0, V1
5.1 6.k ( l ) ( kl)
7.k l k l 8.k k k
n 维向量的线性运算也满足八条运算规律
1. 2.( ) ( ) 3. 0 4. 0
则 0 或a1 a2 an 0
0或 0
线性方程组的矩阵表示:
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
a1n b1 a11 a12 a a 21 x 22 x a 2 n b2 x1 2 n a a a b m1 m2 mn m
5.1 6.k ( l ) ( kl)
7.k l k l 8.k k k
线性代数n维向量空间小结
A 0
9
证：1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
又1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
向量组等价，秩相等。
1. 1＋2，2＋3， ，n1＋n ,n＋1相关性？
(1)n为偶数：必相关。
(2)n为奇数：线性无关
1，
，
2
，
n线性无关。
10
例如n 3时，
1 0 1
1＋
2
, 2＋ 3
,3
1
1,
2
,3
解之,得 k0 k1 k2 knr 0,
故 , 1, 2 ,, nr 线性无关.
35
(3)设X为方程组AX B的任一解,则X可表为
X t11 t22 tnrnr t1( 1 ) tnr ( nr ) (1 t1 tnr) t1( 1) tnr ( nr)
零解,则对任意向量 ,都有
23
k1 1 k2 2 kr r (k1t1 k2t2 kr tr) 0
由k1 , k 2 ,, k r 不全为零得知:
1 t1 , 2 t 2 ,, r t r
线性相关.
24
例3 已知向量组 1 , 2 ,, s的秩是r,证明: 1 , 2 ,, s中任意r个线性无关的向量均构成它的
k11 k22 knrnr 0,
k1 k 2 k nr 0,
于是 ,1, 2, , nr线性无关.
34
(2)由线性方程组解的性质知 i (i 1,2,
,n r)都是AX B的解,再证它们线性无关.
令 k0 k1( 1) knr ( nr) 0, 则(k0 k1 knr) k11 knrnr 0, 由(1)的证明知 ,1,2 ,,nr 线性无关,所以
n维向量空间 (2)
n维向量空间简介在数学中，向量是一个多维度的数学对象，用于表示方向和大小。
而n维向量空间则是由n个向量组成的空间，可以用于描述和计算n个变量之间的关系。
n维向量空间在各种学科和领域中都有重要的应用，例如线性代数、计算机图形学和机器学习等领域。
本文将介绍n维向量空间的基本概念、性质和常见操作。
基本概念向量一个向量可以由一组有序的数值表示，这组数值被称为向量的分量。
向量通常用小写字母加粗表示，例如v。
在n维向量空间中，一个向量可以表示为：v = (v₁, v₂, …, vₙ)其中v₁, v₂, …, vₙ是向量的n个分量。
n维向量空间n维向量空间可以由n个向量组成，记为{v₁, v₂, …, vₙ}。
这些向量可以是任意长度的向量，但在n维向量空间中，它们的维度必须相同。
n维向量空间中的向量可以进行向量加法和数乘运算。
向量加法是指将两个向量的对应分量相加，数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个标量。
性质n维向量空间具有以下性质：1.封闭性：对于任意两个向量v和w，它们的和v+w仍然是n维向量空间中的向量。
2.交换律：向量加法满足交换律，即v+w = w+v。
3.结合律：向量加法满足结合律，即(v+w)+u =v+(w+u)。
4.数乘结合律：数乘满足结合律，即(a b)v = a(b v)。
5.分配律：数乘和向量加法满足分配律，即a(v+w) =a v + a w 和 (a+b)v = a v +b v。
常见操作向量点乘在n维向量空间中，可以对两个向量进行点乘运算。
点乘（也称为内积或数量积）的结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角。
向量点乘的计算公式如下：v·w = v₁w₁ + v₂w₂ + … + vₙwₙ其中v和w分别是n维向量空间中的向量，v₁, v₂, …, vₙ和w₁, w₂, …, wₙ是它们的分量。
向量叉乘除了点乘，n维向量空间还可以进行向量叉乘运算。
向量叉乘（也称为外积或矢量积）的结果是一个新的向量，垂直于原来的两个向量。
北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间
n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时， 能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，
, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则 可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线 性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则 可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
n维向量空间
+ = ( a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)
(2) 数与向量的乘法： = ( a1, a2, …, an )
向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量
的线性运算。
设 = ( a1, a2, …, an )， = (b 1, b 2, …, b n )
例如：全体复数的集合C,实数集R, 有理数集Q 都是数域.但整数集不是数域. 实际上,有理数域是最小数域,复数域是最大数域.
