二次函数典型中考试题解析和训练

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中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=x2+1x B．y=12x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．2．抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是（）A．(2，−3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(−2，−3)3．把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x−2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x+2)2+3D．y=5(x−2)2−34．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为10．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线．11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是.12．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m）关于滑行时间t （单位：s）的函数解析式是y=60t-65t2，从飞机着陆至停下来共滑行米．13．已知如图：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52，74)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+n的解集是三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1，−5)、B(3，t)两点.（1）求y1与y2的函数关系式；（2）直接写出当y1<y2时，x的取值范围；（3）点C为一次函数y1图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上，求n的值.15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5，−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动．点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．17．如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−14x2+bx+c 运动．（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米？2（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B9．y =(x −1)2−1 10．x ＝1 11．a ＜5 12．75013．x <−52或x >014．（1）解：把点A(1，−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7；把点B(3，t)代入y 1=2x −7中，得t =−1 ∴A(1，−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中，得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1；（2）x <1或x >3（3）解：∵点C 为一次函数y 1图象上一点，∴C(n ，2n −7)将点C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2，2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1，得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100，x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元（3）解：由题意，得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时，w 有最大值，最大值为8450. 答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大. 16．（1）解：∵直线l ：y =−x −1过点A∴A(−1，0)又∵D(5，−6)将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式可得：{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4．∴抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4．（2）解：如图设点P(x ，−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5，−x 2+3x +4)，F(x ，−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5，PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18． ∴当x =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M 点有三个：M 1(4，−5)，M 2(2+√14，−3−√14)， M 3(2−√14，−3+√14)． 17．（1）解：由题意可知抛物线C 2：y=−14x 2+bx+c 过点(0， 4)和(8， 10) 将其代入得：{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114，c=4（2）解：由(1)可得抛物线Cq 解析式为： y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为52米，依题意得： −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得： m 1=10，m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为52米．（3）解：∵抛物线C 2经过点(0， 4) ∴c=4抛物线C 1： y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时，运动员到达坡项即−14×62+6b+4≥4+6． ∴b ≥15618．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4．（2）解：当x =0时y =−4∴C(0，−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8．（3）解：n =52，n =2511，n =3011．。

2023年九年级数学中考专题训练二次函数与角度问题含答案解析

中考专题训练——二次函数与角度问题1．已知二次函数232y ax bx =+-（0a ≠）的图象经过A （1，0）、B （−3，0）两点，顶点为点C ．(1)求二次函数的解析式； (2)如二次函数232y ax bx =+-的图象与y 轴交于点G ，抛物线上是否存在点Q ，使得∠QAB=∠ABG ，若存在求出Q 点坐标，若不存在请说明理由；(3)经过点B 并且与直线AC 平行的直线BD 与二次函数232y ax bx =+-图象的另一交点为D ，DE ∠AC ，垂足为E ，DF y 轴交直线AC 于点F ，点M 是线段BC 之间一动点，FN ∠FM 交直线BD 于点N ，延长MF 与线段DE 的延长线交于点H ，点P 为△NFH 的外心，求点M 从点B 运动到点C 的过程中，P 点经过的路线长． 2．在平面直角坐标系中，抛物线l ：()2220y x mx m m =--->与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，设抛物线l 的对称轴与x 轴相交于点N ，且3OC ON = (1)求m 的值；(2)设点G 是抛物线在第三象限内的动点，若GBC ACO ∠=∠，求点G 的坐标；(3)将抛物线222y x mx m =---向上平移3个单位，得到抛物线l '，设点P 、Q 是抛物线l '上在第一象限内不同的两点，射线PO 、QO 分别交直线=2y -于点P '、Q '，设P '、Q '的横坐标分别为P x '、Q x '，且4P Q x x ''⋅=，求证：直线PQ 经过定点．3．已知二次函数y ＝x 2十（k ﹣2）x ﹣2k ．(1)当此二次函数的图像与x 轴只有一个交点时，求该二次函数的解析式；(2)当k ＞0时，直线y ＝kx +2交抛物线于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点P 在线段AB 上，过点P 做PM 垂直x 轴于点M ，交抛物线于点N ． ∠求PN 的最大值（用含k 的代数式表示）；∠若抛物线与x 轴交于E ，F 两点，点E 在点F 的左侧．在直线y ＝kx +2上是否存在唯一一点Q ，使得∠EQO ＝90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．4．如图，直线l ：33y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线223(0)y ax ax a a =--<经过点B ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；(3)在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '，将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l '与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线'l 与线段BM '交于点C ，设点B 、M '到直线l '的距离分别为1d 、2d ，当12d d +最大时，求直线l '旋转的角度（即BAC ∠的度数）． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线y =12x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y =−12x 2+bx +c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点， ∠连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，求DEEB的最大值； ∠过点D 作DF ∠AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的∠DCF ＝2∠BAC ，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知抛物线265y x x =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为D ，且过C （－4，m ）． (1)求点A ，B ，C ，D 的坐标；(2)点P 在该抛物线上（与点B ，C 不重合），设点P 的横坐标为t ．∠当点P 在直线BC 的下方运动时，求∠PBC 的面积的最大值， ∠连接BD ，当∠PCB ＝∠CBD 时，求点P 的坐标．7．如图所示，抛物线y =−x 2+bx +3经过点B (3，0)，与x 轴交于另一点A ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)如图，设点D 是x 轴正半轴上一个动点，过点D 作直线l ∠x 轴，交直线BC 于点E ，交抛物线于点F ，连接AC 、FC ．∠若点F 在第一象限内，当∠BCF =∠BCA 时，求点F 的坐标； ∠若∠ACO +∠FCB =45°，则点F 的横坐标为______．8．已知抛物线2y ax c =+过点()2,0A -和()1,3D -两点，交x 轴于另一点B ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点P 是BD 上方抛物线上一点，连接AD ，BD ，PD ，当BD 平分ADP 时，求P 点坐标； (3)将抛物线图象绕原点O 顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M ，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E 、F 是旋转前后抛物线的交点． ∠直线EF 的解析式是______；∠点G 、H 是“心形”图案上两点且关于EF 对称，则线段GH 的最大值是______．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()3,4A 和点()1,0B -，连接AB ，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，点P 在直线AB 上方的抛物线上，过点P 作PE AD ∥交x 轴于点E ，交线段AB 于点G ，连接PD 交线段AB 于点Q ．(1)求抛物线的表达式；(2)当GQ AQ =时，设点P 的横坐标为m ，求m 的值；(3)在（2）的条件下，线段BE 上有一点F ，直线AD 上有一点K ，连接KF 、GF ，当2FKD FGB ∠=∠，且8KF =时，直接写出．．．．点K 的纵坐标．．．． 10．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，OA =OC =3．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 为直线AC 下方抛物线上一点，连接BP 并交AC 于点Q ，若AC 分ABP 的面积为1：2两部分，请求出点P 的坐标；(3)在y 轴上是否存在一点N ，使得45BCO BNO ∠+∠=︒，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y =ax 2+2x −3与x 轴交于A 、B 两点，且B (1，0)．(1)求抛物线的解析式和点A 的坐标；(2)如图1，点P 是直线y =x 上在x 轴上方的动点，当直线y =x 平分∠APB 时，求点P 的坐标；(3)如图2，已知直线y =23x −49分别与x 轴、y 轴交于C 、F 两点，点Q 是直线CF 下方的抛物线上的一个动点，过点Q 作y 轴的平行线，交直线CF 于点D ，点E 在线段CD 的延长线上，连接QE ．问：以QD 为腰的等腰△QDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 12．如图，顶点坐标为(3,4)的抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点()0,5C -．(1)求a ，b 的值；(2)已知点M 在射线CB 上，直线AM 与抛物线2y ax bx c =++的另一公共点是点P ．∠抛物线上是否存在点P ，满足:2:1=AM MP ，如果存在，求出点P 的横坐标；如果不存在，请说明理由； ∠连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．13．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若()1,0A -且3OC OA =．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 是该抛物线的顶点，点(),P m n 是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD 、BC 、BP ，当2PBA CBD ∠=∠时，求m 的值；(3)如图2，BAC ∠的角平分线交y 轴于点M ，过M 点的直线l 与射线AB ，AC 分别交于E ，F ，已知当直线l 绕点M 旋转时，11AE AF+为定值，请直接写出该定值． 14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1L ：2y x bx c =++与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，且经过点(1,3)-，点C 是抛物线1L 的顶点，将抛物线1L 向右平移得到抛物线2L ，且点B 在抛物线2L 上．(1)求抛物线1L 的表达式；(2)在抛物线2L 上是否存在一点P ，使得90PAC ∠=︒，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B 点的坐标为()4,0，抛物线的对称轴为直线32x =，点D 是BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当BCD △的面积为74时，求点D 的坐标；(3)过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，是否存在点D ，使得CDE 中的某个角等于ABC ∠的2倍？若存在，请直接写出点D 的横坐标．．．；若不存在，请说明理由． 16．抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(1,4)，与x 轴交于点,(3,0)A B 两点，与y 轴交于点C ，点M 是抛物线上的动点．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)如图1，若点M 在直线BC 上方抛物线上，连接AM 交BC 于点E ，求MEAE的最大值及此时点M 的坐标；(3)如图2，已知点(0,1)Q ，是否存在点M ，使得1tan 2MBQ ∠=？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，直线4y x =+恰好经过B 、C 两点．(1)求二次函数的表达式；(2)点D 为第三象限抛物线上一点，连接BD ，过点O 作OE BD ⊥，垂足为E ，若2OE BE =，求点D 的坐标；(3)设F 是抛物线上的一个动点，连结AC 、AF ，若2BAF ACB ∠=∠，求点F 的坐标．18．抛物线y 1=x 2+（3-m ）x +c 与直线l ：y 2=kx +b 分别交于点A （-2，0）和点B （m ，n ），当-2≤x ≤4时，y 1≤y 2．(1)求c 和n 的值（用含m 的式子表示）；(2)过点P （1，0）作x 轴的垂线，分别交抛物线和直线l 于M ，N 两点，则∠BMN 的面积是否存在最大值或者最小值，若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由；(3)直线x =m +1交抛物线于点C ，过点C 作x 轴的平行线交直线l 于点D ，交抛物线另一点于E ，连接BE ，求∠DBE 的度数．19．如图，抛物线2323y x x -=-+与x 轴交于点A 和点B ，直线:l y kx b =+与抛物线2323y x x -=-+交于点D和点12F n ⎛⎫⎪⎝⎭，，且与y 轴交与点()02E ，．(1)求直线l 的函数表达式；(2)若P 为抛物线上一点，当POE OED =∠∠时，求点P 的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A 、B 两点，且与x 轴的负半轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点D 为直线AB 上方抛物线上的一点，2ABD BAC ∠=∠，直接写出点D 的坐标．参考答案1．(1)21322y x x =+- (2)542⎛⎫- ⎪⎝⎭，或322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(3)1【分析】（1）将A （1，0）、B （-3，0）代入232y ax bx =+-，即可求解；（2）先求出BG 的解析式为13y x 22=--，然后再进行分类讨论，分别求得点Q 的坐标即可；（3）可知△DNH 与△FNH 是直角三角形，外心P 在斜边NH 的中点，分别求出直线AC 及直线BD 的函数关系式，再分为当M 运动到C 点时及当点M 运动到B 点时两种情况进行讨论，求解即可．【解析】（1）∠二次函数232y ax bx =+-的图像经过A （1,0）、B （-3,0）， ∠30239302a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∠二次函数的解析式为213y x x 22=+-；（2）由题可知G 点坐标30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线BG 的解析式为y px q =+，得： 30302k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∠BG 的解析式为13y x 22=--，∠AQ ∥BG ，直线AQ 的解析式11y x 22=-+，联立直线AQ 与二次函数解析式2112213x 22y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得1110x y =⎧⎨=⎩或22452x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩此时Q 的坐标为542⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∠直线11y x 22=-+与y 轴的交点为K 102⎛⎫⎪⎝⎭，，其关于x 轴的对称点为11K 02⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线1AK 的解析式为：11y x 22=- 与二次函数解析式联立得 2112213x 22y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得1110x y =⎧⎨=⎩或22232x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，此时Q 的坐标为322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，综上,抛物线上存在点Q 使得∠QAB =∠BAG ，Q 点坐标为542⎛⎫- ⎪⎝⎭，或322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（3）如图，易知△DNH 与△FNH 是直角三角形，外心P 在斜边NH 的中点，∠PD =PF =12NH ，所以点P 是线段DF 的垂直平分线上的动点， ∠直线AC 的解析式为y =x -1，BD ∥AC ， ∠直线BD 的解析式为y =x +3， ∠D （3,6），∠当M 运动到C 点时1H 与点E 重合，1FN AC ⊥，则1FN BD ⊥，又因为∠DEF =90°，DE =EF ， ∠四边形1DN FE 为正方形， ∠1P 是线段DF 的中点（3,4）；∠当点M 运动到B 点时，22FN FH ⊥，∠四边形DN 1FE 是正方形∠122190N FN BFC N N F BCF ∠=∠∠=∠=︒，，∠21N N F BCF ∽， ∠121CF BC N F N N =， ∠四边形DN 1FE 是正方形，∠11,4N （），∠2112BC CF N N N F ==，∠12N N =∠22,5N （），同理26,3H （），所以22N H 的中点2P （4，4），∠134P （，）， ∠121PP =【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，会求函数的交点坐标，根据点M 的运动情况确定P 点的轨迹是线段是解题的关键．2．(1)1m =(2)点G 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)见解析【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由x =0处函数值求得C 点坐标，根据3OC ON =列方程求解即可；（2）连接AC 、BC ，过点C 作CT CB ⊥，设BG 交CT 于点T ，作TH y ⊥轴于点H ，由抛物线解析式求得A 、B 、C 坐标，可得∠OBC 、∠CHT 是等腰直角三角形，由BC 和tan tan GBC ACO ∠=∠可得TC ，进而可得T 点坐标，再由B 点坐标可得直线BC 解析式，然后与二次函数解析式联合求得交点坐标即可解答；（3）设点()2111,2P x x x -，()2222,2Q x x x -，由原点可得直线PO 、QO 的解析式，再由y =-2可得点Q '、P '横坐标，由4P Q x x ''⋅=可得()1212230x x x x -++=；设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l '联立可得()220x m x n -+-=，利用根与系数的关系可得122x x m +=+，12x x n =-，代入()1212230x x x x -++=求得21n m =--，于是直线PQ 为()21y m x =--经过定点2,1；(1)解：依题意得：()222y x m m m =----，∠抛物线的对称轴为直线x m =， ∠ON m m ==，在222y x mx m =---中，令0x =，则2y m =--，∠()0,2C m --， ∠22OC m m =--=+，∠3OC ON =，∠23m m +=，解得1m =；(2)解：如图，连接AC 、BC ，过点C 作CT CB ⊥，设BG 交CT 于点T ，作TH y ⊥轴于点H ，由（1）得1m =，∠抛物线的解析式为2=23y x x --，()0,3C -，3OC =，令0y =，则2230x x --=，解得11x =-，23x =，∠点A 在点B 的左侧，∠()1,0A -，()3,0B ，3OB =，在Rt AOC 中，1tan 3OA ACO OC ∠==， 3OB OC ==，则OBC △是等腰直角三角形，BC =∠OCB =45°，∠TCB =90°，则∠TCH =45°，∠CHT △是等腰直角三角形，∠GBC ACO ∠=∠，∠1tan tan 3GBC ACO ∠=∠=， ∠13CT BC =，1133CT BC ==⨯=∠sin451TH CH ==︒=，∠()1,2T --，由点()1,2T --与点()3,0B ，可求得1322TB y x =-，联立得2132223y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，221274x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∠点G 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(3)解：如图，将抛物线l 向上平移3个单位后得到抛物线l '：22y x x =-，∠点P 、Q 是抛物线l '上在第一象限内不同的两点，∠设点()2111,2P x x x -，()2222,2Q x x x -，由()2111,2P x x x -，()2222,2Q x x x -分别可求得：()12OP y x x =-，()22OQ y x x =- ∠点P '、Q '在直线=2y -上，∠点12,22P x ⎛⎫--' ⎪-⎝⎭，22,22Q x ⎛⎫--' ⎪-⎝⎭， ∠4P Q x x ''⋅= ∠1222422x x --⋅=--，即()()12221x x --=，整理得()1212230x x x x -++=，设直线PQ 的解析式为y mx n =+，与l '联立得：22,y x x y mx n⎧=-⎨=+⎩，22x x mx n -=+，整理得()220x m x n -+-=，由根与系数的关系可得：122x x m +=+，12x x n =-，∠()1212230x x x x -++=，∠()2230n m --++=，∠21n m =--，∠直线PQ 的解析式为21y mx m =--，()21y m x =--，∠当2x =时，1y =-，∠直线PQ 经过定点2,1；【点评】本题考查了一次函数与二次函数的综合，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系；此题综合性较强，正确作出辅助线并掌握函数图象交点坐标的意义是解题关键． 3．(1)244y x x =-+(2)∠32k +，∠存在实数43k =或k =2y kx =+上存在唯一一点Q ，使得90EQO ∠=︒【分析】（1）根据函数图像与x 轴只有一个交点，结合Δ0=求出k 值即可；（2）∠根据题意，求出()2(,2),,(2)2P m mk N m m k m k ++--，利用两点之间距离公式求出PQ ,得出11m ≤∠二次函数综合中的直角三角形分两种情况：当直线2y kx =+与以O 、E 为直径的圆相切时；当圆与直线相交且一个交点为A 时；分情况求解即可．(1)解：二次函数的图像与x 轴只有一个交点，∠22(2)8(2)0k k k ∆=-+=+=，解得2k =-，∠所求抛物线的解析式为244y x x =-+；(2)解：如图所示：∠∠点P 在线段AB 上，且直线AB 解析式为2y kx =+，∠设点M 的横坐标为m ，则()2(,2),,(2)2P m mk N m m k m k ++--，∠22(2)2PN mk m k m k ⎡⎤=+-+--⎣⎦2222m m k =-+++2(1)32m k =--++，把2y kx =+代入2(2)2y x k x k =+--得：2(2)22x k x k kx +--=+，∠222220,(1)2(1)x x k x k ---=-=+，∠0k >，∠2(1)0k +>，∠1x =∠x 的值可以取到1，即11m ≤≤∠m 的值可以取到1，∠当1m =时PN 的最大值为32k +；∠设直线2y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点G 、H ，则()22,0,0,2,,2G H OG OH k k ⎛⎫-== ⎪⎝⎭．在Rt GOH 中，由勾股定理得：GH = 令2(2)20y x k x k =+--=，即()(2)0x k x +-=，解得：x k =-或2x =．∠(),0E k -，OE k =．（∠）当直线2y kx =+与以O 、E 为直径的圆相切时，如图∠所示：设直线2y kx =+与以O 、E 为直径的圆相切的切点为Q ，此时90,90GQM EQO ∠∠=︒=︒．设OE 中点为点M ，连接MQ ，如图∠所示，则,0.5MQ GH MQ ME OM k ⊥===．∠22k GM OG OM k =-=-， ∠,90∠=∠∠=∠=︒MGQ HGO MQG HOG ， ∠∽MOG HOG ， ∠=MQ GM OH GH ，即22222k k k -=， ∠2221618k k k +=-+ ∠2169k =，解得：43k =±， ∠0k >， ∠43k =．（∠）当圆与直线相交且一个交点为A 时，如图∠所示，设另一个交点为Q ，∠OE 是圆的直径，∠90EQO ∠=︒，此时可得：OG OE =， ∠2k k=，解得：k = ∠0k >，∠k =∠存在实数43k =或k =2y kx =+上存在唯一一点Q ，使得90EQO ∠=︒．【点评】本题考查二次函数综合，涉及到利用判别式求二次函数解析式、二次函数综合中的线段最值问题、二次函数综合中的直角三角形问题，熟练掌握二次函数的图像与性质，并掌握解决相关二次函数综合问题题型的方法技巧是解决问题的关键．4．(1)223y x x =-++ (2)21525()228S m =--+，最大值为258(3)45°【分析】（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出a 的值；（2）设M 的坐标为（m ，-m 2+2m +3），然后根据面积关系将∠ABM 的面积进行转化；（3）由（2）可知m =52，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；可将求d 1+d 2最大值转化为求AC 的最小值．（1）解：令x =0代入y =-3x +3，∠y =3，∠B （0，3），把B （0，3）代入223y ax ax a =--，∠3=-3a ，∠a =-1，∠二次函数解析式为：y =-x 2+2x +3；（2）令y =0代入y =-x 2+2x +3，∠0=-x 2+2x +3，∠x =-1或3，∠抛物线与x 轴的交点横坐标为-1和3，∠M 在抛物线上，且在第一象限内，∠0＜m ＜3，令y =0代入y =-3x +3，∠x =1，∠A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，-m2+2m+3），S=S四边形OAMB-S△AOB=S△OBM+S△OAM-S△AOB=1 2×m×3+12×1×（-m2+2m+3）-12×1×3=-12（m-52）2+258∠当m=52时，S取得最大值258．（3）由（2）可知：M′的坐标为（52，74）；过点M′作直线l1∠l′，过点B作BF∠l1于点F，根据题意知：d1+d2=BF，此时只要求出BF的最大值即可，∠∠BFM′=90°，∠点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∠点C在线段BM′上，∠F在优弧BM H'上，∠当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′∠l1，∠A（1，0），B（0，3），M′（52，74），∠由勾股定理可求得：AB M B M A''===过点M′作M′G∠AB于点G，设BG =x ，∠由勾股定理可得：M ′B 2-BG 2=M ′A 2-AG 2，∠2285125)1616x x -=-，∠,x =cos BG M BG M B ''∠==， ∠l 1∠l ′，∠∠BCA =90°，∠BAC =45°．【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数求二次函数解析式，求三角形面积，圆的相关性质等知识，内容较为综合，学生需要认真分析题目，化动为静去解决问题．5．(1)213222y x x =--+ (2)∠45；∠存在，D （-2，3）【分析】（1）根据题意得到A （-4，0），C （0，2）代入y =-12x 2+bx +c ，于是得到结论；（2）∠如图1，令y =0，解方程得到x 1=-4，x 2=1，求得B （1，0），过D 作DM ∠x 轴于M ，过B 作BN ∠x 轴交于AC 于N ，根据相似三角形的性质即可得到结论；∠根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，求得P （-32，0），得到P A =PC =PB =52，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延线于G ，解直角三角形即可得到结论．(1)解：对于函数：y =12x +2，令x =0，则y =2，令y =0，则x =-4，∠A （-4，0），C （0，2），∠抛物线y =-12x 2+bx +c 经过A ．C 两点， ∠1016422b c c ⎧=-⨯-+⎪⎨⎪=⎩，∠b =-32，c =2， ∠y =-12x 2-32x +2； (2)解：∠如图，令y ＝0， ∠213x x 2022--+=， ∠14x =-，21x =，∠B （1，0），过D 作DM ∠x 轴交AC 于点M ，过B 作BN ∠x 轴交于AC 于N ，∠DM BN ∥，∠DME BNE ∽△△， ∠DE DM BE BN=，设()213,222D a a a --+， ∠1,22M a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∠B （1，0）， ∠51,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∠()221214225552a a DE DM a BE BN --===-++， ∠-15<0， ∠当a ＝-2时，DE BE 的最大值是45； ∠∠A （-4，0），B （1，0），C （0，2），∠AC =BC =AB ＝5，∠222AC BC AB +=，∠∠ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ， ∠3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∠52PA PC PB ===， ∠∠CPO ＝2∠BAC ，∠()4tan tan 23CPO BAC ∠=∠=，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，如图，∠∠DCF ＝2∠BAC ＝∠DGC +∠CDG ，∠∠CDG ＝∠BAC ， ∠1tan tan 2CDG BAC ∠=∠=，即12RC DR =，令213,222D a a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∠DR ＝-a ，21322RC a a =--， ∠2131222a a a --=-，∠10a =（舍去），22a =-，∠2D x =-，3D y =．∠D （-2，3）．【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．6．(1)A （-5，0），B （-1，0）；C （-4，-3）；D （-3，-4） (2)∠278；∠（0，5）或（32-，74-）【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式即可求出点D 的坐标，令y =0，求出x 的值即可得到A 、B 的坐标，把x =-4代入抛物线解析式求出y 即可求出点C 的坐标；（2）∠先求出直线BC 的解析式为1y x =+，过点P 作PE ∠x 轴于E 交BC 于F ，则点P 的坐标为（t ，265t t ++），点F 的坐标为（t ，t +1），254PF t t =---，再根据=PBC PFC PFB S S S +△△△23527228t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，进行求解即可；∠分如图1所示，当点P 在直线BC 上方时，如图2所示，当点P 在直线BC 下方时，两种情况讨论求解即可．(1)解：∠抛物线解析式为()226534y x x x =++=+-，∠抛物线顶点D 的坐标为（-3，-4）；令y =0，则2650x x ++=，解得=1x -或5x =-，∠抛物线265y x x =++与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧），∠点A 的坐标为（-5，0），点B 的坐标为（-1，0）；令4x =-，则()()246453y =-+⨯-+=-，∠点C 的坐标为（-4，-3）；(2)解：∠设直线BC 的解析式为y kx b =+， ∠043k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩， ∠11k b =⎧⎨=⎩， ∠直线BC 的解析式为1y x =+，过点P 作PE ∠x 轴于E 交BC 于F ，∠点P 的横坐标为t ，∠点P 的坐标为（t ，265t t ++），点F 的坐标为（t ，t +1），∠2216554PF t t t t t =+---=---，∠=PBC PFC PFB S S S +△△△()()11=22P C B P PF x x PF x x ⋅-+⋅- ()12B C PF x x =⋅- ()23542t t =-++ 23527228t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， ∠当52t =-时，∠PBC 的面积最大，最大为278；∠如图1所示，当点P 在直线BC 上方时，∠∠PCB =∠CBD ，∠PC BD ∥，设直线BD 的解析式为11y k x b =+，∠1111034k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩， ∠1122k b =⎧⎨=⎩， ∠直线BD 的解析式为22y x =+，∠可设直线PC 的解析式为22y x b =+，∠()2243b ⨯-+=-，∠25b =，∠直线PC 的解析式为25y x =+，联立22565y x y x x =+⎧⎨=++⎩得240x x +=，解得0x =或4x =-（舍去），∠5y =，∠点P 的坐标为（0，5）；如图2所示，当点P 在直线BC 下方时，设BD 与PC 交于点M ，∠点C 坐标为（-4，-3），点B 坐标为（-1，0），点D 坐标为（-3，-4），∠()()22241318BC =---+-=⎡⎤⎣⎦,()()22231420BD =---+-=⎡⎤⎣⎦，()()22243342CD =---+---=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∠222BC CD BD +=，∠∠BCD =90°，∠∠BCM +∠DCM =90°，∠CBD +∠CDB =90°，∠∠CBD =∠PCB ，∠MC =MB ，∠MCD =∠MDC ，∠MC =MD ，∠MD =MB ，∠M 为BD 的中点，∠点M 的坐标为（-2，-2），设直线CP 的解析式为23y k x b =+，∠23234322k b k b -+=-⎧⎨-+=-⎩， ∠23121k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∠直线CP 的解析式为112y x =-，联立211265y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=++⎩得2211120x x ++=，解得32x =-或4x =-（舍去）， ∠74y =-， ∠点P 的坐标为（32-，74-）；综上所述，当∠PCB ＝∠CBD 时，点P 的坐标为（0，5）或（32-，74-）；【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．7．(1)y =−x 2+2x +3(2)∠532,39⎛⎫⎪⎝⎭；∠73或5【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）∠作点A关于直线BC的对称点G，连接CG交抛物线于点F，此时，∠BCF=∠BCA，求得G(3，4)，利用待定系数法求得直线CF的解析式为：y=13x+3，联立方程组，即可求解；∠分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质，可求CF的解析式，联立方程可求解．（1）解：∠B(3，0)在抛物线y=−x2+bx+3上，∠y=−32+3b+3，解得b=2，∠所求函数关系式为y=−x2+2x+3；（2）解：∠作点A关于直线BC的对称点G，AG交BC于点H，过点H作HI∠x轴于点I，连接CG交抛物线于点F，此时，∠BCF=∠BCA，如图：令x=0，y=3；令y=0，−x2+2x+3=0，解得：x=3或x=-1，∠A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，∠OB=OC，AB=4，∠△OCB是等腰直角三角形，则∠OCB=∠OBC=45°，∠∠HAB=∠OBC=∠AHI=∠BHI=45°，∠HI= AI=BI=12AB=2，∠H(1，2)，∠G(3，4)，设直线CG的解析式为：y=kx+3，把G(3，4)代入得：4=3k+3，解得：k=13，∠直线CF的解析式为：y=13x+3，∠223133y x xy x⎧=-++⎪⎨=+⎪⎩，解得：53329xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以F点的坐标为(53，329)；∠当点F在x轴上方时，如图，延长CF交x轴于N，∠点B（3，0），点C（0，3），∠OB=OC=3，∠∠CBO=∠BCO=45°，∠点A（-1，0），∠OA=1，∠∠FCE+∠ACO=45°，∠CBO=∠FCE+∠CNO=45°，∠∠ACO=∠CNO，又∠∠COA=∠CON=90°，∠∠CAO∠∠NCO，∠CO NO AO CO=，∠313NO =，∠ON=9，∠点N（9，0），同理可得直线CF解析式为：y=-13x+3，∠-13x+3=-x2+2x+3，∠x1=0（舍去），x2=73，∠点F的横坐标为73；当点F在x轴下方时，如图，设CF与x轴交于点M，∠∠FCE+∠ACO=45°，∠OCM+∠FCE=45°，∠∠ACO=∠OCM，又∠OC=OC，∠AOC=∠COM，∠∠COM∠∠COA（ASA），∠OA=OM=1，∠点M（1，0），同理直线CF解析式为：y=-3x+3，∠-3x+3=-x2+2x+3，∠x1=0（舍去），x2=5，∠点F的横坐标为5，综上所述：点F的横坐标为5或73．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点距离公式，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．8．(1)24y x=-+(2)232,39 P⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)∠y x =；∠4【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）过点B 作BE x ⊥轴交DP 延长线与点E ，过D 作DF x ⊥轴交x 轴于点F ．证明DAB DEB ≌△△，求得点E 的坐标，进而求得直线DE 的解析式为11033y x =+，联立抛物线解析式即可求解；（3）∠根据顺时针旋转90°后点的坐标特征可知对称轴为y x =；∠连接GH ，交EF 于点M ，则2GH GM =，过点G 作x 轴的垂线，交EF 于点N ，当GM 最大时，∠GFE面积最大，设()2,4G m m -+，则(),N m m ，根据()12GFE E F S GN x x =⋅-△以及二次函数的性质求得当12m =-时，∠GFE 面积最大，115,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据∠的方法求得H 的坐标，根据中点公式求得M 的坐标，根据勾股定理求得GH ，由2GH GM =即可求解．（1）∠2y ax c =+过()2,0A -，()1,3D -∠403a c a c +=⎧⎨+=⎩ 解之得14a c =-⎧⎨=⎩∠抛物线解析式为24y x =-+（2）过点B 作BE x ⊥轴交DP 延长线与点E ，过D 作DF x ⊥轴交x 轴于点F ．由24y x =-+，令0y =，得122,2x x =-=，则()2,0BD B D y x x =-，即DF BF =，∠45DBF ∠=︒，∠45DBE ∠=︒又∠DB DB =，BD 平分ADP ，∠DAB DEB ≌△△，∠BA BE =，()2,0B∠()2,4E设直线DE 的解析式为y kx b =+，324k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得13103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∠直线DE 的解析式为11033y x =+ 联立2411033y x y x ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩解得213,3329x x y y ⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩则232,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）∠直线EF 解析式为y x =．抛物线关于y 轴对称，所以旋转后图形关于x 轴对称， ∠对于抛物线上任意一点(),P a b 关于原点旋转90°后对应点为()1,P b a -在旋转后图形上，()1,P b a -关于x 轴对称的点()2,P b a 在旋转后图形上，∠(),P a b 与()2,P b a 关于y x =对称， ∠图形2关于y x =对称，∠直线EF 解析式为y x =故答案为：y x =∠GH如图，连接GH ，交EF 于点M ，则2GH GM =，过点G 作x 轴的垂线，交EF 于点N ，∠当GM 最大时，∠GFE 面积最大，又∠()12GFE E F S GN x x =⋅-△ 设()2,4G m m -+，则(),N m m ∠22117424G N GN y y m m m ⎛⎫=-=-+-=-++ ⎪⎝⎭ ∠当12m =-时，∠GFE 面积最大，115,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭由∠可知115,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y x =的对称点H 15142⎛⎫ ⎪⎝⎭，- ∴1313,88M ⎛⎫ ⎪⎝⎭8GM ∴=∠GH 的最大值为：2GH GM ==【点评】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与二次函数交点问题，掌握以上知识是解题的关键．9．(1)234y x x =-++(2)1m = (3)227或227【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB 的解析式为1y x =+，然后证明∠PGQ ∠∠DAQ 得到PG =AD =4，再由点P 的坐标为()234m m m ++，-，点G 的坐标为（m ，m +1），得到23414PG m m m =-++--=，由此求解即可；（3）如图所示，过点F 作FH ∠AB 于H ，过点K 作KQ 平分∠FKD 交x 轴于Q ，过点Q 作QM ∠KF 于M ，连接FG ，设2BF t QD s KD k ===，，，则42DF t =-，先证明∠HBF =∠HFB =45°，得到HB HF ==，再由（2）得1m =，求得BG =HG =，tan =2HF t FGH HG t=-∠；根据角平分线的定义和性质得到QM QD s ==，∠FGH =∠QKD ，再由111==222FKD FQK DQK S S S DF DK KF QM DQ DK +⋅=⋅+⋅△△△，推出()428k t s k -=+，则tan tan 2s t QKQ FGH k t ===-∠∠，可以推出()222282168t t t t k t t---+==，在Rt ∠FKD 中，22264DF DK KF +==，得到()22221684264t t t t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，由此即可求出t 的值即可得到答案．(1) 解：∠抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()3,4A 和点()1,0B -，∠934440a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， ∠13a b =-⎧⎨=⎩， ∠抛物线解析式为234y x x =-++；(2)解：设直线AB 的解析式为1y kx b =+，∠11034k b k b -+=⎧⎨+=⎩， ∠11k b =⎧⎨=⎩， ∠直线AB 的解析式为1y x =+，∠PE AD ∥，∠∠PGQ =∠DAQ ，∠GPQ =∠ADQ ，又∠AQ =GQ ，∠∠PGQ ∠∠DAQ （AAS ），∠PG =AD =4，∠点P 的横坐标为m ，∠点P 的坐标为()234m m m ++，-，点G 的坐标为（m ，m +1），∠23414PG m m m =-++--=，∠2210m m -+=，解得1m =；(3)解：如图所示，过点F 作FH ∠AB 于H ，过点K 作KQ 平分∠FKD 交x 轴于Q ，过点Q 作QM ∠KF 于M ，连接FG ，设2BF t QD s KD k ===，，，则42DF t =-，∠点B 的坐标为（-1，0），点A 的坐标为（3，4），∠BD =AD =4，∠∠ABD =45°，∠FH ∠AB ，∠∠HBF =∠HFB =45°， ∠HB HF ==，由（2）得1m =，∠点G 的坐标为（1，2），∠BE =GE =2，∠BG = ∠HG BG HB =-=， ∠tan =2HF t FGH HG t=-∠； ∠KQ 平分∠FKD ，QM ∠FK ，QD ∠DK ，∠FKD =2∠FGB ，∠QM QD s ==，∠FGH =∠QKD ， ∠111==222FKD FQK DQK S S S DF DK KF QM DQ DK +⋅=⋅+⋅△△△， ∠()111428222k t s sk -=⨯+， ∠()428k t s k-=+， ∠tan tan 2s t QKQ FGH k t ===-∠∠， ∠4282t t k t-=+-， ∠()222282168t t t t k t t---+==，在Rt ∠FKD 中，22264DF DK KF +==，∠()22221684264t t t t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭， ∠43222464288256641616464t t t t t t t -+-+-++=， ∠2344322161644642882566464t t t t t t t t -++-+-+=，∠432880240256640t t t t -+-+=，∠43210243280t t t t -+-+=，∠()()2221016143280t t t t t -++-+=，∠()()()()22827220t t t t t --+--=，∠()()32814420t t t t -+--=，∠()()()28122220t t t t t ⎡⎤-++--=⎣⎦，∠()()()()262220t t t t t --+--=⎡⎤⎣⎦，∠()()226220t t t -+-=， ∠点F 在BE 上，∠22BF t BE =≤=，∠1t ≤，∠2620t t -+=，解得3t =-3t =，∠()22262442168442t t t t t t k t t t -+-+-+-=====，∠2DK =，∠点K 的纵坐标为227或227．【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，解直角三角形，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．10．(1)223y x x =+-(2)（-2，-3）或（-1，-4）(3)（0，2）或（0，-2）【分析】（1）先求出A 、C 的坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AC 的解析为3y x =--，根据AC 把△ABP 的面积分成1:2两部分，得到=12APQ ABQ S S △△：：，如图所示，过点P 作PD ∠x 轴于D ，过点Q 作DE ∠x 轴于E ，先求出23EQ PD =，设点P 的坐标为（m ，223m m +-），则点D 的纵坐标为224233m m +-，点D 的坐标为（224133m m ---，224233m m +-），然后求出点B 的坐标，从而求出∠22242411123333BD m BE m m m m ⎛⎫=-=----=++ ⎪⎝⎭，，证明∠BEQ ∠∠BDP ，得到224223313m m m ++=-，据此求解即可；（3）分两种情况当点N 在x 轴上方时，过点N 作NH ∠直线BC 于H ，过点H 作HE ∠y 轴于E ，HF ∠x 轴于F ，求出直线BC 的解析式为33y x =-，证明HN =HF ，四边形EOFH 是矩形，得到∠EHF =90°，OE =HF ，证明∠NEH ∠∠BFH 得到NE =BF ，设H 坐标为（m ，3m -3），则NE =BF =m -1，OE =3m -3ON =EN +OE =4m -4，CE =3m -3+3=3m ，点N 的坐标为（0，4m -4），NC =4m -1在Rt ∠NCH 中，由222NH CH CN +=，得到()()222221941m m m m m +-++=-，由此求解即可；当点N 在x 轴下方时，利用等腰三角形的性质求解即可．（1）解：∠OA =OC =3，∠点A 的坐标为（-3，0），点C 的坐标为（0，-3）， ∠9303b c c -+=⎧⎨=-⎩， ∠23b c =⎧⎨=-⎩， ∠抛物线解析式为223y x x =+-；（2）解：设直线AC 的解析式为1y kx b =+，∠11303k b b -+=⎧⎨=-⎩， ∠113k b =-⎧⎨=-⎩， ∠直线AC 的解析为3y x =--，∠AC 把∠ABP 的面积分成1:2两部分，∠=12APQ ABQ S S △△：：或=2APQ ABQ S S △△：：1（此种情况不符合题意，舍去），如图所示，过点P 作PD ∠x 轴于D ，过点Q 作QE ∠x 轴于E ，∠=32APB ABQ S S △△：：，∠132122AB PD AB EQ ⋅=⋅， ∠23EQ PD =，设点P 的坐标为（m ，223m m +-），则点Q 的纵坐标为224233m m +-， ∠点Q 的坐标为（224133m m ---，224233m m +-），令y =0，则2230x x +-=，解得1x =或3x =-，∠点B 的坐标为（1，0）， ∠22242411123333BD m BE m m m m ⎛⎫=-=----=++ ⎪⎝⎭，， ∠PD ∠x 轴，QE ∠x 轴，∠DP QE ∥，∠∠BEQ ∠∠BDP ， ∠23BE QE BD PD ==， ∠224223313m m m ++=-，解得2m =-或1m =-，∠点P 的坐标为（-2，-3）或（-1，-4）；（3）解：如图1所示，当N 在x 轴上方时，过点N 作NH ∠直线BC 于H ，过点H 作HE ∠y 轴于E ，HF ∠x 轴于F ，设直线BC 的解析式为12y k x b =+，∠12203k b b +=⎧⎨=-⎩， ∠1233k b =⎧⎨=-⎩， ∠直线BC 的解析式为33y x =-，∠∠BNO +∠BCO =45°，∠∠NBH =45°，∠∠HNB =45°=∠HBN ，∠HN =HF ，∠EH ∠OE ，FH ∠OF ，OE ∠OF ，∠四边形EOFH 是矩形，∠∠EHF =90°，OE =HF ，∠∠NHE +∠BHE =90°=∠BHF +∠BHE ，∠∠NHE =∠BHF ，又∠∠HEN =∠HFB =90°，∠∠NEH ∠∠BFH （AAS ），∠NE =BF ，设H 坐标为（m ，3m -3），∠NE =BF =m -1，OE =3m -3∠ON =EN +OE =4m -4，CE =3m -3+3=3m ，∠点N 的坐标为（0，4m -4），NC =4m -1在Rt ∠NCH 中，222NH CH CN +=，∠()()222221941m m m m m +-++=-，∠222222191681m m m m m m m +-+++=-+，∠2460m m -=，解得32m =或0m =（舍去）， ∠点N 的坐标为（0，2）；如图2所示，当点N 在x 轴下方的1N 点时，由等腰三角形的性质可知当1N B BN =（N 点为图1中的N ）时，1BN O BNO =∠∠，∠1OB NN ⊥，∠12ON ON ==，∠点1N 的坐标为（0，-2），综上所述，在y 轴上是否存在一点N （0，2）或（0，-2），使得45BCO BNO ∠+∠=︒．【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．11．(1)抛物线解析式为y =x 2+2x -3，A 点坐标为（-3，0）；(2)P 点坐标为（32，32）；(3)以QD 为腰的等腰三角形的面积最大值为5413．【分析】（1）把B 点坐标代入抛物线解析式可求得a 的值，可求得抛物线解析式，再令y =0，可解得相应方程的根，可求得A 点坐标；（2）当点P 在x 轴上方时，连接AP 交y 轴于点B ′，可证△OBP ∠∠OB ′P ，可求得B ′坐标，利用待定系数法可求得直线AP 的解析式，联立直线y =x ，可求得P 点坐标；（3）过Q 作QH ∠DE 于点H ，由直线CF 的解析式可求得点C 、F 的坐标，结合条件可求得tan∠QDH ，可分别用DQ 表示出QH 和DH 的长，分DQ =DE 和DQ =QE 两种情况，分别用DQ 的长表示出∠QDE 的面积，再设出点Q 的坐标，利用二次函数的性质可求得∠QDE 的面积的最大值．(1)解：把B （1，0）代入y =ax 2+2x -3，可得a +2-3=0，解得a =1，∠抛物线解析式为y =x 2+2x -3，令y =0，可得x 2+2x -3=0，解得x =1或x =-3，∠A 点坐标为（-3，0）；(2)解：若y =x 平分∠APB ，则∠APO =∠BPO ，如图1，若P 点在x 轴上方，P A 与y 轴交于点B ′，由于点P 在直线y =x 上，可知∠POB =∠POB ′=45°，在∠BPO 和∠B ′PO 中POB POB OP OP BPO B PO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠'=∠⎩'， ∠∠BPO ∠∠B ′PO （ASA ），∠BO =B ′O =1，设直线AP 解析式为y =kx +b ，把A 、B ′两点坐标代入可得301k b b -+=⎧⎨=⎩，解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∠直线AP 解析式为y =13x +1，联立113y x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∠P 点坐标为（32，32）； (3)解：如图2，作QH ∠CF ，交CF 于点H ，设抛物线交y 轴于点M ．∠CF 为y =23x −49， ∠可求得C （23，0），F （0，-49）， ∠tan∠OFC =OC OF =32， ∠DQ ∠y 轴，∠∠QDH =∠MFD =∠OFC ，∠tan∠HDQ =32，不妨设DQ =t ，DH，HQ， ∠∠QDE 是以DQ 为腰的等腰三角形，∠若DQ =DE ，则S △DEQ =12DE •HQ =12×t2，。

