1.第一讲 集合的概念与运算@14,15,16解答

值为 an1 an , 必存在如下从小到大的一类排列：
a1 a2 a1 a3 a2 a3 a2 a4 a3 a4 an3 an1 an2 an1 an2 an an1 an
则和式 ai a j (1 i j n) 中所有不同值的个数至少有 2(n 2) 1 2n 3个；
因为12 22 2002 1 200 201 401 2686700; 6
a12
a22
a2 100
(201
a1 ) 2
(201
a2 )2
(201
a100
)2
2(a12
a22
a2 100
)
402(a1
a2
a100
)
100
2012
2(a12
a22
a2 100
)
402
10080
100
假设存在两个不同的数组 i1, j1 和 i2 , j2 使得 2i1 2 j1 2i2 2 j2 ,
其中1 i1 j1 n,1 i2 j2 n, i1, j1, i2 , j2 1, 2,, n;
若 i1 i2 , 则 2i1 2i2 2 j1 2 j2 j1 j2; 与假设矛盾； 若 i1 i2 , 则 2i1 2i2 2 j1 2 j2 j1 j2; 所以 i1 i2 j2 j1;
又当{a1, a2 , a3,, an} 成等差数列时， l( A) 2n 3,
所以， l( A) 的最小值为 2n 3;
-2-
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编者：数学—杨老师
16.设集合 M 1, 2, 3,, 200,G a1, a2 ,, a100 M , 且 G 具有下列两条性质：
①对任何1 i j 100, 恒有 ai a j 201;
② a1 a2 a100 10080.
求证： G 中的奇数的个数是 4 的倍数，且 G 中所有数字的平方和为一个定值。
解析：设集合 H 201 a1, 201 a2 ,201 a100, 由题意得： G H ,G H M ;
Pn 能分成两个不相交的稀疏集的并. 解析：⑵先证当 n 15 时，Pn 不能分成两个不相交的稀疏集的并。用反证法：假设 Pn 能分成两 个不相交的稀疏集 A 与 B 的并，则 A B Pn In. 不妨设1 A, 因1 3 22 , 故 3 A, 所以 3 B; 同理： 6 A 10 B 15 A, 又1 A, 这与 A 为稀疏集矛盾；
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第一讲 集合的概念与运算
14.（2013 重庆卷理-22）对正整数 n ,记 In
1, 2,, n,
Pn
m k
|
m
I
n
,
k
I
n
.
⑴求集合 P7 中元素的个数;
——注意：这里题目有误
⑵若 Pn 的子集 A 中任意两个元素之和不．是．整数的平方,则称 A 为“稀疏集”.求 n 的最大值,使
对表达式 2i1 2 j1 2i2 2 j2 两边同时除以 2i1 可化为：
1 2 j1i1 2i2 i1 2 j2 i1 , 左边为奇数，右边为偶数，矛盾；
所以，从集合 A 中任取不同的两项的和都不相等：
所以， l( A)
Cn2
n(n 1) . 2
⑶由于集合具有互异性，不妨设 a1 a2 a3 an ; 则和式 ai a j 的最小值为 a1 a2 , 最大
因此，可令集合 A A1 A2 A3 C, B B1 B2 B3, 则 P14 能分成两个不相交的稀疏集 A, B 的并.即 n 的最大值为14;
-1-
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15.（2008 年北京东城区-20）已知集合 A {a1, a2 , a3,, an}, 其中， ai R(1 i n, n 2), l( A) 表示和 ai a j (1 i j n) 中所有不同值的个数.
2012
2686700;
所以，
a12
a22
a2 100
1349380
4 337095
能被
4
整除；
所以，
a12
,
a2
2
,,
a2 100
中若有奇数，则奇数的个数必为
4
的倍数；
所以， a1, a2 ,, a100 中的奇数的个数必为 4 的倍数；
-3-
1 2
,
3, 2
5 2
,
7 2
,
9 2
,
11 2
,
13 2
,
取
A2
1
2
,
5, 2
9 2
,
11
2
,
B2
3
2
,
7 2
,
13 2
,百度文库
则
A2 , B2
均为稀疏集；
③当 k
9
时，集合
m 9
|
m
I14
中除了整数外余下元素组成集合
1 3
,
2 3
,
4 3
,
5 3
, , 13 3
14 3
再证当 n 14 时， Pn 能分成两个不相交的稀疏集的并。
①当
k
1 时，集合
m 1
|
m
I14
I14
,
取
A1
{1,
2,
4, 6,9,11,13},
B1
{3,
5,
7, 8,10,12,14},
则 A1, B1 均为稀疏集，且 A1 B1 I14;
②当 k
4
时，集合
m 4
|
m
I14
中除了整数外余下元素组成集合
⑴已知集合 P {2, 4, 6,8},Q {2, 4,8,16}, 分别求 l(P),l(Q) ； ⑵若集合 A {2, 4,8,, 2n}, 求证： l( A) n(n 1) ；
2 ⑶求 l( A) 的最小值，并证明你的结论。
解析：⑴枚举法， l(P) 5,l(Q) 6; ⑵我们用反证法证明从集合 A 中任取不同的两项的和都不相等：
,
取
A3
1 3
,
4 3
,
5 3
, 10 3
,
13 3
,
B3
2
3
,
7 3
,
8 3
,
11 3
,
14 3
,
则
A3 ,
B3
均为稀疏集；
④当 k
1, 4,9 时，集合 C
m k
| m I14 , k
1,
4,
9,
k
I14
中的数均为无理数，
它与 P14 中的任何其它数之和均不为整数，更不．是．整数的平方；