二、n 维向量 定义
由n个数组成的有序数组(a1, a2, … an)称为 一个n维向量。
= ( a1, a2, … an )
其中第 i 个数 ai (i = 1, 2, … , n ) 称为 n 维向量
练习：P36 1、2、4 作业：P36 3
减法：
- = +(-)
+ = ( a1 - b1, a2 - b2, …, an - bn)
向量的线性运算满足以下八条基本运算规律:
(1) ； (交换律 ) (2) ( ) ( )； (结合律 ) (3) 存在零向量0 R n , 使对任意 R n，有 0 ； (4) 对任意 R n , 都存在负向量 - R n , 使 ( ) 0； (5) 1 ； (6) k ( l ) ( kl )；(结合律 ) (7) ( k l ) k l (分配律 ) (8) k ( ) k k (分配律 )
的第 i 个分量或坐标。
零向量: 负向量:
0=(0,0,…,0)
(a1 , a2 ,, an ) 称为 的负向量
线性代数-n维向量
一. n维向量及其线性运算 二. 线性相关性 三. 向量组的秩 四. 向量空间
五. 内积与正交化
第Байду номын сангаас节 n维向量及其线性运算
(一) n维向量的概念
定义
由n 个有数 a1 , a2 ,
, an 组成的有序数组 a1 , a2 ,
, an
称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 a i 称为第i个分量。 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
2
0
0 3 1 2 0 3 1 2 2 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 b 0 0 0 b 2 0 0 a 1 0 1 a 2 0
1 0 0 0
T T T (2, 5,1) , (10,1, 5) , (4,1, 1) , 求 . 其中 1 2 3
解 3 1 3 2 2 2 5 3 5 ,
6 3 1 2 2 5 3 ,
1 ( 3 1 2 2 5 3 ) (1, 2, 3)T . 6
一般用希腊字母 , , 等表示 n 维向量。
a1 , a2 , 向量通常写成一行：
, an 称为行向量。
a1 a 2 有时也写成一列： 称为 列向量 。它们的区别只是 写法上的不同。 an
分量全为零的向量 0,0,
,0 称为零向量，记为 0。
, km称为这个线性组合的系数。 , m ,和向量 ， 如果存在
m m
定义2：给定向量组 A : 1 , 2 , 一组实数 1 , 2 , m , 使得 1 1 2 2
线性代数--向量空间
dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2
数学线性代数n维向量空间
线性方程组(4.2)可表示为两种矩阵方程：
(1). 将所有系数构成一个系数矩阵A
a11 a12 L
a21 M
a22 M
L M
an1 an2 L
即：AX B
a1m x1 b1
a2m M
# 向量加法和向量的数乘满足的运算规律:
1 加法交换律: α + β = β + α； 2 加法结合律 : α β γ α β γ ; 3 α Ο α; 4 α α O; 51 α α; 6 k(lα) (kl)α; 7 k(α β) kα kβ 8 (k l)α kα lα
# 向量α和β的差为 α - β = α + (- β) = (a1 - b1, a2 - b2 ,L , an - bn )T
# 实向量a :向量a的分量都是实数; # 复向量b :向量b的分量都是复数。 定义4.1 所有n维实向量(real vector)的集合称为, n维实向量空间，记为R n，即
第四章 n维向量空间
第一节 n维向量的概念 第二节 向量的线性表示与线性相关 第三节 等价向量组 第四节 线性方程组的结构 第五节 向量空间的子空间
4.1 n维向量的概念
由第一章知道
行向量(1 n矩阵) 列向量(n 1矩阵)
通称：n维向量
n个数构成的有序数组
a1
本章所称的n维向量指n维列向量：a= a1, a2 ,L
证(1) β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示
存在m个数x1, x2 ,L , xm，使得
x1α1 x2α2 L xmαm β
方程组 AX β 有解
线性代数-知识点总结part 2
线性代数知识点总结—part 2三、向量组的线性相关与线性方程组（1）n 维向量记为a=(a 1,a 2……a n )第i 个a i 称为a 的得i 个分量或坐标有几个向量就是几维向量。
（2）向量加减法按照对应项相加减。
（3）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组0 ,0 ,,,;,0 ,,,,,,, 3.42122112122112121。
可以推出称为线性无关，如果由一向量组则称该向量组线性相关使全为零的数如果存在不给定向量组定义=====+++=+++m m m m mm m m k k k k k k k k k k k k ΛρΛΛρΛΛΛαααααααααααα（4）向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其他向量线性表示。
（5）部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关；整个向量组线性无关，则部分向量组线性无关。