二次函数考试题目及答案

二次函数考试题目及答案1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且经过点(1,0)和(3,0)，求二次函数的解析式。

答案：由于二次函数的图象开口向上，所以a>0。

又因为函数图象经过点(1,0)和(3,0)，可以设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3)。

将点(2,-4)代入，得到-4=a(2-1)(2-3)，解得a=4。

因此，二次函数的解析式为y=4(x-1)(x-3)。

2. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0)，且抛物线的顶点在直线y=-2x上，求抛物线的解析式。

答案：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)。

由于顶点在直线y=-2x上，设顶点坐标为(m,n)，则有n=-2m。

根据抛物线的对称性，顶点的横坐标m=(3-1)/2=1，所以n=-2。

将顶点坐标(1,-2)代入抛物线解析式，得到-2=a(1+1)(1-3)，解得a=1。

因此，抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)。

3. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(0,2)和(2,0)，且对称轴为直线x=1，求二次函数的解析式。

答案：由于二次函数的对称轴为直线x=1，可以设二次函数的解析式为y=a(x-1)^2+k。

将点(0,2)代入，得到2=a(0-1)^2+k，即2=a+k。

又因为函数图象经过点(2,0)，代入得到0=a(2-1)^2+k，即0=a+k。

解得a=-2，k=2。

因此，二次函数的解析式为y=-2(x-1)^2+2。

4. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点为A(-2,0)和B(4,0)，且抛物线经过点(1,3)，求抛物线的解析式。

答案：设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)。

将点(1,3)代入，得到3=a(1+2)(1-4)，解得a=-1/3。

因此，抛物线的解析式为y=-1/3(x+2)(x-4)。

5. 二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向下，且经过点(-1,0)和(3,0)，求二次函数的解析式。

2024年中考数学总复习：二次函数(附答案解析)

2024年中考数学总复习：二次函数一．选择题（共25小题）1．抛物线y＝（x+1）2﹣1的对称轴是（）A．直线x＝0B．直线x＝1C．直线x＝﹣1D．直线y＝12．将抛物线y＝﹣x2+2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线解析式为（）A．y＝﹣（x+2）2﹣1B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1C．y＝﹣（x+2）2+5D．y＝﹣（x﹣2）2+53．已知二次函数y＝kx2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜1且k≠0B．k≤1C．k≥1D．k≤1且k≠0 4．把抛物线y＝x2+bx+2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象的解析式为y＝x2﹣4x+7，则b＝（）A．2B．4C．6D．85．已知点（﹣3，y1），（2，y2），(−12，y3)都在函数y＝x2﹣1的图象上，则（）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y3＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1 6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；②a﹣b+c＞0；③4a+b＝0；④9a+c＞3b；其中正确的结论是（）A．①B．②C．③D．④7．已知二次函数y＝3（x﹣1）2+k的图像上有三点A（√2，y1），B（3，y2），A（0，y3），则y1，y2，y3为的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y18．A(−12，y1)，B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1第1页（共17页）。

(完整版)二次函数典型中考试题解析和训练.doc

二次函数典型中考试题解析和训练二次函数典型中考试题解析及训练[ 解读中考要点 ]1、二次函数一般地，形如y ax2 bx c （ a,b,c 是常数，a 0 ）的函数叫做x的二次函数。

解读：在函数中注意二次项系数 a 0 ，b,c是任意的实数即可。

2、二次函数y ax2（a 0 ）的性质解读：（ 1）二次函数y ax 2 的图象是抛物线，它的顶点是原点，对称轴是y 轴。

（2）当a 0 时，抛物线y ax 2 的开口向上，并且向上无限延伸，顶点是它的最低点；当 a 0 时，抛物线y ax2 的开口向下，并且向下无限延伸，顶点是它的最高点。

3、二次函数y ax2 k （a 0 ）的图象与性质解读：（1）二次函数y ax2 k 的图象与 y ax2 的图象的形状完全一样，可以通过平移二次函数y ax2 的图象得到y ax2 k 的图象。

当k 0 时，向上平移k 个单位长度；当k 0 时，向下平移k 个单位长度。

（2）当a0 时，抛物线的开口向上；当a0 时，抛物线的开口向下。

（3）抛物线的顶点是0, k ，对称轴是y轴。

4、二次函数y a x h 2 k （ a 0 ）的图象与性质解读：（ 1）它的图象与y ax2 的图象的形状完全一样，可以通过二次函数 y ax 22的图象得到 y a x hk的图象。

（2）当a0 时，抛物线的开口向上；当a0 时，抛物线的开口向下。

（3 ）抛物线的顶点是h, k ，对称轴是y 轴。

5、关于二次函数y ax2 bx c （a 0 ）的图象解读：（ 1）二次函数y ax 2 bx c （a 0 ）的图象是与y ax2 的图象的形状完全一样的一条抛物线。

（2 ）抛物线 y ax 2 bx c （a 0 ）的对称轴是直线 xb，顶点是b 4ac b2。

2a,4a2a（3 ）当a 0 时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点。

当x b 时，函数有最小值4ac b2 ；当x b2a 4a 2a时， y 的值随x值的增大而减小；当xb时， y 的值随x值的增大而增大。

2025年中考数学复习：二次函数综合压轴题常考热点试题汇编解析版

2025年中考数学复习：二次函数综合压轴题常考热点试题汇编1.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与一直线相交于A -1，0 ，C 2，3 两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．(1)求抛物线及直线AC 的函数表达式；(2)设点M 3，m ，求使MN +MD 的值最小时m 的值；(3)若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，求PQ 的最大值．【答案】(1)解：由抛物线y =-x 2+bx +c 过点A -1，0 ，C 2，3 得-1-b +c =0-4+2b +c =3，解得b =2c =3 ，∴抛物线为y =-x 2+2x +3；设直线为y =kx +n 过点A -1，0 ，C 2，3 ，得-k +n =02k +n =3，解得k =1n =1 ，∴直线AC 为y =x +1；(2)解：∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4，∴D 1,4 ，令y =0，则0=-x 2+2x +3，解得x =-1或x =3，即抛物线与x 轴的另一个交点为3，0 ，作直线x =3，作点D 关于直线x =3的对称点D ，得D 坐标为5，4 ，如图，连接ND 交直线x =3于点M ，此时N 、M 、D 三点共线时，NM +MD 最小，即NM +MD 最小，设直线ND 的关系式为：y =ax +b ，把点N 0,3 和D 5,4 代入得b =35a +b =4 ，1∴直线NM 的函数关系式为：y =15x +3，当x =3时，y =185，∴m =185；(3)解：如图，∵PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，∴设Q x ，x +1 ，则P x ，-x 2+2x +3 ，∴PQ =-x 2+2x +3 -x +1 =-x 2+x +2=-x -12 2+94，∵-1<0，∴PQ 有最大值，最大值为94．2.如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为-1,0 ，且OA =OC =5OB ，抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 图象经过A ，B ，C 三点．(1)求A ，C 两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD ⊥AC 于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．【答案】(1)解：∵点B 的坐标为-1,0 ，∴OB =1，∵OA =OC =5OB ，∴OA =OC =5，∴点A 5,0 ,C 0,-5 ；把点C0,-5代入得：-5a=-5，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x+1x-5=x2-4x-5；(3)解：∵直线CA过点C0,-5，∴可设其函数表达式为：y=kx-5，将点A5,0代入得：5k-5=0解得：k=1，故直线CA的表达式为：y=x-5，过点P作y轴的平行线交CA于点H，∵OA=OC=5，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD=∠OCA=45°，∴PD=PH，∵PD⊥AC，∴PD=22PH，设点P x，x2-4x-5，则点H x,x-5，∴PD=22x-5-x2+4x+5=-22x2+522x=-22x-522+2528，∵-22<0，∴PD有最大值，当x=52时，其最大值为252 8，此时点P52,-354 ．3.如图抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D、E是直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小(3)点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．【答案】(1)解：∵OB =OC ，点C (0,3)，∴点B (3,0)，则抛物线的表达式为：y =a (x +1)(x -3)=a (x 2-2x -3)=ax 2-2ax -3a ，将点C (0,3)代入得，故-3a =3，解得：a =-1，故抛物线的表达式为：y =-x 2+2x +3，∵y =-x 2+2x +3=-x -1 2+4，函数的对称轴为：x =1；(2)四边形ACDE 的周长=AC +DE +CD +AE ，其中AC =AO 2+CO 2=12+32=10、DE =1是常数，故CD +AE 最小时，周长最小，取点C 关于直线x =1对称点C (2,3)，则CD =C D ，如图所示，取点A -1,1 ，则A D =AE ，点C 与C 关于x =1对称，则C 2,3 ，∴A C =32+22=13，∴CD +AE =A D +DC ，则当A 、D 、C 三点共线时，CD +AE =A D +DC 最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值=AC +DE +CD +AE=10+1+A D +DC=10+1+A C 10+1+13；(3)如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBP A 的面积分为3：5两部分，又∵S △PCB ：S △PCA =12EB ×(y C -y P )：12AE ×(y C -y P )=BE ：AE ，则AE=52或32，即：点E的坐标为32,0或12,0，∵C0,3，设直线CP的表达式：y=kx+3，将点E的坐标代入直线CP的表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3，联立y=-x2+2x+3y=-2x+3，y=-x2+2x+3y=-6x+3，解得：x=4或x=8(x=0舍去)，故点P的坐标为(4,-5)或(8,-45)．4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)，与y轴交于点C，作直线BC，点P是抛物线在第四象限上一个动点(点P不与点B,C重合)，连结PB，PC，以PB，PC为边作▱CPBD，点P的横坐标为m．(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)当▱CPBD有两个顶点在x轴上时，则点P的坐标为；(3)当▱CPBD是菱形时，求m的值．(4)当m为何值时，▱CPBD的面积有最大值？【答案】(1)解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)，∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)，即y=x2-2x-3，(2)解：∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3，令x=0，则y=-3，∴C(0,-3)，∵▱CPBD有两个顶点在x轴上时，∴点D在x轴上，∵四边形CPBD是平行四边形，∴CP∥BD，∴点P和点C为抛物线上的对称点，∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为x=--22×1=1，C(0,-3)，∴P(2,-3)，故答案为：(2,-3)；(3)解：设点P的坐标为(m,y)，∵B(3,0)，C(0,-3)，∴BP2=(3-m)2+y2，CP2=m2+(m+3)2，∵▱CPBD 是菱形，∴BP =CP ，∴BP 2=CP 2，∴(3-m )2+y 2=m 2+(y +3)2，9-2m +m 2+y 2=m 2+y 2+6y +9，m +y =0，∵y =m 2-2m -3，∴m +m 2-2m -3=0，m 2-m -3=0，m =-(-1)±(-1)2-4×1×(-3)2×1=1±132，即m 1=1+132，m 2=1-132，∵点P 是抛物线在第四象限上一个动点(点P 不与点B ,C 重合)，∴0<m <3，∴m =1+132；(4)解：如图所示，过点P 作PE ∥y 轴交直线BC 于点E ，设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，将B (3,0)，C (0,-3)代入得，3k +b =0b =-3 ，解得，k =1b =-3 ，∴直线BC 的解析式为y =x -3，设P (m ,m 2-2m -3)，则E (m ,m -3)，∴PE =-m 2+3m ，∴S △PBC =12×3(-m 2+3m )，∵S ▱CPBD =2S △PBC=2×12×3(-m 2+3m )=-3m 2+9m=-3m -32 2+274，∴当m =32时，平行四边形CPBD 的面积有最大值．5.二次函数y =ax 2+bx +4a ≠0 的图象经过点A -4,0 ,B 1,0 ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ．(1)求二次函数的表达式；(2)在对称轴上是否存在一个点M ，使MB +MC 的和最小，存在的话，请求出点M 的坐标．不存在的话请说明理由．(3)连接BC ，当∠DPB =2∠BCO 时，求直线BP 的表达式．【答案】(1)解：把A -4,0 ,B 1,0 代入y =ax 2+bx +4a ≠0 得：16a -4b +4=0a +b +4=0 ，解得a =-1b =-3 ，∴二次函数的表达式为y =-x 2-3x +4；(2)在对称轴上存在一个点M ，使MB +MC 的和最小，理由如下：连接AC 交对称轴于M ，则MB +MC 的和最小，如图：∵MA =MB ，∴MB +MC =MA +MC ，而C ，M ，A 共线，∴此时MB +MC 最小，在y =-x 2-3x +4中，令x =0得y =4，∴C 0,4 ，设直线AC 的表达式为y =rx +s ，由A -4,0 ，C 0,4 可得-4r +s =0s =4解得r =1s =4 ∴直线AC 解析式为y =x +4，由y =-x 2-3x +4=-x +32 2+254知抛物线对称轴为直线x =-32，在y =x +4中，令x =-32得y =52，∴M -32,52；(3)设BP 交y 轴于K ，如图：∵PD⊥x轴，∴∠DPB=∠OKB，∵∠DPB=2∠BCO，∴∠OKB=2∠BCO，∴∠CBK=∠BCO，∴BK=CK，设OK=m，则CK=BK=4-m，∵OB2+OK2=BK2，∴12+m2=4-m2，解得m=15 8，∴K0,158，设直线BP的表达式为y=px+q，由B1,0，K0,15 8得到p+q=0q=158解得p=-158 q=158∴直线BP的表达式为y=-158x+158．6.如图，抛物线y=14x2-32x交x轴正半轴于点A，M是抛物线对称轴上的一点，过点M作x轴的平行线交抛物线于点B，C(B在C左边)，交y轴于点D，连结OM，已知OM=5．(1)求OD的长．(2)P是第四象限内抛物线上的一点，连结P A，AC，OC，PO．设点P的横坐标为m，四边形OCAP的面积为S．①求S关于m的函数表达式．②当∠POC=∠DOC时，求S的值．【答案】解：(1)抛物线对称轴为x=-b2a=3，∴DM=3，OA=6；∵OM =5，∴OD =OM 2-DM 2=52-32=4．(2)过点P 作PN ⊥OA 于N ,①由y =0得，0=14x 2-32x解得：x =0(舍去)，x =6∴OA =6，∴S 四边形OCAF =S △OAC +S △OAP=12⋅OA ⋅OD +12⋅OA ⋅PN=12×6×4+12×6-14m 2-32m=12+3-14m 2+32m=-34m 2+92m +12所以，S 关于m 的表达式为：S =-34m 2+92m +12②MC =CD -DM =5=OM ，∴∠MOC =∠MCO ．∵BC ∥x 轴，∴∠AOC =∠MCO =∠MOC ．∵∠POC =∠DOC ，∴∠POC -∠AOC =∠DOC -∠MOC ，∴∠POE =∠DOM ，∴tan ∠POA =tan ∠DOM =34，∴-y p x P =34∴y P =-34x p ，代入抛物线解析式得-34x p =14x 2p -32x p解得x P =0(舍去)或x P =3，∴y P =-34x p =-34×3=-94∴S 四边形OCAF =S △OAC +S △OAP=12⋅OA ⋅OD +12⋅OA ⋅PN =18.757.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过B -3,0 ,C 0,3 两点，与x 轴的另一个交点为A ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点E ，使得AE +CE 的值最小，求点E 的坐标；(3)设点P 为x 轴上的一个动点，写出所有使△BPC 为等腰三角形的点P 的坐标，并把求其中一个点P 的坐标的过程写出来．【答案】(1)解：将点B -3,0 ,C 0,3 代入抛物线解析式得-9-3b +c =0c =3，解得b =-2c =3 ，∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3；(2)解：∵抛物线解析式为y =-x 2-2x +3=-x +1 2+4，∴抛物线的对称轴为直线x =-1，∵点A 、B 关于对称轴对称，∴BE =AE ，∴AE +CE =BE +CE ，∴当B 、C 、E 三点共线时，BE +CE 最小，即此时AE +CE 最小，∴BC 与对称轴的交点即为点E ，如下图，设直线BC 解析式为y =mx +n ，∴-3m +n =0n =3，解得m =1n =3 ，∴直线BC 的解析式为y =x +3；当x =-1时，y =x +3=2，∴E -1，2 ；(3)解：∵B -3,0 ,C 0,3 ，∴OB =OC =3，∴BC =32+32=32，当B 为顶点时，则PB =BC =32，∴点P 的坐标为32-3,0 或-32-3,0 ；当C为顶点时，则PC=BC，∴点P与点B关于y轴对称，∴点P的坐标为3，0；当BC为底边时，则PC=PB，设点P的坐标为m，0，∴-3-m2=m2+32，解得m=0∴点P的坐标为0，0；综上，点P的坐标为0，0或3，0或32-3,0或-32-3,0．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=12x2平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M(点M在第四象限)，对称轴与抛物线y=12x2交于点N，且MN=4．(1)求平移后抛物线的表达式；(2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由；(3)抛物线y=12x2上的点A平移后的对应点是点B，BC⊥MN，垂足为点C，如果△ABC是等腰三角形，求点A的坐标．【答案】(1)解：由题意得，平移后的抛物线表达式为：y=12x2+bx，则点M的坐标为：-b,-1 2 b2，当x=-b时，y=12x2=12b2，即点N-b,12b2，则MN=12b2+12b2=4，解得：b=2(舍去)或b=-2，则平移后的抛物线表达式为：y=12x2-2x；(2)解：四边形OMPN是正方形，根据题意可得O0,0，M2,-2，N2,2，P4,0，记MN与OP交于点G，则G2,0，∴OG=GP=2，MG=NP=2，MN=OP=4，NO=NP=22，∴四边形OMPN是平行四边形，∵MN=OP=4，∴四边形OMPN是矩形，∵NO=NP=22，∴四边形OMPN是正方形；(3)解：设A a ,12a 2 ，B a +2,12a 2-2 ，C 2,12a 2-2 ，可得AB =22，AC =a -2 2+22，BC =a 2，①AB =AC ，22=a -2 2+22，即a 2-4a =0，解得a 1=4，a 1=0(舍去0)，∴A 4,8 ；②AB =BC ，22=a 2，解得a 1=22，a 1=-22，∴A 22,4 或A -22,4 ；③AC =BC ，a -2 2+22=a 2，解得a =2，∴A 2,2 ；综上，点A 的坐标是4,8 、22,4 、-22,4、2,2 ．9.综合与探究如图，抛物线y =12x 2-32x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．过点A 的直线与抛物线在第一象限交于点D 5,3 ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线AD 的函数表达式．(2)点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ，交直线AD 于点F ．试探究是否存在一点P ，使线段EF 最大．若存在，请求出EF 的最大值；若不存在，请说明理由．(3)若点M 在抛物线上，点N 是直线AD 上一点，是否存在以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是以BD 为边的平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)解：令y =0，则12x 2-32x -2=0，解得x =4或x =-1，∴A -1,0 ，B 4,0 ，令x =0，则y =-2，∴C 0,-2 ，设直线AD 的函数表达式为y =kx +b ，将A -1,0 ，D 5,3 的坐标代入得，-k +b =05k +b =3 ，解得：k =12b =12，∴y =12x +12；(2)解：存在，理由如下：设P a ,0 ，则E a ,12a 2-32a -2 ，F a ,12a +12，∵P 线段AB 上的一个动点，∴E 在x 轴下方，∴EF =12a +12-12a 2-32a -2 =-12a 2+2a +52=-12a -2 2+92，∵-12<0，∴当a =2时，EF 有最大值，最大值为92；(3)解：存在，点M 的坐标为0,-2 ，2+14,4+142 或2-14,4-142；设M m ,12m 2-32m -2 ，N n ,12n +12，∵B 4,0 ，D 5,3 ，①当平行四边形对角线为BN 和DM 时，则4+n 2=5+m 20+12n +122=3+12m 2-32m -22 ，解得：m =0n =1 或m =4n =5 (当m =4时，M 4,0 与B 点重合，不符合题意，舍去)∴点M 的坐标为0,-2 ；②当平行四边形对角线为BM 和DN 时，则4+m 2=5+n 20+12m 2-32m -22=3+12n +122 ，解得：m =2+14n =1+14 或m =2-14n =1-14 ，∴点M 的坐标为2+14,4+142 或2-14,4-142，综上所述，点M 的坐标为0,-2 ，2+14,4+142 或2-14,4-142 ．10.如图，已知直线y =34x +3与x 轴交于点D ，与y 轴交于点C ，经过点C 的抛物线y =-14x 2+bx +c 与x 轴交于A -6，0 、B 两点，顶点为E ．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)连接DE ，求tan ∠CDE 的值；(3)设P 为抛物线上一动点，Q 为直线CD 上一动点，是否存在点P 与点Q ，使得以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)解：对于y =34x +3，由x =0，得y =3，∴C 0，3 ，∵抛物线过点A -6，0 、C 0，3 ，-14×-6 2-6b +c =0c =3 ，解得：b =-1c =3 ，∴该抛物线为y =-14x 2-x +3；(2)解：由y =-14x 2-x +3=-14x +2 2+4得顶点E -2，4 ，过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，作EG ⊥y 轴于G ，连接EC ，则EF =4，DF =2，EG =2，CG =1，∴DF EF =12=CG EG，∵∠DFE =∠CGE =90°，∴△DFE ∽△CGE∴∠DEF =∠CEG ，EC DE =CG DF=12．∵∠CEG +∠CEF =90°，∠DEF +∠CEF =90°，∴∠DEC =90°，∴tan ∠CDE =EC DE =12；(3)设Q m ，34m +3 ①若DE 为平行四边形的一边，且点P 在点Q 的上方，∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P m +2，34m +7 ，代入抛物线得：34m +7=-14m +2 2-m +2 +3，解得m 1=-7，m 2=-4(舍去)∴Q -7，-94；②若DE 为平行四边形的一边，且点P 在点Q 的下方，∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P m -2，34m -1 ，同理得Q -3+892,15+3898或Q -3-892,15-3898 ，③若DE 为平行四边形的对角线∵∵D -4，0 ，E -2，4 ，Q m ，34m +3 ，∴P -m -6，-34m +1 代入抛物线得：-34m +1=-14-m -6 2--m -6 +3，解得m 1=-1，m 2=-4(舍去)∴Q -1,94，综上所述，点Q 的坐标为-7，-94 Q -3+892,15+3898 或Q -3-892,15-3898或-1,94 ．11.如图，已知抛物钱经过点A (-1，0)，B (3，0)，C (0，3)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 是线段BC 上的点(不与B ，C 重合)，过M 作MN ∥y 轴交抛物线于点N ．若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长；(3)在(2)的条件下，连接NB 、NC ，当m 为何值时，△BNC 的面积最大，最大面积是多少？【答案】(1)解：根据题意，抛物钱与x 轴交于点A (-1，0)，B (3，0)设抛物线解析式为y =a x +1 x -3将C (0，3)代入可得：-3a =3，解得a =-1即y =-x +1 x -3 =-x 2+2x +3；(2)设直线BC 的解析式为y =kx +b将B (3，0)、C (0，3)代入可得：3k +b =0b =3 ，解得k =-1b =3即y =-x +3，则M (m ,-m +3)，N (m ,-m 2+2m +3)，MN =-m 2+2m +3--m +3 =-m 2+3m ；(3)由题意可得：S △BNC =S △BNM +S △MNC =12×MN ×OB =32-m 2+3m =-32m 2+92m∵-32<0，开口向下，∴m =-92-2×32=32时，S △BNC 面积最大，∴最大面积为S △BNC =-32×32 2+92×32=278．12.如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，顶点为D ，其中A 1,0 ，C 0,3 ．直线y =mx +n 经过B ，C 两点．(1)求直线BC 和抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点M ，使MA +MC 最小，直接写出点M 的坐标；(3)连接BD ，CD ，求△BCD 的面积．【答案】解:(1)将点A 1,0 ，C 0,3 代入y =-x 2+bx +c ，得-1+b +c =0,c =3,解这个方程组，得b =-2,c =3.∴抛物线的解析式为y =-x 2-2x +3.当y =0时，0=-x 2-2x +3=-x +3 x -1 ，解得x 1=-3，x 2=1，∴点B 的坐标为-3,0 ，∵直线y =mx +n 经过B ，C 两点，∴-3m +n =0n =3，解得m =1n =3 ，∴直线BC 解析式为y =x +3；∴当点M是直线BC和对称轴的交点时，MA+MC取得最小值，∵抛物线y=-x2-2x+3=-x+12+4，∴点D的坐标为-1,4，对称轴为直线x=1，将x=1代入直线y=x+3，得：y=-1+3=2，∴点M的坐标为-1,2；(3)∵点D-1，4，点M-1,2，∴DM=4-2=2，∵点B-3，0，∴BO=3，∴S△BCD=S△DMB+S△DMC=12DM⋅BO=12×2×3=3．13.抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A-2,0和B4,0，与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点(不与点B,C重合)，过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t．(1)求该拋物线的解析式；(2)用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；(3)过点C作CH⊥PN于点H,S△BMN=9S△CHM，①求点P的坐标；②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2∴4a-2b-4=016a+4b-4=0，即2a-b=24a+b=1，∴a=12 b=-1∴抛物线的解析式为：y=12x2-x-4；(2)解：令x=0得y=-4，∴C0,-4设直线BC的解析式为y=kx+b，∴b=-44k+b=0∴k=1b=-4 ，∴直线BC的解析式为：y=x-4 ∵P的横坐标为t，PM∥y轴，∴P t,12t2-t-4，M t,t-4，∴PM=t-4-12t2-t-4=-12t2+2t=-12t-22+2，∵-12<0，∴当t=2时，PM有最大值2，此时M2,-2；(3)解：①∵B4,0、C0,-4，∴OB=OC=4，∵∠BOC=90°，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵PN∥y轴∴∠NMB=∠OCB=45°，∠MNB=∠COB=90°，∴∠NBM=∠NMB，∴BN=MN，∴S△BMN=12BN2，又∠CMH=∠NMB=45°，∠CHM=90°，∴△CHM是等腰直角三角形∴S△CHM=12CH2∵S△BMN=9S△CHM∴12BN 2=9×12CH 2∴BN =3CH ，∵BN +CH =OB =4，∴CH =1∴P 1,-92 ；②设Q 0,m ，则CQ 2=4+m 2，CP 2=1+-4+92 2=54，PQ 2=1+m +92 2，(Ⅰ)当∠CQP =90°时，54=4+m 2+1+m +92 2，解得：m =-4(舍去)或m =-92，∴Q 0,-92 ；(Ⅱ)当∠CPQ =90°时，54+1+m +92 2=4+m 2，解得：m =-132， ∴Q 0,-132(Ⅲ)当∠PCQ =90°时54+4+m 2=1+m +92 2解得：m =-4(舍去)综上所述，存在点Q 0,-132 或Q 0,-92使得△CPQ 为直角三角形．14.如图，抛物线y =ax 2+bx +c a >0 交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，交y 轴于点C ．(1)若A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)，①求抛物线的解析式；②若点P为x轴上一点，点Q为抛物线上一点，△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，求出点P的坐标；(2)若直线y=bx+t t>c与抛物线交于点M、N(点M在对称轴左侧)，直线AM交y轴于点E，直线AN交y轴于点D．试说明点C是线段DE的中点．【答案】解：(1)①把A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)分别代入y=ax2+bx+c，得a-b+c=09a+3b+c=0c=-3，解得a=1b=-2 c=-3 ，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3．②设P(m，0)，过Q作QH⊥x轴于H，则∠PHQ=90°，∵△CPQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴PC=PQ，∠CPQ=90°，∴∠OPC+∠HPQ=90°，∠HQP+∠HPQ=90°，∴∠OPC=∠HQP，在△POC和△QHP中∠OPC=∠HQP∠COP=∠PHQCP=QP，∴△POC≌△QHP AAS，∴QH=OP=m，PH=OC=3．当点H在点P的右侧时，OH=m+3，∴Q(m+3，-m)，把Q(m+3，-m)代入y=x2-2x-3，得-m=m+32-2m+3-3，解得m=0或-5，此时，P(0，0)或P(-5，0)．当点H在点P的左侧时，H(m-3，0)，∴Q (m -3，m )，代入y =x 2-2x -3，得m =m -3 2-2m -3 -3，整理，得m 2-9m +12=0，解得m =9±332，此时P 9+332,0 或9-332,0 综上，点P 的坐标为P (0，0)或P (-5，0)或P 9+332,0或9-332,0 (2)设直线AM 为y =kx +m ，直线AN 为y =k 1x +m 1，联立y =bx +t y =ax 2+bx +c ，得ax 2+c -t =0，∴x M +x N =0．联立y =kx +m y =ax 2+bx +c ，得ax 2+b -k x +c -m =0，∴x A x M =c -m a ．同理，得x A x N =c -m 1a．∴x A x M +x A x N =x A x M +x N =0，∴c -m a +c -m 1a=0，∴c -m =m 1-c ．∵D (0，m 1)，E (0，m )，C (0，c )，∴CD =m 1-c ，CE =c -m ，∴CE =CD ，∴点C 为线段DE 的中点．15.如图，二次函数y =-x 2+c 的图象交x 轴于点A 、点B ，其中点B 的坐标为(2,0)，点C 的坐标为(0,2)，过点A 、C 的直线交二次函数的图象于点D ．(1)求二次函数和直线AC的函数表达式；(2)连接DB，则△DAB的面积为；(3)在y轴上确定点Q，使得∠AQB=135°，点Q的坐标为；(4)点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵二次函数y=-x2+c的图象过点B(2,0)，∴0=-22+c，解得c=4∴二次函数解析式为y=-x2+4∴A点坐标为(-2,0)设直线AC的解析式为y=kx+b∴0=-2k+b2=b，解得：k=1b=2∴直线AC的解析式为y=x+2(2)∵直线AC：y=x+2与二次函数交于点A、D∴联立y=-x2+4y=x+2，解得x=-2y=0或x=1y=3∴D点坐标为：(1,3)∵AB=4∴S△DAB=12AB×y D =12×3×4=6(3)∵C(0,2)，A点坐标为(-2,0)∴∠CAB=45°当Q在正半轴时，∵∠AQB=135°，QA=QB∴∠QAO=22.5°=12∠CAO∴AQ平分∠CAO过Q作PQ⊥AC于P设OQ =x ，则OQ =PQ =x ,CQ =2PQ =2x∴OC =OQ +CQ =2x +x =2解得x =22-2∴Q 点坐标为(0,22-2)当Q 在与轴负半轴时，根据对称性可得Q 点坐标为(0,2-22)∴Q 点坐标为(0,2-22)或(0,22-2)(4)当AD 是矩形边长时过A 作AM ⊥AD 交抛物线于M∵直线AC 的解析式为y =x +2∴设直线AM 的解析式为y =-x +b 1代入A 点(-2,0)得b 1=-2∴直线AM 的解析式为y =-x -2∴联立y =-x 2+4y =-x -2，解得x =-2y =0 或x =3y =-5 ∴M 点坐标为(3,-5)∵此时MN 平行且等于AD∴由A (-2,0)平移到D (1,3)与由M (3,-5)平移到N 的平移方式一致∴N 点坐标为(6,-2)同理：:过D 作DM ⊥AD 交抛物线于M ，此时M (0,4)，N (-3,1)综上所述，存在，N 点坐标为(6,-2)或(-3,1)16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D(2,1)，抛物线的对称轴交直线BC 于点E．(1)求抛物线y =-x 2+bx +c 的表达式；(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h (h >0)，在平移过程中，该抛物线与直线BC 始终有交点，求h 的最大值；(3)M 是(1)中抛物线上一点，N 是直线BC 上一点．是否存在以点D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)解：由D (2,1)可知，-b 2×-1 =24×-1 c -b 24×-1 =1，解得：b =4c =-3 ，∴y =-x 2+4x -3．(2)分别令y =-x 2+4x -3中，x =0，y =0得，B (3，0)，C (0，-3)；设BC 的表达式为：y =kx +n k ≠0 ，将B (3，0)，C (0，-3)代入y =kx +n 得，0=3k +n -3=0+n 解得：k =1n =-3 ；∴BC 的表达式为：y =x -3；抛物线平移后的表达式为：y =-x 2+4x -3-h ，根据题意得，y =-x 2+4x -3-h y =x -3，即x 2-3x +h =0，∵该抛物线与直线BC 始终有交点，∴-3 2-4×1×h ≥0，∴h ≤94，∴h 的最大值为94．(3)存在，理由如下：将x =2代入y =x -3中得E 2，-1 ，①当DE 为平行四边形的一条边时，∵四边形DEMN 是平行四边形，∴DE ∥MN ，DE =MN ，∵DE ∥y 轴，∴MN ∥y 轴，∴设M m，-m2+4m-3，N m，m-3，当-m2+4m-3-m-3=2时，解得：m1=1，m2=2(舍去)，∴N1，-2，当m-3--m2+4m-3=2时，解得：m1=3+172，m2=3-172，∴N3+172，17-3 2或N3-172，-17+32；②当DE为平行四边形的对角线时，设M p，-p2+4p-3，N q，q-3，∵D、E的中点坐标为：(2，0)，∴M、N的中点坐标为：(2，0)，∴p+q2=2-p2+4p-3+q-32=0 ，解得：p1=1 q1=3，p2=2q2=2(舍去)，∴此时点N的坐标为(3，0)；综上分析可知，点N的坐标为：1，-2或3+172，17-32或3-172，-17+32或(3，0)．。