（6）线性无关组添加相同数量个分量所得的向量组仍线性无关；线性相关组减少相同位置相同数量个分量所得的向量组仍线性相关。
唯一表示。
可由线性相关，则，线性无关，而设mm m αααββαααααα,,,,,,,,, 212121ΛΛΛ向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛=n n T T a a aa a a A M MML L M 222211121121αα（7）若（8）若向量组A 和B 能相互线性表示就称A 和B 等价；(9)一个向量组T ，从中选出r 个向量a 1，a 2，…..a r 满足它们线性无关，并且T 中任意一个向量都可以用a 1，a 2…..a r 线性表示 那么我们就称a 1，a 2，…..a r 是T 的最大向量无关组（10）向量组的最大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩. （11）矩阵A 的秩等于它的列向量组的秩，也等于行向量组的秩 （12）设向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且(I)能由(II)线性表示，则r1<=r2(13)等价的向量组有相同的秩。
线性代数[第三章n维向量]山东大学期末考试知识点复习
![线性代数[第三章n维向量]山东大学期末考试知识点复习](https://img.taocdn.com/s3/m/e7a23808640e52ea551810a6f524ccbff121caa8.png)
线性代数[第三章n维向量]⼭东⼤学期末考试知识点复习第3章 n维向量⼀、n维向量的概念1．n维向量的定义由n个数a1，a2，…，a n所组成的⼀个有序数组α=(a1，a2，…，a n)称为⼀个n维向量，其中第i个数ai称为向量α的第i个分量(i=1，2，…，n)．向量常⽤希腊字母α，β，γ，…来表⽰，其分量常⽤⼩写拉丁字母a，b，c，…来表⽰．2．零向量所有分量都是零的向量称为零向量．3．负向量向量α中的每个分量都变号后得到的向量，称为α的负向量，记为-α．4．向量相等两个向量相等的充要条件是它们的对应分量相等．⼆、向量的线性运算1．向量的加法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，定义α+β为这两个向量的对应元素相加所得到的向量，即α+β=(a1+b1，a2+b2，…，a n+b n)，并称其为向量的加法．2．数与向量的乘法设α=(a1，a2，…，a n)，k∈R，则kα=(ka1，ka2，…，ka n)3．向量的减法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，则α-β=(a1-b1，a2-b2，…，a n-b n)．4．向量的线性运算向量的加法以及数与向量的乘法称为向量的线性运算．向量的线性运算满⾜以下⼋条运算规律：(1)α+β=β+α；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)；(3)α+θ=α；(4)α+(-α)=θ；(5)1.α=α；(6)(kl)α=k(lα)；(7)k(α+β)=kα+kβ；(8)(k+l)α=kα+lα三、向量的线性组合1．向量的线性组合的定义设β，α1，α2，…，αn是⼀组m维向量，如果存在数k1，k2，…，k n使得关系式β=k1α1+k2α2+…+k nαn成⽴，则称卢是向量组α1，α2，…，αn的线性组合，或称β可由向量组α1，α2，…，αn线性表⽰．2．⼏个常⽤结论(1)零向量可由任意同维向量组线性表⽰；(2)向量组中的任⼀向量可由该向量组线性表⽰；(3)任⼀n维向量α=(a1，a2,…，a n)都可由n维单位向量组ε1，ε2，…，ε线性表⽰，且α=a1ε1+a2ε2+…+a nεn．n四、向量组的等价1.定义设有两个向量组α1，α2，…，αm，(1)β1，β2，…，βn．(2)若向量组(1)中每个向量可以由向量组(2)线性表⽰，则称向量组(1)可由向量组(2)线性表⽰．若向量组(1)与向量组(2)可互相线性表⽰，则称两向量组等价，记作{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}．2．向量组的等价性质向量组的等价满⾜反⾝性、对称性、传递性．五、向量组线性相关与线性⽆关1．定义设α1，α2，…，αn为n个m维向量，如果存在⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，使得k1α1+k2α2+…+k nαn=θ成⽴，则称向量组α1，α2，…，αn线性相关；否则，称向量组α1，α2，…，αn线性⽆关．线性⽆关的⼏种等价定义：(1)对任意⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，都有k1α1+k2α2+…+k nαn≠θ(2)k1α1+k2α2+…+k nαn=θ当且仅当k1，k2，…，k n全为零．2．⼏个常⽤结论(1)由⼀个向量α构成的向量组线性相关的充要条件是α=θ．(2)由两个向量构成的向量组线性相关的充要条件是其对应分量成⽐例．(3)含有零向量的任⼀向量组线性相关．(4)若⼀个向量组中有⼀个部分向量组线性相关，则该向量组线性相关；反之，若⼀个向量组线性⽆关，则它的任⼀部分组都线性⽆关．我们可把这个结论简单地记为“部分相关，整体相关；整体⽆关，部分⽆关”．(5)⼀个线性⽆关的向量组中的每个向量按相同的位置随意增加⼀些分量所得到的⾼维向量组仍线性⽆关．