中考数学《二次函数》专项练习题及答案

中考数学《二次函数》专项练习题及答案一、单选题1．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个2．对于抛物线y=−13(x−5)2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（－5，3）D．开口向上，顶点坐标（－5，3）3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？()A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒4．已知二次函数y=x2−4x+2，当自变量x取值在−2≤x≤5范围内时，下列说法正确的是（）A．有最大值14，最小值－2B．有最大值14，最小值7C．有最大值7，最小值－2D．有最大值14，最小值25．如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1，则下列说法正确的有()①abc<0，②2a+b=0，③a−b+c>0，④若4a+2b+c>0．A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④6．在平面直角坐标系中，对于点 P(x ，y) 和 Q(x ，y′) ，给出如下定义：若 y′={y +1 (x ≥0)−y (x <0)，则称点 Q 为点 P 的“亲密点”.例如：点 (1，2) 的“亲密点”为点 (1，3) ，点 (−1，3) 的“亲密点”为点 (−1，−3) .若点 P 在函数 y =x 2−2x −3 的图象上.则其“亲密点” Q 的纵坐标 y′ 关于 x 的函数图象大致正确的是（）A ．B ．C ．D ．7．对于二次函数 y =2(x −1)2−3 ，下列说法正确的是（）A ．图象开口向下B ．图象和y 轴交点的纵坐标为-3C ．x <1 时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴是直线 x =−18．抛物线 y =−3x 2+12x −3 的顶点坐标是（）A ．（2，9）B ．（2，-9）C ．（-2，9）D ．（-2，-9）9．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（）A ．a ＜0B ．a ﹣b+c ＜0C ．−b 2a>1D ．4ac ﹣b 2＜﹣8a10．已知抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)交x 轴于点A(1，0)，B(3，0).P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上两个点.若|x 1−2|>|x 2−2|>1，则下列结论一定正确的是（） A ．y 1<y 2B ．y 1>y 2C ．|y 1|<|y 2|D ．|y 1|>|y 2|11．二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x−2)2−3D．y=(x+2)2+312．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF△BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题13．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2 √3个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴左侧的图象上，则点C的坐标为．14．将y=x2的向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得的解析式是．15．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，则平均每次降价的百分率是.16．如果抛物线y=x2﹣6x+c的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于．17．不等式x2+ax+b≥0（a≠0）的解集为全体实数，假设f（x）=x2+ax+b，若关于x的不等式f（x）＜c的解集为m＜x＜m+6，则实数c的值为．18．用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形的生物园的长为x m，则围成长方形的生物的面积S（单位：m2）与x的函数表达式是．（不要求写自变量x的取值范围）三、综合题19．鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？20．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．21．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=−12x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD.（1）求此抛物线的解析式.（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣4x+2m﹣1与x轴交于点A，B.（点A在点B的左侧）（1）求m的取值范围；（2）当m取最大整数时，求点A、点B的坐标.23．我市某电器商场代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？（2）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式，并求出售价x的范围．（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润w（元）最大，最大利润是多少？24．一家超市，经销一种地方特色产品，每千克成本为50元.这种产品在不同季节销量与单价满足一次函数变化关系.下表是其中不同4个月内一天的销量y（kg）与单价x（元/kg）的对应值.单价x（元/kg）55606570销量y（kg）70605040（2）平均每天获得600元销售利润的季节，顾客利益也较大，销售单价是多少？（3）当销售单价为多少时，一天的销售利润最大？最大利润是多少？参考答案1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】B 12．【答案】D13．【答案】（1﹣ √7 ，﹣3） 14．【答案】y=（x ﹣3）2+5 15．【答案】10% 16．【答案】c=6或12 17．【答案】918．【答案】S =−x 2+8x19．【答案】（1）解：依题意有：y=10x+160；（2）解：依题意有：W=（80﹣50﹣x ）（10x+160）=﹣10（x ﹣7）2+5290，∵-10＜0且x 为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）解：依题意有：﹣10（x ﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．20．【答案】（1）解：当1≤x ＜50时，y=（200-2x ）（x+40-30）=-2x 2+180x+2000当50≤x≤90时y=（200-2x ）（90-30）=-120x+12000综上所述：y= {−2x 2+180x +2000(1≤x <50)−120x +12000(50≤x ≤90)（2）解：当1≤x ＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45 当x=45时，y 最大=-2×452+180×45+2000=6050 当50≤x≤90时，y 随x 的增大而减小当x=50时，y最大=6000综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元（3）解：当1≤x＜50时，y=-2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤50，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=-120x+12000≥4800，解得x≤60因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元；21．【答案】（1）解：由已知得：C(0, 4)，B(4, 4)把B与C坐标代入y=−12x2+bx+c得：{4b+c=12c=4解得：b=2则解析式为y=−12x2+2x+4；（2）解：∵y=−12x2+2x+4=−12(x−2)2+6∴抛物线顶点坐标为(2, 6)则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=12×4×4+12×4×2=8+4=12. 22．【答案】（1）解：根据题意得△=（-4）2-4（2m-1）＞0解得m＜5 2；（2）解：m的最大整数为2抛物线解析式为y=x2-4x+3当y=0时，x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3所以A（1，0），B（3，0）.23．【答案】（1）解：由题意得：200+30×5=350（台）答：该月可售出350台（2）解：由题意得：y=200+5(400−x)=−5x+2200由供货商对售价和销售量的规定得：{x≥330y≥450，即{x≥330−5x+2200≥450解得：330≤x≤350答：所求的函数关系式为y=−5x+2200，售价x的范围为330≤x≤350（3）解：由题意和（2）可得：w=(x−200)(−5x+2200)整理得：w=−5(x−320)2+72000由二次函数的性质可知：当330≤x≤350时，w随x的增大而减小则当x=330时，w取得最大值，最大值为w=−5×(330−320)2+72000=71500（元）答：当售价定为330元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润最大，最大利润是71500元24．【答案】（1）解：设y＝kx＋b，由题意得：{55k+b＝70 60k+b＝60解得{k＝−2 b＝180∴y（kg）与x（元/kg）之间的函数关系式为y＝﹣2x＋180.（2）解：由题意得：（x﹣50）（﹣2x＋180）＝600整理，得x2﹣140x＋4800＝0解得x1＝60，x2＝80∵顾客利益也较大∴x＝60∴平均每天获得600元销售利润的季节，顾客利益也较大，销售单价是60元/千克.（3）解：一天的销售利润为：w＝（x﹣50）（﹣2x＋180）＝﹣2x2＋280x﹣9000＝﹣2（x﹣70）2＋800∴当x＝70时，w最大＝800.∴当销售单价为70元/kg时，一天的销售利润最大，最大利润是800元。

二次函数经典例题及解答

二次函数经典例题及解答二次函数一、中考导航图1.二次函数的意义2.二次函数的图像3.二次函数的性质顶点对称轴开口方向增减性4.待定系数法确定二次函数解析式5.二次函数与一元二次方程的关系三、中考知识梳理1.二次函数的图像二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像可以通过配方法化简为y=a(x+（b/2a））2+(4ac-b2)/4a2的形式。

确定顶点坐标后，可以对称求点列表并画图，或者使用顶点公式来求得顶点坐标。

2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定。

当a>0时，抛物线开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大。

当a0）或左增右减（a<0）。

此时，当x=-b/2a时，y取最值，最小值或最大值的大小为|(4ac-b2)/4a|。

3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法待定系数法是通过给定的条件来确定二次函数的解析式。

可以任意给定三个点或三组x，y的值来确定解析式，组成三元一次方程组来求解。

也可以在给定条件中已知顶点坐标、对称轴或最值时，设解析式为y=a(x-h)2+k。

在给定条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴时，设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解。

4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点可以转化为一元二次方程ax2+bx+c=0的解。

当抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不相等实根；当抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等实根；当抛物线与x轴无交点时，方程无实根。

5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的开口方向由a的符号来确定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

b的符号可以表示抛物线与y轴的交点在y轴的上方或下方。

c的符号可以表示抛物线与x轴的交点在x轴的上方或下方。

四、中考题型例析1.确定二次函数解析式例1：求满足以下条件的二次函数的解析式：1）图像经过点A（-1，3）、B（1，3）、C（2，6）；2）图像经过点A（-1，0）、B（3，0），函数有最小值-8；3）图像顶点坐标是（-1，9），与x轴两交点间的距离是6.分析：此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式。

二次函数中考常见题型及解析

二次函数中考常见题型及解析二次函数在中考数学中是一个非常重要的知识点，通常都会有相关的考题出现。

下面就为大家总结了二次函数中考常见的题型及解析，供大家参考。

一、基本形式的图像与性质题1.二次函数 $y=ax^2$ 的图像是什么？二次函数 $y=ax^2$ 的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线。

2.二次函数 $y=ax^2$ 的对称轴方程是什么？二次函数 $y=ax^2$ 的对称轴方程是 $x=0$（对称轴为 $y$ 轴）。

3.二次函数 $y=ax^2$ 的零点是什么？当 $y=ax^2=0$ 时，$x=0$，所以二次函数 $y=ax^2$ 的零点是原点$(0,0)$。

4.二次函数 $y=ax^2$ 的单调性是什么？当 $a>0$ 时，二次函数 $y=ax^2$ 开口朝上，单调递增；当 $a<0$ 时，二次函数 $y=ax^2$ 开口朝下，单调递减。

二、变形图像与性质题1.二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的图像是什么？二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的图像是以 $(h,k)$ 为顶点的开口朝上或朝下的抛物线。

2.二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的对称轴方程是什么？二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的对称轴方程是 $x=h$（对称轴为以$(h,k)$ 为顶点的直线）。

3.二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的零点是什么？当 $y=a(x-h)^2+k=0$ 时，$x=h\pm \sqrt{-\frac{k}{a}}$，所以二次函数$y=a(x-h)^2+k$ 的零点为 $x=h+\sqrt{-\frac{k}{a}}$ 和 $x=h-\sqrt{-\frac{k}{a}}$。

4.二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的单调性是什么？当 $a>0$ 时，二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 开口朝上，单调递增；当$a<0$ 时，二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 开口朝下，单调递减。

中考数学真题二次函数专项练习(带答案)

中考数学真题二次函数一、选择题1．已知点M(−4，a−2) N(−2，a) P(2，a)在同一个函数图象上.则这个函数图象可能是（）A．B．C．D．2．抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1，y1).B(x2，y2)两点.若x1+x2<0.则直线y= ax+k一定经过（）．A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限3．设二次函数y=a(x−m)(x−m−k)(a>0，m，k是实数).则（）A．当k=2时.函数y的最小值为−a B．当k=2时.函数y的最小值为−2aC．当k=4时.函数y的最小值为−a D．当k=4时.函数y的最小值为−2a4．已知二次函数y=ax2−(3a+1)x+3(a≠0).下列说法正确的是()A．点(1，2)在该函数的图象上B．当a=1且−1≤x≤3时.0≤y≤8C．该函数的图象与x轴一定有交点D．当a>0时.该函数图象的对称轴一定在直线x=32的左侧5．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒.经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2.那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是()A．5B．10C．1D．2二、填空题6．在平面直角坐标系xOy中.一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界）.这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图.函数y=(x−2)2(0⩽x⩽3)的图象（抛物线中的实线部分）.它的关联矩形为矩形OABC.若二次函数y=14x2+bx+c(0⩽x⩽3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC.则b=.三、解答题7．设二次函数y=ax2+bx+1.（a≠0.b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：（1）若m=4.求二次函数的表达式；（2）写出一个符合条件的x的取值范围.使得y随x的增大而减小．（3）若在m、n、p这三个实数中.只有一个是正数.求a的取值范围．8．如图.已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1，−2)和B(0，−5)．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y≤−2时.请根据图象直接写出x的取值范围．9．已知二次函数y=−x2+bx+c.（1）当b=4，c=3时.①求该函数图象的顶点坐标.②当−1⩽x⩽3时.求y的取值范围.（2）当x⩽0时.y的最大值为2；当x>0时.y的最大值为3.求二次函数的表达式.10．在二次函数y=x2−2tx+3(t>0)中.（1）若它的图象过点(2，1).则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时.y的最小值为−2.求出t的值：（3）如果A(m−2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上.且a<b<3.求m的取值范围。

中考数学《二次函数》专项练习(附答案解析)

中考数学《二次函数》专项练习（附答案解析）一、综合题1．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（）（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是（），求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．2．如图，抛物线 y =-x2+3x +4 与x轴负半轴相交于A点，正半轴相交于B点，与 y 轴相交于C 点．（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线 BC 对称的点的坐标；（2）在（1）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．3．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．（1）求点A的坐标；（2）若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当b=1，且顶点N在抛物线C1上时，求m的值．5．如图，抛物线G：y=−x2+2mx−m2+m+3的顶点为P(x P，y P)，抛物线G与直线l：x=3交于点Q．（1）x P=，y P=（分别用含m的式子表示）；y P与x P的函数关系式为；（2）求点Q的纵坐标y Q（用含m的式子表示），并求y Q的最大值；（3）随m的变化，抛物线G会在直角坐标系中移动，求顶点P在y轴与l之间移动（含y轴与l）的路径的长．6．如图，抛物线的顶点D的坐标为（﹣1，4），抛物线与x轴相交于A.B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，已知点E（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△CEF的周长最小，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AD，若点P是线段OC上的一动点，过点P作线段AD的垂线，在第二象限分别与抛物线、线段AD相交于点M、N，当MN最大时，求△POM的面积.7．已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A(4,0)，点B(0,4)，ΔABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF=4√5时，求点P的坐标．9．如图1所示，已知抛物线y=−x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点(A左B右)，与y轴交于C点，E为抛物线上一点，且C、E关于抛物线的对称轴对称，作直线AE.（1）求直线AE的解析式；（2）在图2中，若将直线AE沿x轴翻折后交抛物线于点F，则点F的坐标为（直接填空）；（3）点P为抛物线上一动点，过点P作直线PG与y轴平行，交直线AE于点G，设点P的横坐标为m，当S△PGE∶S△BGE=2∶3时，直接写出所有符合条件的m值，不必说明理由.10．综合与探究如图，直线y=−23x+4与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=ax2+43x+c经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为点D．抛物线的对称轴与x轴交于点E．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点M是线段BC上一动点，连接DM并延长交x轴交于点F，当FM：FD=1：4时，求点M的坐标；（3）点P是该抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m，试判断是否存在这样的点P，使∠PAB+∠BCO=90°，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．11．如图，点A，B在函数y=14x2的图像上．已知A，B的横坐标分别为－2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求ΔAOB的面积；（3）若函数y=14x2的图像上存在点P，使得ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半，则这样的点P共有个．12．如图，已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（﹣1，0），与y 轴正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A、B．（1）求一次函数解析式；（2）求顶点P的坐标；，求点M （3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，且tan∠OAM=32坐标；（4）设抛物线的对称轴交x轴于点E，连接AP交y轴于点D，若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点，连接QD、QN，请直接写出QD+QN的最小值．13．如图，抛物线y=ax2+bx+4经过点A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点C，点D是拋物线在x轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点D的横坐标为m．连接AC，BC，DB，DC．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BCD的面积与△AOC的面积和为7时，求m的值；2（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(x+m)(x−3m)图象的顶点为M，图象交x轴于A、14．如图，y关于x的二次函数y=−√33mB两点，交y轴正半轴于D点.以AB为直径作圆，圆心为C.定点E的坐标为(−3，0)，连接ED.(m>0)（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.15．在图1中，抛物线y＝ax2+2ax﹣8（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在B左侧），与y轴负半轴交于点C，OC＝4OB，连接AC，抛物线的对称轴交x轴于点E，交AC于点F．（1）AB的长为，a的值为；（2）图2中，直线ON分别交EF、抛物线于点M、N，OM＝√17，连接NC．①求直线ON的解析式；②证明：NC∥AB；③第四象限存在点P使△BFP与△AOC相似，且BF为△BFP的直角边，请直接写出点P坐标．16．如图，直线AB的解析式为y=−43x+4，抛物线y=−13x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点C(6，0)，点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），当点P在第一象限内的抛物线上时，求△ABP面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点A作直线l//x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△APH绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的坐标.参考答案与解析1．【答案】（1）解：方案一：点B的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为：y=a(x+5)(x−5)．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15(x+5)(x−5)方案2：点B的坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为：y=ax(x−10)．由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15x(x−10)；方案3：点B的坐标为（5，−5），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．设抛物线的解析式为：y=ax2，把点B的坐标（5，−5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15x2；（2）解：方案一：由题意：把x=3代入y=−15(x+5)(x−5)，解得：y=165=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m方案二：由题意：把x=2代入y=−15x(x−10)解得：y=165=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．方案三：由题意：把x=3代入y=−15x2解得：y=−95= −1.8，∴水面上涨的高度为5−1.8= 3.2m．2．【答案】（1）解: 将点D( m，m+1 )代入y=−x2+3x+4中，得：m+1=−m2+3m+4，解得：m=−1或3，∵点D在第一象限，∴m=3，∴点D的坐标为(3，4)；令y=0，则−x2+3x+4=0，解得：x1=−1，x2=4，令x=0，则y=4，由题意得A(-1，0)，B(4，0)，C(0，4)，∴OC=OB=4，BC= 4√2，CD=3，∵点C、点D的纵坐标相等，∴CD∥AB，∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，∴点D关于直线BC的对称点E在y轴上．根据对称的性质知：CD=CE=3 ，∴OE=OC−CE=4−3=1，∴点D关于直线BC对称的点E的坐标为(0，1)；（2）解: 作PF⊥AB于F，DG⊥BC于G，由(1)知OB=OC=4，∠OBC=45°．∵∠DBP=45°，∴∠CBD=∠PBF．∵CD=3，∠DCB=45°，∴CG=DG= 3√22，∵BC= 4√2，∴BG= 4√2−3√22=5√22∴tan∠PBF=tan∠CBD=DGBG =35．设PF=3t，则BF=5t，OF=5t−4．∴P(−5t+4，3t)，∵P点在抛物线上，∴3t=−(−5t+4)2+3(−5t+4)+4解得：t=2225或t=0(舍去)．∴点P的坐标为( −25，6625)．3．【答案】（1）解：在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO= OBOA=3，∴OB=3OA=3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC=OB=3，OD=OA=1，∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．代入解析式为{a+b+c=09a−3b+c=0c=3，解得： {a =−1b =−2c =3．∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3（2）解：①∵抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3，∴对称轴l=﹣ b2a =﹣1，∴E 点的坐标为（﹣1，0）．如图，当∠CEF=90°时，△CEF ∽△COD ．此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；当∠CFE=90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则△EFC ∽△EMP ． ∴EMMP =EFFC =DO OC=13 ，∴MP=3EM ．∵P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t+3）．∵P 在第二象限，∴PM=﹣t 2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t ，∴﹣t 2﹣2t+3=﹣（t ﹣1）（t+3），解得：t 1=﹣2，t 2=﹣3（因为P 与C 重合，所以舍去），∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．∴P （﹣2，3）．∴当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）； ②设直线CD 的解析式为y=kx+b ，由题意，得{−3k +b =0b =1 ，解得： {k =13b =1，∴直线CD 的解析式为：y= 13 x+1．设PM 与CD 的交点为N ，则点N 的坐标为（t ， 13 t+1），∴NM= 13 t+1．∴PN=PM ﹣NM=﹣t 2﹣2t+3﹣（ 13 t+1）=﹣t 2﹣ 73t +2． ∵S △PCD =S △PCN +S △PDN ，∴S △PCD = 12 PN •CM+ 12 PN •OM= 12 PN （CM+OM ）= 12 PN •OC= 12 ×3（﹣t 2﹣ 73t +2）=﹣ 32 （t+76）2+ 12124 ，∴当t=﹣ 76 时，S △PCD 的最大值为 12124 ． 4．【答案】（1）解：∵抛物线C 1：y=ax 2+4ax+4a+b （a ≠0，b ＞0）经过原点O ， ∴0=4a+b ，∴当ax 2+4ax+4a+b=0时，则ax 2+4ax=0，解得：x=0或﹣4，∴抛物线与x 轴另一交点A 坐标是（﹣4，0）（2）解：∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如图1）∴顶点M坐标为（﹣2，b），∵△AMO为等腰直角三角形，∴b=2，∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，∴a（0+2）2+2=0，解得：a=﹣12，∴抛物线C1：y=﹣12x2﹣2x（3）解：∵b=1，抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，（如图2）∴a=﹣14，∴y=﹣14（x+2）2+1=﹣14x2﹣x，设N（n，﹣1），又因为点P（m，0），∴n﹣m=m+2，∴n=2m+2即点N的坐标是（2m+2，﹣1），∵顶点N在抛物线C1上，∴﹣1=﹣14（2m+2+2）2+1，解得：m=﹣2+ √2或﹣2﹣√2 5．【答案】（1）m；m+3；y P=x P+3（2）解：∵抛物线 G ：y =−x 2+2mx −m 2+m +3 与直线 l ：x =3 交于点 Q ， ∴把 x =3 代入 y =−x 2+2mx −m 2+m +3 ，得 y Q =−m 2+7m −6 ．∵y Q =−m 2+7m −6=−(m −72)2+254，∴当 m =72 时， y Q 的最大值为 254 ．（3）解：∵点 P 在 y 轴与 l 之间沿直线 l 1：y =x +3 运动，如图，设直线 l 1：y =x +3 与 y 轴和直线 l 分别交于点 B 和点 P 1 ，线段 BP 1 的长即为点 P 路径长．把 x B =0 ， x P 1=3 代入 y =x +3 得点 B(0，3) ，点 P 1(3，6) ，过点 P 1 作 P 1M ⊥y 轴，垂足为M ，则 P 1M =3，BM =3 ，在 Rt △BMP 1 中， BP 1=√BM 2+MP 12=√32+32=3√2 ，∴点 P 路径长为 3√2 ．6．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：y ＝a （x+1）2+4，把x ＝0，y ＝3代入得：3＝a （0+1）2+4，解得：a ＝﹣1 ∴抛物线的表达式为y ＝﹣（x+1）2+4＝﹣x 2﹣2x+3（2）解：存在.如图1，作C 关于对称轴的对称点C ′，连接EC ′交对称轴于F ，此时CF+EF的值最小，则△CEF的周长最小.∵C（0，3），∴C′（﹣2，3），易得C′E的解析式为：y＝﹣3x﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣3×（﹣1）﹣3＝0，∴F（﹣1，0）（3）解：如图2，∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），易得AD的解析式为：y＝2x+6，过点D作DH⊥x轴于H，过点M作MG⊥x轴交AD于G，AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，DH＝4，∴AD＝√AH2+DH2=√22+42=2√5，设M（m，﹣m2﹣2m+3），则G（m，2m+6），（﹣3≤m≤﹣1），∴MG＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3，由题易知△MNG∽△AHD，∴MGMN =ADAH即MN=AH×MGAD =22√5=−√55(m+2)2+√55∵√55<0∴当m ＝﹣2时，MN 有最大值；此时M （﹣2，3），又∵C （0，3），连接MC ∴MC ⊥y 轴∵∠CPM ＝∠HAD ，∠MCP ＝∠DHA ＝90°， ∴△MCP ∽△DHA ， ∴PCAH =MCDH 即 PC2=24 ∴PC ＝1∴OP ＝OC ﹣PG ＝3﹣1＝2， ∴S △POM ＝ 12×2×2 ＝2，7．【答案】（1）解：由题意，得 {0=16a −8a +c 4=c解得 {a =−12c =4∴所求抛物线的解析式为：y=﹣ 12 x 2+x+4（2）解：设点Q 的坐标为（m ，0），过点E 作EG ⊥x 轴于点G ．由﹣ 12 x 2+x+4=0，得x 1=﹣2，x 2=4∴点B 的坐标为（﹣2，0） ∴AB=6，BQ=m+2 ∵QE ∥AC ∴△BQE ∽△BAC∴EG CO =BQBA 即 EG4=m+26 ∴EG =2m+43∴S △CQE =S △CBQ ﹣S △EBQ = 12 BQ •CO ﹣ 12 BQ •EG = 12 （m+2）（4﹣2m+43）= −13m 2+23m +83 =﹣ 13 （m ﹣1）2+3 又∵﹣2≤m ≤4∴当m=1时，S △CQE 有最大值3，此时Q （1，0）（3）解：存在．在△ODF 中．（ⅰ）若DO=DF ∵A （4，0），D （2，0） ∴AD=OD=DF=2又在Rt △AOC 中，OA=OC=4 ∴∠OAC=45度 ∴∠DFA=∠OAC=45度∴∠ADF=90度．此时，点F 的坐标为（2，2）由﹣ 12 x 2+x+4=2，得x 1=1+ √5 ，x 2=1﹣ √5此时，点P 的坐标为：P （1+ √5 ，2）或P （1﹣ √5 ，2）．（ⅱ）若FO=FD ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M由等腰三角形的性质得：OM= 12OD=1∴AM=3∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3∴F（1，3）由﹣12x2+x+4=3，得x1=1+ √3，x2=1﹣√3此时，点P的坐标为：P（1+ √3，3）或P（1﹣√3，3）．（ⅲ）若OD=OF∵OA=OC=4，且∠AOC=90°∴AC= 4√2∴点O到AC的距离为2√2，而OF=OD=2 <2√2，与OF≥2 √2矛盾，所以AC上不存在点使得OF=OD=2，此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形所求点P的坐标为：P（1+ √5，2）或P（1﹣√5，2）或P（1+ √3，3）或P（1﹣√3，3）8．【答案】（1）解：∵C为OB的中点，点B(0,4)，∴点C(0,2)，又∵M为AC中点，点A(4,0)，0+4 2=2,2+02=1，∴点M(2,1)（2）解：∵⊙P与直线AD，则∠CAD=90°，设：∠CAO=α，则∠CAO=∠ODA=∠PEH=α，tan∠CAO=OCOA =12=tanα，则sinα=√5，cosα=√5，AC=√10，则CD=ACsin∠CDA =√10sinα=10，则点D(0,−8)，设直线AD的解析式为：y=mx+n，将点A、D的坐标分别代入得：{0=4m+n−8=n，解得：{m=2n=−8，所以直线AD的表达式为：y=2x−8（3）解：设抛物线的表达式为：y=a(x−2)2+1，将点B坐标代入得：4=a(0-2)2+1，解得：a=34，故抛物线的表达式为：y=34x2−3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH=12EF=2√5，cos∠PEH=EHPE =2√5PE=cosα=√5，解得：PE=5，设点P(x,34x2−3x+4)，则点E(x,2x−8)，则PE=34x2−3x+4−2x+8=5，解得x=143或2(舍去2)，则点P(143,193) .9．【答案】（1）解：∵抛物线的解析式为y=−x2+4x+5，∴该抛物线的对称轴为：x=−42×(−1)=2，令y=−x2+4x+5中x=0，则y=5，∴点C的坐标为(0，5)，∵C、E关于抛物线的对称轴对称，∴点E的坐标为(2×2−0，5)，即(4，5)，令y =−x 2+4x +5中y =0，则−x 2+4x +5=0，解得：x 1=−1，x 2=5，∴点A 的坐标为(−1，0)、点B 的坐标为(5，0)，设直线AE 的解析式为y =kx +b ，将点A(−1，0)、E(4，5)代入y =kx +b 中，得：{0=−k +b 5=4k +b ，解得：{k =1b =1，∴直线AE 的解析式为y =x +1；（2）（6，-7）（3）解：符合条件的m 值为0、3、3−√412和3+√412.10．【答案】（1）解：当x =0时，得y =4， ∴点C 的坐标为（0，4），当y =0时，得−23x +4=0，解得：x =6， ∴点B 的坐标为（6，0），将B ，C 两点坐标代入，得{36a +43×6+c =0，c =4. 解，得{a =−13，c =4.∴抛物线线的表达式为y =−13x 2+43x +4.∵y =−13x 2+43x +4=−13(x 2−4x +4−4)+4=−13(x −2)2+163.∴顶点D 坐标为(2，163)．（2）解：作MG ⊥x 轴于点G ，∵∠MFG =∠DFE ，∠MGF =∠DEF =90°， ∴ΔMGF ∽ΔDEF ．∴FM FD =MG DE．∴14=MG163．∴MG =43当y =43时，43=−23x +4 ∴x =4．∴点M 的坐标为(4，43)．（3）解：∵∠PAB +∠BCO =90°，∠CBO +∠BCO =90°， ∴∠PAB =∠CBO ，∵点B 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（0，4）， ∴tan ∠CBO =46=23， ∴tan ∠PAB =23，过点P 作PQ ⊥AB ，当点P 在x 轴上方时，−13m 2+4m +12m +2=23解得m=4符合题意，当点P 在x 轴下方时，13m 2−4m −12m +2=23解得m=8符合题意， ∴存在，m 的值为4或8．11．【答案】（1）解：∵A ，B 是抛物线 y =14x 2 上的两点，∴当 x =−2 时， y =14×(−2)2=1 ；当 x =4 时， y =14×42=4 ∴点A 的坐标为（-2，1），点B 的坐标为（4，4）设直线AB 的解析式为 y =kx +b ，把A ，B 点坐标代入得 {−2k +b =14k +b =4解得， {k =12b =2所以，直线AB 的解析式为： y =12x +2 ；（2）解：对于直线AB ： y =12x +2 当 x =0 时， y =2 ∴OC =2∴S ΔAOB =S ΔAOC +S ΔBOC = 12×2×2+12×2×4 =6 （3）412．【答案】（1）解：∵A （﹣1，0）， ∴OA=1 ∵OB=3OA ， ∴B （0，3）∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3（2）解：∵二次函数y=ax 2﹣2ax+c （a ＜0）的图象与x 轴负半轴交于点A （﹣1，0），与y 轴正半轴交于点B （0，3）， ∴c=3，a=﹣1，∴二次函数的解析式为：y=﹣x 2+2x+3 ∴抛物线y=﹣x 2+2x+3的顶点P （1，4）（3）解：设平移后的直线的解析式为：y=3x+m ∵直线y=3x+m 过P （1，4）， ∴m=1，∴平移后的直线为y=3x+1 ∵M 在直线y=3x+1，且设M （x ，3x+1）①当点M 在x 轴上方时，有 3x+1x+1=32 ，∴x =13 ， ∴M 1(13,2)②当点M 在x 轴下方时，有 −3x+1x+1=32 ，∴x =−59 ， ∴M 2(−59 ， −23)（4）解：作点D 关于直线x=1的对称点D ′，过点D ′作D ′N ⊥PD 于点N ，当﹣x 2+2x+3=0时，解得，x=﹣1或x=3， ∴A （﹣1，0）， P 点坐标为（1，4），则可得PD 解析式为：y=2x+2，根据ND ′⊥PD ，设ND ′解析式为y=kx+b ，则k=﹣ 12 ，将D ′（2，2）代入即可求出b 的值，可得函数解析式为y=﹣ 12 x+3，将两函数解析式组成方程组得： {y =−12x +3y =2x +2 ，解得 {x =25y =145 ，故N （ 25 ， 145 ），由两点间的距离公式：d= √(2−25)2+(2−145)2 = 4√55， ∴所求最小值为4√5513．【答案】（1）解：把A （-1,0），B （2,0）代入抛物线解析式得： {a −b +4=04a +2b +4=0，解得： {a =−2b =2∴抛物线的解析式为： y =−2x 2+2x +4 （2）解：如图，连接OD ，由 y =−2x 2+2x +4 可得：对称轴为 x =−22×(−2)=12 ，C （0,4）∵D(m,−2m 2+2m +4)(12<m <2) ，A （-1,0），B （2,0） ∴∴S △BCD =S △OCD +S △BCD −S △OBC=12×4m +12×2·(−2m 2+4m +2)−12×2×4=−2m 2+4m S △AOC =12×1×4=2又∵S △BCD +S △AOC =72 ∴−2m 2+4m +2=72 ，∴4m 2−8m +3=0解得： m 1=12 ， m 2=32 ，当 m 1=12 时，点在对称轴上，不合题意，舍去，所以取 m 2=32 ，综上， m =32（3）解： M 1(0,0) ， M 2(4,0) ， M 3(√142,0) ， M 4(−√142,0)14．【答案】（1）解：令y =0，则−√33m (x +m)(x −3m)=0，解得x 1=−m ，x 2=3m ；令x =0，则y =−√33m (0+m)(0−3m)=√3m .故A(−m ，0)，B(3m ，0)，D(0，√3m).（2）解：设直线ED 的解析式为y =kx +b ，将E(−3，0)，D(0，√3m)代入得：{−3k +b =0b =√3m解得，k =√33m ，b =√3m .∴直线ED 的解析式为y =√33mx +√3m .将y =−√33m (x +m)(x −3m)化为顶点式：y =−√33m (x −m)2+4√33m . ∴顶点M 的坐标为(m ，4√33m).代入y =√33mx +√3m 得：m 2=m∵m >0，∴m =1.所以，当m =1时，M 点在直线DE 上. 连接CD ，C 为AB 中点，C 点坐标为C(m ，0). ∵OD =√3，OC =1， ∴CD =2，D 点在圆上又∵OE =3，DE 2=OD 2+OE 2=12， EC 2=16，CD 2=4， ∴CD 2+DE 2=EC 2.∴∠EDC =90°∴直线ED 与⊙C 相切.（3）解：当0<m <3时，S △AED =12AE ⋅OD =√32m(3−m)S =−√32m 2+3√32m . 当m >3时，S ΔAED =12AE ⋅OD =√32m(m −3).即S =√32m 2_3√32m . S 关于m 的函数图象的示意图如右：15．【答案】（1）6；1（2）解：①由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为x＝﹣1，故设点M的坐标为（﹣1，m），则OM＝12+m2＝（√17）2，解得m＝4（舍去）或﹣4，故点M的坐标为（﹣1，﹣4），由点O、M的坐标得，直线OM（即ON）的表达式为y＝4x②，故答案为y＝4x；②联立①②并解得{x=−2y=−8，故点N（﹣2，﹣8），∵点C、N的纵坐标相同，故NC∥x轴，即NC∥AB；③当∠BFP为直角时，由A（﹣4，0），C（0，-8）可求AC解析式为y＝-2x﹣8，把x=-1，代入y＝-2x﹣8得，y＝-6，点F的坐标为：（-1，-6），由点F、B的坐标得，直线BF的表达式为y＝2x﹣4，当x＝﹣2时，y＝2x﹣4＝﹣8，故点N在直线BF上，连接FN，过点F作FP⊥BF交NC的延长线于点K，由直线BF 的表达式知，tan ∠BNK ＝2，则tan ∠FKN ＝ 12 ，故设直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x+t ，将点F 的坐标代入上式并解得t ＝﹣ 132 ，则直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x ﹣ 132 ，故设点P 的坐标为（m ，﹣ 12 m ﹣ 132 ），在Rt △AOC 中，tan ∠ACO ＝ AOCO ＝ 12 ，则tan ∠OCA ＝2， ∵△BFP 与△AOC 相似，故∠FBP ＝∠ACO 或∠OAC ，则tan ∠FBP ＝tan ∠ACO 或tan ∠OAC ，即tan ∠FBP ＝ 12 或2，由点B 、F 的坐标得：BF ＝ √32+62=3√5 ，则PF ＝BFtan ∠FBP ＝3√52或6 √5 ，由点P 、F 的坐标得：PF 2＝（m+1）2+（﹣ 12 m ﹣ 132 +6）2＝（ 3√52）2或（6 √5 ）2，解得m ＝2或﹣4（舍去）或11或﹣13（舍去），故点P 的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣ 152 ）；当∠PBF 为直角时，过点B 作BP ⊥BF ，同理可求直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x+1，故设点P 的坐标为（m ，﹣ 12 m ﹣1），同理可得，PB ＝BFtan ∠FBP ＝3√52或6 √5 ，由点P 、B 的坐标得：PB 2＝（m-2）2+（﹣ 12 m+1）2＝（3√52）2或（6 √5 ）2，解得m＝-1（舍去）或5或14或﹣10（舍去），点P的坐标为（5，﹣32）或（14，-6）；综上，点P的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣152）或（5，﹣32）或（14，-6）；16．【答案】（1）解：当x=0时，y=−43x+4=4，则A(0，4)，把A(0，4)，C(6，0)代入y=−13x2+bx+c得{−12+6b+c=0c=4，解得{b=43c=4，∴抛物线解析式为y=−13x2+43x+4；（2）连接OP，设P(m，−13m2+43m+4)，当y=0时，−43x+4=0，解得x=3，则B(3，0)，S△ABP=S△AOP+S△POB−S△AOB=12⋅4⋅m+12⋅3⋅(−13m2+43m+4)−12⋅3⋅4=−12m2+4m，=−12(m−4)2+8，当m=4时，△ABP面积有最大值，最大值为8，此时P点坐标为(4，4)；（3）在Rt△OAB中，AB=√32+42=5，当点P′落在x轴上，如图2，∵△APH绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在x 轴上∴P′H′=PH=4−(−13m2+43m+4)=13m2−43m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90∘，∵∠P′BH′=∠ABO，∴△BP ′H ′ ∽ △BAO ，∴P ′H ′ ： OA =BH ′ ：OB ，即 (13m 2−43m) ： 4=BH ′ ：3， ∴BH ′=14m 2−m ， ∵AH ′+BH ′=AB ，∴m +14m 2−m =5 ，解得 m 1=2√5 ， m 2=−2√5( 舍去 ) ，此时P 点坐标为 (2√5，−8+8√53) ；当点 P ′ 落在y 轴上，如图3，同理可得 P ′H ′=PH =13m 2−43m ， AH ′=AH =m ， ∠P ′H ′A =∠PHA =90∘ ， ∵∠P ′AH ′=∠BAO ， ∴△AH ′P ′′ ∽ △AOB ，∴P ′H ′ ： OB =AH ′ ：AO ，即 (13m 2−43m) ： 3=m ：4，整理得 4m 2−25m =0 ，解得 m 1=254， m 2=0( 舍去 ) ，此时P 点坐标为 (254，−4348) ；综上所述，P 点坐标为 (2√5，−8+8√53) 或 (254，−4348) ；。