逆否命题：⼀个线性相关的向量组中的每个向量按相同的序号划去⼀些分量所得的低维向量组仍线性相关．(6)n维向量组α1，α2，…，αn线性⽆关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)≠0；n维向量组α1，α2，…，αn线性相关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)=0．(7)向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性相关的充要条件是其中⾄少有⼀个向量是其余s-1个向量的线性组合．(8)若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，⽽α1，α2，…，αs，β线性相关，则向量β可由向量组α1，α2，…，αs线性表⽰，且表⽰法惟⼀．(9)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，且s>t，则向量组α1，α2，…，αs线性相关．逆否命题：若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，且可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则s≤t．(10)m个n维向量组(m>n)必线性相关．(11)两个等价的线性⽆关的向量组必含有相同个数的向量．六、向量组的极⼤线性⽆关组1．极⼤线性⽆关组的概念向量组α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs的部分组α1，α2，…，αr是极⼤⽆关组(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中每个向量可由α1，α2，…，αr 线性表⽰．(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中任意r+1个向量线性相关．2．关于极⼤线性⽆关组的常⽤结论(1)含⾮零向量的任⼀向量组⼀定存在极⼤⽆关组．(2)线性⽆关向量组的极⼤⽆关组是其⾃⾝、．(3)任何向量组均与其极⼤⽆关组等价．(4)⼀个向量组的任意两个极⼤⽆关组都含有相同个数的向量．七、向量组的秩1．向量组的秩的定义向量组α1，α2，…，αs的任⼀极⼤⽆关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为r(α1，α2，…，αs)．2．关于向量组的秩的常⽤结论(1)对任何向量组α1，α2，…，αs均有0≤r(α1，α2，…，αs)≤s；(2)向量组α1，α2，…，αs线性⽆关?r(α1，α2，…，αs)=s；(3)向量组α1，α2，…，αs线性相关?r(α1,α2，…，αs)(4)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则r(α1，α2，…，αs)≤r(β1，β2，…，βt)．特别地，若两向量组等价，则它们的秩相同；反之不真．(5)若向量组的秩为r，则其任何含r个向量的线性⽆关的部分组都是其极⼤线性⽆关组．⼋、矩阵的⾏秩与列秩1．定义矩阵A的⾏(列)向量组的秩称为A的⾏(列)秩．2．矩阵秩的性质(1)对任何矩阵A，都有A的⾏秩=A的列秩=r(A)；(2)r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；(4)r(A+B)≤r(A)+r(B)．九、极⼤⽆关组的求法1.矩阵的初等⾏(列)变换不改变其列(⾏)向量间的线性关系2．求向量组α1，α2，…，αs的⼀个极⼤⽆关组的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B，设r(B)=r，且B中第j1，j2，…，j r列有⼀个r阶⼦式不等于零，则αj1，αj2，…，αjr 即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组．3．求向量组α1，α2，…，αs的极⼤⽆关组并将其余向量⽤该极⼤⽆关组表出的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B；(3)再通过初等⾏变换化为⾏简化阶梯形矩阵C，设矩阵C的第j1，j2，…，j r列为单位向量，则αj1，αj2，…，αjr即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组，且C 中列向量间的线性关系即为A中相应列向量间的线性关系．⼗*、向量空间1.向量空间的定义设V是⾮空的n维向量的集合，若集合V对于加法及数乘两种运算封闭，则称V是向量空间．2．向量空间的⽣成3．向量空间的相等若{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}，则span(α1，α2，…，αm)=span(β1，β2，…，βn)．4．向量空间的⼦空间设有向量空间V1，V2，若V1?V2，则称V1是V2的⼦空间．5．向量空间的基及其维数设V是向量空间，如果存在r个向量α1，α2，…，αr∈V，满⾜(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)V中任⼀向量都可由α1，α2，…，αr线性表⽰；则称α1，α2，…，αr为V的⼀个基，r称为V的维数．