中考数学总复习《二次函数的实际应用》专项测试卷带答案

中考数学总复习《二次函数的实际应用》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【A层·基础过关】1.如图1,质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧(已知自然状态下,弹簧的初始长度为12cm).从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中(不计空气阻力,弹簧在整个过程中始终发生弹性形变),得到小球的速度v( cm/s)和弹簧被压缩的长度Δl(cm)之间的关系图象如图2所示.根据图象,下列说法正确的是( )A.小球从刚接触弹簧就开始减速B.当弹簧被压缩至最短时,小球的速度最大C.当小球的速度最大时,弹簧的长度为2 cmD.当小球下落至最低点时,弹簧的长度为6 cm2.在如图所示的平面直角坐标系中,有一斜坡OA,从点O处抛出一个小球,落到点)处.小球在空中所经过的路线是抛物线y=-x2+bx的一部分.则抛物线最高点A(3,32的坐标是.3.(2024·自贡中考)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6 m,OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是m2.4.距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体,物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系h=-5t2+mt+n,其图象如图所示,物体运动的最高点离地面20米,物体从发射到落地的运动时间为3秒.设w表示0秒到t 秒时h的值的“极差”(即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差),则当0≤t≤1时,w 的取值范围是;当2≤t≤3时,w的取值范围是.5.(2024·广东中考)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023年农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝,销往国外,若按每吨5万元出售,平均每天可售出100吨.市场调查反映:如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大?并求出其最大值.6.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗,市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元,一盒猪肉粽加两盒豆沙粽的进价为100元.(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价;(2)在销售中,某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时,每天可售出100盒,若每盒售价提高1元,则每天少售出2盒.设每盒猪肉粽售价为a元,销售猪肉粽的利润为w元,求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润.【B层·能力提升】7.(2024·黔南一模)如图1是某公园喷水头喷出的水柱.如图2是其示意图,点O处有一个喷水头,距离喷水头8 m的M处有一棵高度是2.3 m的树,距离这棵树10 m 的N处有一面高2.2 m的围墙(点O,M,N在同一直线上).建立如图2所示的平面直角坐标系.已知浇灌时,喷水头喷出的水柱的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a<0).某次喷水浇灌时,测得x与y的几组数据如表:x02610121416y00.882.162.802.882.802.56(1)根据上述数据,求这些数据满足的函数关系式.(2)判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树,并请说明理由.(3)在另一次喷水浇灌时,已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04x2+bx.假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树,且不会浇到墙外,求出b的取值范围.8.(2024·无锡模拟)某服饰有限公司生产了一款夏季服装,通过实体商店和网上商店两种途径进行销售,销售一段时间后,该公司对这种商品的销售情况,进行了为期30天的跟踪调查,其中实体商店的日销售量y (百件)与时间(t 为整数,单位:天)的函数关系为:y 1=-15t 2+6t ,网上商店的日销售量(百件)与时间(t 为整数,单位:天)的部分对应值如图所示.(1)求y 2与t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围;(2)在跟踪调查的30天中,设实体商店和网上商店的日销售总量为y (百件),求y 与t 的函数关系式;当t 为何值时,日销售总量y 达到最大?并求出此时的最大值.9.(2024·扬州模拟)如图,某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练,水面边缘点E 的坐标为(-1,-10),运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O 的抛物线.在跳某个规定动作时,运动员在空中最高处A 点的坐标为(34,916),正常情况下,运动员在距水面高度5米之前,必须完成规定的翻腾、打开动作,并调整好入水姿势,否则就会失误,运动员入水后,运动路线为另一条抛物线.(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式,并求出入水处点B的坐标.(2)若运动员在空中调整好入水姿势时,恰好距点E的水平距离为4米,问该运动员此次跳水会不会失误?通过计算说明理由.10.(2024·泰州一模)制作简易水流装置设计方案如图,CD是进水通道,AB是出水通道,OE是圆柱形容器的底面直径,从CD将圆柱形容器注满水,内部安装调节器,水流从B处流出且呈抛物线形.以点O为坐标原点,EO所在直线为x轴,OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy,水流最终落到x轴上的点M处.示意图已知AB∥x轴,AB=5 cm,OM=15 cm,点B为水流抛物线的顶点,点A,B,O,E,M在同一平面内,水流所在抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+15(a≠0)任务一求水流抛物线的函数表达式;任务二现有一个底面半径为3 cm,高为11 cm的圆柱形水杯,将该水杯底面圆的圆心恰好在M处,水流是否能流到圆柱形水杯内?请通过计算说明理由.(圆柱形水杯的厚度忽略不计)任务三还是任务二的水杯,水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动,为了使水流能流到圆柱形水杯内,直接写出OP长的取值范围.请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三.【C层·素养挑战】11.(2024·吉林中考)小明利用一次函数和二次函数知识,设计了一个计算程序,其程序框图如图(1)所示,输入x的值为-2时,输出y的值为1;输入x的值为2时,输出y的值为3;输入x的值为3时,输出y的值为6.(1)直接写出k,a,b的值.(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象,如图(2).Ⅰ.当y随x的增大而增大时,求x的取值范围.Ⅱ.若关于x的方程ax2+bx+3-t=0(t为实数),在0<x<4时无解,求t的取值范围.Ⅲ.若在函数图象上有点P,Q(P与Q不重合).P的横坐标为m,Q的横坐标为-m+1.小明对P,Q之间(含P,Q两点)的图象进行研究,当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化时,直接写出m的取值范围.参考答案【A层·基础过关】1.(2024·遵义红花岗一模)如图1,质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧(已知自然状态下,弹簧的初始长度为12cm).从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中(不计空气阻力,弹簧在整个过程中始终发生弹性形变),得到小球的速度v( cm/s)和弹簧被压缩的长度Δl(cm)之间的关系图象如图2所示.根据图象,下列说法正确的是(D)A.小球从刚接触弹簧就开始减速B.当弹簧被压缩至最短时,小球的速度最大C.当小球的速度最大时,弹簧的长度为2 cmD.当小球下落至最低点时,弹簧的长度为6 cm2.(2024·青海中考改编)在如图所示的平面直角坐标系中,有一斜坡OA,从点O处抛出一个小球,落到点A(3,32)处.小球在空中所经过的路线是抛物线y=-x2+bx的一部分.则抛物线最高点的坐标是(74,4916).3.(2024·自贡中考)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE= 6.6 m,OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是46.4m2.4.距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体,物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间t(秒)之间满足函数关系h=-5t2+mt+n,其图象如图所示,物体运动的最高点离地面20米,物体从发射到落地的运动时间为3秒.设w表示0秒到t 秒时h的值的“极差”(即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差),则当0≤t≤1时,w 的取值范围是0≤w≤5;当2≤t≤3时,w的取值范围是5≤w≤20.5.(2024·广东中考)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023年农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝,销往国外,若按每吨5万元出售,平均每天可售出100吨.市场调查反映:如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大?并求出其最大值.【解析】设该果商定价x万元时每天的“利润”为w万元w=(x-2)[100+50(5-x)]=-50(x-4.5)2+312.5∵-50<0∴w随x的增大而减小∴当x=4.5时,w有最大值,最大值为312.5万元.答:该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大,其最大值为312.5万元.6.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗,市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元,一盒猪肉粽加两盒豆沙粽的进价为100元.(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价;(2)在销售中,某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时,每天可售出100盒,若每盒售价提高1元,则每天少售出2盒.设每盒猪肉粽售价为a元,销售猪肉粽的利润为w元,求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润.【解析】(1)设每盒猪肉粽的进价为x元,每盒豆沙粽的进价为y元由题意得{x-y=10x+2y=100,解得{x=40 y=30∴每盒猪肉粽的进价为40元,每盒豆沙粽的进价为30元;(2)w=(a-40)[100-2(a-50)]=-2(a-70)2+1 800,∵-2<0,∴当a=70时,w有最大值,最大值为1 800元.∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1 800元.【B层·能力提升】7.(2024·黔南一模)如图1是某公园喷水头喷出的水柱.如图2是其示意图,点O处有一个喷水头,距离喷水头8 m的M处有一棵高度是2.3 m的树,距离这棵树10 m 的N处有一面高2.2 m的围墙(点O,M,N在同一直线上).建立如图2所示的平面直角坐标系.已知浇灌时,喷水头喷出的水柱的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a<0).某次喷水浇灌时,测得x与y的几组数据如表:x02610121416y00.882.162.802.882.802.56(1)根据上述数据,求这些数据满足的函数关系式.(2)判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树,并请说明理由.(3)在另一次喷水浇灌时,已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04x2+bx.假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树,且不会浇到墙外,求出b的取值范围.【解析】(1)由题意,根据抛物线过原点,设抛物线解析式为y =ax 2+bx 把x =2,y =0.88和x =6,y =2.16代入y =ax 2+bx 得:{4a +2b =0.8836a +6b =2.16解得{a =-0.02b =0.48∴抛物线解析式为y =-0.02x 2+0.48x. (2)由题意,当x =8时,y =-0.02×82+0.48×8=2.56. ∵2.56>2.3∴喷水头喷出的水柱能越过这棵树. (3)∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树 ∴当x =8时,y >2.3 即-0.04×82+8b >2.3 ∴b >243400∵喷水头喷出的水柱不会浇到墙外 ∴当x =18时,y <2.2 即-0.04×182+18b <2.2,∴b <379450抛物线对称轴为x =-b2×(-0.04)=b2×0.04∵喷水头喷出的水柱能够越过这棵树,且不会浇到墙外 ∴对称轴所在直线在围墙与喷水头中点的左侧. ∴b 2×0.04<182=9,∴b <1825.∴243400<b <1825.8.(2024·无锡模拟)某服饰有限公司生产了一款夏季服装,通过实体商店和网上商店两种途径进行销售,销售一段时间后,该公司对这种商品的销售情况,进行了为期30天的跟踪调查,其中实体商店的日销售量y (百件)与时间(t 为整数,单位:天)的函数关系为:y 1=-15t 2+6t ,网上商店的日销售量(百件)与时间(t 为整数,单位:天)的部分对应值如图所示.(1)求y 2与t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围;(2)在跟踪调查的30天中,设实体商店和网上商店的日销售总量为y (百件),求y 与t 的函数关系式;当t 为何值时,日销售总量y 达到最大?并求出此时的最大值. 【解析】(1)当0≤t ≤10时,设y 2=kt ∵(10,40)在其图像上,∴10k =40,∴k =4 ∴y 2与t 的函数关系式为y 2=4t ; 当10≤t ≤30时,设y 2=mt +n 将(10,40),(30,60)代入得{10m +n =4030m +n =60,解得{m =1n =30∴y 2与t 的函数关系式为y 2=t +30综上所述,y 2与t 的函数关系式为y 2={4t (0≤t ≤10且为整数)t +30(10<t ≤30且为整数);(2)依题意得y =y 1+y 2,当0≤t ≤10时,y =-15t 2+6t +4t =-15t 2+10t =-15(t -25)2+125,∴t =10时,y最大=80;当10<t ≤30时,y =-15t 2+6t +t +30=-15t 2+7t +30=-15(t -352)2+3654∵t 为整数,∴t =17或18时,y 最大=91.2∵91.2>80,∴当t =17或18时,日销售总量y 达到最大,最大值为91.2百件.9.(2024·扬州模拟)如图,某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练,水面边缘点E 的坐标为(-1,-10),运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O 的抛物线.在跳某个规定动作时,运动员在空中最高处A 点的坐标为(34,916),正常情况下,运动员在距水面高度5米之前,必须完成规定的翻腾、打开动作,并调整好入水姿势,否则就会失误,运动员入水后,运动路线为另一条抛物线.(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式,并求出入水处点B 的坐标. (2)若运动员在空中调整好入水姿势时,恰好距点E 的水平距离为4米,问该运动员此次跳水会不会失误?通过计算说明理由. 【解析】∵运动员在空中最高处A 点的坐标为(34,916),∴A 点为抛物线的顶点,∴设该抛物线的解析式为y =a (x -34)2+916∵该抛物线经过点(0,0),∴916a =-916∴a =-1∴抛物线的解析式为y =-(x -34)2+916=-x 2+32x. ∵跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练 ∴令y =-10,则-x 2+32x =-10∴x =4或x =-52,∴B (4,-10);(2)该运动员此次跳水不会失误,理由:∵运动员在空中调整好入水姿势时,恰好距点E 的水平距离为4米,点E 的坐标为(-1,-10),∴运动员在空中调整好入水姿势时的点的横坐标为3当x=3时,y=-32+3×32=-92∴运动员距水面高度为10-92=5.5(米)∵5.5>5,∴该运动员此次跳水不会失误.10.(2024·泰州一模)制作简易水流装置设计方案如图,CD是进水通道,AB是出水通道,OE是圆柱形容器的底面直径,从CD将圆柱形容器注满水,内部安装调节器,水流从B处流出且呈抛物线形.以点O为坐标原点,EO所在直线为x轴,OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy,水流最终落到x轴上的点M处.示意图已知AB∥x轴,AB=5 cm,OM=15 cm,点B为水流抛物线的顶点,点A,B,O,E,M在同一平面内,水流所在抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+15(a≠0)任务一求水流抛物线的函数表达式;任务二现有一个底面半径为3 cm,高为11 cm的圆柱形水杯,将该水杯底面圆的圆心恰好在M处,水流是否能流到圆柱形水杯内?请通过计算说明理由.(圆柱形水杯的厚度忽略不计)任务还是任务二的水杯,水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动,为了使水流能流到圆柱形水杯内,直接写出OP长的取值范围.三请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三.【解析】任务一:∵AB∥x轴,AB=5 cm,点B为水流抛物线的顶点,∴抛物线的对称轴为x=5.∴-b=5.∴b=-10a.2a把点M(15,0)代入抛物线y=ax2+bx+15得:15a+b+1=0把b=-10a代入15a+b+1=0 得:15a-10a+1=0,解得a=-1,∴b=25x2+2x+15.∴水流抛物线的函数表达式为y=-15任务二:圆柱形水杯最左端到点O的距离是15-3=12,当x=12时×122+2×12+15=10.2,∵11>10.2y=-15∴水流不能流到圆柱形水杯内.任务三:2+3√5<OP<8+3√5.【C层·素养挑战】11.(2024·吉林中考)小明利用一次函数和二次函数知识,设计了一个计算程序,其程序框图如图(1)所示,输入x的值为-2时,输出y的值为1;输入x的值为2时,输出y的值为3;输入x的值为3时,输出y的值为6.(1)直接写出k,a,b的值.(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象,如图(2).Ⅰ.当y 随x 的增大而增大时,求x 的取值范围.Ⅱ.若关于x 的方程ax 2+bx +3-t =0(t 为实数),在0<x <4时无解,求t 的取值范围. Ⅲ.若在函数图象上有点P ,Q (P 与Q 不重合).P 的横坐标为m ,Q 的横坐标为-m +1.小明对P ,Q 之间(含P ,Q 两点)的图象进行研究,当图象对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化时,直接写出m 的取值范围. 【解析】(1)∵x =-2<0 ∴将x =-2,y =1代入y =kx +3 得-2k +3=1,解得k =1. ∵x =2>0,x =3>0∴将x =2,y =3,x =3,y =6代入 y =ax 2+bx +3得{4a +2b +3=39a +3b +3=6,解得{a =1b =-2. (2)Ⅰ.∵k =1,a =1,b =-2∴一次函数解析式为y =x +3,二次函数解析式为y =x 2-2x +3. 当x >0时,y =x 2-2x +3,对称轴为直线x =1,开口向上 ∴当x ≥1时,y 随x 的增大而增大; 当x ≤0时,y =x +3,k =1>0∴当x ≤0时,y 随x 的增大而增大. 综上,x 的取值范围为x ≤0或x ≥1.Ⅱ.∵ax 2+bx +3-t =0∴ax 2+bx +3=t 在0<x <4时无解∴问题转化为抛物线y =x 2-2x +3与直线y =t 在0<x <4时无交点.∵对于y=x2-2x+3,当x=1时,y=2∴顶点为(1,2),如图:∴当t=2时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时正好有一个交点;当t<2时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时没有交点.当x=4时,y=16-8+3=11∴当t≥11时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时没有交点∴当t<2或t≥11时,抛物线y=x2-2x+3与直线y=t在0<x<4时没有交点即当t<2或t≥11时,关于x的方程ax2+bx+3-t=0(t为实数),在0<x<4时无解.Ⅲ.∵x P=m,x Q=-m+1∴m+(-m+1)2=1 2∴点P,Q关于直线x=12对称.当x=1时,y最小值=1-2+3=2,当x=0时,y最大值=3.∵图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化,而当x=2时,y=3,当x=-1时,y=2∴①当m>12时,如图:由题意得{-1≤-m+1≤01≤m≤2∴1≤m≤2;时,如图:②当m<12由题意得{-1≤m≤01≤-m+1≤2∴-1≤m≤0.综上,-1≤m≤0或1≤m≤2.。

2023年九年级数学中考专题训练——二次函数的最值 (附答案))

2023年中考专题训练——二次函数的最值1．已知，二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，点A 的坐标为()1,0-，且OB OC =． (1)求二次函数的解析式；(2)当04x ≤≤时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称．在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似，且PC 与PO 是对应边？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线2323333y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点B 作直线BD ∥直线AC ，交抛物线y 于另一点D ，点P 为直线AC 上方抛物线上一动点．(1)求线段AB 的长．(2)过点P 作PF y ∥轴交AC 于点Q ，交直线BD 于点F ，过点P 作PE AC ⊥于点E ，求233PE PF +的最大值及此时点P 的坐标． (3)如图2，将抛物线2323333y x x =--+向右平移3个单位得到新抛物线y '，点M 为新抛物线上一点，点N 为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时点N 的坐标，并写出其中一个点N 的坐标的求解过程． 3．已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过点(3,0)，且对称轴为直线1x =．(1)求b c +的值；(2)当43x -≤≤时，求y 的最大值；(3)平移抛物线2y x bx c =+-，使其顶点始终在二次函数221y x x =--上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值．4．已知关于x 的一元二次方程()()121x x m --=+（m 为常数）．（1）若它的一个实数根是方程()2140x --=的根，则m =_____，方程的另一个根为_____；（2）若它的一个实数根是关于x 的方程()240x m --=的根，求m 的值；（3）若它的一个实数根是关于x 的方程()240x n --=的根，求m n +的最小值．5．如图，抛物线23y ax bx =++交x 轴于()3,0A ，()1,0B -两点，交y 轴于点C ，动点P 在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P ，B ，C 为顶点的三角形周长最小时，求点P 的坐标及PBC 的周长；（3）若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q ，使得以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6．平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），它的图象与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧）．（1）若AB ＝5，交y 轴于点C ，点C 在y 轴负半轴上． ①求二次函数的解析式；②若自变量x 的值增加4时，对应的函数值y 增大，求满足题意的自变量x 的取值范围．（2）当-1≤x ≤1时，函数值y 有最小值为﹣a 2，求a 的值（其中a 为二次函数的二次项系数）．7．已知直线1y kx =+经过点()2,3，与抛物线2y x bx c =++的对称轴交于点1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭（1）求k ，b 的值；（2）抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()12,0,0x x 且2139x x ≤-<，若22123p x x =-，求p 的最大值；（3）当12x -<<时，抛物线2y x bx c =++与直线1y kx =+有且只有一个公共点，直接写出c 的取值范围．8．如图，直线:l y m =-与y 轴交于点A ，直线:a y x m =+与y 轴交于点B ，抛物线2y x mx =+的顶点为C ，且与x 轴左交点为D （其中0m >）．（1）当12AB =时，在抛物线的对称轴上求一点P 使得BOP △的周长最小；（2）当点C 在直线l 上方时，求点C 到直线l 距离的最大值；（3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”．当2021m =时，求出在抛物线和直线a 所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ∥x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PDE 周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c =++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．10．如图，抛物线2y x bx c =-++过点()3,2A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为()4,m ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值；（3）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ∠=︒？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于3,0,()(,0)4A B -两点，与y 轴交于点C ，连接,AC BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．求线段PN 的最大值．（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以,,A C Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标：若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝－1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式（2）若直线y ＝mx ＋n 经过B 、C 两点，求直线BC 的解析式；（3）在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标及此时距离之和的最小值13．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2－2ax －1（a ＜0）．（1）抛物线的对称轴为，抛物线与y 轴的交点坐标为；（2）试说明直线y ＝x －2与抛物线y ＝ax 2－2ax －1（a ＜0）一定存在两个交点；（3）若当－2≤x ≤2时，y 的最大值是1，求当-2≤x ≤2时，y 的最小值是多少？14．如图，抛物线2y ax bx =+经过点()3,33A -、()12,0B ．（1）求抛物线的解析式；（2）试判断OAB 的形状；（3）曲线AB 为抛物线上点A 到点B 的曲线，在曲线AB 上是否存在点P 使得四边形OAPB 的面积最大，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx ﹣6的图象交坐标轴于A （﹣2，0），B （3，0）两点，抛物线与y 轴相交于点C ，抛物线上有一动点P 在直线BC 下方．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P ，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；（3）动点P 运动到什么位置时，△PBC 面积最大．求出此时P 点坐标和△PBC 的最大面积．16．已知抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M （t ﹣1，y 1），N （t ，y 2）在该抛物线上，当t ＜1时，比较y 1与y 2的大小；（3）若点P （m ，n ）在该抛物线上，求m ﹣n 的最大值． 17．如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B ．（1）求抛物线的函数关系式．（2）如图1，点C 是抛物线在第四象限内图像上的一点，过点C 作CP y ⊥轴，P 为垂足，求CP OP +的最大值；（3）如图2，设抛物线的顶点为点D ，点N 的坐标为()2,16--，问在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使线段MN 绕点M 顺时针旋转90︒得到线段MN '，且点N '恰好落在抛物线上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线2y ax bx c =++()0a ≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -，与y 轴交于点C ，且OC OB =．（1）求点C 的坐标和此抛物线的解析式；（2）若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE ，CE ，BC ，求BCE 面积的最大值；（3）点P 在抛物线的对称轴上，若线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后，点A 的对应点A '．恰好也落在此抛物线上，求点P 的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ()0,3-，A 点的坐标为(-1，0)．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标，并求出四边形ABPC 的最大面积；（3）若Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA+QC 最小，求出Q 点的坐标，并求出此时△QAC 的周长．20．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．（1）分别求出当24x ≤≤时，两个函数：()221,211y x y x =+=-+的最大值和最小值；（2）若2y x=的值不大于2，求符合条件的x 的范围；（3）若(0)ky k x=≠，当()20t x x ≤≤≠时既无最大值，又无最小值，求a 的取值范围．参考答案：1．(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5，最小值为4- (3)存在，(0,9)P -或9(0,)5P -【分析】（1）先求出点C 的坐标，得到点B 的坐标，再将点A 、B 的坐标代入解析式计算即可；（2）将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质解答即可；（3）存在点P ，设()0,P m ，根据相似三角形对应边成比例列得PC CC PO OB'=，代入数值求出m 即可．【解析】（1）二次函数23y ax bx =+-的图象与y 轴交于C 点，()0,3C ∴-．OB OC =，点A 在点B 的左边，()3,0B ∴．又点A 的坐标为()1,0-，由题意可得：093303a b a b =+-⎧⎨=--⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩．∴二次函数的解析式为2=23y x x --．（2）()22=2314y x x x ---=-，二次函数顶点坐标为()1,4-，∴当1x =时，4y =-最小值，当01x ≤≤时，y 随着x 的增大而减小， ∴当0x =时，3y =-最大值，当14x <≤时，y 随着x 的增大而增大， ∴当4x =时，5y =最大值．∴当04x ≤≤时，函数的最大值为5，最小值为4-．（3）存在点P ，如图，设()0,P m ，CC OB '∥，且PC 与PO 是相似三角形的对应边，PC CC PO OB ∴'=，即：()323m m --=，解得：9m =-或95m =-，()0,9P ∴-或90,5P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点评】此题考查了二次函数与图形问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，相似三角形的性质，二次函数的最值，正确掌握二次函数的综合知识是解题的关键． 2．(1)4(2)当32t =-时，233PE PF +1733232P ⎛- ⎝⎭； (3)(1,3N --，113⎛- ⎝⎭和3731,⎛- ⎝⎭【分析】（1）令232330，求解即可；（2）求直线,AC BD 的解析式，设点232,33P t ⎛ ⎝，则33Q t ⎛ ⎝，33F t ⎛ ⎝⎭，利用30QFC ∠=︒，将所求转化为23333PE PF PQ PF +=+，再求解即可；（3）推出平移后的解析式，设234383,M m ⎛ ⎝⎭，()2,N n -，分三种情况讨论；再利用平行四边形的性质结合中点坐标求解即可．【解析】（1）令232330，解得1x =或3x =-， ∴()()3,0,1,0A B -，4AB ∴=；（2）232333y x x =-(3C ∴，设直线AC 的解析式为y kx b =+，303k b b -+=⎧⎪∴⎨=⎪⎩，解得33k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为y x =(),1,0AC BD B ∥，∴直线BD 的解析式为y x =设点2,P t ⎛ ⎝+，则Q t ⎛+ ⎝，F t ⎛ ⎝⎭， ∵点P 为直线AC 上方抛物线上一动点，22PQ ∴==，22P F ==∵3,OA OC ==30CAO ∴∠=︒，,PE AC PF OA ⊥⊥， 30QFC ∴∠=︒，PE ∴=，∴222333332PF PQ PF t ⎛⎫+=+==-+ ⎪⎭⎝⎭∴当32t =-时，3PF +32P ⎛- ⎝⎭；（3）)22313y x =-+ ∴抛物线对称轴为直线=1x -，∵抛物线2y =3个单位得到新抛物线y '，∴新抛物线y '的解析式为)22y x =-+'，∴2,M m ⎛ ⎝⎭，()1,N n -，①当AB 为平行四边形的对角线时，2311,0m n -=-+=，∴1,m n =-=∴((1,N M --，；②当AM 为平行四边形的对角线时，234383311,m n -=+-= ∴1133,m n ==∴113113N M ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，； ③当AN 为平行四边形的对角线时，24311,3383n m -+-=+=， ∴3735,m n =-= ∴3733735,1,M N ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭，；综上，N 点坐标分别为(1,3N -，113⎛- ⎝⎭和3731,⎛- ⎝⎭．【点评】本题考查了为此函数的图象和性质，直角三角形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握知识并能够运用分类讨论的思想是解题的关键． 3．(1)1 (2)21 (3)1312-【分析】（1）根据对称轴公式求出b ，再有二次函数2y x bx c =+-的图象经过点(3,0)，代入求出c ，计算即可；（2）根据二次函数的增减性可知，当x =-4时，y 值最大，代入求解即可；（3）因为平移抛物线2=23y x x --，其顶点始终在二次函数221y x x =--上，故设顶点坐标为()2,21h h h --，可得平移后的解析式为22()21y x h h h =-+--，可求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标为231=--w h h ，根据二次函数求最值的方法求解即可． (1)解：由题意可知12bx =-=，∴2b =-．将(3,0)代入22y x x c =--，得3c =， ∴1b c +=． (2)解：由（1）得2223(1)4y x x x =--=--，∴当1x <时，y 随x 增大而减小，当1x >时，y 随x 增大而增大．∵1(4)31-->-，∴当4x =-时，y 取最大值21． (3)解：∵平移抛物线2=23y x x --，其顶点始终在二次函数221y x x =--上，∴设顶点坐标为()2,21h h h --，故平移后的解析式为22()21y x h h h =-+--，∴22222221231y x hx h h h x hx h h =-++--=-+--．设平移后所得抛物线与y 轴交点的纵坐标为w ，则22113313612w h h h ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴当16h =时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值为1312-．【点评】本题考查了二次函数的性质，和最值，平移规律，熟练掌握二次函数的性质和平移规律是解题的关键．4．（1）1，0x =；（2）11m =，21m =-；（3）当1n =-时，m n +有最小值为-2．【分析】(1)求方程2(x -1)-4=0的根，代入（x -1）(x -2)=m +1中，确定m 的值；解（x -1）(x -2)=m +1，得到另一个根；（2）求方程2(x -m )-4=0的根，代入（x -1）(x -2)=m +1中，确定m 的值；（3）求方程()240x n --=的根，代入（x -1）(x -2)=m +1中，用含n 的代数式表示m ，构造m +n 与n 的二次函数，利用二次函数的性质确定最值. 【解析】（1）∵2(x -1)-4=0， ∴x =3，∴（3-1）(3-2)=m +1，解得m =1， ∴（x -1）(x -2)=2， ∴2x -3x =0， ∴123,0x x ==，故答案为：1，0x =．（2）由()240x m --=，得 2x m =+．则()()21221m m m +-+-=+ ∴21m m m +=+， ∴21m =，∴11m =，21m =-．（3）由()240x n --=，得2x n =+．则()()21221n n m +-+-=+．即21m n n =+-．∴()222112m n n n n +=+-=+-； ∴当1n =-时，m n +有最小值-2．【点评】本题考查了一元一次方程，一元二次方程，二次函数的最值，熟练掌握方程的解法，二次函数的最值是解题的关键．5．(1) 223y x x =-++；(2) P 点坐标为(1,2)，BCP ∆1032(3) Q 点坐标存在，为(2，2)或(417或(4，17-或(2-，314或(2-，314【分析】(1)将()3,0A ，()1,0B -代入即可求解；(2)连接BP 、CP 、AP ，由二次函数对称性可知，BP=AP ，得到BP +CP =AP +CP ，当C 、P 、A 三点共线时，△PBC 的周长最小，由此求出AC 解析式，将P 点横坐标代入解析式中即可求解；(3)设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )，按AC 为对角线，AP 为对角线，AQ 为对角线分三种情况讨论即可求解．【解析】解：(1)将()3,0A ，()1,0B -代入二次函数表达式中，∴093303a b a b =++⎧⎨=-+⎩ ，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为：223y x x =-++； (2)连接BP 、CP 、AP ，如下图所示：由二次函数对称性可知，BP=AP ， ∴BP +CP =AP +CP ， BCPC BP CP BCPA CP BCBC 为定直线，当C 、P 、A 三点共线时，PA CP 有最小值为AC ，此时BCP ∆的周长也最小，设直线AC 的解析式为：y kx m =+，代入()3,0,(0,3)A C ，∴0=330k m m +⎧⎨=+⎩，解得13k m =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为：3y x =-+，二次函数的对称轴为12bx a=-=，代入3y x =-+，得到2y =， ∴P 点坐标为(1,2)，此时BCP ∆的周长最小值=222213331032BC AC；(3)()3,0,(0,3)A C 设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )，分类讨论：情况一：AC 为菱形对角线时，另一对角线为PQ ，此时由菱形对角互相平分知：AC 的中点也必定是PQ 的中点，由菱形对角线互相垂直知：1AC PQk k ，∴30103111m t n n t m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪-⎪-⋅=--⎩，解得221m n t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴P 点坐标为(1，1)，对应的Q 点坐标为(2，2)；情况二：AP 为菱形对角线时，另一对角线为CQ ，同理有：310030312m t n t n m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩，解得43m n t=⎧⎪⎨⎪=⎩或43m n t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴P 点坐标为(1，3)或(1，3，对应的Q 点坐标为(4或(4，)；情况三：AQ 为菱形对角线时，另一对角线为CP ，()3,0,(0,3)A C 设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )，同理有：3010303131m n t n t m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩，解得23m n t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩23m n t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴P 点坐标为(1或(1，，对应的Q 点坐标为(-2，3或(-2，3；纵上所示，Q 点坐标存在，为(2，2)或(4或(4，或(2-，3或(2-，3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键． 6．（1）①234y x x =--；②自变量x 的取值范围为12x >-；（2）a 1401-+25541-- 【分析】（1）①二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），可确定二次函数的对称轴为32x =，利用对称轴求出抛物线与x 轴的交点A （-1，0），B （4，0），利用待定系数法可求抛物线解析式；②设自变量x 的值增加4时,的函数为y 1，求出新增函数21=5y x x +，利用1y y >两函数作差840x +>解不等式即可；（2）设二次函数的解析式为232524y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由-1≤x ≤132<，0a >或a<0分两种情况利用函数的增减性构造关于a 的一元二次方程，求出a 的值即可．【解析】解：（1）①二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（32，﹣254），∴二次函数的对称轴为32x =， ∵与x 轴交于点A ，B ，AB ＝5， ∴A 、B 两点关于对称轴为32x =对称，35122-=-，35+422=， ∴A （-1，0），B （4，0），设解析式为()()14y a x x =+-，∵()()14y a x x =+-过顶点（32，﹣254），∴253314422a ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得=1a ，∴二次函数解析式为：2=34y x x --， ②设自变量x 的值增加4时,的函数为y 1， ∴()()221=+43+44=5y x x x x --+， ∵1y y >，∴()22534840x x x x x +---=+>，解得12x >-；（2）设二次函数的解析式为232524y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当-1≤x ≤132<，当0a >，二次函数开口向上，在二次函数对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小， ∴当x =1时函数取最小值﹣a 2，∴22325124a a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，整理得24+250a a -=，解得a =0a =<（舍去），当a<0，二次函数开口向下，在二次函数对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x =-1时函数取最小值﹣a 2，∴22325124a a ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭，整理得24+25250a a -=，解得a =或0a =>（舍去）．【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用自变量增大函数值增大构造不等式，利用函数的增减性取最小值构造关于a 的一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，会列不等式与解不等式，利用函数的增减性取最小值构造关于a 的一元二次方程和解方程是解题关键．7．（1）1k =，1b =；（2）p 最大值为1；（3）30c -<≤或1c =【分析】（1）将（2，3）和1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭分别代入直线表达式中可求得k 和n 值，再根据抛物线的对称轴公式求解b 值即可；（2）抛物线的对称轴为直线x =﹣12和2139x x ≤-<得出211x x =--及152x -<≤-，则()22221211331p x x x x =-=---2133222x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，根据二次函数的最值方法求解即可；（3）联立方程组可得x 2=1﹣c ，对c 讨论，结合方程根取值范围进行求解即可．【解析】解：（1）把()2,3代入1y kx =+得：213k +=，则1k =，∴点1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线1y x =+上，∴12n =-，∴抛物线的对称轴122b x =-=-，∴1b =；（2）由（1）知1b =，则2y x x c =++，∵抛物线2y x x c =++与x 轴交点的横坐标为1x ，2x 且213x x -≥ ∴2112x x >-> ∴211122x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即121x x +=-． ∴211x x =--．∴()22221211331p x x x x =-=---2133222x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵2139x x ≤-<，∴()11319x x ≤---< ∴152x -<≤-∵20-<且对称轴为直线32x =-∴当152x -<≤-时，p 随1x 的增大而增大， ∴当12x =-时，p 取最大值且最大值为1；（3）由（1）知，直线的表达式为1y x =+，抛物线表达式为2y x x c =++，联立方程组21y x y x x c =+⎧⎨=++⎩得：x 2=1﹣c ，当c ＞1时，该方程无解，不满足题意；当c =1时，方程的解为x =0满足题意；当c ＜1时，方程的解为x =±1c -当1c -2即30c -<≤时，满足12x -<<时，抛物线2y x bx c =++与直线1y kx =+有且只有一个公共点，综上，满足题意的c 的取值范围为30c -<≤或1c =．【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、求二次函数的最值问题、两个函数图象的交点问题、解一元二次方程、解一元一次不等式组等知识，解答的关键是认真分析题意，找寻知识之间的关联点，利用待定系数法、分类讨论和数形结合思想进行推理、探究和计算． 8．（1）()3,3-；（2）1；（3）4044个【分析】（1）先求出点B 坐标，B 的纵坐标减去A 的纵坐标等于12求出m 值，再求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和两点之间线段最短知，当B 、P 、D 三点共线时OBP 周长最短，此时点P 为直线a 与对称轴的交点，进而求解即可；（2）先求出抛物线的顶点C 坐标2,24m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由C 与l 的距离221()(2)1144m m m =---=--+≤即可求出最大值；（3）先求出抛物线与直线a 的交点的横坐标，根据每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，结合边界由线段和抛物线组成求解即可．【解析】解：（1）当0x =时，y x m m =+=， (0,)B m ∴，12AB =，而(0,)A m -，()12m m ∴--=，6m ∴=，∴抛物线L 的解析式为：26y x x =+，L ∴的对称轴3x =-，又知O 、D 两点关于对称轴对称，则OP DP =OB OP PB OB DP PB ∴++=++∴当B 、P 、D 三点共线时OBP 周长最短，此时点P 为直线a 与对称轴的交点，当3x =-时，63y x =+=， (3,3)P ∴-；（2）2224m m y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，L ∴的顶点2,24m m C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 在l 上方，C ∴与l 的距离221()(2)1144m m m =---=--+≤，∴点C 与l 距离的最大值为1；（3）当2021m =时，抛物线解析式2:2021L y x x =+ 直线解析式:2021a y x =+联立上述两个解析式220212021y x xy x ⎧=+⎨=+⎩可得：12021x =-，21x =∴可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且-2021和1之间（包括-2021和1）共有2023个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有2023个整数点， ∴总计4046个点∵这两段图象交点有2个点重复， ∴“整点”的个数：404624044-=（个）；故2021m =时“整点”的个数为4044个．【点评】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、图形与坐标、最短路径问题、二次函数的最值、两函数图象的交点问题、解二元一次方程组等问题，综合性强，难度适中，解答的关键是读懂题意，找寻相关知识的关联点，利用数形结合思想解决问题． 9．（1）2712y x x =--；（2）t =2时，△PDE 2458，点P的坐标为（2，﹣4）；（3）满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12），过程见解析【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可；（2）先求出直线AB 的函数表达式和点C 坐标，设P 27,12t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0<t <4，则E22727,12t t t t ⎛⎫---⎪⎝⎭，证明△PDE ∽△AOC ，根据周长之比等于相似比可得())22355651024522828l t t ++⎡⎤=--+=-⎣⎦，根据二次函数求最值的方法求解即可；（3）分以下情况①若AB 是平行四边形的对角线；②若AB 是平行四边形的边，1）当 MN ∥AB 时；2）当 NM ∥AB 时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可．【解析】解（1）∵抛物线2y x bx c =++经过点A （0，﹣1），点B （4，1），∴11641c b c =-⎧⎨++=⎩，解得721b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴该抛物线的函数表达式为2712y x x =--；（2）∵A （0，-1），B （4，1）， ∴直线AB 的函数表达式为112y x =-， ∴C （2，0），设P 27,12t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0<t <4，∵点E 在直线112y x =-上，PE ∥x 轴， ∴E 22727,12t t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∠OCA =∠DEP ，∴PE =()2228228t t t -+=--+， ∵PD ⊥AB ， ∴∠EDP =∠COA ， ∴△PDE ∽△AOC ， ∵AO =1，OC =2， ∴AC∴△AOC 的周长为令△PDE 的周长为lACPE=，∴())2222828l t t ⎡⎤=--+=-⎣⎦， ∴当t =2时，△PDE8，此时点P 的坐标为（2，﹣4），（3）如图所示，满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为24y x x =-，对称轴为直线2x =． ①若AB 是平行四边形的对角线，当MN 与AB 互相平分时，四边形ANBM 是平行四边形，即MN 经过AB 的中点C （2，0），∵点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2，∴点M 的坐标为（2，-4）；②若AB 是平行四边形的边，1）MN ∥AB 时，四边形ABNM 是平行四边形，∵A （0，-1），B （4，1），点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2﹣4=﹣2，∴点M 的坐标为（﹣2，12）；2）当 NM ∥AB 时，四边形ABMN 是平行四边形，∵A （0，-1），B （4，1），点N 的横坐标为2，∴点M 的横坐标为2+4=6，∴点M 的坐标为（6，12），综上，满足条件的点M 的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．【点评】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算．10．（1）21722y x x =-++；（2）352（3）存在，点Q 的坐标为(10,23Q 、(20,23Q 【分析】（1）先将点B 的坐标为(4,)m 代入代入直线解析式中，求得点B 的坐标，再利用,A B 坐标，待定系数法求二次函数解析式；（2）设217,22D m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则7,2E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()21222DE m =--+，当2m =时，DE 有最大值为2，此时72,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ，PD PA PD PA A D ''+=+=此时PD PA +最小，勾股定理即可求得；（3）作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，由45AQM ∠=︒可知12AQM AHM ∠=∠，继而可得：2QH HA HM ===，设(0,)Q t ，勾股定理即可求得点Q 的坐标【解析】解：（1）将点B 的坐标为(4,)m 代入72y x =-+， 71422m =-+=-， ∴B 的坐标为14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，将(3,2)A ，14,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入 212y x bx c =-++， 2213322114422b c b c ⎧-⨯++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=-⎪⎩ 解得1b =，72c =， ∴抛物线的解析式21722y x x =-++；（2）设217,22D m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则7,2E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 222177112(2)222222DE m m m m m π⎛⎫⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当2m =时，DE 有最大值为2 此时72,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ．PD PA PD PA A D ''+=+=，此时PD PA +最小，∵(3,2)A ，∴(1,2)A '-，2273(12)2522A D ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭ 即PD PA +352（3）作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，∵抛物线的解析式21722y x x =-++， ∴(1,4)M ，∵(3,2)A ，∴2AH MH ==，(1,2)H∵45AQM ∠=︒，90AHM ∠=︒， ∴12AQM AHM ∠=∠，可知AQM 外接圆的圆心为H ，∴2QH HA HM ===设(0,)Q t2，2t =2∴符合题意的点Q的坐标：(10,2Q、(20,2Q ．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，勾股定理，将军饮马求线段和的最小值，三角形的外心，圆周角定理，正确作出图形是解题的关键．11．（1）211433y x x =-++；（2）3；（3）存在，点Q 的坐标为(1,3)或⎝⎭ 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入解析式中求解即可；（2）由抛物线的表达式211433y x x =-++求出y 轴交点C 的坐标，利用待定系数法求得直线BC 的解析式，然后用m 表示出PQ ，利用三角函数求出PN =PQ cos45°，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：①当AC CQ =时，过点Q 作QE y ⊥轴于点E ．则222CQ CE EQ =+，即[]224(4)25m m +--+=；②当AC AQ =时，连结AQ ，则5AQ AC ==，在Rt AMQ △中，由勾股定理得：AQ 2=AM 2+QM 2=AC 2，即22[(3)](4)25m m --+-+=；③当CQ AQ =时，则EC 2+EQ 2=AM 2+QM 2,即()[]2222(3)(+44)4m m m m =--+--+⎡⎤+⎦-⎣，分别求解即可．【解析】解：（1）∵抛物线24y ax bx =++交x 轴于3,0,()(,0)4A B -两点，∴将点A B 、的坐标代入抛物线表达934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的表达式为：211433y x x =-++；（2）∵抛物线的表达式211433y x x =-++，当x=0时，y=4，∴点(0,4)C ，设直线BC 的表达式为：y kx b =+；把点B C 、的坐标代入解析式得：404k b b +=⎧⎨=⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩，直线BC 的表达式为：4y x =-+；设点(,0)M m ，则点211,433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，点4(),Q m m -+， 221114443333PQ m m m m m ∴=-+++-=-+， OB OC =，∴45ABC OCB ∠=∠=︒，∵PM ⊥x 轴，∴∠MQB =90°-∠CBO =90°-45°=45°，∴∠PQN =∠MQB =45°，∵PN ⊥BC ，∴45NPQ NQP ∠=∠=︒，22214222sin 452)33PN PQ m m m ⎫∴=︒=-+=-⎪⎝⎭， 206-<，开口向下，PN 有最大值，当2m =时，PN 22 （3）存在，理由：点A C 、的坐标分别为(3,0),(0,4)-，在△OAC 中由勾股定理有()2222-34AC OA OC +=+①当AC CQ =时，过点Q 作QE y ⊥轴于点E ．则222CQ CE EQ =+，∴222=CE EQ AC +即()224425m m ⎡⎤⎣-⎦+-+=，解得：52m =（舍去负值），∴点Q ⎝⎭；②当AC AQ =时，连结AQ ，则5AQ AC ==，在Rt AMQ △中，由勾股定理得：AQ 2=AM 2+QM 2=AC 2即[]22(3)(4)25m m --+-+=，解得：1m =或0（舍去0），∴点()1,3Q ；③当CQ AQ =时，则EC 2+EQ 2=AM 2+QM 2,即()[]2222(3)(+44)4m m m m =--+--+⎡⎤+⎦-⎣，解得：2542m =>（舍去）；综上，点Q 的坐标为(1,3)或822⎛- ⎝⎭．．【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式和直线解析式，两点距离公式，锐角三角函数，分类探究等腰三角形．勾股定理，掌握待定系数法求抛物线解析式和直线解析式，两点距离公式，锐角三角函数，分类探究等腰三角形．勾股定理，利用勾股定理构造方程是解题关键．12．（1）223y x x =--+；（2）y =x +3；（3）M （-1，2），【分析】（1）根据抛物线的对称轴可得12b a-=-，然后代入A （1,0），C （0，3）代入抛物线解析式03a b c c ++=⎧⎨=⎩解方程组即可；（2）利用（1）的函数解析式令y =0，解方程即可求出点B 坐标，再根据B 、C 坐标利用待定系数法求直线BC 的解析式即可；（3）由点A 与点B 是关于对称轴直线=1x -的对称点，直线BC 与对称轴直线=1x -的交点就是D （-1，2），由点M 在对称轴上，可得AM =BM ，由点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，点B ，点M ，点C 三点共线时最短，即点M 与点D 重合时，距离之和的最小值就是可得CM +AM =BC 的长，在Rt △BOC 中，由勾股定理得BC =32【解析】解：（1）依题意得:1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴223y x x =--+；（2）当y=0时2x 2x 30--+=解得123,1x x =-=∴点B （-3，0）由直线BC 的解析式为：y ＝mx+n ，代入B （﹣3，0），C （0，3）得：303m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：y ＝x +3；（3）∵点A 与点B 是关于对称轴直线=1x -的对称点，∴直线BC 与对称轴直线=1x -的交点就是D 点，∴当=1x -时3y x =-1+3=2，∴D （-1，2），∵点M 在对称轴上，∴AM =BM ，点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，∴点B ，点M ，点C 三点共线时最短，即点M 与点D 重合时，点M （-1，2），∴距离之和的最小值就是CM +AM =CM+BM ＝ BC 的长，在Rt △BOC 中，由勾股定理得BC∴距离之和的最小值就是【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，一次函数解析式，利用轴对称求最短路径以及M 坐标是解题关键．13．（1）直线x ＝1，（0，－1）；（2）见解析；（3）17-．【分析】（1）将抛物线解析式转化为顶点式解析式，得到对称轴，当0x =时，可解得抛物线与y 轴的交点坐标；（2）将y ＝x －2代入二次函数解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式解题即可；（3）将抛物线解析式转化为顶点式，得到对称轴为直线x ＝1，根据抛物线的图象与性质解题即可．【解析】解：（1）抛物线y ＝ax 2－2ax －12(1)1a x a =--- ，∴抛物线的对称轴为直线1x =，抛物线y ＝ax 2－2ax －1中，当0x =时，1y =-，∴抛物线与y 轴的交点坐标为：(0,1)-故答案为：直线x ＝1，(0,1)-；（2）将y ＝x －2代入二次函数解析式，得x －2 ＝ ax 2－2ax －1，则原方程可化为 ax 2－（2a ＋1）x ＋1＝0，由根的判别式可得2-4b ac ＝()222214441441a a a a a a ⎡⎤-+-=++-=+⎣⎦2410a +>0∴∆>∴直线y ＝x －2与抛物线y ＝ax 2－2ax －1（a ＜ 0）一定存在两个交点；（3）∵抛物线的开口向下，对称轴直线为x ＝1，顶点坐标为(1,1)a --，∴当－2≤x ≤2时，∵y 的最大值是1，∴顶点坐标为（1， 1），11a ∴--=2a ∴=-∴当x ＜ 1时，y 随x 的增大而增大，当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∵2x =-比2x =离对称轴1x =更远一些，即x ＝－2时，y 有最小值，∴最小值是22(2)2(2)(2)117y =-⨯--⨯-⨯--=-，即y 的最小值是 17-.【点评】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数与二次函数的交点问题，涉及二次函数的最值等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.14．（1）2343y x =；（2）直角三角形；（3）存在，点P 坐标为：151353,2⎛ ⎝⎭．【分析】（1）把(3,33A -、(12,0)B 代入2y ax bx =+，利用待定系数法解题；（2）利用勾股定理的逆定理解题；（3）连接AB ，利用待定系数法解得直线AB 的解析式为：33y =-2343P x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，交AB 于点343N x x ⎛- ⎝，由三角形面积公式，结合二次函数的最值问题解题即可．【解析】解：（1）把(3,33A -、(12,0)B 代入2y ax bx =+，得9333144120a b a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩①②， ①4⨯-②得，1083a -=-3a ∴= 把3a =①得 43b =343a b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为：2343y x =；（2）(0,0)O，(3,A -、(12,0)B(222336OA ∴=+=∣(222(123)108AB =-+=2212144OB ==22236108144OA AB OB +=+==OAB ∴△为直角三角形；（3）存在，连接AB ，OAB APB OAPB S S S =+△△四边形而OAB S 已确定，要使四边形OAPB S 面积最大，只需要APB S 最大即可，设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠，把点(3,A -、(12,0)B代入，得：3120k b k b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩解得：k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线AB的解析式为：y x =-设2P x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，交AB 于点N ，于是N x ⎛- ⎝，则2119922APB APB S PN S x x ⎡⎤⎫=⋅⋅==--⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎣⎦△△2x =-当152x ==⎝⎭时，APB S 最大．2x x = ∴符合条件的点P坐标为：15,2⎛ ⎝⎭．【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合题，涉及勾股定理逆定理、待定系数法求一次。

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题(角度问题)(含答案)

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（角度问题）（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点，使P存在，请说明理由．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)在直线上是否存在点，使说明理由．(3)为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线，垂足为，以点为圆心，，且不经过点l C P PM l ⊥M M 2PAB PT S =V M e (4．如图，已知顶点为的抛物线与x 轴交于A ，B 两点，且．(1)求点B 的坐标；(2)求二次函数的解析式；(3)作直线，问抛物线上是否存在点M ，使得，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，，，与y 轴交于点C ，连接．()0,6C -()20y ax b a =+≠OC OB =()20y ax b a =+≠CB ()20y ax b a =+≠15MCB ∠=︒24y ax bx =+-()2,0A -()8,0B AC BC 、(1)求抛物线的解析式；(2)求证：；(3)点P 在抛物线上，且，求点P的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于、两点，与y 轴交于点C ，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴上是否存在一点M ，使，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P 是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D ，当的值最大时，求此时点P 的坐标及的最大值．∠=∠ACO ABC PCB ACO ∠=∠()230y ax bx a =+-≠()3,0A ()1,0B -AC MCA MAC ∠=∠AC PD AC ⊥PD PD(1)试求抛物线的解析式；(2)点P 是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P 的坐标；(3)若M 是抛物线上一点，且，请直接写出点M 的坐标．BC BCP V MCB ABC ∠=∠(1)求此抛物线的解析式；(2)点E 是AC 延长线上一点，的平分线CD 交⊙于点D ，连接BD ，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．9．综合与实践：如图，抛物线与x 轴交于点和点，与y 轴交于点C ，连接，点D 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点D 位置时发现：如图1，点D 在第一象限内的抛物线上，连接，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；(3)小明进一步探究点D 位置时发现：点D 在抛物线上移动，连接，存在BCE ∠O 'PDB CBD ∠=∠22y ax bx =++()1,0A -()4,0B BC BD CD BCD △BCD △CD(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，过点D 作轴，垂足为M ，点P 在直线P 作，，求的最大值，以及此时点(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点得，请写出所有符合条件的点G 的横坐标，并写出其中一个的求解过DM x ⊥PE AD ⊥PF DM ⊥2PE PF +CA 5245CAG ∠=︒(1)填空：___________，___________；(2)点为直线上方抛物线上一动点．①连接、，设直线交线段于点，求的最大值；②过点作于点，连接，是否存在点，使得中的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；b =c =D AC BC CD BD AC E DE EBD DF AC ⊥F CD D CDF V 2DCF BAC ∠=∠D(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点D ，使得？若存在，求出所有点不存在，请说明理由；(3)如图2，点E 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，点F 是直线OB 动点，EF 与直线OB 交于点G ．设和的面积分别为值．DOB OBC ∠=∠BFG V BEG V S14．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点且点，，与轴的负半轴交于点，．(1)求此抛物线的解析式；(2)在(1)的条件下，连接，点为直线下方的抛物线上的一点，过点作交于点，交直线于点，若，求点的坐标．(3)在(1)的条件下，点为该抛物线的顶点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作于点，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点，连接交于点，当时，求的度数．15．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．O 2y x bx c =++x A B (3B 0)y C OB OC =AC P BC P PQ AC ∥AB Q BC D PD DQ =P D C x R R RH AB ⊥H M DM RH Q 2MQ RQ =MQH ∠24y ax bx =++x ()1,0A ()4,0B y C参考答案：的值最大时，此时，。

人教版初中数学九年级二次函数(经典例题含答案)