⼗⼀、重点难点（⼀）重点(1)向量的线性运算可以看做是特殊矩阵的线性运算，它是后⾯讨论向量的线性组合、线性相关性等概念的基础，必须熟练掌握．(2)向量的线性组合、线性相关、线性⽆关的概念、性质及三者之间的关系定理是本章的重点，要熟练掌握三个概念及有关结论，详见内容提要；要深刻理解概念、定理的本质，熟练掌握线性相关和线性⽆关的有关性质及判别法，并能灵活应⽤．(3)向量组的极⼤⽆关组是特别重要的概念，它在向量组线性相关性的证明中往往能起到重要的作⽤；此外，还应当掌握求向量组的极⼤⽆关组的⽅法．(4)理解并掌握向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其⾏(列)向量组的秩的关系，熟练掌握求向量组的秩的⽅法，并能通过秩这⼀重要⼯具来判断向量组的线性相关性．（⼆）难点(1)向量组的线性相关性的证明．常见的⽅法有：定义法、利⽤有关结论及定理、利⽤齐次线性⽅程组有⽆⾮零解、利⽤向量组的秩与向量组所含向量的个数关系等．(2)向量组的秩与线性⽅程组有关理论的证明．。
线性代数3 n维向量与向量空间
初等矩阵是可逆矩阵, 初等矩阵是可逆矩阵,且其逆矩阵是同类型的初等矩阵
由于
E (i , j ) E (i , j ) =
1 O 1 0 1 1 O 1 1 0 1 O 1
1 O 1 0 1 1 O 1 1 0 1 O 1
同样可以得到,定理对其它两种初等行变换也成立 同样可以得到,定理对其它两种初等行变换也成立. 类似的,可以得到初等列变换的情形 类似的,可以得到初等列变换的情形.
例2
例3
1 0 0 a1 a 2 a1 a 2 0 0 1 b1 b2 = c1 c 2 0 1 0 c c b1 b2 2 1 1 0 k a1 a 2 a1 + kc1 a 2 + kc 2 b2 0 1 0 b1 b2 = b1 0 0 1 c c c c2 2 1 1
a1 b1 c 1
a1 b1 c 1
a2 1 b2 0 c2 a2 1 b2 0 c 2
0 k
k 1
a1 = b1 c 1
a1 = b1 c 1
ka 2 kb2 k ≠ 0 kc 2
ka1 + a 2 kb1 + b2 kc1 + c 2
0 2 0 , 0 1 0
1 0 0 0 1 0 2 0 1
0 0 , 1 0 0 1 0 , 0 1
1 1 0 0 = 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 = 0 2 0 1 0 0 0 1 1 0 = 0 0 1 0
0 0 1 0 . 0 1
所以
例1 矩阵
1 1 0 1 ,
0 1 = 1 0 1 1 = 1 0
2 0 0 1
1
0 , 1 0 , 1
线性代数n维向量
1 n 0时, 才有 1 1 2 2 n n 0 成立 .
2. 对于任一向量组, 不是线性无关就是 线性相关 .
第三章 n维向量 第四章 n维向量
3.向量组只包含一个向量 时, 若 0 则说 线性相关, 若 0, 则说 线性无关 .
n维向量的线性运算满足下面的八条运算规律： (1)
(2)
( ) ( )
(3) 0 0 (4) ( ) 0
(5)
1 ; 0 0; k 0 0
(6) ( ) ( )， , 是 实 数 (7) ( )
定义 负向量
( a1 , a 2 , , a n )
第三章 n维向量 第四章 n维向量
T T n 维 向 量 ( a , a , , a ) ， ( b , b , , b ) ， 设两个 1 2 n 1 2 n
(1) 加法（和向量） 减法 (2)
m个n维列向量所组成的向量 组1 , 2 ,, m , 构成一个n m矩阵
A ( 1 , 2 , , m )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
T T T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
第三章 n维向量 第四章 n维向量
第三章
n维向量
Part 1 向量及其线性运算
Part 2 向量组的线性相关性
Part 3 向量组的最大无关组与秩
Part 4 向量空间
第三章 n维向量 第四章 n维向量
第一节
线性代数-第二章-向量和向量空间
n维单 位坐标 向量组
所以，称 是 1, 2 , 3 ,4 的线性组合， 或 可以由 1, 2 , 3 ,4线性表示。
命题2 设向量可由向量组(I) :1,2,,m
线性表出，而(I)中每个向量都可以由向量组
(II) : 1, 2,, s线性表出, 那么也可由向量组
(II)线性表出 给出证明
二 线性相关
当 r( A) r n 时，求得基础解系是1 ,2 , ,nr , 则 x k11 k22 knr nr 是AX 0 的解，
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
例3 : 求下列齐次方程组的通解。
(1)
x1 2 x1
2 x2 4 x2
分量全为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。
有时也写成一列：
a1
xr1 1 0
,nr
是令
xr2
为
0
,
1
,
xn
0
0
0
,
0
所得。
1
Ax 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
注：
(1) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。
(2) 基（基础解系）不是唯一的。
(3) 当 r( A) n 时，解空间是{0}.
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。
线性代数-3n维向量
α = ( a1 , a 2 , L a n ),
或:
(n维行向量 维行向量) 维行向量
α
a1 a 2 = M a n
(n维列向量 维列向量) 维列向量
目录
其中: 是实数,称为分量 分量的个数称为向量的维数 其中 ai (i=1,2…n)是实数 称为分量 分量的个数称为向量的维数 是实数 称为分量,分量的个数称为向量的维数. 维向量的线性运算(可参看矩阵的运算) 二. n维向量的线性运算 可参看矩阵的运算 维向量的线性运算 可参看矩阵的运算 设 1.相等 相等 2.加法 加法 3.数乘 数乘 4.转置 α 转置
T
α = (a1 , a2 ,L, an ), β = (b1 , b2 ,L, bn )
α = β ai = bi , (i = 1,2,Ln)
α ± β ( a i ± bi ), ( i = 1, 2 , L , n )
k β = ( ka
n
i
= (a1, a 2 ,L , a
)T
a1 a2 = M a n
线性相关. 线性相关
推论2: 两个线性无关的等价的向量组 必含有相同个数的向量 必含有相同个数的向量; 推论 两个线性无关的等价的向量组,必含有相同个数的向量 推论3: 任意n+1个n维向量组必然线性相关 维向量组必然线性相关. 推论 任意 个 维向量组必然线性相关 二. 向量组中的极大线性无关组和向量组的秩 设一个向量组的某一部分组是线性无关的,并且从该向量组 设一个向量组的某一部分组是线性无关的 并且从该向量组 中的其余向量中任取一个添进去 所得的新的向量组线性相关 所得的新的向量组线性相关, 中的其余向量中任取一个添进去,所得的新的向量组线性相关 则称该部分组为一个极大线性无关组 则称该部分组为一个极大线性无关组. 极大线性无关组
向量空间知识点总结
向量空间知识点总结一、向量空间的定义和性质1.1 向量空间的定义向量空间的定义是线性代数中的基础知识之一。
一般来说，向量空间是一个满足一系列条件的集合。
设V是一个包含向量的集合，如果满足以下条件，则称V为一个向量空间：（1）V中的任意两个向量的和仍然在V中，即对于任意的u、v∈V，有u+v∈V；（2）V中的任意一个向量与实数的乘积仍然在V中，即对于任意的u∈V，λ∈R，有λu∈V；（3）向量空间V中存在一个零向量0∈V，满足对于任意的u∈V，有u+0=u。
满足以上三个条件的向量空间V，通常记作（V，+，·），其中“+”表示向量的加法运算，“·”表示数量乘法运算。
1.2 向量空间的性质向量空间具有一些重要的性质，这些性质对于理解向量空间具有重要意义，并且也是研究向量空间的基础。
向量空间的一些性质如下：（1）向量空间的加法和数量乘法封闭性：对于向量空间中的任意两个向量u和v，以及任意的实数λ，有u+v∈V和λu∈V，即向量空间对加法和数量乘法运算是封闭的。
（2）向量空间中的零向量唯一：向量空间中只存在一个零向量0，满足对于任意的u∈V，有u+0=u。
（3）向量空间中的相反元存在性：对于向量空间中的任意一个向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v)=0。
（4）向量空间中的数量乘法分配律：对于向量空间中的任意两个实数λ和μ，以及任意的向量u，有(λ+μ)u=λu+μu和λ(u+v)=λu+λv。
向量空间的定义和性质是向量空间理论的基础，对于理解向量空间的概念和性质具有重要的意义。
在实际问题中，向量空间的定义和性质也具有重要的应用价值。
二、子空间2.1 子空间的定义子空间是向量空间中一个重要的概念，它是指在一个向量空间中的子集合，它本身也构成一个向量空间。
设V是一个向量空间，W是V的一个非空子集合，如果满足以下条件，则称W是V的一个子空间：（1）W中的任意两个向量的和仍然在W中，即对于任意的u、v∈W，有u+v∈W；（2）W中的任意一个向量与实数的乘积仍然在W中，即对于任意的u∈W，λ∈R，有λu∈W。
维向量空间
维向量空间n-维向量空间（n-dimensional vector space），在解析几何中有些事物的性质不能用一个数来刻画，如一个n元方程组的解是由n 个数组成，而这n个数作为方程组的解是一个整体，分开来谈是没有意义的，这时我们就需要用n维向量来刻画方程组的解。
在几何上这样的例子是很多的，所以n维向量在抽象代数这一领域的研究中起着很重要的作用。
若向量空间V中分别有两组基，[a1a2⋅⋅⋅an]与[b1b2⋅⋅⋅bm]，那么这两组基有什么特点呢？实际上，只要是同一个向量空间中的基，它们包含的向量数目一定是相等的，即m=n=dimV我们将这个固定的数字dimV称为向量空间的维数。
若dimV是有穷的，我们称向量空间V是有限维的，否则称V是无限维的。
在绝大多数情况下，机器学习聚焦的都是有限维的向量空间，因为无限维的向量空间性质上会有一些不同。
下面是一些显而易见的定理：定理1：有限维向量空间的任意两个基的长度都相同（都等于dimV）。
证明：设B1,B2是V中的任意两组基，则B1在V中是线性无关的，并且B2张成V，因此B1的长度不小于B2长度，互换B1,B2的角色，可以得出B2的长度不小于B1长度，因此两个向量组长度相等。