二次函数经典例题答案班级小组姓名成绩（满分120）一、二次函数（一）二次函数的定义（共4小题，每题3分，共计12分）例 1.下列函数：①225y xz =++；②258y x x =-+-；③2y ax bx c =++；④()()2324312y x x x =+--；⑤2y mx x =+；⑥21y bx =+（b 为常数，0b ≠）；⑦220y x kx =++，其中y 是x 的二次函数的有②⑥.例1.变式1.函数24233y x x =--中，a =3-，b =34，c =2-.例1.变式2.若()232my m x -=-是二次函数，且2m >，则m 等于（B）A.C. D.5例1.变式3.已知函数()22346mm y m m x -+=+-是二次函数，求m 的值.2122342:1,2602,31m m m m m m m m m -+===+-≠∴≠≠-∴ 解：由题意得：解得的值为（二）列二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例2.一台机器原价60万元，每次降价的百分率均为x ,那么连续两次降价后的价格y (万元)为（C ）A.()601y x =-B.()601y x =+ C.()2601y x =- D.()2601y x =+例2.变式1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据如下表:写出用t 表示s 的函数关系式:22t s =.例2.变式2.矩形的长为x cm，宽比长少2cm，请你写出矩形的面积y (2cm )与x (cm)之间的关系式xx y 22-=.时间t (秒)1234…距离s (米)281832…例2.变式3.某商场将进价为每套40元的某种服装按每套50元出售时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装销售单价每提高1元，销量就减少5套.如果商场将销售单价定为x 元,请你写出每天销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数表达式.[]2200075055)50(300)40(2-+-=⨯---=x x y x x y 即解：由题意得：二、二次函数的图象和性质（一）形如2y ax =和2y ax c =+的二次函数的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例3.对于二次函数2y x =-的图象，在y 轴的右边，y 随x 的增大而减小.例3.变式1.二次函数2y ax =的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内.（1）22y x =如图（D ）；（2）212y x =如图（C ）；（3）2y x =-如图（A）；（4）213y x =-如图（B）；（5）219y x =如图（F）；（6）219y x =-如图（E）.例3.变式2.与抛物线222y x =-+开口方向相同,只是位置不同的是（D）A.22y x =B.2211y x =- C.221y x =+ D.221y x =--例3.变式3.坐标平面上有一函数22448y x =-的图象,其顶点坐标为（C ）A.()0,2- B.()1,24- C.()0,48- D.()2,48（二）二次函数()2y a x h =-与()2y a x h k =-+的图像和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例4.将抛物线2y x =-向左平移2个单位长度后,得到的抛物线的表达式是(A )A.()22y x =-+ B.22y x =-+ C.()22y x =-- D.22y x =--例4.变式1.二次函数()221y x =-，当x 1<时,y 随着x 的增大而减小，当x 1>时,y 随着x 的增大而增大.例4.变式2.已知二次函数()2231y x =-+.有下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线3x =-；③其图象顶点坐标为(3，-1)；④当3x <时,y 随着x 的增大而减小.则其中说法正确的有（A ）A.1个B.2个C.3个D.4个例4.变式3.将抛物线21y x =+先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，那么所得抛物线的表达式是（B ）A.()222y x =++ B.()222y x =+- C.()222y x =-+ D.()222y x =--（三）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例5.二次函数225y x x =+-有(D)A.最大值为-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6例5.变式1.如图是二次函数224y x x =-++的图象，使1y ≤成立的x 的取值范围是（D ）A.13x -≤≤B.1x ≤-C.1x ≥ D.13x x ≤-≥或例5.变式2.抛物线2y x bx c =++向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度，所得图象的表达式为223y x x =--，求b ，c 的值.,2234)21(:32324)1(3222222==∴+=+-+-=--=--=--=c b x x x y x x y x x x y 得个单位个单位，再向上平移向左平移将抛物线解：例5.变式3.如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列4个结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->，其中正确结论的有（B）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④三、确定二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例6.已知二次函数的图象的顶点坐标是（-2，-3），且经过点（0,5），求这个函数表达式.5823)2(22:53)20()5,0(3)2()3,2(),0()(22222++=-+=∴==-+∴-+=∴--≠++=x x x y a a x a y a k h x a y 解得此二次函数图象经过点又坐标为此二次函数图象的顶点达式为解：设此二次函数的表例6.变式1.已知抛物线与y 轴交点的纵坐标为52-，且还经过（1，-6）和（-1,0）两点，求抛物线的表达式.22(0)5(0,),(1,6),(1,0)251226305215322y ax bx c a c a a b c b a b c c y x x =++≠---⎧⎧=-=-⎪⎪⎪⎪++=-=-⎨⎨⎪⎪-+=⎪⎪=-⎩⎩∴=---解：设抛物线表达式为将代入得：解得：抛物线表达式为：例6.变式2.已知，一抛物线与x 轴的交点是A（-2,0），B（1,0），且经过点C（2,8）.（1）求该抛物线的函数表达式；4224228240024)8,2(),0,1(),0,2()0(22-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+--≠++=x x y c b a c b a c b a c b a C a c bx ax y 抛物线表达式为：解得：代入得：将解：设抛物线表达式为（2）求该抛物线的顶点坐标.)29,21(2921(242222---+=-+=顶点坐标为：x x x y 例6.变式3.已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A(-1,0),B(3,0),C (0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴.（1）求抛物线的函数表达式;321)3,0()1)(3(2++-=∴-=+-=x x y a C x x a y 抛物线表达式为：代入，解得：将点线表达式为：解：由题意得：设抛物（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标.:,(2,3,,(1,0),(2,30123111,2(1,2)l C C C AC l P PAC AC y kx m A C k m k k m m AC y x x y P ''∴'∆''=+--+==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩'∴=+==解过直线作点的对称点）连接交直线于点此时的周长最小设直线表达式为将）代入得：解得：直线表达式为：令则点的坐标为：四、二次函数的应用（一）利用二次函数解决“面积最大问题”（共4小题，每题3分，共计12分）例7.小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积是（A）A.24cm B.28cm C.216cm D.232cm 例7.变式1.在Rt ABC ∆中，∠A=90°，AB=4,AC=3，D 在BC 上运动(不与B,C 重合),过点D 分别向AB,AC 作垂线,垂足分别为E,F,则矩形AEDF 的面积最大值为3.例7.变式2.如图,正方形ABCD 的边长为2cm,E,F,G,H 分别从A,B,C,D 向B,C,D,A 同时以0.5cm/s的速度移动,设运动时间为t(s).(1)求证:△HAE≌△EBF；)90,,:SAS EBF HAE B A EB HA BF AE （由题意得：解∆≅∆∴=∠=∠==(2)设四边形EFGH 的面积为S(2cm ),求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；)40(4221)5.02()5.0(901,5.02,5.0222222222≤≤+-=-+=+==∴∴=∠+∠∆≅∆+=∆-===t t t t t AE AH HE S HEFG AHE DHG EBF HAE AE AH HE AEH Rt t AH t AE DH 是正方形四边形可得）又由（中则解：由题意得 (3)t 为何值时,S 最小？最小是多少？222)2(21422122最小，最小为时，当S t t t t S =∴+-=+-=例7.变式3.在青岛市开展的创建活动中，某小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长度为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园BC 边的长为x m ，花园的面积为y 2m .(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；）（解：由题意得：15020212402≤<+-=-⋅=x x x x x y (2)满足条件的花园面积能达到2002m 吗?若能，求出此时的x 的值；若不能，请说明理由；.20015020,2002m x x x y 到此时花园的面积不能达的取值范围是而，时当∴≤<==(3)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？.5.18715150,20202122m y x x y x x x x y 有最大值，最大值为时，当的增大而增大随范围内，在对称轴为直线线图象是开口向下的抛物=∴≤<=+-=（二）二次函数的综合运用（共4小题，每题3分，共计12分）例8.一件工艺品进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（A）A.5元B.10元C.0元D.3600元例8.变式1.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55y x =-+的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（B ）A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m例8.变式2.某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元?元租金高，每张床收费则为使租出的床位少且时，时，为整数，则又因为有最大值时，当则有元元，每天收入为个解：设每张床位提高1602031001120031120025.22100001000200)10100)(20100(202=⨯+======-=++-=-+=y x y x x y abx x x x x y y x 例8.变式3.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)3200242525048)(20002400(2++-=+--=x x x x y 由题意得：（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?元即每台冰箱应降价降价越多越好要使百姓得到实惠，则解得：得：代入将200200200,1004800320024252,30002425248002122=∴===++-++-==x x x x x x x y y (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？元。

中考二次函数经典例题及解析

中考二次函数经典例题及解析中考二次函数经典例题及解析一、引言二次函数是中学数学中的重要内容，也是中考数学考试中常见的题型。

通过解析经典的二次函数例题，我们可以更好地理解和掌握二次函数的特点和解题方法。

本文将结合多个经典的中考二次函数例题，深入分析题目，探讨解题思路和方法，帮助读者全面理解二次函数的应用。

二、例题一题目：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点（1，1），（2，4），（3，9）。

求a，b，c的值。

解析：根据已知条件，代入三个点的坐标，得到三个方程：a+b+c=14a+2b+c=49a+3b+c=9通过解方程组，可以求解出a，b，c的值，进而得到二次函数的表达式。

三、例题二题目：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像的对称轴为x=2，顶点在直线y=1-x上。

求a，b，c的值。

解析：根据已知条件，对称轴为x=2，顶点在直线y=1-x上，可以列出方程：-b/(2a)=21-4a+2b+c=0通过求解方程组，可以得到a，b，c的值，进而得到二次函数的表达式。

四、例题三题目：已知二次函数经过点（1，-3），且在x轴上的交点为x=4。

求函数的解析式。

解析：根据已知条件，可以列出方程：a+b+c=-316a+4b+c=0通过解方程组，可以求解出a，b，c的值，进而得到二次函数的解析式。

五、总结通过以上例题的解析，我们可以看到在解二次函数相关题目时，首先需要根据题目的条件列方程，并运用相关的解方程技巧得到二次函数的系数a，b，c的值，从而得到二次函数的解析式。

在解题过程中，我们还可以借助对称轴和顶点等概念来辅助求解，这些解题方法和技巧都是我们在中考数学中必须掌握的知识点。

个人观点和理解：二次函数作为中学数学中的重要内容，其在中考数学中的考查也是至关重要的。

掌握二次函数的特点和解题方法，不仅有助于解题，还可以帮助我们更深入地理解函数的性质和应用。

通过解析经典的二次函数例题，我们可以更好地掌握二次函数的知识，并在中考数学中取得更好的成绩。

二次函数中考常考题型(含答案)

二次函数中考常考题型1，函数在同一直角坐标系内的图象大致是（）2，函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（）3，如果反比例函数y＝k x 的图象如图3所示，那么二次函数y ＝kx 2－k 2x －1的图象大致为（）4、某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图9所示的长方体游泳池，培育不同品种的鱼苗，他已备足可以修高为1.5m ，长18m 的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm ，即AD ＝EF ＝BC ＝x m.（不考虑墙的厚度）（1）若想水池的总容积为36m 3，x 应等于多少？（2）求水池的容积V 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（3）若想使水池的总容积V 最大，x 应为多少？最大容积是多少？2y ax b y ax bx c =+=++和A ． B ． C ． D ．1111x o y y o x y o xx o y图9y x O 图3 y x O A ． y x O B ． y x O C ． y x O D ．图55，我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．（1）设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P 与x之间的函数关系式．（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）6、如图10，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m 时，水面CD的宽是10m.（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）.货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）.试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由.若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？图107，已知：m、n是方程x2－6x+5＝0的两个实数根，且m＜n，抛物线y＝－x2+bx+c的图像经过点A(m，0)、B(0，n).（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积[注：抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为24(,)24b ac ba a--].（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH△x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2∶3的两部分，请求出P点的坐标.26，如图11－①，有两个形状完全相同的Rt△ABC和Rt△EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O是△EFG 斜边上的中点.如图11－②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB 方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移.设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）.（1）当x为何值时，OP∥AC ?（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围.（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.（参考数据：1142＝12996，1152＝13225，1162＝13456或4.42＝19.36，4.52＝20.25，4.62＝21.16）图114，（1）因为AD ＝EF ＝BC ＝x m ，所以AB ＝18－3x .所以水池的总容积为1.5x (18－3x )＝36，即x 2－6x +8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4，所以x 应为2或4.（2）由（1）可知V 与x 的函数关系式为V ＝1.5x (18－3x )＝－4.5x 2+27x ，且x 的取值范围是：0＜x ＜6.（3）V ＝－4.5x 2+27x ＝－92(x －3)2+812.所以当x ＝3时，V 有最大值812.即若使水池有总容积最大，x 应为3，最大容积为40.5m 3.5，答案：△由题意得y 与x 之间的函数关系式30y x =+（1160x ≤≤，且x 整数） △由题意得P 与x 之间的函数关系式2(30)(10003)391030000P x x x x =+-=-++△由题意得2(391030000)301000310W x x x =-++-⨯-23(100)30000x =--+∴当x 100=时，30000W =最大100160<天天∴存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元．6，（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，桥拱最高点O 到水面CD 的跳高为h 米，则D （5，h ），B （10，－h －3），所以25,100 3.a h a h =-⎧⎨=--⎩解得1,251.a h ⎧=-⎪⎨⎪=⎩即抛物线的解析式为y ＝－125x 2.（2）水位由CD 处涨到点O 的时间为：1÷0.25＝4（小时），货车按原来速度行驶的路程为：40×1+40×4＝200＜280，所以货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提高x 千米/时，当4x +40×1＝280时，x ＝60.即要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时.7，（1）解方程x 2－6x +5＝0得x 1＝5，x 2＝1，由m ＜n ，有m ＝1，n ＝5，所以点A 、B 的坐标分别为A （1，0），B （0，5）.将A （1，0），B （0，5）的坐标分别代入y ＝－x 2+bx +c .得10,5.b c c -++=⎧⎨=⎩解这个方程组，得45b c =-⎧⎨=⎩所以，抛物线的解析式为y ＝－x 2－4x +5.（2）由y ＝－x 2－4x +5，令y ＝0，得－x 2－4x +5＝0.解这个方程，得x 1＝－5，x 2＝1，所以C 点的坐标为（－5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D （－2，9）.过D 作x 轴的垂线交x 轴于M .则S △DMC ＝12×9×(5－2)＝272，S 梯形MDBO ＝12×2×(9+5)＝14，S △BOC ＝12×5×5＝252，所以S △BCD ＝S 梯形MDBO + S △DMC －S △BOC ＝14+272－252＝15.（3）设P 点的坐标为（a ，0）因为线段BC 过B 、C 两点，所以BC 所在的直线方程为y ＝x +5.那么，PH 与直线BC 的交点坐标为E (a ，a +5)，PH 与抛物线y ＝－x 2－4x +5的交点坐标为H (a ，－a 2－4a +5).由题意，得△EH ＝32EP ，即(－a 2－4a +5)－(a +5)＝32(a +5). 解这个方程，得a ＝－32或a ＝－5（舍去）；△EH ＝23EP ，即(－a 2－4a +5)－(a +5)＝23(a +5). 解这个方程，得a ＝－23或a ＝－5（舍去）；即P 点的坐标为 (－32，0)或 (－23，0). 26，（1）因为Rt △EFG ∽Rt △ABC ，所以EG AC ＝FG BC ，即684FG =.所以FG ＝864⨯＝3cm.因为当P 为FG 的中点时，OP ∥EG ，EG ∥AC ，所以OP ∥AC .所以x ＝121FG ＝21×3＝1.5（s ）.即当x 为1.5s 时，OP ∥AC .（2）在Rt △EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm.因为EG ∥AH ，所以△EFG ∽△AFH .所以EG AH ＝EF AF ＝FG FH.即FH x AH 3554=+=.所以AH ＝54(x ＋5)，FH ＝53(x ＋5).过点O 作OD ⊥FP ，垂足为 D .因为点O 为EF 中点，所以OD ＝21EG ＝2cm.因为FP ＝3－x ，S 四边形OAHP ＝S △AFH －S △OFP ＝21·AH ·FH －21·OD ·FP ＝21×54(x ＋5)×53(x ＋5)－21×2×(3－x )＝256x 2＋517x ＋3(0＜x ＜3).（3）假设存在某一时刻x ，使得四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24.则S 四边形OAHP ＝2413×S △ABC ，所以256x 2＋517x ＋3＝2413×21×6×8，即6x 2＋85x －250＝0.解得x 1＝25，x 2＝－350（舍去）.因为0＜x ＜3，所以当x ＝25（s ）时，四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24.。

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二次函数典型中考试题解析及训练[解读中考要点]1、二次函数一般地，形如（是常数，）的函数叫做的二次函数。

2y ax bx c =++,,a b c 0a ≠x 解读：在函数中注意二次项系数，是任意的实数即可。

0a≠,b c 2、二次函数（）的性质2y ax =0a ≠解读：（1）二次函数的图象是抛物线，它的顶点是原点，对称轴是轴。

2y ax =y （2）当时，抛物线的开口向上，并且向上无限延伸，顶点是它的最低点；当时，抛物线0a>2y ax =0a <的开口向下，并且向下无限延伸，顶点是它的最高点。

2y ax =3、二次函数（）的图象与性质2y ax k =+0a ≠解读：（1）二次函数的图象与的图象的形状完全一样，可以通过平移二次函数的2y ax k =+2y ax =2y ax =图象得到的图象。

当时，向上平移个单位长度；当时，向下平移个单位长度。

2y ax k =+0k >k0k<k（2）当时，抛物线的开口向上；当时，抛物线的开口向下。

0a >0a <（3）抛物线的顶点是，对称轴是轴。

()0,k y 4、二次函数（）的图象与性质()2y a x h k =-+0a ≠解读：（1）它的图象与的图象的形状完全一样，可以通过二次函数的图象得到2y ax =2y ax =的图象。

()2y a x h k =-+（2）当时，抛物线的开口向上；当时，抛物线的开口向下。

0a >0a <（3）抛物线的顶点是，对称轴是轴。

(),h k y 5、关于二次函数（）的图象2y ax bx c =++0a ≠解读：（1）二次函数（）的图象是与的图象的形状完全一样的一条抛物线。

2y ax bx c =++0a ≠2y ax =（2）抛物线（）的对称轴是直线，顶点是。

2y ax bx c =++0a ≠2bx a=-24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）当时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点。

当时，函数有最小值；当0a >2bx a =-244ac b a-时，的值随值的增大而减小；当时，的值随值的增大而增大。

2b x a <-y x 2b x a>-y x（4）当时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点。

当时，函数有最大值；当0a <2bx a =-244ac b a-时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小。

2b x a <-y x 2b x a>-y x 6、二次函数与一元二次方程二次函数（）的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。

当2y ax bx c =++0a ≠x 二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程2y ax bx c =++x 0y =x 的根。

20ax bx c ++=解读：（1）当时，二次函数的图象与轴有两个交点，此时一元二次方程240bac ->2y ax bx c =++x 有两个不相等的实数根；20ax bx c ++=（2）当时，二次函数的图象与轴有一个交点，此时一元二次方程240bac -=2y ax bx c =++x 有两个相等的实数根；20ax bx c ++=（3）当时，二次函数的图象与轴没有交点，此时一元二次方程240bac -<2y ax bx c =++x 没有实数根。

20ax bx c ++=7、二次函数解析式的确定解读：运用待定系数法确定二次函数的系数，一般需要三个条件，组成关于的三2y ax bx c =++,,a b c ,,a b c 元方程组，解方程组可以确定的值，从而确定解析式。

,,a b c [剖析经典考题]近年来，全国各省市的中考题中，考查二次函数及其相关内容所占的比例比较大，考题既有基本题，又有综合题。

基本题常以填空、选择的形式出现，考查二次函数的意义、性质等知识点；综合题常与方程、一次函数、反比例函数、圆等知识综合在一起，有些综合题也会考查学生利用二次函数的知识解决实际问题的能力。

例1、（2005·资阳）已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图 5.3-1所示，给出以下结论：① a +b +c <0；② a -b +c <0；③ b +2a <0；④ abc >0 . 其中所有正确结论的序号是A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②③分析：从所给的图象，我们可以获取以下信息：（1）抛物线的开口向下；（2）顶点在第一象限，对称轴在直线x=1的左侧；（3）抛物线与y 轴的交点在正半轴上；（4）横坐标为1的点在x 轴上方；横坐标为-1的点在x 轴下方。

由以上信息可以做出判断。

解：∵抛物线开口向下，∴a<0.∵顶点在第一象限，∴。

0,02bb a->∴>∵对称轴在直线x=1的左侧∴故③正确。

1,0,2,20.2ba b a a b a-<<∴->∴+< 图5.3-1n g∵抛物线与y 轴的交点在正半轴上，∴c>0。

∴abc<0.故④错误。

∵横坐标为1的点在x 轴上方，∴a +b +c >0.故①错误。

∵横坐标为-1的点在x 轴下方，∴a -b +c <0，故②正确。

所以应选B 。

点拨：要充分利用函数的图象，数形结合，弄清图象中所给的信息是解题关键。

例2、（2005贵阳）已知二次函数的图象342+-=x x y 如图5.3-2所示，它与轴相交于点C ，点D 在二次函数图y 象上与点C 对称，一次函数的图象过点A 、D ；（1）求点D 的坐标；（2）求一次函数的解析式；分析：这是一道二次函数与一次函数的综合题目。

对于（1）问，由点D 在二次函数图象上与点C 对称，易知点D 的纵坐标为3；把y=3代入解析式可求得342+-=x x y x 的值，从而可以确定点D 的坐标。

对于（2）问，知道了点A 、D 的坐标，利用待定系数法可以求得一次函数解析式。

解：（1）∵D 在二次函数的图象上且与点C342+-=x x y 对称，则D （4，3）。

（2）设直线过点A （1，0）和D （4，3）b kx y +=∴ ，解得：⎩⎨⎧=+=+340b k b k 1,1-==b k ∴所求一次函数为。

1-=x y 点拨：确定函数解析式的关键是先要确定函数图象上的点的坐标。

例3、（2005泉州）有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM 为3米，跨度OA 为6米，以OA 所在直线为x 轴，O 为原点建立直角坐标系（如图5.3-3所示）.⑴请你直接写出O 、A 、M 三点的坐标；⑵一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面同一平面）？分析：本题是通过实例确定二次函数解析式并利用解析式解决问题的一道简单的应用题。

对于（1）根据题意可直接表示出；对于（2），关键是要读懂题意，必须先由三点的坐标确定出函数的解析式，当CD 表示宽，CD=2，B 是CD 的中点，此时OC=2。

利用解析式求出时对应的函数值即可解决。

2x=解：（1）O （0，0），A （6，0），M （3，3）（2）求抛物线的解析式的方法列出两种：法1：设抛物线的解析式为，∵抛物线过O ，A ，M 三点2y ax bx c =++∴解之得0,3660,930.c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1,32,0.a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴。

2123y x x =-+法2：依题意，抛物线的顶点坐标是（3，3），可设其解析式为，()233y a x =-+∵抛物线过（0，0），∴。

()20033a =-+解之得：。

()22111,332333ay x x x =-∴=--+=-+要使木板堆放最高，依题意，B 点应是木板宽CD 的中点，把代入，得（米）。

2x=2123y x x =-+21822233y =-⨯+⨯=∴这些木板可以堆放米。

83点拨：当知道抛物线的顶点坐标，设顶点式求函数解析式简便。

例4、（2004天津）已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且交点为A （2，0）.（1）求b 、c 的值；（2）若抛物线与y 轴的交点为B ，坐标原点为O ，求△O AB 的周长。

（答案可带根号）.分析：由于抛物线与x 轴只有一个交点A （2，0），所以抛物线的顶点坐标为（2，0）。

那么我们可以运用抛物线的顶点坐标公式求得b 、c 的值，从而可求出OA 的长。

把x=0代入二次函数y ＝x 2＋bx ＋c ，可求出点B 的坐标，那么OB 的长野就确定了。

然后再在Rt △AOB 中，利用勾股定理求出AB 的长，这样△O AB 的周长可得。

解：（1）由题意可知，抛物线的顶点是（2，0），那么2, 4.21bb -=∴=-⨯2410,4160, 4.41c b c c ⨯⨯-=∴-==⨯（2）由（1）得，抛物线的解析式为，244y x x =-+ei n g当x=0时，y=4,∴点B 的坐标是（0，4）。

在Rt △AOB 中，OA=2，0B=4，∴。

AB===∴△O AB 的周长为。

246++=+点拨：这是一个涉及多个知识点的题目，要注意所学知识的综合运用。

例5、观察图5.1-3中1至5小黑点的摆放规律,并按照这样的规律继续摆放.记第n 个图中小黑点的个数为y .图5.1-3）填表：n 12345…y13713…n ＝8时,y ＝＿＿＿＿＿＿；,把n 作为横坐标,把y 作为纵坐标,在左图的平面直角坐标系中描(n , y ),其中1≤n ≤5；,请写出该.分析：本例把探求规律和函数结合起来，考查学生灵活应用各种知识去解决问题，同时又领悟各知识间的相互联系，本例先读图也可以发现规律，完成（1）（2）小题。

只用第（1）小题的表格也可解决全部问题。

解：（1）21（2）57（3）(图略)（4）在一个函数的图象上，该函数的解析式为。

12+-=n n y 点拨：规律探究题是近几年中考中频繁出现的一种新的题型，解决此类问题要按照由特殊到一般的认识规律，从变化的关系中寻找不变的规律。

[挑战中考名题]一、选择题1、（2005常德）y=(x －1)2＋2的对称轴是直线　（ B ）A ．x=－1B ．x=1C ．y=－1D ．y=12、（2005马尾）将函数进行配方正确的结果应为（）762++=x x y A.B. C. D. 2)3(2++=x y 2)3(2+-=x y 2)3(2-+=x y 2)3(2--=x y 3、（2005武汉）若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+时，函数值为（）.A.a+cB.a-cC.-cD.c 4、（2005武汉）抛物线的图角如图5.1-4，则下列结论：①＞0；②；34125r③＞；④＜1.其中正确的结论是（）.A.①②B.②③C.②④D.③④5、（2005·杭州）用列表法画二次函数的图象时先列一个表,当表中对自变量的值以相等间隔2y x bx c =++x 的值增加时,函数所对应的值依次为:20,56,110,182,274,380,506,650,其中有一个值不正确,这个不正确的值是:y （）A.506B.380C.274D.1826、（湖北宜昌）如图5.1-5所示的函数图象的关系式可能是（）.（A ）y = x （B ）y =（C ）y = x 2 (D) y =x11x二、填空题：7、（2005宁波）已知抛物线解析式为y=x 2－3,则此抛物线的顶点坐标为 .8、（2005·常德）请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式。