定理2：若V是有限维的，并且U是V的子空间，则dimU≤dimV。
定理3：若V是有限维的，则V中每个长度为dimV的张成向量都是V的一个基。
定理4：如果V是有限维的，则V中每个长度为dimV的线性无关向量组都是V的基。
定理5：如果U1,U2是同一个有限维向量空间的两个子空间，那么dim(U1+U2)=dimU1+dimU2−dim(U1∩U2)定理6：在有限维向量空间中，线性无关向量组的长度小于或等于张成向量组的长度。
定理7：在有限维向量空间中，每个线性无关向量组都可以扩充成一组基。
第4章 n维向量空间
第4章 n 维向量空间 §4.1 n 维向量定义1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组),,,(21n a a a 称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.n 维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量.向量常用黑体小写字母βα、、、b a 等表示,即n 维列向量记为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α,n 维行向量记为),,,(21n αααα =.行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算.例 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T =-=-=γβα(1) 求 γβα32-+; (2) 若有x , 满足,0253=++-x γβα 求.x 解（1）γβα32-+T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2--+-=.)1,2,4,5(T =（2）由,0253=++-x γβα得x )53(21γβα-+-=])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[21T T T --+--=.)8,2/7,1,2/5(T --= 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象.§4.2 向量组的线性相关性1、向量组的概念若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.例如，一个n m ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211每一列⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A的列向量组，而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a T in i i i ==α组成的向量组m ααα,,,21 称为矩阵A 的行向量组.反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
,
m
1 1
0 1
1 0
1
1
1
1
1
0
1,2, ,m P
P 0，等价，秩相等。
13
典型例题
一、向量组线性关系的判定 二、求向量组的秩 三、向量空间的判定 四、基础解系的证法 五、解向量的证法
14
一、向量组线性关系的判定
研究这类问题一般有两个方法
方法1 从定义出发
令 k
证：1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
又1，
，
2
，
n可由1，
，
2
，
n线性表出，
向量组等价，秩相等。
1. 1＋2，2＋3， ，n1＋n ,n＋1相关性？
(1)n为偶数：必相关。
(2)n为奇数：线性无关
1，
，
2
，
n线性无关。
10
例如n 3时，
1 0 1
1＋
2
, 2＋ 3
,3
1
1,
2
,3
方法类似：
1 0 1
l 2
1, m3
2,1
3
＝1
,
2
,
3
l 0
1 m
01
P
当 P lm 1 0，可逆时，两向量组等价，无关。
12
4. 1 2 3 m,2 1 3 m, ,
m 1 2 m1，判定两向量组秩的关系。
0 1 1 1
解: 1, 2,
, m 1,2,
判断是最大无关组：任意“n个” “线性无关”的“n维 向量”都是 n 的最大无关组。
6
例：1, ,n n无关 任一n维向量可由1, ,n线性表出；
证：) : 是最大无关组，显然。
)
: 1，
,
可由其表出；
n
1，
, n可由1，
,
表出；
n
等价。所以秩相等。
结论:设向量组T的秩为r，则T中任意r个线性无关
1, ,m (m 2)相关 至少有一个向量可由
其余m 1个线性表出
可由1,
,
线性表出，则表达式唯一
n
1,
,
线性无关。
n
4
(2) 线性表出：
x11 x22 xnn“, 有数”就行
可由1,
,
线性表出
n
AX 有解，A (1, ,n )
R( A) R( A)
秩(1, ,n ) 秩(1, ,n, )
k1
k3 0,
2 k1 2 k2 0,
()
3 k1 5 k2 2 k3 0.
线性方程组()的系数行列式
1 0 1 2 2 0 0, 3 5 2
线性方程组()必有非零解,从而 1, 2 , 3
线性相关.
19
解二
1
1 2
,
2
0 2
1
, 3 0 ,
3
5
2
a11
a21
am1 0
k1
a12
k2
a22
km
am2
0
a1n
a2n
amn 0
整理得线性方程组
15
a11k1 a21k2 am1 km 0,
a12 k1 a22 k2 am2 km 0,
()
a1n k1 a2n k2 amn km 0,
1 0
1 1
0 1
P
当 P 0，
1,2,3 1＋2,2＋3,3 1 P1
所以向量组1＋2,2＋3,3 1与1，2，3等价。 当 P＝0时，R(1 2,2 3,3 1)
min R1,2,3 , R(P) 3
11
此方法对很多问题都有效：
3. 1,2,3线性无关，问l, m满足什么条件时， l2 1, m3 2,1 3线性无关。
矩阵A
(
1 ,
2
,
3)
1 2
0 2
1 0 ,
3 5 2
20
1 0 1 初等行变换 1 0 1
A 2 2 0 ~ 0 2 2
第四章 n维向量空间小结
n维向量空间 线性方程组
主要内容：
一．两个重要概念：
线性相关性：
本质上考察 x11 x22
xnn 0
是否“只有”x1＝ ＝xn＝0 时成立；
线性表出：
× 例如:任意向量组，0 1+ +0 n 0 1, ,n线性无关。
2
二、 (1) 向量组1,2,
,
线性相关
“向量组的秩”即为“矩阵的秩”.
对于非齐次线性方程组,首先有没有解，
有唯一解 1, ,n线性无关，R( A) n.
5
三、最大无关组，向量组的秩
最大无关组的两个等价命题： 命题1：(1)线性无关；
(2) 向量组中任何一个可由它们线性表出； 命题2：有r 个线性无关，任意r+1个则相关； 和矩阵的秩类似：有r阶子式≠0，任意r+1阶子式＝0.
8
1. b Rn, Ann X b有解 A 0
任意向量b都可以由A的列向量组线性表出,
1， ,n Rn 线性无关 任一n维向量均可由
其线性表出.
a11x1 a12x2 a1n xn 0
2.
ai1x1
ai2 x2
ainxn 1 对i 1, 2, n都有解
an1x1 an2x2 ann xn 0
若线性方程组()只有唯一零解,则 1 , 2 , , m 线性无关.
若线性方程组()有非零解,则 1 , 2 ,, m
线性相关.
16
方法２ 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 系判定
给出一组n维向量1, 2 ,, m ,就得到一个 相应的矩阵A (1, 2 ,, m),首先求出R( A).
若R( A) m,则 1, 2 ,, m 线性无关, 若R( A) m,则 1, 2 ,, m 线性相关.
17
例１ 研究下列向量组的线性相关性
1 0 1
1 2, 2 2 , 3 0 .
3
5
2
解一
令 k1 1 k2 2 k3 3 0,即
1 0 1 0 k1 2 k2 2 k3 0 0
3 5 2 0
18
整理得到
n
AX 0有非零解，A (1, ,n )
R(A) n
n : 未知量个数，向量个数。 矩阵的秩就是向量组的秩。 向量组线性相关 向量组的秩 < 向量个数
3
相关结论：
一个向量线性无关 非零向量 两个向量线性无关 不成比例 向量个数 > 向量维数 相关 部分相关 整体相关，整体无关 部分无关
的向量均为T的最大无关组。
关于向量空间和子空间: 基，维数。
组(I)无关，组(I)可由(II)表出， 则组(I)的个数<组(II)的个数。
7
四、 X AX 0解空间，维数：n - R(A)
任n R(A)个线性无关的AX 0的解向量均为 AX 0的基解系。
x k11 k22 krt
其中k1, k2 , , kt是任意常数.